專題03 二次函數(shù)與一元二次方程重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（原卷版）

專題03二次函數(shù)與一元二次方程重難點(diǎn)題型專訓(xùn)【題型目錄】題型一求拋物線與x、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)題型二由二次函數(shù)解一元二次方程題型三由二次函數(shù)的圖象求不等式的解集題型四拋物線交點(diǎn)問題的綜合題型五根據(jù)二次函數(shù)圖象確定相應(yīng)方程根的情況題型六求x軸與拋物線的截線長【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)：二次函數(shù)與一元二次方程1.當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根。2.當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根。3.當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點(diǎn)時(shí)，，方程沒有實(shí)根。二次函數(shù)的圖象與軸的位置關(guān)系有三種情況:①?zèng)]有公共點(diǎn);②有一個(gè)公共點(diǎn);③有兩個(gè)公共點(diǎn)，這對(duì)應(yīng)著一元二次方程的根的三種情況:①有實(shí)數(shù)根，此時(shí)△＜0;②有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)△=0;③有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)△＞0.(2)解決函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題，一般方法是函數(shù)解析式中所含字母的項(xiàng)的和為0時(shí)，則函數(shù)值不受字母的影響，據(jù)此可求圖象經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo).(3)拋物線中三角形面積的最值問題，一般先設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用其表示相關(guān)線段的長度，再利用三角形的面積公式構(gòu)造新的函數(shù)關(guān)系式來確定最值.在將點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段的長度時(shí)，要注意符號(hào)的轉(zhuǎn)換.知識(shí)點(diǎn)：二次函數(shù)與不等式判別式拋物線與x軸的交點(diǎn)不等式的解集不等式的解集△＞0或△＝0（或）無解△＜0全體實(shí)數(shù)無解【經(jīng)典例題一拋物線與x、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)】【例1】（2023·福建廈門·福建省廈門第六中學(xué)校考一模）已知拋物線的頂點(diǎn)為M，直線與該拋物線交于點(diǎn)M和，若，則直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)p的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇鹽城·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知二次函數(shù)，將該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變，得到一個(gè)新的函數(shù)圖像（如圖所示），當(dāng)直線與新圖像有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，m的值是（）A． B． C．或3 D．或2．（2023·江蘇揚(yáng)州·校聯(lián)考二模）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，交軸正半軸于，直線過，是拋物線第一象限內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，則的最大值為______．

3．（2023·新疆喀什·統(tǒng)考三模）如圖，拋物線交x軸于、B兩點(diǎn)，交y軸于，點(diǎn)P在拋物線上，橫坐標(biāo)設(shè)為m．

(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，直接寫出m的取值范圍；(3)若拋物線在點(diǎn)P右側(cè)部分（含點(diǎn)P）的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求m的值．【經(jīng)典例題二由二次函數(shù)解一元二次方程】【例2】（2023秋·山東淄博·九年級(jí)校考期末）已知二次函數(shù)（a，k，h均為常數(shù)）的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為和5，則關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·湖北武漢·九年級(jí)湖北省水果湖第一中學(xué)?？计谥校佄锞€的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則關(guān)于x的一元二次方程的解是（

）A． B． C． D．2．（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)．若關(guān)于的一元二次方程（為實(shí)數(shù)）在的范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為______.3．（2023·湖北黃石·統(tǒng)考一模）閱讀材料：材料1．已知實(shí)數(shù)m、n滿足，且，求的值．解：由題意知m、n是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得，∴材料2．如圖，函數(shù)的圖像，是一條連續(xù)不斷的拋物線，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．可知拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在0與1之間．所以方程的一個(gè)根所在的范圍是．根據(jù)上述材料解決下面問題：

(1)已知實(shí)數(shù)m、n滿足，，且，求的值．(2)已知實(shí)數(shù)p、q滿足，，，且，求的值．(3)若關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根大于2，另一個(gè)根小于2，求m的取值范圍．【經(jīng)典例題三由二次函數(shù)的圖象求不等式的解集】【例3】（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·?？家荒＃┮阎P(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根為，二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則關(guān)于的不等式的解為（

）A．或 B．或 C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東東營·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線和直線都經(jīng)過點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為，那么下列說法正確的是（

）A． B．C． D．是不等式的解2．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）拋物線開口向上，且過，下列結(jié)論中正確的是_________（填序號(hào)即可）．①若拋物線過，則；②若，則不等式的解為；③若，、為拋物線上兩點(diǎn)，則時(shí)；④若拋物線過，且，則拋物線的頂點(diǎn)一定在的下方．3．（2023·廣東深圳·深圳市福田區(qū)北環(huán)中學(xué)?？级＃┱堥喿x下列解題過程：解一元二次不等式：．解：設(shè)，解得：，，則拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為和．畫出二次函數(shù)的大致圖象（如圖所示）．由圖象可知：當(dāng)時(shí)函數(shù)圖象位于軸下方，此時(shí)，即．所以一元二次不等式的解集為：．

通過對(duì)上述解題過程的學(xué)習(xí)，按其解題的思路和方法解答下列問題：(1)上述解題過程中，滲透了下列數(shù)學(xué)思想中的_________和_________（只填序號(hào)）①轉(zhuǎn)化思想；②分類討論思想；③數(shù)形結(jié)合思想．(2)用類似的方法解一元二次不等式：．(3)某“數(shù)學(xué)興趣小組”根據(jù)以上的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究，探究過程如下，請補(bǔ)充完整：①自變量的取值范圍是___________；與的幾組對(duì)應(yīng)值如表，其中___________．…401234……50010…②如圖，在直角坐標(biāo)系中畫出了函數(shù)的部分圖象，用描點(diǎn)法將這個(gè)圖象補(bǔ)畫完整．③結(jié)合函數(shù)圖象，解決下列問題：解不等式：

【經(jīng)典例題四拋物線交點(diǎn)問題的綜合】【例4】（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考二模）二次函數(shù)分別交x軸、y軸于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2，1）．若在線段上存在A，B兩點(diǎn)使得為等腰直角三角形，且，則b的取值范圍是（

）A．或 B．或 C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·河北滄州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知拋物線（a，b，c為常數(shù)，）經(jīng)過點(diǎn)，且對(duì)稱軸為直線，有下列結(jié)論：①；②；③無論a，b，c取何值，拋物線一定經(jīng)過．其正確結(jié)論有（

）個(gè)A．0 B．1 C．2 D．32．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)期末）已知拋物線（）．現(xiàn)給出以下結(jié)論：①該拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是；②當(dāng)時(shí)，拋物線與直線沒有交點(diǎn)；③若該拋物線的頂點(diǎn)在直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形內(nèi)（包括邊界），則；④若拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則其中一定有一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)與之間．其中正確的是______________．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）3．（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)都在拋物線上．(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；(3)在（1）的條件下，設(shè)拋物線與軸正半軸交于點(diǎn)A，與軸交于點(diǎn)B．將拋物線沿著軸向上平移個(gè)單位長度得到拋物線，若拋物線與軸交于C，D兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)E，且，．求拋物線在的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)．【經(jīng)典例題五根據(jù)二次函數(shù)圖象確定相應(yīng)方程根的情況】【例5】（2022秋·河南安陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）一元二次方程的兩個(gè)根分別為和4，若二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)為，，則對(duì)于，的范圍描述正確的是（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)校考期中）已知，關(guān)于的一元二次方程的解為，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·浙江麗水·九年級(jí)校聯(lián)考期中）已知二次函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)和，則的值等于_____．3．（2022秋·浙江·九年級(jí)期中）宏志班“數(shù)學(xué)興趣小組”對(duì)函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究，探究過程如下，請補(bǔ)充完整．(1)自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，與的幾組對(duì)應(yīng)值列表如下：01233003其中，(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，并畫出了函數(shù)圖象的一部分，請畫出該函數(shù)圖象的另一部分．(3)觀察函數(shù)圖象，寫出兩條函數(shù)的性質(zhì)：①；②．(4)關(guān)于的方程有4個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，的取值范圍是．【經(jīng)典例題六求x軸與拋物線的截線長】【例6】（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）已知拋物線與一次函數(shù)交于兩點(diǎn)，則線段的長度為（

）A． B． C． D．20【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·浙江臺(tái)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的取值范圍為（

）A． B． C． D．不能確定2．（2022春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的長的最小值為______．3．（2023·河南洛陽·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線．(1)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為______（用含m的式子表示）；(2)已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．①若，求拋物線的解析式；②若，請直接寫出m的取值范圍．【重難點(diǎn)訓(xùn)練】1．（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）?？级＃┖瘮?shù)的圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，且，，當(dāng)時(shí)，該函數(shù)的最小值m與b的關(guān)系式是（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江臺(tái)州·臺(tái)州市書生中學(xué)統(tǒng)考一模）拋物線交x軸于，A兩點(diǎn)，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到拋物線，交x軸于另一點(diǎn)；將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到拋物線，交x軸于另一點(diǎn)；…，如此進(jìn)行下去，形成如圖所示的圖像，則下列各點(diǎn)在圖像上的是（

）

A． B． C． D．3．（2023春·浙江杭州·九年級(jí)翠苑中學(xué)校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知函數(shù)，，其中a，b是正實(shí)數(shù)，且，設(shè)，的圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)分別是M，N，則（

）A．或或 B．或C．或 D．或或4．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)，，都在拋物線上，，下列選項(xiàng)正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則5．（2022秋·浙江金華·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，其對(duì)稱軸為直線，且與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，下列結(jié)論：①；②；③圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；④關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；⑤．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．56．（2023春·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，和也是拋物線上的點(diǎn)，且，，則下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．7．（2022秋·浙江金華·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變，將這個(gè)新函數(shù)的圖象記為G（如圖所示），當(dāng)直線與圖象G有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．8．（2022秋·浙江舟山·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程有一個(gè)根是1，若的頂點(diǎn)在第一象限，設(shè)，則t的取值范圍是（

）A． B． C． D．

9．（2022秋·浙江麗水·九年級(jí)期末）二次函數(shù)的部分對(duì)應(yīng)值列表如下：x…0135…y…77…則一元二次方程的解為____________．10．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)?？计谥校佄锞€的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為和1，則不等式的解集是__________．11．（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸的交點(diǎn)在之間（包含端點(diǎn)），則的取值范圍為___________．12．（2022秋·浙江紹興·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)在軸下方的圖象沿軸翻折到軸上方，圖象的其余部分不變，將這個(gè)新函數(shù)的圖象記為．若直線與圖象恰好有3個(gè)交點(diǎn)，則___________．13．（2021·浙江金華·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線．（1）若該拋物線過原點(diǎn)，則t的值為________．（2）已知點(diǎn)與點(diǎn)，若該拋物線與線段只有一個(gè)交點(diǎn)，則t的范圍是__．14．（2022秋·浙江·九年級(jí)期中）對(duì)于一個(gè)函數(shù)，當(dāng)自變量x取n時(shí)，函數(shù)值y等于2﹣n，我們稱n為這個(gè)函數(shù)的“二合點(diǎn)”，如果二次函數(shù)y＝ax2+x﹣1有兩個(gè)相異的二合點(diǎn)x1，x2，且x1＜x2＜1，則a的取值范圍是_____．15．（2023·浙江杭州·校考二模）已知關(guān)于的二次函數(shù)．(1)該函數(shù)的圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求與之間的關(guān)系；(2)若，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，求的范圍；(3)當(dāng)，，該圖象不經(jīng)過第三象限，求的取值范圍．16．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)和一次函數(shù)．(1)二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象交于x軸上同一點(diǎn)，且這個(gè)點(diǎn)不是原點(diǎn)．①求證：；②若兩個(gè)函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為二次函數(shù)的頂點(diǎn)，求m的值．17．（2023·浙江杭州·杭州市公益中學(xué)?？级＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，當(dāng)和時(shí)，二次函數(shù)（，是常數(shù)，）的函數(shù)值相等．(1)若該函數(shù)的最大值為，求函數(shù)的表達(dá)式，并寫出函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若該函數(shù)的圖象與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求，的值．(3)記（2）中的拋物線為，將拋物線向上平移個(gè)單位得到拋物線，當(dāng)時(shí)，拋物線的最大值與最小值之差為，求的值．18．（2022秋·浙江溫州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)、兩點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)C在x軸正半軸上．(1)求拋物線的解析式；(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)為線段AB上一點(diǎn)，，作軸交拋物線于點(diǎn)M，求PM的最大值？19．（2023秋·浙江紹興·九年級(jí)統(tǒng)考期末）設(shè)二次函數(shù)（，是常數(shù)）的圖像與軸交于，兩點(diǎn).(1)若，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，求該二次函數(shù)的表達(dá)式.(2)若函數(shù)的表達(dá)式可以寫成（是常數(shù)）的形式，求的最大值.(3)設(shè)一次函數(shù)（是常數(shù)），若二次函數(shù)的表達(dá)式還可以寫成的形式，當(dāng)函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)時(shí)