中考數(shù)學(xué)-銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用(含5種解題技巧)(含答案)

Page試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第四章三角形第22講銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用（思維導(dǎo)圖+3考點+2命題點20種題型（含5種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航02知識導(dǎo)圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一銳角三角函數(shù)考點二解直角三角形考點三解直角三角形的應(yīng)用04題型精研·考向洞悉命題點一銳角三角函數(shù)?題型01理解銳角三角函數(shù)的概念?題型02求角的三角函數(shù)值?題型03由三角函數(shù)求邊長?題型04由特殊角的三角函數(shù)值求解?題型05特殊角三角函數(shù)值的混合運算?題型06根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)?題型07已知角度比較三角函數(shù)值的大小?題型08利用同角的三角函數(shù)求解?題型09利用互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系求解?題型10三角函數(shù)綜合?題型11在平面直角坐標(biāo)系中求銳角三角函數(shù)值?題型12特殊角三角函數(shù)值的另類應(yīng)用?題型13在網(wǎng)格中求銳角三角函數(shù)值命題點二解直角三角形?題型01解直角三角形的相關(guān)計算?題型02構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長或面積?題型03運用解直角三角形的知識解決視角相關(guān)問題?題型04運用解直角三角形的知識解決方向角相關(guān)問題?題型05運用解直角三角形的知識解決坡角、坡度相關(guān)問題?題型06運用解直角三角形的知識解決實際問題?題型07運用解直角三角形的知識解決實際問題（新考法/新情境）Page試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁

01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航中考考點考查頻率新課標(biāo)要求三角函數(shù)值的確定★★探索并認識銳角三角函數(shù)(sinA,cosA，tanA)；知道30°,45°,60°角的三角函數(shù)值；會使用計算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它的對應(yīng)銳角.特殊角的三角函數(shù)值★解直角三角形★★能用銳角三角函數(shù)解直角三角形.解直角三角形的應(yīng)用★★能用相關(guān)知識解決一些簡單的實際問題.【考情分析】銳角三角函數(shù)值的考查多以選擇題、填空題為主，解題的一般過程是構(gòu)造直角三角形，確定相應(yīng)的邊長，利用定義求相應(yīng)的三角函數(shù)值，試題難度中等，解題關(guān)鍵是正確添加輔助線，確定合適的直角三角形.【命題預(yù)測】銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用是數(shù)學(xué)中考中比較重要的考點，其考察內(nèi)容主要包括：①考查正弦、余弦、正切的定義，②特殊角的三角函數(shù)值，③解直角三角形與其應(yīng)用等.出題時除了會單獨出題以外，還常和四邊形、圓、網(wǎng)格圖形等結(jié)合考察，是近幾年中考填空壓軸題?？碱}型.預(yù)計2025年各地中考還將以選題和綜合題的形式出現(xiàn)，在牢固掌握定義的同時，一定要理解基本的方法，利用輔助線構(gòu)造直角三角形，是得分的關(guān)鍵.02知識導(dǎo)圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一銳角三角函數(shù)1.正弦、余弦、正切正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即；余弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即；正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA，則

【注意】1）正弦、余弦、正切是在直角三角形中進行定義的，本質(zhì)是兩條線段的比，因此沒有單位，只與角的大小有關(guān)，而與直角三角形的邊長無關(guān).2）根據(jù)定義求三角函數(shù)值時，一定根據(jù)題目圖形來理解，嚴(yán)格按照三角函數(shù)的定義求解，有時需要通過輔助線來構(gòu)造直角三角形.3）表示，可以寫成，不能寫成(正弦、余弦相同).2.銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)：銳角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函數(shù)．（其中：0＜∠A＜90°）取值范圍：在Rt△ABC中，∠C=90°，由于直角邊一定比斜邊短，故有如下結(jié)論：，，.增減變化：當(dāng)0°＜∠A＜90°，sinA，tanA隨∠A的增大而增大，cosA隨∠A的增大而減小.【補充】利用銳角三角函數(shù)值的增減變化規(guī)律可比較銳角的大小.3.特殊角的三角函數(shù)值利用三角函數(shù)的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，如下表所示：三角函數(shù)值特殊角30°45°60°sinαcosαtanα14.銳角三角函數(shù)的關(guān)系：在Rt△ABC中，若∠C為直角，則∠A與∠B互余時，有以下兩種關(guān)系：1）同角三角函數(shù)的關(guān)系：①平方關(guān)系：sin2②商數(shù)關(guān)系：tanA=2)互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系：①互余關(guān)系：sinA=cos(90°-∠A)=cosB，即一個銳角的正弦值等于它的余角的余弦值.sinB=sin(90°-∠A)=cosA，即一個銳角的余弦值等于它的余角的正弦值.②倒數(shù)關(guān)系：tanA1．（2024云南真題）在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，則tanA的值為（

A．45 B．43 C．352．（2023·江蘇蘇州·一模）化簡sin28°?cos28°A．sin28°?cosC．cos28°?sin3．（2023·湖北黃石·中考真題）計算：?134．（2023·江蘇·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，點D在邊AB上，連接CD．若BD=CD，ADBD=1

考點二解直角三角形1.解直角三角形定義：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個元素，即三條邊和兩個銳角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形．在解直角三角形的過程中，一般要用到下面一些關(guān)系：1）直角三角形的五個元素：邊：a、b、c，角：∠A、∠B.2）三邊之間的關(guān)系：a23）兩銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°.4）邊角之間的關(guān)系：sinA=ac，sinB=bc，cosA=bc【補充】三角函數(shù)是連接邊與角的橋梁.5）面積公式（h為斜邊上的高）.2.解直角三角形的常見類型已知條件解法步驟圖示兩邊斜邊和一直角邊(如c，a)由sinA=兩直角邊(如a，b)由tanA=一邊一角斜邊和一銳角（如c，∠A）∠B=90°－∠A，一直角邊和一銳角（如a，∠A）∠B=90°－∠A，另一直角邊和一銳角（如b，∠A）∠B=90°－∠A，【注意】已知兩個角不能解直角三角形，因為有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，但不一定全等，因此其邊的大小不確定.【總結(jié)】在直角三角形中，除直角外的五個元素中，已知其中的兩個元素(至少有一條邊)，可求出其余的三個未知元素(知二求三).【已知一邊一角的記憶口訣】有斜求對用正弦，有斜求鄰用余弦，無斜求對(鄰)用正切.1．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，sinB=45，則BCA．3 B．6 C．8 D．92．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，⊙O的周長為8π，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O．則△OAB的面積為（

）

A．4 B．43 C．6 D．3．（2024·江蘇南通·中考真題）若菱形的周長為20cm，且有一個內(nèi)角為45°，則該菱形的高為cm4．（2023·青海西寧·中考真題）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=12，∠A=42°，則BC的長約為．（結(jié)果精確到0.1．參考數(shù)據(jù)：sin42°≈0.67，cos42°≈0.745．（2024·浙江·中考真題）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC邊上的中線，AB=10,AD=6,tan(1)求BC的長；(2)求sin∠DAEQUOTEQUOTE考點三解直角三角形的應(yīng)用1）仰角、俯角視角：視線與水平線的夾角叫做視角．仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角．俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角．【注意】仰角和俯角是相對于水平線而言的，在不同的位置觀測，仰角和俯角是不同的.2）坡度、坡角坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i=h坡角：坡面與水平面的夾角α叫做坡角.【注意】坡度與坡角是兩個不同的概念，坡角是兩個面的夾角，坡度(用字母i表示)是比；兩者之壓間的關(guān)系是i=h3）方位角、方向角方位角：從某點的指北方向線按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標(biāo)方向PA，PB，PC的方位角分別為是40°，135°，245°.方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標(biāo)方向線OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30°，南偏東45°，南偏西80°，北偏西60°.特別如：東南方向指的是南偏東45°，東北方向指的是北偏東45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°4）解直角三角形實際應(yīng)用的一般步驟①弄清題中名詞、術(shù)語，根據(jù)題意畫出圖形，建立數(shù)學(xué)模型；②將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題；當(dāng)有些圖形不是直角三角形時，可適當(dāng)添加輔助線，把它們分割成直角三角形或矩形.③選擇合適的邊角關(guān)系式，使運算簡便、準(zhǔn)確；④得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，從而得到問題的解．【常見類型】航海、建橋修路、測量樓高、塔高等.1．（2024·四川·中考真題）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東37°方向，距離燈塔100海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處．這時，B處距離A處有多遠？（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，2．（2024·江蘇南通·中考真題）社團活動課上，九年級學(xué)習(xí)小組測量學(xué)校旗桿的高度．如圖，他們在B處測得旗桿頂部A的仰角為60°，BC=6m，則旗桿AC的高度為3．（2023·湖北·中考真題）為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD，斜面坡度i=3:4是指坡面的鉛直高度AF與水平寬度BF的比．已知斜坡CD長度為20米，∠C=18°，求斜坡AB的長．（結(jié)果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：sin18°≈0.31,

04題型精研·考向洞悉命題點一銳角三角函數(shù)?題型01理解銳角三角函數(shù)的概念1．（2024廣州市模擬）在Rt△ABC中，∠C=90°，各邊都擴大2倍，則銳角A的三角函數(shù)值（

A．?dāng)U大2倍 B．不變 C．縮小12 D．?dāng)U大2．（2024宣化區(qū)一模）如圖，梯子（長度不變）跟地面所成的銳角為∠α，敘述正確的是（）A．sinα的值越大，梯子越陡B．cosαC．tanαD．陡緩程度與∠α的函數(shù)值無關(guān)3．（2022·吉林長春·中考真題）如圖是長春市人民大街下穿隧道工程施工現(xiàn)場的一臺起重機的示意圖，該起重機的變幅索頂端記為點A，變幅索的底端記為點B，AD垂直地面，垂足為點D，BC⊥AD，垂足為點C．設(shè)∠ABC=α，下列關(guān)系式正確的是（

）A．sinα=ABBC B．sinα=BCABQUOTEQUOTEQUOTE?題型02求角的三角函數(shù)值求銳角的三角函數(shù)值時，先確定銳角在哪個直角三角形中,，若已知三邊，則直接利用定義求解；如果已知兩邊，則利用勾股定理求出第三邊，然后利用定義求解.1．（2024·浙江寧波·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanB=43，則A．34 B．35 C．452．（2023·四川內(nèi)江·中考真題）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，且滿足a2+|c?10|+b?8=12a?36，則3．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，對角線BD的垂直平分線分別交邊AB、CD于點E、F．若AD=8，BE=10，則tan∠ABD=4．（2022·湖北十堰·中考真題）如圖，△ABC中，AB=AC，D為AC上一點，以CD為直徑的⊙O與AB相切于點E，交BC于點F，F(xiàn)G⊥AB，垂足為G．(1)求證：FG是⊙O的切線；(2)若BG=1，BF=3，求CF的長．5．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，已知AB為⊙O的直徑，點C為⊙O外一點，AC=BC，連接OC，DF是AC的垂直平分線，交OC于點F，垂足為點E，連接AD、CD，且∠DCA=∠OCA．

(1)求證：AD是⊙O的切線；(2)若CD=6，OF=4，求cos∠DAC6．（2024·甘肅·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，BC=BD，點E在AD的延長線上，且(1)求證：BE是⊙O的切線；(2)當(dāng)⊙O的半徑為2，BC=3時，求tan∠AEB?題型03由三角函數(shù)求邊長1．（2023·江蘇連云港·中考真題）如圖，矩形OABC的頂點A在反比例函數(shù)y=kx(x<0)的圖像上，頂點B、C在第一象限，對角線AC∥x軸，交y軸于點D．若矩形OABC的面積是6，cos∠OAC=

2．（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，∠BAC的平分線交⊙O于點D，過點D作DE⊥AC，交AC的延長線于點E，連接BD，(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)若CE=1，sin∠BAD=133．（2022·廣西貴港·二模）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC于點E，O為AC上一點，經(jīng)過點A、E的⊙O分別交AB、AC于點D、F，連接OD交AE于點M．

(1)求證：BC是⊙O的切線．(2)若CF＝2，sinC＝35，求AE4．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC=10，過點A作AE∥BC，交⊙O的直徑BD的延長線于點E，連接CD．(1)求證：AE是⊙O的切線；(2)若tan∠ABE=12，求CD5．（2023·遼寧鞍山·中考真題）如圖1，拋物線y=ax2+53x+c經(jīng)過點3,1，與

(1)求拋物線的解析式．(2)直線y=23x?4與x軸交于點A，與y軸交于點D，過點E作直線EF⊥x軸，交AD于點F，連接BE．當(dāng)BE=DF(3)如圖2，點N為x軸正半軸上一點，OE與BN交于點M．若OE=BN，tan∠BME=34QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE?題型04由特殊角的三角函數(shù)值求解1．（2023·山東日照·模擬預(yù)測）在實數(shù)2,x0A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2024·湖南·模擬預(yù)測）我國是最早使用負數(shù)的國家，在數(shù)據(jù)?sin45°，2，0，+7，?0.5，π中是負數(shù)的有（A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2023·湖南益陽·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有三點A0,1，B4,1，C5,6，則sin

A．12 B．135 C．224．（2023·山東青島·一模）計算：sin30°+35．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測）平面直角坐標(biāo)系中，點A與點B(cos60°,?3)關(guān)于x軸對稱，如果函數(shù)y=kx6．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）化簡求值：x+1x?3?QUOTE?題型05特殊角三角函數(shù)值的混合運算有關(guān)特殊角的三角函數(shù)值的計算是一類重要題型，解這類問題時，要熟記30°、45°60°角的三種三角函數(shù)值，并能準(zhǔn)確地把值代入算式，結(jié)合實數(shù)的運算順序及運算法則進行相關(guān)計算.1．（2024·湖南長沙·中考真題）計算：(12．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）計算：??3．（2023·四川德陽·中考真題）計算：2?題型06根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)1．（2022·遼寧朝陽·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AD＝23，DC＝43，將線段DC繞點D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點C的對應(yīng)點E恰好落在邊AB上時，圖中陰影部分的面積是．2．（2024·湖北·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點E在AC上，以CE為直徑的⊙O經(jīng)過AB上的點D，與OB交于點F，且BD=BC(1)求證：AB是⊙O的切線；(2)若AD=3，AE=1，求CF3．（2024·江蘇揚州·中考真題）如圖1，將兩個寬度相等的矩形紙條疊放在一起，得到四邊形ABCD．(1)試判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由；(2)已知矩形紙條寬度為2cm，將矩形紙條旋轉(zhuǎn)至如圖2位置時，四邊形ABCD的面積為8cm2，求此時直線AD、CD所夾銳角4．（2024·山東煙臺·中考真題）如圖，正比例函數(shù)y=x與反比例函數(shù)y=kx的圖象交于點A6,a，將正比例函數(shù)圖象向下平移nn>0個單位后，與反比例函數(shù)圖象在第一、三象限交于點B，C，與x軸，y軸交于點D，E，且滿足BE:CE=3:2．過點B作BF⊥x軸，垂足為點F，G為x軸上一點，直線BC與BG(1)求反比例函數(shù)的表達式；(2)求n的值及△BCG的面積．?題型07已知角度比較三角函數(shù)值的大小1．（2020·湖南婁底·中考真題）如圖，撬釘子的工具是一個杠桿，動力臂L1=L?cosα，阻力臂L2

A．越來越小 B．不變 C．越來越大 D．無法確定2．（2023·上海靜安·一模）如果0°<∠A<60°，那么sinA與cosA．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能確定3．（21-22九年級上·上海靜安·期末）如果銳角A的度數(shù)是25°，那么下列結(jié)論中正確的是（

）A．0<sinA<1C．33<tan4．（2020·四川成都·模擬預(yù)測）比較大小：sin54°cos35°（填“<”“?題型08利用同角的三角函數(shù)求解1．（2023·湖南婁底·中考真題）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)學(xué)九章》一書中，給出了這樣的一個結(jié)論：三邊分別為a、b、c的△ABC的面積為S△ABC=12a2b2?a2+b2?c222．A．cosC=a2C．cosC=a22．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測）第二十四屆國際數(shù)學(xué)家大會會徽的設(shè)計基礎(chǔ)是1700多年前中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”．如圖，在由四個全等的直角三角形（Rt△DAE，Rt△ABF，Rt△BCG，Rt△CDH）和中間一個小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，連接BE．設(shè)∠BAF=α，∠BEF=β，正方形EFGH和正方形ABCD的面積分別為S1和S23．（2024·山東·模擬預(yù)測）（1）計算：2sin230°?6（2）已知a、b是一元二次方程x2+2x?3=0的兩個實根，求4．（2024·山西晉城·二模）如圖，在矩形ABCD中，BC=6，CD=4，E為BC邊上一點，連接DE，過點C作CF⊥DE，垂足為G，交AB邊于點F，連接AG．若CE=2，則線段AG的長為．?題型09利用互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系求解1．（2021·湖南婁底·中考真題）高速公路上有一種標(biāo)線叫縱向減速標(biāo)線，外號叫魚骨線，作用是為了提醒駕駛員在開車時減速慢行．如圖，用平行四邊形ABCD表示一個“魚骨”，AB平行于車輛前行方向，BE⊥AB,∠CBE=α，過B作AD的垂線，垂足為A'（A點的視覺錯覺點），若sinα=0.05,AB=300mm，則A2．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）如圖，AB為半圓O的直徑，C為AB上一點，連接AC，BC．請用尺規(guī)作圖法，在直徑AB上求作一點D，使：sin∠ACD=3．（2023·河北保定·二模）嘉嘉在某次作業(yè)中得到如下結(jié)果：sin2sin2sin29°+sin37°+sin2據(jù)此，嘉嘉猜想：對于任意銳角α，β，若α+β=90°，均有sin2(1)當(dāng)α=30°，β=60°時，驗證sin2(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，請結(jié)合如圖所示Rt△ABC給予證明，其中∠A所對的邊為a，∠B所對的邊為b，斜邊為c(3)利用上面的證明方法，直接寫出tanα與sinα，?題型10三角函數(shù)綜合1．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A在直線y=34x上，且點A的橫坐標(biāo)為4，直角三角板的直角頂點C落在x軸上，一條直角邊經(jīng)過點A，另一條直角邊與直線OA交于點B，當(dāng)點C在x軸上移動時，線段AB2．（2024·四川成都·中考真題）數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們將兩個全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個頂點，然后將其中一個紙片繞這個頂點旋轉(zhuǎn)，來探究圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．已知三角形紙片ABC和ADE中，AB=AD=3，BC=DE=4，∠ABC=∠ADE=90°．【初步感知】（1）如圖1，連接BD，CE，在紙片ADE繞點A旋轉(zhuǎn)過程中，試探究BDCE【深入探究】（2）如圖2，在紙片ADE繞點A旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點D恰好落在△ABC的中線BM的延長線上時，延長ED交AC于點F，求CF的長．【拓展延伸】（3）在紙片ADE繞點A旋轉(zhuǎn)過程中，試探究C，D，E三點能否構(gòu)成直角三角形．若能，直接寫出所有直角三角形CDE的面積；若不能，請說明理由．?題型11在平面直角坐標(biāo)系中求銳角三角函數(shù)值1．（2024·上海·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù)y=kx（k為常數(shù)且k≠0）上有一點A?3,m，且與直線y=?2x+4

(1)求k與m的值；(2)過點A作直線l∥x軸與直線y=?2x+4交于點C，求2．（2022·遼寧·中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx+3交x軸于點A(3,0)和B(?1,0)，交y(1)求拋物線的表達式；(2)D是直線AC上方拋物線上一動點，連接OD交AC于點N，當(dāng)DNON的值最大時，求點D(3)P為拋物線上一點，連接CP，過點P作PQ⊥CP交拋物線對稱軸于點Q，當(dāng)tan∠PCQ=343．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線L：y=ax2?2ax?3aa>0與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），其頂點為(1)求線段AB的長；(2)當(dāng)a=1時，若△ACD的面積與△ABD的面積相等，求tan∠ABD(3)延長CD交x軸于點E，當(dāng)AD=DE時，將△ADB沿DE方向平移得到△A'EB'．將拋物線L平移得到拋物線L'，使得點A'，B4．（2024·江蘇宿遷·模擬預(yù)測）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于點A，B（A在B的左邊），與y軸相交于點C，已知A1,0、B3,0，C0,3，M是y軸上的動點（M位于點C下方），過點M的直線l垂直于y軸，與拋物線相交于兩點P、Q（P在(1)求拋物線的表達式；(2)如圖1，四邊形PMGH是正方形，連接CP，△PNC的面積為S1，正方形PMGH的面積為S2，求(3)如圖2，以點O為圓心，OA為半徑作⊙O．①動點F在⊙O上，連接BF、CF，請直接寫出BF+13CF②點P是y軸上的一動點，連接PA、PB，當(dāng)sin∠APB的值最大時，請直接寫出P5．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）如圖，點O為平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點，直線y=?x+6交x軸于點A，交y軸于點C，點B在x軸負半軸上，連接BC，tan∠BCO=(1)如圖1，求直線BC的解析式；(2)如圖1，點P在線段OA上，點Q在線段OB上，OQ=3OP，點P的橫坐標(biāo)為t，過點Q作DQ⊥x軸交BC于點D，連接DP，△BDP的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不需要寫出自變量t的取值范圍）；(3)如圖2，在（2）的條件下，過點P作PE⊥PD交AC于點E，過點D作DF⊥AC于點G，DG交OC于點F，連接DE交y軸于點M，連接PM，tan∠DPM=38?題型12特殊角三角函數(shù)值的另類應(yīng)用1．（2023·湖南婁底·一模）同學(xué)們，在我們進入高中以后，還將學(xué)到下面三角函數(shù)公式：sinα?β=sinαcosβ?cosαsinβ，sinα+β=sinα2．（2022·黑龍江綏化·中考真題）定義一種運算；sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，sin(α?β)=sinαcos3．（2023·湖南婁底·一模）定義一種運算：cosα+β=cosαcosβ?sinαsinβ，A．6+24 B．6?244．（2023九年級下·全國·專題練習(xí)）一般地，當(dāng)α，β為任意角時，sin(α+β)，sin(α?β)，cos(α+β)sin(α+β)=sin(α?β)=cos(α+β)=cos(α?β)=例如：sin90°=類似地，求：(1)sin15°(2)cos75°(3)tan165°的值[提示：對于鈍角α，定義它的三角函數(shù)值如下：sinα=sin?題型13在網(wǎng)格中求銳角三角函數(shù)值1．（2020·湖北荊州·中考真題）如圖，在6×6正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，點A，B，C均在網(wǎng)格交點上，⊙O是△ABC的外接圓，則cos∠BAC的值是（

）A．55 B．255 C．12．（2022·湖北武漢·中考真題）由4個形狀相同，大小相等的菱形組成如圖所示的網(wǎng)格，菱形的頂點稱為格點，點A，B，C都在格點上，∠O=60°，則tan∠ABC=（

）A．13 B．12 C．333．（2021·四川廣元·中考真題）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格圖中，已知點A、B、C、D、O均在格點上，其中A、B、D又在⊙O上，點E是線段CD與⊙O的交點．則∠BAE的正切值為．4．（2024茅箭區(qū)二模）如圖是由邊長為1的小正方形組成的4×4網(wǎng)格，則tan∠BAC=5．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖，在6×7的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，四邊形ABCD的頂點均在網(wǎng)格的格點上．(1)求sinD(2)操作與計算：用尺規(guī)作圖法過點C作CE⊥AD，垂足為E，并直接寫出CE的長．（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）命題點二解直角三角形?題型01解直角三角形的相關(guān)計算1．（2024·山東淄博·中考真題）如圖所示，在矩形ABCD中，BC=2AB，點M，N分別在邊BC，AD上．連接MN，將四邊形CMND沿MN翻折，點C，D分別落在點A，E處．則tan∠AMN的值是（

A．2 B．2 C．3 D．52．（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是CD的中點，則sin∠EBC的值為（

A．35 B．75 C．21143．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD交于點O，DE⊥AC于點E，延長DE與BC交于點F．若AB=3，BC=4，則點F到BD的距離為．4．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖，△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，AB為⊙O的直徑，將△ABC沿直線AB翻折到△ABD，點D在⊙O上．連接CD，交AB于點E，延長BD，CA，兩線相交于點P，過點A作⊙O的切線交BP于點G．(1)求證：AG∥CD；(2)求證：PA(3)若sin∠APD=13，PG=65．（2024·吉林長春·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O是坐標(biāo)原點，點A4,2在函數(shù)y=kxk>0,x>0的圖象上．將直線OA沿y軸向上平移，平移后的直線與y軸交于點B，與函數(shù)y=kxk>0,x>0A．0,5 B．0,3 C．0,4 D．?題型02構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長或面積1．（2022·湖南·中考真題）閱讀下列材料：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，求證：asin證明：如圖1，過點C作CD⊥AB于點D，則：在RtΔBCD中，CD=asinB，在RtΔACD中，CD=b(1)如圖2，在ΔABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，求證：b(2)為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境．如圖3，規(guī)劃中的一片三角形區(qū)域需美化，已知∠A=67°，∠B=53°，AC=80米，求這片區(qū)域的面積．（結(jié)果保留根號．參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，2．（2022·山東濟寧·中考真題）知識再現(xiàn)：如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c．∵sinA=ac，sinB=bc(1)拓展探究：如圖2，在銳角ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c．請?zhí)骄縜sinA，bsin(2)解決問題：如圖3，為測量點A到河對岸點B的距離，選取與點A在河岸同一側(cè)的點C，測得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．請用拓展探究中的結(jié)論，求點A到點B的距離．3．（2022·江蘇蘇州·一模）【理解概念】定義：如果三角形有兩個內(nèi)角的差為90°，那么這樣的三角形叫做“準(zhǔn)直角三角形”．(1)已知△ABC是“準(zhǔn)直角三角形”，且∠C>90°．①若∠A=60°，則∠B=______°；②若∠A=40°，則∠B=______°；【鞏固新知】(2)如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，BC=2，點D在AC【解決問題】(3)如圖②，在四邊形ABCD中，CD=CB，∠ABD=∠BCD，AB=5，4．（2023·安徽·二模）如圖，已知：AB是⊙O的直徑，點C在圓上，AB=10，AC=6，點C、E分別在AB兩側(cè)，且E為半圓AB的中點．(1)求△ABC的面積；(2)求CE的長．5（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，已知拋物線W1：y=ax2+bx?2與x軸交于A，D兩點，AD=5，點A在直線(1)求拋物線W1(2)將拋物線W1沿x軸翻折后得到拋物線W2，W2與直線l交于A，B兩點，點P是拋物線W2上A，B之間的一個動點（不與點A、B重合），PM⊥AB于M，PN∥y軸交6．（2024·湖北武漢·一模）【問題提出】在等腰△ABC中，AB=AC,BC=4,D為BC中點，以D為頂點作∠EDF=∠ABC=∠ACB=α，角的兩邊分別交AB,AC于點E,F，連接EF，試探究點D到線段EF的距離．【問題探究】（1）先將問題特殊化，如圖2，當(dāng)點E和A重合時，直接寫出D到線段EF的距離（用含sina（2）再探究一般情形，如圖1，證明（1）中的結(jié)論仍然成立；【問題拓展】如圖3，在等腰△ABC中，AB=AC,D為BC中點，以D為頂點作∠EDF=∠ABC=∠ACB=α，角的兩邊分別交直線AB,AC于點E,F，連接EF．若EF⊥AB，直接寫出ACCF的值（用含tanQUOTE?題型03運用解直角三角形的知識解決視角相關(guān)問題1）實際問題中已知視角的度數(shù)求邊長時，應(yīng)先根據(jù)題意畫出直角三角形，求出這個角的三角函數(shù)值，再利用三角函數(shù)的定義求得相應(yīng)邊長.2）利用三角函數(shù)求實際問題中視角的度數(shù)時，應(yīng)先根據(jù)題意畫出直角三角形，并根據(jù)已知條件求出這個角的三角函數(shù)值，再求出角的度數(shù).1．（2024·河北·中考真題）中國的探月工程激發(fā)了同學(xué)們對太空的興趣．某晚，淇淇在家透過窗戶的最高點P恰好看到一顆星星，此時淇淇距窗戶的水平距離BQ=4m，仰角為α；淇淇向前走了3m后到達點D，透過點P恰好看到月亮，仰角為β，如圖是示意圖．已知，淇淇的眼睛與水平地面BQ的距離AB=CD=1.6m，點P到BQ的距離PQ=2.6m，AC的延長線交(1)求β的大小及tanα(2)求CP的長及sin∠APC2．（2024·河南·中考真題）如圖1，塑像AB在底座BC上，點D是人眼所在的位置．當(dāng)點B高于人的水平視線DE時，由遠及近看塑像，會在某處感覺看到的塑像最大，此時視角最大．?dāng)?shù)學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)經(jīng)過A，B兩點的圓與水平視線DE相切時（如圖2），在切點P處感覺看到的塑像最大，此時∠APB為最大視角．(1)請僅就圖2的情形證明∠APB>∠ADB．(2)經(jīng)測量，最大視角∠APB為30°，在點P處看塑像頂部點A的仰角∠APE為60°，點P到塑像的水平距離PH為6m．求塑像AB的高（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：3．（2024·甘肅·中考真題）習(xí)近平總書記于2021年指出，中國將力爭2030年前實現(xiàn)碳達峰、2060年前實現(xiàn)碳中和．甘肅省風(fēng)能資源豐富，風(fēng)力發(fā)電發(fā)展迅速．某學(xué)習(xí)小組成員查閱資料得知，在風(fēng)力發(fā)電機組中，“風(fēng)電塔筒”非常重要，它的高度是一個重要的設(shè)計參數(shù)．于是小組成員開展了“測量風(fēng)電塔筒高度”的實踐活動．如圖，已知一風(fēng)電塔筒AH垂直于地面，測角儀CD，EF在AH兩側(cè)，CD=EF=1.6m，點C與點E相距182m（點C，H，E在同一條直線上），在D處測得簡尖頂點A的仰角為45°，在F處測得筒尖頂點A的仰角為53°．求風(fēng)電塔筒AH的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈454．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）綜合實踐活動中，數(shù)學(xué)興趣小組利用無人機測量大樓的高度．如圖，無人機在離地面40米的D處，測得操控者A的俯角為30°，測得樓BC樓頂C處的俯角為45°，又經(jīng)過人工測量得到操控者A和大樓BC之間的水平距離是80米，則樓BC的高度是多少米？（點A，B，?題型04運用解直角三角形的知識解決方向角相關(guān)問題方向角問題應(yīng)結(jié)合實際問題抽象出示意圖并構(gòu)造三角形，還要分析三角形中的已知元素和未知元素，如果這些元素不在同一個三角形中或者在同一個斜三角形中，需要添加輔助線.在解題的過程中，有時需要設(shè)未知數(shù)，通過構(gòu)造方程(組)來求解.1．（2024·重慶·中考真題）如圖，甲、乙兩艘貨輪同時從A港出發(fā)，分別向B，D兩港運送物資，最后到達A港正東方向的C港裝運新的物資．甲貨輪沿A港的東南方向航行40海里后到達B港，再沿北偏東60°方向航行一定距離到達C港．乙貨輪沿A港的北偏東60°方向航行一定距離到達D港，再沿南偏東30°方向航行一定距離到達C港．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73，(1)求A，C兩港之間的距離（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）；(2)若甲、乙兩艘貨輪的速度相同（?？緽、D兩港的時間相同），哪艘貨輪先到達C港？請通過計算說明．2．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，海中有一個小島C，某漁船在海中的A點測得小島C位于東北方向上，該漁船由西向東航行一段時間后到達B點，測得小島C位于北偏西30°方向上，再沿北偏東60°方向繼續(xù)航行一段時間后到達D點，這時測得小島C位于北偏西60°方向上．已知A，C相距30nmile．求C，D間的距離（計算過程中的數(shù)據(jù)不取近似值）．3．（2023·遼寧丹東·中考真題）一艘輪船由西向東航行，行駛到A島時，測得燈塔B在它北偏東31°方向上，繼續(xù)向東航行10nmile到達C港，此時測得燈塔B在它北偏西61°方向上，求輪船在航行過程中與燈塔B的最短距離．（結(jié)果精確到0.1nmile）（參考數(shù)據(jù)：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin

?題型05運用解直角三角形的知識解決坡角、坡度相關(guān)問題解決這類問題時，要利用已知角度構(gòu)造直角三角形，在直角三角形中求解.1．（2024·四川巴中·中考真題）某興趣小組開展了測量電線塔高度的實踐活動．如圖所示，斜坡BE的坡度i=1:3，BE=6m，在B處測得電線塔CD頂部D的仰角為45°，在E處測得電線塔CD頂部D的仰角為(1)求點B離水平地面的高度AB．(2)求電線塔CD的高度（結(jié)果保留根號）．2．（2023·湖北恩施·中考真題）小王同學(xué)學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)后，通過觀察廣場的臺階與信號塔之間的相對位置，他認為利用臺階的可測數(shù)據(jù)與在點A，B處測出點D的仰角度數(shù)，可以求出信號塔DE的高．如圖，AB的長為5m，高BC為3m．他在點A處測得點D的仰角為45°，在點B處測得點D的仰角為38.7°，A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)．你認為小王同學(xué)能求出信號塔DE的高嗎？若能，請求出信號塔3．（2023·江蘇泰州·中考真題）如圖，堤壩AB長為10m，坡度i為1:0.75，底端A在地面上，堤壩與對面的山之間有一深溝，山頂D處立有高20m的鐵塔CD．小明欲測量山高DE，他在A處看到鐵塔頂端C剛好在視線AB上，又在壩頂B處測得塔底D的仰角α為26°35'．求堤壩高及山高DE．（sin26°35'

4．（2023·四川自貢·中考真題）為測量學(xué)校后山高度，數(shù)學(xué)興趣小組活動過程如下：

(1)測量坡角如圖1，后山一側(cè)有三段相對平直的山坡AB，BC，如圖2，同學(xué)們將兩根直桿MN，MP的一端放在坡面起始端A處，直桿MP沿坡面AB方向放置，在直桿MN另一端N用細線系小重物G，當(dāng)直桿MN與鉛垂線NG重合時，測得兩桿夾角α的度數(shù)，由此可得山坡AB坡角β的度數(shù)．請直接寫出(2)測量山高同學(xué)們測得山坡AB，BC，CD的坡長依次為40米，50米，40米，坡角依次為24°，30°，45°；為求BH，小熠同學(xué)在作業(yè)本上畫了一個含24°角的(3)測量改進由于測量工作量較大，同學(xué)們圍繞如何優(yōu)化測量進行了深入探究，有了以下新的測量方法．

如圖4，5，在學(xué)校操場上，將直桿NP置于MN的頂端，當(dāng)MN與鉛垂線NG重合時，轉(zhuǎn)動直桿NP，使點N，P，D共線，測得∠MNP的度數(shù)，從而得到山頂仰角β1，向后山方向前進40米，采用相同方式，測得山頂仰角β2；畫一個含β1的直角三角形，量得該角對邊和另一直角邊分別為a1厘米，b1厘米，再畫一個含β2的直角三角形，量得該角對邊和另一直角邊分別為a2厘米，b2厘米．已知桿高?題型06運用解直角三角形的知識解決實際問題1．（2024·福建·中考真題）無動力帆船是借助風(fēng)力前行的．下圖是帆船借助風(fēng)力航行的平面示意圖，已知帆船航行方向與風(fēng)向所在直線的夾角∠PDA為70°，帆與航行方向的夾角∠PDQ為30°，風(fēng)對帆的作用力F為400N．根據(jù)物理知識，F(xiàn)可以分解為兩個力F1與F2，其中與帆平行的力F1不起作用，與帆垂直的力F2儀可以分解為兩個力f1與f2,f1與航行方向垂直，被舵的阻力抵消；f2．（2024·江蘇蘇州·中考真題）圖①是某種可調(diào)節(jié)支撐架，BC為水平固定桿，豎直固定桿AB⊥BC，活動桿AD可繞點A旋轉(zhuǎn)，CD為液壓可伸縮支撐桿，已知AB=10cm，BC=20cm，(1)如圖②，當(dāng)活動桿AD處于水平狀態(tài)時，求可伸縮支撐桿CD的長度（結(jié)果保留根號）；(2)如圖③，當(dāng)活動桿AD繞點A由水平狀態(tài)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度α，且tanα=34（α3．（2024·山東濟南·中考真題）城市軌道交通發(fā)展迅猛，為市民出行帶來極大方便，某校“綜合實踐”小組想測得輕軌高架站的相關(guān)距離，數(shù)據(jù)勘測組通過勘測得到了如下記錄表：綜合實踐活動記錄表活動內(nèi)容測量輕軌高架站的相關(guān)距離測量工具測傾器，紅外測距儀等過程資料相關(guān)數(shù)據(jù)及說明：圖中點A,B,C,D，E,F在同平面內(nèi)，房頂AB，吊頂CF和地面DE所在的直線都平行，點F在與地面垂直的中軸線AE上，∠BCD=98°，∠CDE=97°,AE=8.5m成果梳理……請根據(jù)記錄表提供的信息完成下列問題：(1)求點C到地面DE的距離；(2)求頂部線段BC的長．（結(jié)果精確到0.01m，參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.259，cos15°≈0.966，tan4．（2024·四川樂山·中考真題）我國明朝數(shù)學(xué)家程大位寫過一本數(shù)學(xué)著作《直指算法統(tǒng)宗》，其中有一道與蕩秋千有關(guān)的數(shù)學(xué)問題是使用《西江月》詞牌寫的：平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，算出索長有幾？詞寫得很優(yōu)美，翻譯成現(xiàn)代漢語的大意是：有一架秋千，當(dāng)它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推進10尺（5尺為一步），秋千的踏板就和某人一樣高，這個人的身高為5尺．（假設(shè)秋千的繩索拉的很直）(1)如圖1，請你根據(jù)詞意計算秋千繩索OA的長度；(2)如圖2，將秋千從與豎直方向夾角為α的位置OA'釋放，秋千擺動到另一側(cè)與豎直方向夾角為β的地方OA″，兩次位置的高度差PQ=?．根據(jù)上述條件能否求出秋千繩索OA的長度？如果能，請用含α、QUOTE?題型07運用解直角三角形的知識解決實際問題（新考法/新情境）1．（2024·廣東·中考真題）中國新能源汽車為全球應(yīng)對氣候變化和綠色低碳轉(zhuǎn)型作出了巨大貢獻．為滿足新能源汽車的充電需求，某小區(qū)增設(shè)了充電站，如圖是矩形PQMN充電站的平面示意圖，矩形ABCD是其中一個停車位．經(jīng)測量，∠ABQ=60°，AB=5.4m，CE=1.6m，GH⊥CD，

根據(jù)以上信息回答下列問題：（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)3≈1.73(1)求PQ的長；(2)該充電站有20個停車位，求PN的長．2．（2024·貴州·中考真題）綜合與實踐：小星學(xué)習(xí)解直角三角形知識后，結(jié)合光的折射規(guī)律進行了如下綜合性學(xué)習(xí)．【實驗操作】第一步：將長方體空水槽放置在水平桌面上，一束光線從水槽邊沿A處投射到底部B處，入射光線與水槽內(nèi)壁AC的夾角為∠A；第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中點E處時，停止注水．（直線NN'為法線，AO為入射光線，【測量數(shù)據(jù)】如圖，點A，B，C，D，E，F(xiàn)，O，N，N'在同一平面內(nèi)，測得AC=20cm，∠A=45°，折射角【問題解決】根據(jù)以上實驗操作和測量的數(shù)據(jù)，解答下列問題：(1)求BC的長；(2)求B，D之間的距離（結(jié)果精確到0.1cm）．（參考數(shù)據(jù)：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84，tan32°≈0.623．（2024·四川成都·中考真題）中國古代運用“土圭之法”判別四季．夏至?xí)r日影最短，冬至?xí)r日影最長，春分和秋分時日影長度等于夏至和冬至日影長度的平均數(shù)．某地學(xué)生運用此法進行實踐探索，如圖，在示意圖中，產(chǎn)生日影的桿子AB垂直于地面，AB長8尺．在夏至?xí)r，桿子AB在太陽光線AC照射下產(chǎn)生的日影為BC；在冬至?xí)r，桿子AB在太陽光線AD照射下產(chǎn)生的日影為BD．已知∠ACB=73.4°，∠ADB=26.6°，求春分和秋分時日影長度．（結(jié)果精確到0.1尺；參考數(shù)據(jù)：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin73.4°≈0.96，

4（2024·四川廣元·中考真題）小明從科普讀物中了解到，光從真空射入介質(zhì)發(fā)生折射時，入射角α的正弦值與折射角β的正弦值的比值sinα(1)若光從真空射入某介質(zhì)，入射角為α，折射角為β，且cosα=74(2)現(xiàn)有一塊與（1）中折射率相同的長方體介質(zhì)，如圖①所示，點A，B，C，D分別是長方體棱的中點，若光線經(jīng)真空從矩形A1D1D2A2對角線交點O處射入，其折射光線恰好從點C5．（2023·甘肅武威·中考真題）如圖1，某人的一器官后面A處長了一個新生物，現(xiàn)需檢測到皮膚的距離（圖1）．為避免傷害器官，可利用一種新型檢測技術(shù)，檢測射線可避開器官從側(cè)面測量．某醫(yī)療小組制定方案，通過醫(yī)療儀器的測量獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，并利用數(shù)據(jù)計算出新生物到皮膚的距離．方案如下：課題檢測新生物到皮膚的距離工具醫(yī)療儀器等示意圖

說明如圖2，新生物在A處，先在皮膚上選擇最大限度地避開器官的B處照射新生物，檢測射線與皮膚MN的夾角為∠DBN；再在皮膚上選擇距離B處9cm的C處照射新生物，檢測射線與皮膚MN的夾角為∠ECN測量數(shù)據(jù)∠DBN=35°，∠ECN=22°，BC=9請你根據(jù)上表中的測量數(shù)據(jù)，計算新生物A處到皮膚的距離．（結(jié)果精確到0.1cm）（參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin22°≈0.376．（2024·江蘇連云港·中考真題）圖1是古代數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中對“邑的計算”的相關(guān)研究．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組也類比進行了如下探究：如圖2，正八邊形游樂城A1A2A3A4A5A6A7A8的邊長為22km，南門O設(shè)立在A6A(1)∠CA1A2=__________°(2)求點A1到道路BC(3)若該小組成員小李出南門O后沿道路MB向東行走，求她離B處不超過多少千米，才能確保觀察雕塑不會受到游樂城的影響？（結(jié)果精確到0.1km，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，sin76°≈0.97，tan76°≈4.00，第四章三角形第22講銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用（思維導(dǎo)圖+3考點+2命題點20種題型（含5種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航02知識導(dǎo)圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一銳角三角函數(shù)考點二解直角三角形考點三解直角三角形的應(yīng)用04題型精研·考向洞悉命題點一銳角三角函數(shù)?題型01理解銳角三角函數(shù)的概念?題型02求角的三角函數(shù)值?題型03由三角函數(shù)求邊長?題型04由特殊角的三角函數(shù)值求解?題型05特殊角三角函數(shù)值的混合運算?題型06根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)?題型07已知角度比較三角函數(shù)值的大小?題型08利用同角的三角函數(shù)求解?題型09利用互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系求解?題型10三角函數(shù)綜合?題型11在平面直角坐標(biāo)系中求銳角三角函數(shù)值?題型12特殊角三角函數(shù)值的另類應(yīng)用?題型13在網(wǎng)格中求銳角三角函數(shù)值命題點二解直角三角形?題型01解直角三角形的相關(guān)計算?題型02構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長或面積?題型03運用解直角三角形的知識解決視角相關(guān)問題?題型04運用解直角三角形的知識解決方向角相關(guān)問題?題型05運用解直角三角形的知識解決坡角、坡度相關(guān)問題?題型06運用解直角三角形的知識解決實際問題?題型07運用解直角三角形的知識解決實際問題（新考法/新情境）

01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航中考考點考查頻率新課標(biāo)要求三角函數(shù)值的確定★★探索并認識銳角三角函數(shù)(sinA,cosA，tanA)；知道30°,45°,60°角的三角函數(shù)值；會使用計算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它的對應(yīng)銳角.特殊角的三角函數(shù)值★解直角三角形★★能用銳角三角函數(shù)解直角三角形.解直角三角形的應(yīng)用★★能用相關(guān)知識解決一些簡單的實際問題.【考情分析】銳角三角函數(shù)值的考查多以選擇題、填空題為主，解題的一般過程是構(gòu)造直角三角形，確定相應(yīng)的邊長，利用定義求相應(yīng)的三角函數(shù)值，試題難度中等，解題關(guān)鍵是正確添加輔助線，確定合適的直角三角形.【命題預(yù)測】銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用是數(shù)學(xué)中考中比較重要的考點，其考察內(nèi)容主要包括：①考查正弦、余弦、正切的定義，②特殊角的三角函數(shù)值，③解直角三角形與其應(yīng)用等.出題時除了會單獨出題以外，還常和四邊形、圓、網(wǎng)格圖形等結(jié)合考察，是近幾年中考填空壓軸題?？碱}型.預(yù)計2025年各地中考還將以選題和綜合題的形式出現(xiàn)，在牢固掌握定義的同時，一定要理解基本的方法，利用輔助線構(gòu)造直角三角形，是得分的關(guān)鍵.02知識導(dǎo)圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一銳角三角函數(shù)1.正弦、余弦、正切正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即；余弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即；正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA，則

【注意】1）正弦、余弦、正切是在直角三角形中進行定義的，本質(zhì)是兩條線段的比，因此沒有單位，只與角的大小有關(guān)，而與直角三角形的邊長無關(guān).2）根據(jù)定義求三角函數(shù)值時，一定根據(jù)題目圖形來理解，嚴(yán)格按照三角函數(shù)的定義求解，有時需要通過輔助線來構(gòu)造直角三角形.3）表示，可以寫成，不能寫成(正弦、余弦相同).2.銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)：銳角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函數(shù)．（其中：0＜∠A＜90°）取值范圍：在Rt△ABC中，∠C=90°，由于直角邊一定比斜邊短，故有如下結(jié)論：，，.增減變化：當(dāng)0°＜∠A＜90°，sinA，tanA隨∠A的增大而增大，cosA隨∠A的增大而減小.【補充】利用銳角三角函數(shù)值的增減變化規(guī)律可比較銳角的大小.3.特殊角的三角函數(shù)值利用三角函數(shù)的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，如下表所示：三角函數(shù)值特殊角30°45°60°sinαcosαtanα14.銳角三角函數(shù)的關(guān)系：在Rt△ABC中，若∠C為直角，則∠A與∠B互余時，有以下兩種關(guān)系：1）同角三角函數(shù)的關(guān)系：①平方關(guān)系：sin2②商數(shù)關(guān)系：tanA=2)互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系：①互余關(guān)系：sinA=cos(90°-∠A)=cosB，即一個銳角的正弦值等于它的余角的余弦值.sinB=sin(90°-∠A)=cosA，即一個銳角的余弦值等于它的余角的正弦值.②倒數(shù)關(guān)系：tanA1．（2024云南真題）在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，則tanA的值為（

A．45 B．43 C．35【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可．【詳解】解：∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴tanA=故選：B．【點睛】本題考查了正切的定義，解題關(guān)鍵是理解三角函數(shù)的定義．2．（2023·江蘇蘇州·一模）化簡sin28°?cos28°A．sin28°?cosC．cos28°?sin【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出sin28°?【詳解】解：sin28°?cos28°2∵cos28°=sin∴原式=cos故選：C．【點睛】本題考查了三角函數(shù)關(guān)系，掌握三角函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．3．（2023·湖北黃石·中考真題）計算：?13【答案】9【分析】先計算零次冪、負整數(shù)指數(shù)冪和特殊角的三角函數(shù)值，再計算乘法，最后計算加減．【詳解】解：?=9+1?2×=9+1?1=9，故答案為：9．【點睛】此題考查了實數(shù)的混合運算能力，解題的關(guān)鍵是能準(zhǔn)確確定運算順序，并能進行正確地計算．4．（2023·江蘇·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，點D在邊AB上，連接CD．若BD=CD，ADBD=1

【答案】22/【分析】由題意可設(shè)AD=x，則CD=3x，AB=4x，在Rt△ADC中求得AC=22x【詳解】解：∵BD=CD，ADBD設(shè)AD=x，則BD=CD=3x，AB=4x，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC=2在Rt△ABC中，tan【點睛】本題考查的是求銳角三角函數(shù)，解題關(guān)鍵是根據(jù)比值設(shè)未知數(shù)，表示出邊長從而求出銳角三角函數(shù)值．考點二解直角三角形1.解直角三角形定義：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個元素，即三條邊和兩個銳角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形．在解直角三角形的過程中，一般要用到下面一些關(guān)系：1）直角三角形的五個元素：邊：a、b、c，角：∠A、∠B.2）三邊之間的關(guān)系：a23）兩銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°.4）邊角之間的關(guān)系：sinA=ac，sinB=bc，cosA=bc【補充】三角函數(shù)是連接邊與角的橋梁.5）面積公式（h為斜邊上的高）.2.解直角三角形的常見類型已知條件解法步驟圖示兩邊斜邊和一直角邊(如c，a)由sinA=兩直角邊(如a，b)由tanA=一邊一角斜邊和一銳角（如c，∠A）∠B=90°－∠A，一直角邊和一銳角（如a，∠A）∠B=90°－∠A，另一直角邊和一銳角（如b，∠A）∠B=90°－∠A，【注意】已知兩個角不能解直角三角形，因為有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，但不一定全等，因此其邊的大小不確定.【總結(jié)】在直角三角形中，除直角外的五個元素中，已知其中的兩個元素(至少有一條邊)，可求出其余的三個未知元素(知二求三).【已知一邊一角的記憶口訣】有斜求對用正弦，有斜求鄰用余弦，無斜求對(鄰)用正切.1．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，sinB=45，則BCA．3 B．6 C．8 D．9【答案】B【分析】本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理．正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．過點A作AD⊥BC于點D．由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出BD=CD=12BC．根據(jù)sinB=ADAB=【詳解】解：如圖，過點A作AD⊥BC于點D．∵AB=AC=5，∴BD=CD=1在Rt△ABD中，sin∴AD=4∴BD=A∴BC=2BD=6．故選B．2．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，⊙O的周長為8π，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O．則△OAB的面積為（

）

A．4 B．43 C．6 D．【答案】B【分析】本題考查正多邊形和圓，掌握正六邊形的性質(zhì)，解直角三角形是正確解答的關(guān)鍵．根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及解直角三角形進行計算即可．【詳解】解：設(shè)半徑為r，由題意得，2πr=8π，解得r=4，∵六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，∴∠AOB=360°∵OA=OB，∴△AOB是正三角形，∴OAB=60°，∴弦AB所對應(yīng)的弦心距為OA·sin∴S△AOB故選：B．3．（2024·江蘇南通·中考真題）若菱形的周長為20cm，且有一個內(nèi)角為45°，則該菱形的高為cm【答案】5【分析】本題考查的是菱形的性質(zhì)，銳角的正弦的含義，先畫圖，求解EF=EH=5cm，過E作FI⊥EH于H，結(jié)合∠E=45°【詳解】解：如圖，菱形EFGH的周長為20cm∴EF=EH=5cm過E作FI⊥EH于H，而∠E=45°，∴FI=EF?sin故答案為：54．（2023·青海西寧·中考真題）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=12，∠A=42°，則BC的長約為．（結(jié)果精確到0.1．參考數(shù)據(jù)：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74【答案】8.0【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=12，∠A=42°

∵sinA=∴sin42°=則BC=12sin故選：8.0【點睛】此題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．5．（2024·浙江·中考真題）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC邊上的中線，AB=10,AD=6,tan(1)求BC的長；(2)求sin∠DAE【答案】(1)14(2)37【分析】本題考查了三角形的高、中線的定義，勾股定理，解直角三角形，分別解Rt△ADC與Rt△ADB，得出DC=6，（1）先由三角形的高的定義得出∠ADB=∠ADC=90°，再利用tan∠ACB=1得出DC=6；在Rt△ADB，根據(jù)勾股定理求出DB=8，然后根據(jù)（2）先由三角形的中線的定義求出BE的值，則DE=BD?BE，然后在Rt△ADE【詳解】（1）解：在Rt△ABD中，AB=10,AD=6∴BD=AB在Rt△ADC中，tan∴DC=6，∴BC=BD+DC=8+6=14；（2）∵AE是BC邊上的中線，∴BE=1∴DE=BD?BE=8?7=1，∴AE=AD∴sin∠DAE=QUOTEQUOTE考點三解直角三角形的應(yīng)用1）仰角、俯角視角：視線與水平線的夾角叫做視角．仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角．俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角．【注意】仰角和俯角是相對于水平線而言的，在不同的位置觀測，仰角和俯角是不同的.2）坡度、坡角坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i=h坡角：坡面與水平面的夾角α叫做坡角.【注意】坡度與坡角是兩個不同的概念，坡角是兩個面的夾角，坡度(用字母i表示)是比；兩者之壓間的關(guān)系是i=h3）方位角、方向角方位角：從某點的指北方向線按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標(biāo)方向PA，PB，PC的方位角分別為是40°，135°，245°.方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標(biāo)方向線OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30°，南偏東45°，南偏西80°，北偏西60°.特別如：東南方向指的是南偏東45°，東北方向指的是北偏東45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°4）解直角三角形實際應(yīng)用的一般步驟①弄清題中名詞、術(shù)語，根據(jù)題意畫出圖形，建立數(shù)學(xué)模型；②將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題；當(dāng)有些圖形不是直角三角形時，可適當(dāng)添加輔助線，把它們分割成直角三角形或矩形.③選擇合適的邊角關(guān)系式，使運算簡便、準(zhǔn)確；④得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，從而得到問題的解．【常見類型】航海、建橋修路、測量樓高、塔高等.1．（2024·四川·中考真題）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東37°方向，距離燈塔100海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處．這時，B處距離A處有多遠？（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，【答案】B處距離A處有140海里．【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用?方向角問題．過P作PC⊥AB于C，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】解：過P作PC⊥AB于C，在Rt△APC中，∠A=37°，AP=100∴PC=AP?sinAC=AP?cos在Rt△PBC中，∵∠B=45°∴BC=PC=60（海里），∴AB=AC+BC=80+60=140（海里），答：B處距離A處有140海里．2．（2024·江蘇南通·中考真題）社團活動課上，九年級學(xué)習(xí)小組測量學(xué)校旗桿的高度．如圖，他們在B處測得旗桿頂部A的仰角為60°，BC=6m，則旗桿AC的高度為【答案】6【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，直接利用銳角三角函數(shù)，求出AC的值即可．【詳解】解：由題意：∠C=90°,∠B=60°,BC=6，∴AC=BC?tan故答案為：633．（2023·湖北·中考真題）為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD，斜面坡度i=3:4是指坡面的鉛直高度AF與水平寬度BF的比．已知斜坡CD長度為20米，∠C=18°，求斜坡AB的長．（結(jié)果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：sin18°≈0.31,

【答案】斜坡AB的長約為10米【分析】過點D作DE⊥BC于點E，在Rt△DEC中，利用正弦函數(shù)求得DE=6.2，在Rt【詳解】解：過點D作DE⊥BC于點E，則四邊形ADEF是矩形，在Rt△DEC中，CD=20DE=CD?sin∴AF=DE=6.2．∵AFBF∴在Rt△ABF中，AB=答：斜坡AB的長約為10米．【點睛】此題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．04題型精研·考向洞悉命題點一銳角三角函數(shù)?題型01理解銳角三角函數(shù)的概念1．（2024廣州市模擬）在Rt△ABC中，∠C=90°，各邊都擴大2倍，則銳角A的三角函數(shù)值（

A．?dāng)U大2倍 B．不變 C．縮小12 D．?dāng)U大【答案】B【分析】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，三角形相似的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)的定義，三角形相似的判定和性質(zhì)，根據(jù)三角形相似的判定，可以確定各邊擴大后的三角形與原三角形相似，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知銳角A的度數(shù)不變，所以銳角A對應(yīng)的三角函數(shù)值就不變．【詳解】解：因為各邊擴大后的三角形與原三角形相似，銳角A的度數(shù)不變，銳角A對應(yīng)的三角函數(shù)值就不變．故選：B．2．（2024宣化區(qū)一模）如圖，梯子（長度不變）跟地面所成的銳角為∠α，敘述正確的是（）A．sinα的值越大，梯子越陡B．cosαC．tanαD．陡緩程度與∠α的函數(shù)值無關(guān)【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義與性質(zhì)，sinα值越大∠α越大；cosα值越小∠α越大；tanα本題考查三角函數(shù)定義與性質(zhì)，熟記“sinα值越大∠α越大；cosα值越小∠α越大；tanα【詳解】解：A、sinαB、cosαC、tanαD、陡緩程度與的三角函數(shù)值有關(guān)，故D不符合題意．故選：A．3．（2022·吉林長春·中考真題）如圖是長春市人民大街下穿隧道工程施工現(xiàn)場的一臺起重機的示意圖，該起重機的變幅索頂端記為點A，變幅索的底端記為點B，AD垂直地面，垂足為點D，BC⊥AD，垂足為點C．設(shè)∠ABC=α，下列關(guān)系式正確的是（

）A．sinα=ABBC B．sinα=BCAB【答案】D【分析】根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義判斷即可．【詳解】∵BC⊥AC，∴△ABC是直角三角形，∵∠ABC=α，∴sinα=故選：D．【點睛】本題考查了正弦三角函數(shù)的定義．在直角三角形中任意銳角∠A的對邊與斜邊之比叫做∠A的正弦，記作sin∠A．掌握正弦三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．QUOTEQUOTEQUOTE?題型02求角的三角函數(shù)值求銳角的三角函數(shù)值時，先確定銳角在哪個直角三角形中,，若已知三邊，則直接利用定義求解；如果已知兩邊，則利用勾股定理求出第三邊，然后利用定義求解.1．（2024·浙江寧波·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanB=43，則A．34 B．35 C．45【答案】B【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系等知識點，能熟記銳角三角函數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵；根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出tanB=ACBC=43，設(shè)【詳解】解：∵tan∴設(shè)AC=4x，BC=3x，由勾股定理得：AB=(4x)∴sin故選：B．2．（2023·四川內(nèi)江·中考真題）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，且滿足a2+|c?10|+b?8=12a?36，則【答案】45/【分析】由a2+|c?10|+b?8=12a?36，可得a?62【詳解】解：∵a2∴a2∴a?62∴a?6=0，c?10=0，b?8=0，解得：a=6,b=8,c=10，∴a2∴∠C=90°，∴sinB=故答案為：45【點睛】本題考查的是利用完全平方公式分解因式，算術(shù)平方根，絕對值，偶次方的非負性，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，銳角的正弦的含義，證明∠C=90°是解本題的關(guān)鍵．3．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，對角線BD的垂直平分線分別交邊AB、CD于點E、F．若AD=8，BE=10，則tan∠ABD=【答案】1【分析】本題主要考查三角形相似的判定和性質(zhì)以及勾股定理，熟練掌握三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．設(shè)EF與BD相交于點O，證明△BOE∽△BAD，根據(jù)相似的性質(zhì)進行計算即可；【詳解】解：BD的垂直平分線分別交邊AB、CD于點E、F．∴EF⊥BD，BO=1∴∠BOE=∠A=90°，∵∠ABD=∠ABD，∴△BOE∽△BAD，∴BE∵AD=8，BE=10，BO=1∴10∴OE?BO=40，∵OE令OE=x,OB=y，xy=40x解得x=25y=45∴tan故答案為：124．（2022·湖北十堰·中考真題）如圖，△ABC中，AB=AC，D為AC上一點，以CD為直徑的⊙O與AB相切于點E，交BC于點F，F(xiàn)G⊥AB，垂足為G．(1)求證：FG是⊙O的切線；(2)若BG=1，BF=3，求CF的長．【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）連接DF,OF，設(shè)∠ODF=∠OFD=β，∠OFC=α，根據(jù)已知條件以及直徑所對的圓周角相等，證明α+β=90°，進而求得∠DFG=α,∠DFO=β，即可證明FG是⊙O的切線；（2）根據(jù)已知條件結(jié)合（1）的結(jié)論可得四邊形GEOF是正方形，進而求得DC的長，根據(jù)∠BFG=∠FDC=β，sinβ=【詳解】（1）如圖，連接DF,OF，∵OF=OD，則∠ODF=∠OFD，設(shè)∠ODF=∠OFD=β，∠OFC=α，∵OF=OC，∴∠OFC=∠OCF=α，∵DC為⊙O的直徑，∴∠DFC=90°，∴∠DFO+OFC=∠DFC=90°，即α+β=90°，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=α，∵FG⊥AB，∴∠GFB=90°?∠B=90°?α=β，∵∠DFB=∠DFC=90°，∴∠DFG=90°?∠GFB=90°?β=α，∴∠GFO=GFD+DFO=α+β=90°，∵OF為⊙O的半徑，∴FG是⊙O的切線；（2）如圖，連接OE，∵AB是⊙O的切線，則OE⊥AB，又OF⊥FG,FG⊥AB，∴四邊形GEOF是矩形，∵OE=OF，∴四邊形GEOF是正方形，∴GF=OF=1在Rt△GFB中，BG=1，BF=3∴FG=B∴DC=42由（1）可得∠BFG=∠FDC=β，∵FG⊥AB,DF⊥FC，∴sin∴13解得FC=4【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，正弦的定義，掌握切線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．5．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，已知AB為⊙O的直徑，點C為⊙O外一點，AC=BC，連接OC，DF是AC的垂直平分線，交OC于點F，垂足為點E，連接AD、CD，且∠DCA=∠OCA．

(1)求證：AD是⊙O的切線；(2)若CD=6，OF=4，求cos∠DAC【答案】(1)見解析(2)30【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得CO⊥AB,由線段垂直平分線的性質(zhì)可得∠DAC=∠DCA,由∠DCA=∠OCA可得∠DAC=∠OCA,證明AD//OC，從而可得結(jié)論；（2）連接AF，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AF=AD=CD=CF=6,再由勾股定理求出相關(guān)線段長即可．【詳解】（1）∵O為圓心，∴OA=OB，∵AC=BC，∴CO⊥AB,即∠COA=∠COB=∵DF是AC的垂直平分線，∴AD=CD,∴∠DAC=∠DCA,∵∠DCA=∠OCA,∴∠DAC=∠OCA,∴AD∥OC,∴∠DAO=∠COB=90°又AB是圓O的直徑，∴AD是⊙O的切線；（2）連接AF，如圖，

由（1）知，AD=CD,AE=CE,∵∠DCA=∠OCA,DF⊥AC,∴CD=CF,AF=AD.∴AF=AD=CD=CF=6,在RtΔAOF∴AO=在RtΔA