2017-2018學(xué)年人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-3檢測(cè)第三章統(tǒng)計(jì)案例能力深化提升

能力深化提升類型一線性回歸分析【典例1】一個(gè)車間為了規(guī)定工時(shí)定額,需確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間,為此進(jìn)行了10次試驗(yàn),測(cè)得的數(shù)據(jù)如下表:零件數(shù)x(個(gè))102030405060708090100加工時(shí)間y(min)627275818595103108112127(1)畫(huà)出散點(diǎn)圖,并初步判斷是否線性相關(guān).(2)若線性相關(guān),求回歸直線方程.(3)求出相關(guān)指數(shù).(4)作出殘差圖.(5)進(jìn)行殘差分析.【解析】(1)畫(huà)散點(diǎn)圖如圖所示,由圖可知,x,y線性相關(guān).(2)x與y的關(guān)系可以用線性回歸模型來(lái)擬合,不妨設(shè)回歸模型為=x+.將數(shù)據(jù)代入相應(yīng)公式可得數(shù)據(jù)表:序號(hào)零件個(gè)數(shù)xi(個(gè))加工時(shí)間yi(min)xiyix110626201002207214404003307522509004408132401600550854250250066095570036007701037210490088010886406400990112100808100101001271270010000∑5509205613038500所以x=55,y=92,所以=∑i=110xiyi-10xy∑i=110xi2-10x

2所以回歸直線方程為=0.670x+55.133.(3)利用所求回歸方程求出下列數(shù)據(jù).61.83368.53375.23381.93388.633yiQUOTEi0.1673.4670.2330.9333.633yiy30201711795.333102.033108.733115.433122.133yiQUOTEi0.3330.9670.7333.4334.867yiy311162035所以R2=1∑i=110(4)因?yàn)镼UOTEi=yiQUOTEi,利用上表中數(shù)據(jù)作出殘差圖,如圖所示.(5)由散點(diǎn)圖可以看出x與y有很強(qiáng)的線性相關(guān)性,由R2的值可以看出回歸效果很好.由殘差圖也可觀察到,第2、5、9、10個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大,需要確認(rèn)在采集這些樣本點(diǎn)的過(guò)程中是否有人為的錯(cuò)誤.【方法總結(jié)】解決回歸分析問(wèn)題的一般步驟(1)畫(huà)散點(diǎn)圖.根據(jù)已知數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖.(2)判斷變量的相關(guān)性并求回歸方程.通過(guò)觀察散點(diǎn)圖,直觀感知兩個(gè)變量是否具有相關(guān)關(guān)系;在此基礎(chǔ)上,利用最小二乘法求回歸系數(shù),然后寫(xiě)出回歸方程.(3)回歸分析.畫(huà)殘差圖或計(jì)算R2,進(jìn)行殘差分析.(4)實(shí)際應(yīng)用.依據(jù)求得的回歸方程解決問(wèn)題.【鞏固訓(xùn)練】從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個(gè)家庭,獲得第i個(gè)家庭的月收入xi(單位:千元)與月儲(chǔ)蓄yi(單位:千元)的數(shù)據(jù)資料,算得∑i=110xi=80,∑i=110yi=20,∑i=110∑i=1(1)求家庭的月儲(chǔ)蓄y對(duì)月收入x的線性回歸方程=x+.(2)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān).(3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元,預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄.附:線性回歸方程=x+中,=∑i=1nxiyi-nxy∑i=1nxi2【解析】(1)由題意知n=10,x=1n∑i=1nxy=1n∑i=1ny又∑i=1nxi2nx∑i=1nxiyinxy=18410×由此得=∑i=1nxi=yx=20.3×8=0.4,故所求回歸方程為=0.3x0.4.(2)由于變量y的值隨x的值增加而增加(=0.3>0),故x與y之間是正相關(guān).(3)將x=7代入回歸方程可以預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄為=0.3×70.4=1.7(千元).類型二獨(dú)立性檢驗(yàn)【典例2】(1)某保鍵藥品推銷商為推銷其藥品,在廣告中宣傳:“在服用該藥品的105人中有100人未患A疾病”.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),在不使用該藥品的418人中僅有18人患A疾病.請(qǐng)用所學(xué)知識(shí)分析該藥品對(duì)防治A疾病是否有效?(2)在對(duì)人們飲食習(xí)慣的一次調(diào)查中,共調(diào)查了124人,其中六十歲以上的70人,六十歲以下的54人,六十歲以上的人中有43人的飲食以蔬菜為主,另外27人則以肉類為主,六十歲以下的人中有21人飲食以蔬菜為主,另外33人則以肉類為主.①根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2列聯(lián)表;②判斷人的飲食習(xí)慣是否與年齡有關(guān).【解析】(1)將問(wèn)題中的數(shù)據(jù)寫(xiě)成2×2列聯(lián)表如下表:患病不患病總計(jì)使用5100105不使用18400418總計(jì)23500523將上述數(shù)據(jù)代入公式K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(2)①2×2列聯(lián)表如下:主食蔬菜主食肉類總計(jì)六十歲以下213354六十歲以上432770總計(jì)6460124②根據(jù)列聯(lián)表,可得K2的觀測(cè)值k=124×(43×33-27×21)故在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為“人的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)”.【方法總結(jié)】獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題的基本步驟(1)找相關(guān)數(shù)據(jù),作列聯(lián)表.(2)求統(tǒng)計(jì)量K2.(3)判斷可能性,注意與臨界值作比較,得出與事件有關(guān)的確信度.【鞏固訓(xùn)練】為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助,用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人,結(jié)果如下:性別是否需要志愿者男女需要4030不需要160270(1)估計(jì)該地區(qū)老年人中需要志愿者提供幫助的老年人的比例.(2)能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)?【解析】(1)調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助,因此該地區(qū)老年人中,需要志愿者提供幫助的老年人的比例的