第五章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（知識(shí)歸納+題型突破）（解析版）【認(rèn)準(zhǔn)唯一售后微信：duo1413159】-1

第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（知識(shí)歸納+題型突破）1、抽象概括能力：能通過(guò)平均速度的極限是瞬時(shí)速度，函數(shù)圖象的割線(xiàn)斜率的極限是切線(xiàn)的斜率，抽象出函數(shù)的平均變化率的極限是瞬時(shí)變化率，并進(jìn)一步抽象出導(dǎo)數(shù)的概念.2、推理論證能力：能利用導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)的單調(diào)性、極值、最大(小)值等性質(zhì)進(jìn)行分析、判斷或求解；能準(zhǔn)確使用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)術(shù)語(yǔ)和數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)，解決與函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題.3、運(yùn)算求解能力：能根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算導(dǎo)數(shù)；能通過(guò)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、解不等式等數(shù)學(xué)運(yùn)算來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值和最大(小)值.4、直觀(guān)想象能力：能借助函數(shù)的圖象直觀(guān)認(rèn)識(shí)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)畫(huà)出簡(jiǎn)單函數(shù)的圖象，并由圖象進(jìn)一步認(rèn)識(shí)函數(shù)的性質(zhì).5、數(shù)學(xué)建模能力：能借助導(dǎo)數(shù)提升對(duì)函數(shù)模型的認(rèn)識(shí)；能合理選擇函數(shù)模型，解決增長(zhǎng)率和優(yōu)化等實(shí)際問(wèn)題.1、曲線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題（1）在型求切線(xiàn)方程已知：函數(shù)的解析式.計(jì)算：函數(shù)在或者處的切線(xiàn)方程.步驟：第一步：計(jì)算切點(diǎn)的縱坐標(biāo)（方法：把代入原函數(shù)中），切點(diǎn).第二步：計(jì)算切線(xiàn)斜率.第三步：計(jì)算切線(xiàn)方程.切線(xiàn)過(guò)切點(diǎn)，切線(xiàn)斜率。根據(jù)直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程得到切線(xiàn)方程：.（2）過(guò)型求切線(xiàn)方程已知：函數(shù)的解析式.計(jì)算：過(guò)點(diǎn)（無(wú)論該點(diǎn)是否在上）的切線(xiàn)方程.步驟：第一步：設(shè)切點(diǎn)第二步：計(jì)算切線(xiàn)斜率；計(jì)算切線(xiàn)斜率；第三步：令：，解出，代入求斜率第三步：計(jì)算切線(xiàn)方程.根據(jù)直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程得到切線(xiàn)方程：.2、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)(為常數(shù))3、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則（1）兩個(gè)函數(shù)和的和（或差）的導(dǎo)數(shù)法則：.（2）對(duì)于兩個(gè)函數(shù)和的乘積（或商）的導(dǎo)數(shù)，有如下法則：；.（3）由函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)法則可以得出，也就是說(shuō)，常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的積，即4、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為，即對(duì)的導(dǎo)數(shù)等于對(duì)的導(dǎo)數(shù)與對(duì)的導(dǎo)數(shù)的乘積．5、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系（導(dǎo)函數(shù)看正負(fù)，原函數(shù)看增減）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，(1)若，則在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；(2)若，則在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)；(3)若恒有，則在區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù)．注意：討論函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的實(shí)質(zhì)是解不等式，求解時(shí)，要堅(jiān)持“定義域優(yōu)先”原則條件恒有結(jié)論函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)在內(nèi)單調(diào)遞增在內(nèi)單調(diào)遞減在內(nèi)是常數(shù)函數(shù)6、求已知函數(shù)（不含參）的單調(diào)區(qū)間①求的定義域②求③令，解不等式，求單調(diào)增區(qū)間④令，解不等式，求單調(diào)減區(qū)間注：求單調(diào)區(qū)間時(shí)，令（或）不跟等號(hào).7、由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法（1）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)①已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，恒成立.②已知在區(qū)間上單調(diào)遞減，恒成立.注：已知單調(diào)性，等價(jià)條件中的不等式含等號(hào).（2）已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間①已知在區(qū)間上存在單調(diào)增區(qū)間使得有解②已知在區(qū)間上存在單調(diào)減區(qū)間使得有解（3）已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，使得有變號(hào)零點(diǎn)8、函數(shù)的極值一般地，對(duì)于函數(shù)，（1）若在點(diǎn)處有，且在點(diǎn)附近的左側(cè)有，右側(cè)有，則稱(chēng)為的極小值點(diǎn)，叫做函數(shù)的極小值.（2）若在點(diǎn)處有，且在點(diǎn)附近的左側(cè)有，右側(cè)有，則稱(chēng)為的極大值點(diǎn)，叫做函數(shù)的極大值．（3）極小值點(diǎn)與極大值點(diǎn)通稱(chēng)極值點(diǎn)，極小值與極大值通稱(chēng)極值.注：極大（?。┲迭c(diǎn)，不是一個(gè)點(diǎn)，是一個(gè)數(shù).9、函數(shù)的最大（?。┲狄话愕兀绻趨^(qū)間上函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線(xiàn)，那么它必有最大值與最小值.設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，求在上的最大值與最小值的步驟為：（1）求在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.題型一導(dǎo)數(shù)定義的理解【例1】（2023·上海青浦·統(tǒng)考一模）若函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)等于，則的值為（

）.A． B． C． D．【答案】C【詳解】由已知得，故選：C.反思總結(jié):導(dǎo)數(shù)定義理解特別注意自變量改變量，本例中自變量從變化到，自變量改變量為鞏固訓(xùn)練1．（2023·吉林長(zhǎng)春·長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）利用導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算值為（

）A．1 B． C．0 D．2【答案】B【詳解】依題意，令函數(shù)，求導(dǎo)得，所以.故選：B2．（2023上·浙江寧波·高二鎮(zhèn)海中學(xué)?？计谥校┰O(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)且，則．【答案】【詳解】由.故答案為：.題型二復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例2】（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）寫(xiě)出下列函數(shù)的中間變量，并利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則分別求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)，(2)，3)，(4)，【詳解】（1）令，因?yàn)椋?（2）令，因?yàn)椋?（3）令，因?yàn)椋?（4）令，因?yàn)椋?反思總結(jié)：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為，即對(duì)的導(dǎo)數(shù)等于對(duì)的導(dǎo)數(shù)與對(duì)的導(dǎo)數(shù)的乘積．解題時(shí)注意換元法的應(yīng)用。鞏固訓(xùn)練1．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【詳解】（1）解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，由，可得.（2）解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，由，可得.（3）解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，由，可得.（4）解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，由，可得.題型三求切線(xiàn)方程（在型）【例3】（2024上·安徽·高三合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.【答案】（其他形式的答案只要正確也可）【詳解】由題意得，，所以，解得，故，則，所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即.故答案為：反思總結(jié)：切線(xiàn)問(wèn)題注意判斷“在型”和“過(guò)型”的區(qū)別；其中“在型”表示已知點(diǎn)就是切點(diǎn)；鞏固訓(xùn)練1．（2023上·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以切線(xiàn)方程為，即．故選：D.2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象在處的切線(xiàn)方程為．【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，的圖象在處的切線(xiàn)斜率為，又，所以切點(diǎn)為，所以的圖象在處的切線(xiàn)方程為：，即．故答案為：.題型四求切線(xiàn)方程（過(guò)型）【例4】（2023·全國(guó)·高二課堂例題）寫(xiě)出過(guò)點(diǎn)，并且和曲線(xiàn)相切的直線(xiàn)方程．【答案】和【詳解】當(dāng)時(shí)，上式化為，這樣的曲線(xiàn)不存在，故，所以曲線(xiàn)化為，其導(dǎo)函數(shù)為設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切于點(diǎn)，則切線(xiàn)的斜率為所以切線(xiàn)方程為由切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以，解得或當(dāng)時(shí)，切線(xiàn)方程為：當(dāng)時(shí)，切線(xiàn)方程為：因此，過(guò)點(diǎn)A有兩條切線(xiàn)，方程分別為和，如圖所示．

反思總結(jié):切線(xiàn)問(wèn)題注意判斷“在型”和“過(guò)型”的區(qū)別；其中“過(guò)型”已知點(diǎn)一般當(dāng)做非切點(diǎn)處理；鞏固訓(xùn)練1．（2023下·北京·高二北京市第十二中學(xué)?？计谀┻^(guò)點(diǎn)作曲線(xiàn)的切線(xiàn)l，則l的方程為．【答案】【詳解】設(shè)曲線(xiàn)的切點(diǎn)為，又，所以切線(xiàn)斜率，所以切線(xiàn)方程為，即，又因?yàn)榍芯€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以切點(diǎn)，所以切線(xiàn)l的方程為：.故答案為：.2．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）求過(guò)且與曲線(xiàn)相切的直線(xiàn)方程．【答案】或.【詳解】點(diǎn)不在曲線(xiàn)上，點(diǎn)不是切點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)是，由，可得，，即，解得或，切線(xiàn)的斜率或，切線(xiàn)的方程是或，即或.題型五利用相切關(guān)系求最小距離【例5】（2023下·四川達(dá)州·高二統(tǒng)考期末）已知是曲線(xiàn)上的點(diǎn)，是曲線(xiàn)上的點(diǎn)，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【詳解】要恒成立即求的最小值，因?yàn)榍€(xiàn)與曲線(xiàn)互為反函數(shù)，所以圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，又是曲線(xiàn)上的點(diǎn)，是曲線(xiàn)上的點(diǎn)，所以的最小值為曲線(xiàn)上的點(diǎn)到于直線(xiàn)的距離的兩倍，由，設(shè)與直線(xiàn)的平行且在上的切點(diǎn)為：，則，即，所以曲線(xiàn)上切點(diǎn)為，所以到直線(xiàn)的距離的最小值即為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最小值，即，所以，所以，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是：.故答案為：反思總結(jié)：最小距離問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為相切問(wèn)題，求出切線(xiàn)到直線(xiàn)距離即為最小值，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求解；鞏固訓(xùn)練1．（2024上·貴州黔東南·高三天柱民族中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)P在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)Q在函數(shù)的圖象上，則的最小值為.【答案】【詳解】

由函數(shù)，求導(dǎo)可得：，則，在處的切線(xiàn)方程為，整理可得：；由函數(shù)，求導(dǎo)可得：，則，在處的切線(xiàn)方程為，整理可得；由直線(xiàn)的斜率，易知：直線(xiàn)分別與兩條切線(xiàn)垂直..故答案為：.題型六函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象間的關(guān)系【例6】（2023下·福建莆田·高二統(tǒng)考期末）某同學(xué)利用電腦軟件將函數(shù)，的圖象畫(huà)在同一直角坐標(biāo)系中，得到如圖的“心形線(xiàn)”.觀(guān)察圖形，當(dāng)時(shí)，的導(dǎo)函數(shù)的圖象大致為（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【詳解】，，所以軸下方的圖象為函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，故排除CD；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，時(shí)，函數(shù)圖象上每點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率應(yīng)先變小，再增大，故排除B，只有A正確.故選：A反思總結(jié)：導(dǎo)函數(shù)看正負(fù)，原函數(shù)看增減；鞏固訓(xùn)練1．（2022上·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）為的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】導(dǎo)數(shù)正負(fù)決定函數(shù)的增減，根據(jù)導(dǎo)數(shù)先正，后負(fù)，后正，所以函數(shù)圖像先增后減再增，應(yīng)從B，C中選取，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切線(xiàn)斜率，所以當(dāng)是很大的正數(shù)的時(shí)候?qū)?shù)越來(lái)越大，即切線(xiàn)斜率越來(lái)越大，所以應(yīng)選B，不選C.故選：B.2．（2022下·廣東東莞·高二統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖象如下圖，則函數(shù)的圖象可能為A． B．C． D．【答案】C【詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，函數(shù)的符號(hào)從左至右依次為負(fù)、正、負(fù)，則函數(shù)的單調(diào)性從左至右依次為減、增、減，排除A、B選項(xiàng)；由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，函數(shù)為偶函數(shù)，即，構(gòu)造函數(shù)，則，所以，（為常數(shù)），則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，排除D選項(xiàng).故選：C.題型七已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，求參數(shù)【例7】（2023上·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若函數(shù)的圖象在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的最小值為．【答案】【詳解】因?yàn)椋裕傻膱D象在區(qū)間上單調(diào)遞增，可知不等式即在區(qū)間上恒成立．令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，故要使在上恒成立，只需．由，解得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為，則a的最小值為．故答案為：反思總結(jié)：已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)①已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，恒成立.②已知在區(qū)間上單調(diào)遞減，恒成立.注：已知單調(diào)性，等價(jià)條件中的不等式含等號(hào).鞏固訓(xùn)練1．（2023上·安徽亳州·高三蒙城縣第六中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是：.【答案】【詳解】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，，故，即，即a的最小值為.故a的取值范圍是.故答案為：2．（2023下·廣東廣州·高二廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是．【答案】【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，依題意，，，即恒成立，顯然函數(shù)是開(kāi)口向上的二次函數(shù)，因此，解得，所以的取值范圍是.故答案為：題型八已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)【例8】（2022下·安徽六安·高二校聯(lián)考期末）若函數(shù)存在增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．【答案】C【詳解】若函數(shù)不存在增區(qū)間，則函數(shù)單調(diào)遞減，此時(shí)在區(qū)間恒成立，可得，則，可得，故函數(shù)存在增區(qū)間時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選C.反思總結(jié)：已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間①已知在區(qū)間上存在單調(diào)增區(qū)間使得有解②已知在區(qū)間上存在單調(diào)減區(qū)間使得有解鞏固訓(xùn)練1．（2022上·山西運(yùn)城·高二統(tǒng)考期末）若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間,則實(shí)數(shù)b的取值范圍為A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：由，可得，由題意可得存在，使得，即存在，使得，等價(jià)于，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)易得，故選B.2．（2022下·江西·高二?？计谥校┮阎瘮?shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意得：函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間當(dāng)時(shí)，有解，即當(dāng)時(shí)，有解等價(jià)于在上有解令，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

；本題正確選項(xiàng)：題型九已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求參數(shù)【例9】（2023下·上海松江·高二上海市松江一中?？计谀┖瘮?shù)在上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上不單調(diào)，所以在內(nèi)有實(shí)數(shù)根，且無(wú)重根，即有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根在區(qū)間內(nèi)，①若，則，，方程的兩個(gè)實(shí)根0和4均不在區(qū)間內(nèi)，所以；②若，則，，方程在區(qū)間內(nèi)有實(shí)根，所以可以為；③若方程有一個(gè)實(shí)根在區(qū)間內(nèi)，另一個(gè)實(shí)根在區(qū)間外，則，即，；④若方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則：，∴，∴；綜合①②③④得的取值范圍是．故答案為：反思總結(jié)：已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，使得有變號(hào)零點(diǎn)鞏固訓(xùn)練1．（2023上·四川瀘州·高一校聯(lián)考期中）“函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分且必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】因?yàn)榈膶?duì)稱(chēng)軸為，所以由題意知，，解得，又，所以“在區(qū)間上不單調(diào)”是“”的必要不充分條件.故選：B.2．（多選）（2023上·福建泉州·高一福建省南安市僑光中學(xué)校考階段練習(xí)）若函數(shù)在上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A．-6 B．-4 C．0 D．4【答案】BC【詳解】函數(shù)圖像開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，若函數(shù)在上不單調(diào)，則故選：BC.題型十含參問(wèn)題討論單調(diào)性【例10】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)（，），討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】答案見(jiàn)解析【詳解】因?yàn)?，其定義域?yàn)椋?，?dāng)，即時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，由得：，所以在上單調(diào)遞增，得：，所以在上單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【例11】（2023上·四川南充·高三四川省南部中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】(1)答案見(jiàn)解析【詳解】（1），的定義域?yàn)椋佼?dāng)即時(shí)，在上遞減，在上遞增，②即時(shí)，在和上遞增，在上遞減.【例12】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】(1)答案見(jiàn)解析【詳解】（1），，①當(dāng)時(shí)，，在遞增；②當(dāng)時(shí)，令，即且．令兩根，則上，上，所以在遞減，在遞增．綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在遞減，在遞增；反思總結(jié)：含參數(shù)單調(diào)區(qū)間討論問(wèn)題①注意定義域；②求導(dǎo)后有分母通分；③導(dǎo)函數(shù)能因式分解則因式分解；④導(dǎo)函數(shù)為二次不可因式分解則使用法討論；鞏固訓(xùn)練1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，判斷函數(shù)的單調(diào)性.【答案】答案見(jiàn)解析【詳解】由函數(shù)，可得定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，則，令，解得；令，可得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，可得；令，可得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，可得或；令，可得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，可得或；令，可得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，.綜述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.2．（2023上·河北承德·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；【答案】(1)答案見(jiàn)解析【詳解】（1），所以，令，得．當(dāng)時(shí)，；；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，；；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．3．（2023上·廣西河池·高三貴港市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】(1)答案見(jiàn)解析【詳解】（1），，；①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，令，解得：或；若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；若，則在上恒成立，在上單調(diào)遞增；若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.題型十一函數(shù)圖象與極值（點(diǎn)）的關(guān)系【例13】（2023下·湖北武漢·高二華中師大一附中校考期中）設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（

）A．有三個(gè)極值點(diǎn) B．為函數(shù)的極大值C．有一個(gè)極大值 D．為的極小值【答案】C【詳解】解：，并結(jié)合其圖象，可得到如下情況，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；∴在取得極小值，在處取得極大值，只有兩個(gè)極值點(diǎn)，故A、B、D錯(cuò)，C正確；故選:C.反思總結(jié)：極值點(diǎn)是導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，注意一定要是變號(hào)零點(diǎn)；鞏固訓(xùn)練1．（多選）（2022下·遼寧錦州·高二統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域?yàn)?，它的?dǎo)函數(shù)的部分圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．是的極小值點(diǎn)C．函數(shù)在上有極大值 D．是的極大值點(diǎn)【答案】AD【詳解】由的圖象可知：當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，因此有，是的極大值點(diǎn)，所以選項(xiàng)A、D正確；當(dāng)，或時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上沒(méi)有極大值，且不是的極小值點(diǎn)，所以選項(xiàng)B、C不正確，故選：AD2．（多選）（2022下·福建漳州·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（

）A．函數(shù)在上遞減，在上遞減B．函數(shù)在上遞增，在上遞增C．函數(shù)有極大值和極小值D．函數(shù)有極大值和極小值【答案】BD【詳解】解：由圖可知：當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增；故函數(shù)在時(shí)取得極大值，在時(shí)取得極小值，即函數(shù)有極大值和極小值；故選：BD．題型十二求已知函數(shù)的極值（點(diǎn)）【例14】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，求的極值.【答案】極小值為，無(wú)極大值【詳解】因?yàn)?，則，解得，因?yàn)椋傻?，所以，則，可得，由，可得；由，可得.所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，極小值為，無(wú)極大值.反思總結(jié)：求極值點(diǎn)注意在定義域內(nèi)求解，并結(jié)合圖象；鞏固訓(xùn)練1．（2023上·江蘇淮安·高三金湖中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，若不等式的解集為且，則函數(shù)的極小值是（

）A． B．0 C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁榍遥?，且為的二重根，所以，則，則當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極小值，即.故選：C2．（2023上·山西臨汾·高三山西省臨汾市第三中學(xué)校校聯(lián)考期中）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的極小值為（

）A．2 B．1 C．0 D．-1【答案】A【詳解】函數(shù)，由在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)在處取極小值，所以有，由，得，解得，則有，由，得只有一個(gè)根，且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；故當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足題意，所以有極小值，且極小值.故選：A.題型十三根據(jù)函數(shù)的極值（點(diǎn)）求參數(shù)【例15】（2023上·北京朝陽(yáng)·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù).(1)求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；(2)若函數(shù)在處取得極小值，求的值，并說(shuō)明理由.(3)若存在正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，都有，求的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）因?yàn)?，則，，故，所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為（2）由（1）知，函數(shù)在處取得極小值，所以，此時(shí)，所以，設(shè)，則因在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，滿(mǎn)足題意，故，反思總結(jié)：根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)求參數(shù)，如果有多解，請(qǐng)一定記住回代檢驗(yàn)答案；鞏固訓(xùn)練1．（2023上·寧夏石嘴山·高三平羅中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，則，，當(dāng)時(shí)，令得或，令得，此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，符合是函數(shù)的極大值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)不存在極值點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，令得或，令得，此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，符合是函數(shù)的極小值點(diǎn)，不符合題意；綜上，要使函數(shù)在處取到極大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.2．（2023上·陜西西安·高二西安市鐵一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)在上有小于0的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此為的極值小點(diǎn)，于是，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：題型十四求函數(shù)的最值【例16】（2023上·江西·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，，直線(xiàn)與曲線(xiàn)，都相切.(1)求實(shí)數(shù)，的值；(2)記，求的最值.【答案】(1)，(2)無(wú)最大值，有最小值為.【詳解】（1）設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)的切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，故，所以切點(diǎn)為，故，設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)的切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，解得，所以切點(diǎn)為，故，即；（2）由（1）知：，，則，（），所以，令，易知均在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，又，，故存在，使得，即，，當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞增，所以無(wú)最大值，有最小值為.【例17】（2023上·海南省直轄縣級(jí)單位·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)求在上的最小值．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，則．當(dāng)時(shí)，在上恒成立，故此時(shí)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由，得,由，得，故此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，所以；當(dāng)時(shí)，(i)若，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，；(ii)若，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，；(iii)若，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，．綜上所述，．反思總結(jié)：函數(shù)在閉區(qū)間上一定有最值，在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處取得，解題時(shí)比較極值和端點(diǎn)值的大小即可；鞏固訓(xùn)練1．（2023下·遼寧沈陽(yáng)·高二東北育才學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求極值：(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值．【答案】(1)的極大值為，極小值為(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故在處取得極大值，在處取得極小值，綜上，的極大值為，極小值為；（2），，故，，令得或，因?yàn)?，?dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，，所以，所以；?dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，，所以；綜上：2．（2023上·遼寧·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；(2)求在上的最值.【答案】(1)(2)最大值為，最小值為【詳解】（1）因?yàn)?，所以，則，，故曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為（2）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)，為在區(qū)間的極大值且為最大值，又，，，所以在上的最大值為，最小值為.題型十五根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)【例18】（2023·四川瀘州·統(tǒng)考一模）已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．(1)求的值；(2)若函數(shù)在上存在最小值，求的取值范圍．【答案】(1)12(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)槭呛瘮?shù)函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，，此時(shí)，所以在上，在上，在上，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)為函數(shù)極值點(diǎn)，故所求的值為12.（2）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，因?yàn)?，所以，所以，所以的取值范?反思總結(jié)：函數(shù)在閉區(qū)間上一定有最值，在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處取得，解題時(shí)比較極值和端點(diǎn)值的大小即可；鞏固訓(xùn)練1．（2023·廣東·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)的最小值為0，則a的值為.【答案】/0.5【詳解】由，且，令，則，即在上遞增，所以在上遞增，又，，，，所以，使，且時(shí)，，時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以由，得，令函數(shù)，，所以在上是增函數(shù)，注意到，所以，所以.故答案為：2．（2024上·四川綿陽(yáng)·高三四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，其中a是正數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為，求a的取值范圍．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）因?yàn)椋裕佼?dāng)時(shí)，，在上嚴(yán)格遞增；②當(dāng)時(shí)，由得或，由得，所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，由得或，由得，所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）由（1）可知①當(dāng)時(shí)，，在上嚴(yán)格遞增，此時(shí)在上的最大值為；②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；在上的最大值只有可能是或，因?yàn)樵谏系淖畲笾禐?，所以，解得，此時(shí)；③當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；在上的最大值可能是或，因?yàn)樵谏系淖畲笾禐?，所以，解得，此時(shí)，由①②③得，，∴滿(mǎn)足條件的a的取值范圍是．題型十六利用導(dǎo)函數(shù)解決不等式的恒成立問(wèn)題【例19】（2023上·山東棗莊·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，．(1)若的最大值是0，求的值；(2)若對(duì)任意，恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）的定義域?yàn)?，．若，則，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，無(wú)最大值；若，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，也是最大值，為，解得，顯然符合題意，所以的值為（2）對(duì)任意恒成立，即在上恒成立．設(shè)，則．設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，且，，所以有唯一零點(diǎn)，且，所以．構(gòu)造函數(shù)，則.又函數(shù)在上是增函數(shù)，所以．由在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，得，所以，所以的取值范圍是反思總結(jié)：恒成立問(wèn)題優(yōu)先考慮變量分離法法，在分離變量時(shí)注意變量的正負(fù)，不等號(hào)是否改變；鞏固訓(xùn)練1．（2024上·重慶·高三重慶巴蜀中學(xué)校考期中）已知函數(shù).(1)若求曲線(xiàn)f(x)在處的切線(xiàn)方程；(2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求a的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，，則，所以曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為，即.（2）不等式可整理為，令，，所以當(dāng)，單調(diào)遞增，當(dāng)，單調(diào)遞減，所以，又，所以令，則，令，則，令，則，令，則，所以單調(diào)遞減，，所以，單調(diào)遞減，，所以，所以，，所以單調(diào)遞減，，所以.2．（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)在時(shí)有極小值.曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.(1)求的值；(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意，，在中，，在時(shí)有極小值.曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.∴即，，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，在時(shí)有極小值.故符合題意，即為所求.（2）由題意及（1）得，，在中，，即對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，，則，故在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則，故時(shí)有極小值，也就是的最小值，故即為所求.題型十七利用導(dǎo)函數(shù)解決不等式的能成立問(wèn)題【例20】（2023上·浙江寧波·高二余姚中學(xué)校考期中）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)證明：當(dāng)時(shí)，，使得．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）易知，,當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在處取得最小值，若，使得，只需，令，由，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，所以，，使得．【例21】（2023上·福建莆田·高三莆田一中校考期中）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；(2)若，且對(duì)，都，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)，所以．設(shè)，則，故在上遞減．，即，在上單調(diào)遞減，最小值為．（2）令，則在上恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，即在上恒成立；又，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為．綜上，只需，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．反思總結(jié)：能成立問(wèn)題優(yōu)先考慮變量分離法法，在分離變量時(shí)注意變量的正負(fù)，不等號(hào)是否改變；鞏固訓(xùn)練1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函，．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．當(dāng)時(shí)，若，不等式成立，求的最大值．【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．(2)3【詳解】（1）．由，得．此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減．∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．（2）當(dāng)時(shí)，由（1）可知，∴，成立，故對(duì)恒成立，∵當(dāng)時(shí)，，∴對(duì)恒成立，設(shè)，則．令，則．當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增．而，．∴存在唯一的，使得，即．∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增．∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值（即最小值），∵,又,∴的最大值是3．2．（2023·四川成都·校聯(lián)考一模）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求在處的切線(xiàn)方程；(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，求證：有解.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，則，，則，故當(dāng)時(shí)，在處的切線(xiàn)方程為，即.（2）證明：當(dāng)時(shí)，，，，因?yàn)?，故不等式有?題型十八利用導(dǎo)函數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）問(wèn)題【例22】（2023上·陜西西安·高二西安市鐵一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知且，函數(shù).(1)若且，求函數(shù)的最值；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，故，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)減，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)增，所以，又因?yàn)椋?，所以；?）因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)故有兩解，所以方程有兩個(gè)不同的解，即為函數(shù)的圖