湖北省部分省級(jí)示范高中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

湖北省部分省級(jí)示范高中2024～2025學(xué)年上學(xué)期期末測試高二數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：2025年1月17日試卷滿分：150分?？荚図樌⒁馐马?xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷，草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷，草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知向量，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量的共線，垂直的充要條件以及空間向量坐標(biāo)的減法，模長定義即得.【詳解】因，對(duì)于A選項(xiàng)，由可得：，易知的值不存在；對(duì)于B選項(xiàng)，由可知不成立；對(duì)于C選項(xiàng)，；對(duì)于D選項(xiàng)，故選：D.2.若曲線表示橢圓，則的取值范圍是()A. B. C. D.或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得，解不等式組可得結(jié)果.【詳解】曲線表示橢圓，，解得，且，的取值范圍是或，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及不等式的解法，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握的熟練程度，屬于簡單題.3.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，拋物線上一點(diǎn)滿足，則拋物線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由拋物線的焦半徑公式可得，即可求得，從而求解.【詳解】由題意，得，即，所以拋物線方程為.故選：D.4.若斜率為1的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則弦的中點(diǎn)坐標(biāo)可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，利用點(diǎn)差法列方程組，結(jié)合條件推得，逐一檢驗(yàn)選項(xiàng)，并考慮點(diǎn)在橢圓內(nèi)即得.【詳解】設(shè)，則，兩式相減得：（*），設(shè)弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，因直線的斜率為1，即，分別代入上式（*），整理得：.將選項(xiàng)逐一代入檢驗(yàn)知，A，D滿足，但是，點(diǎn)在橢圓外，不合要求.故選：A.5.若圓：關(guān)于直線對(duì)稱，，則與間的距離是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由圓心在直線l上求得m，然后由平行間距離公式求得距離．【詳解】由題意，圓關(guān)于直線對(duì)稱，則，，即l方程為，所求距離為．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查兩平行線間的距離，解題時(shí)需由圓關(guān)于直線對(duì)稱，即直線過圓心求出參數(shù)m，再則平行間距離公式計(jì)算．6.雙曲線光學(xué)性質(zhì)為：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)．如圖：為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線在雙曲線上的點(diǎn)、處反射后射出共線），若，則（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】由對(duì)稱性以及幾何關(guān)系得出，，再由求出的離心率，即可得.【詳解】連接，因?yàn)?，則，即為等邊三角形，由對(duì)稱性可知，則，又因?yàn)?，即，整理得，解得或（舍），所?故選：A.7.已知圓，點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線與圓相切于點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線與圓相切的切線長與切點(diǎn)弦關(guān)系求解即可.【詳解】因?yàn)榈膱A心為，圓圓心為，因?yàn)橹本€為圓的切線，所以，，又因?yàn)?，所以，可得，又，所以，且平分，所以，則，則最小值即的最小值，即圓心到的距離，所以，所以的最小值為，故選：B.8.已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，左，右焦點(diǎn)分別為，，且關(guān)于它的一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)為，若以為圓心，為半徑的圓過原點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知，根據(jù)漸近線和中位線可知，即可得離心率.【詳解】由題意可知：，設(shè)與漸近線的交點(diǎn)為，則為的中點(diǎn)，且，則點(diǎn)到直線的距離，可得，又因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則，即，所以雙曲線的離心率為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分9.已知曲線，，則（）A.的長軸長為8 B.的漸近線方程為C.與的離心率互為倒數(shù) D.與的焦點(diǎn)坐標(biāo)相同【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)曲線的方程特點(diǎn)，確定曲線的焦點(diǎn)位置，求出相應(yīng)的基本量，即可逐一判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】由可得，知曲線為橢圓，其焦點(diǎn)在軸上，且長軸長為8，故A正確；由可得雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，其漸近線方程為：，即，故B正確；對(duì)于C，由可得，由可得，故與的離心率互為倒數(shù)，故C正確；對(duì)于D，因曲線的焦點(diǎn)位置不同，故焦點(diǎn)坐標(biāo)不可能相同，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論正確的是（）A.數(shù)列是遞增數(shù)列 B.C. D.當(dāng)取得最大值時(shí)，【答案】BC【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由條件不等式，利用等差數(shù)列求和公式推出，，即可對(duì)選項(xiàng)逐一判斷.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得：，，即，，且，即B、C正確；因，故數(shù)列是遞減數(shù)列，故A錯(cuò)誤；因，，即當(dāng)取得最大值時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.“心形線”體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美，某研究小組用函數(shù)圖象：，和拋物線的部分圖象圍成了一個(gè)封閉的“心形線”，過焦點(diǎn)的直線交（包含邊界點(diǎn)）于，兩點(diǎn)，是或上的動(dòng)點(diǎn)，下列說法正確的是（）A.拋物線的方程為B.的最小值為5C.的最大值為7D.若在上，則的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】將、變形后可得其都為圓的一部分，借助的范圍可得與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得拋物象方程，即可得A；結(jié)合拋物線定義即可判斷B選項(xiàng)；設(shè)出直線的方程后，聯(lián)立拋物線得到與橫坐標(biāo)有關(guān)的韋達(dá)定理，結(jié)合弦長公式與點(diǎn)到直線的距離公式表示出該三角形面積，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可得；找到中點(diǎn)，結(jié)合向量的數(shù)量積運(yùn)算將轉(zhuǎn)化為求最小值問題，結(jié)合題意，可確定點(diǎn)在時(shí)，有最小值，再結(jié)合韋達(dá)定理表示出的值，確定直線斜率范圍后計(jì)算即可得D選項(xiàng).【詳解】可變形為，表示以為圓心，2為半徑的圓的上半部分；可變形為，表示以為圓心，2為半徑的圓的上半部分．對(duì)于A選項(xiàng)，拋物線過點(diǎn)，解得，，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，拋物線的準(zhǔn)線為，過點(diǎn)作，垂足為，則，則，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，不妨設(shè)，顯然離最遠(yuǎn)的點(diǎn)在上，且，聯(lián)立，消去整理得，，則，，則，由對(duì)稱性只考慮情況，在點(diǎn)時(shí)，，所以，所以，設(shè)，易得在上單調(diào)遞增，所以的最大值為，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)的中點(diǎn)為，聯(lián)立，消去整理得，則，，，，，所以，，，最小，即最大，也即最小，又的中點(diǎn)位于圓心的左側(cè)，故當(dāng)在位置時(shí)，最小，最小，所以，故D選項(xiàng)正確.故選：ABD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問題有時(shí)需運(yùn)用韋達(dá)定理將所需計(jì)算的量表示出來，再結(jié)合基本不等式或函數(shù)單調(diào)性去研究.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.若兩條直線和互相垂直，則實(shí)數(shù)m值等于_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩直線垂直的判斷方法列方程，求解即得.【詳解】由題意可得，解得.故答案為：.13.已知橢圓與雙曲線有相同的右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓和雙曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為__________．【答案】【解析】【分析】將雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，由雙曲線定義可得，再根據(jù)橢圓的定義求得a，即可求得離心率．【詳解】解：由題意，不妨設(shè)P在第一象限，為左焦點(diǎn)，雙曲線可化為，由雙曲線的定義知：，，則，，由橢圓的定義知：，∴，∵橢圓與雙曲線有相同的右焦點(diǎn)，∴橢圓離心率．故答案為：14.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過的直線與拋物線交于點(diǎn)A、B，與直線交于點(diǎn)D，若且，則___________.【答案】3【解析】【分析】設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，作，垂足分別為，，利用幾何關(guān)系和拋物線的定義得到，解方程即可求得.【詳解】如圖，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，作，垂足分別為，，則.根據(jù)拋物線定義知，，設(shè)，因?yàn)?，所以，?設(shè)，所以，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟15.如圖，已知圓，點(diǎn)．（1）求圓心在直線上，且經(jīng)過點(diǎn)和原點(diǎn)的圓的方程；（2）若過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，且圓弧恰為圓周長的，求直線的方程．【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)易得圓心和半徑，即得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由題意可得，求出圓心到直線的距離為，結(jié)合圖形，判斷直線符合題意，設(shè)直線的斜截式方程，利用列式求解即得.【小問1詳解】因?yàn)閳A經(jīng)過點(diǎn)和原點(diǎn)，因此圓心在線段的垂直平分線上又因?yàn)閳A的圓心在直線上，所以圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，故圓的方程為.【小問2詳解】如圖，因?yàn)閳A弧恰為圓周長的，根據(jù)圓性質(zhì)，可得，則，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為，由可得：，則①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)到軸的距離為，直線即為軸，此時(shí)直線的方程為.②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即.可得，即，解得，即直線的方程，即，故所求直線的方程為或.16.如圖，正方體的棱長為為的中點(diǎn)．點(diǎn)在上．（1）求證：平面；（2）若．求直線與平面所成角的大??；【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由線線垂直推出線面垂直，結(jié)合圖形即可證得；（2）先由和相關(guān)條件推出為中點(diǎn)，建系后，寫出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用空間向量的夾角公式計(jì)算即得.【小問1詳解】∵是正方體，∴平面，又平面，∴，易得，又平面，∴平面，又點(diǎn)M在上，所以平面【小問2詳解】連接，在正方體中，根據(jù)平面，∵平面，∴，又，∴，∵平面，∴，又為中點(diǎn)，∴為中點(diǎn)；根據(jù)正方體的特征建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：則，∴，則，設(shè)平面法向量為，則，故可取，設(shè)直線與平面所成角為，則，因，故.故直線與平面所成角為.17.記是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使成立的的最小值；（3）求數(shù)列的前項(xiàng)的和．【答案】（1）（2）4（3）【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意列方程組，求出，即得數(shù)列通項(xiàng)；（2）利用求和公式求出，解不等式求得的范圍，取整即得；（3）將所求和式按照為奇數(shù)和偶數(shù)進(jìn)行分類，利用并組求和法與等差數(shù)列求和公式計(jì)算即得.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意知，，解得，所以.【小問2詳解】由（1）可得，由可得，解得或，因?yàn)?，故正整?shù)的最小值為.【小問3詳解】因當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.所以數(shù)列的前項(xiàng)和為：.18.已知，，點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，直線與直線的斜率之積為，（1）求點(diǎn)的軌跡方程（2）過點(diǎn)且斜率不為0的直線與交于、兩點(diǎn)，直線分別交直線、于點(diǎn)、，以為直徑的圓是否過軸上的定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）是過定點(diǎn)，和【解析】【分析】（1）利用坐標(biāo)表示出斜率可得，整理可得；（2）設(shè)直線方程為，并與橢圓方程聯(lián)立可得，利用韋達(dá)定理可解得，由垂直關(guān)系的向量表示可得以為直徑的圓過軸上的定點(diǎn)和.【小問1詳解】設(shè)，則且所以整理可得，即點(diǎn)的軌跡方程【小問2詳解】如下圖所示：設(shè)直線方程為，，，聯(lián)立可得可得，所以，；直線的方程為，可得，即；直線的方程為，可得，即；所以假設(shè)過定點(diǎn)，則，即，即可得，解得，所以定點(diǎn)為和．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的第二問的關(guān)鍵是采用設(shè)線法聯(lián)立橢圓方程得到韋達(dá)定理式，再計(jì)算出的值，最后根據(jù)，代入計(jì)算即可.19.已知為拋物線上的兩點(diǎn)，是邊長為的等邊三角形，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求的方程.（2）已知圓的兩條切線，且與分別交于點(diǎn)和.（i）證明：為定值.（ii）求的最小值.【答案】（1）（2）（i）證明見解析；（ii）【解析】【分析】（1）由對(duì)稱性可知當(dāng)為等邊三角形時(shí)，、兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，可得點(diǎn)在上，代入解得，即得的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）（i）依題意可得，可以看作方程的兩根，利用韋達(dá)定理即可證明；（ii）聯(lián)立，的方程與拋物線的方程，利用弦長公式求出，，代入中即可求解．【小問1詳解】由對(duì)稱性可知當(dāng)為等邊三角形時(shí)，、兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，當(dāng)為邊長為的等邊三角形時(shí)，則的高為，由題意知點(diǎn)在上，代入，得，