《常微分方程求解中的初等積分法及其變換技巧10000字》

]。分項(xiàng)組合法的側(cè)重點(diǎn)是組合，關(guān)于組合的基本原則是如果在分項(xiàng)之后只剩下和與有關(guān)聯(lián)的項(xiàng)，或者只有和與有關(guān)聯(lián)的項(xiàng)時(shí)，應(yīng)當(dāng)把它們視為獨(dú)立的項(xiàng)，不參與項(xiàng)的組合。其余的所以微分相關(guān)的項(xiàng)組合成一項(xiàng)。這里列舉幾種常用的函數(shù)的微分(劉寧宇,羅晨曦,2022)：，，，，等。例題4.1求微分方程的通解。分析首先進(jìn)行“拆項(xiàng)”，得到。然后進(jìn)行項(xiàng)的“組合”，這里的、，即和是呈全微分的相關(guān)項(xiàng)，應(yīng)該把它們組合成新的一項(xiàng)，剩下的應(yīng)該單獨(dú)作為一項(xiàng)。把方程轉(zhuǎn)換為分組的全微分方程(趙雨桐,孫樂(lè)天,2020)。由于，，就有，所以微分方程的通解是（是任意的一個(gè)常數(shù)）。例題4.2求解微分方程。分析觀察后進(jìn)行“拆項(xiàng)”并組合，得到，。這在某種程度上驗(yàn)證了將方程的左端重新進(jìn)行組合，有，所以原方程的通解是，是任意常數(shù)。4.2把微分方程中的變?yōu)楫?dāng)有一階微分方程的形式如同，或者說(shuō)能夠轉(zhuǎn)化成這種形式，并且不方便求解時(shí)，可以考慮在等式的兩邊分別取倒數(shù)，這樣就可以把微分方程變成的形式(王嘉熙,劉元熙,2022)。從中可以表明經(jīng)過(guò)作此變換后（是未知量，是自變量），這樣微分方程就可能是我們所熟知的方程類型。例題4.3求微分方程的通解。分析顯而易見(jiàn)，是該方程的一個(gè)解。因此我們只討論的情況，當(dāng)直接進(jìn)行求解有困難的時(shí)候，不妨考慮轉(zhuǎn)換的策略。原方程可化為：然后求解上式所對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的通解，通解是。接著利用常數(shù)變易法，讓，就能得到(陳曉婷,吳浩然,2021)：，將方程（4-2）和方程（4-3）代到方程（4-1）中，并作化簡(jiǎn)，這無(wú)疑暴露出可得：，方程的兩邊進(jìn)行積分化處理，得：，再把等式（4-4）代到等式（4-2）中，化簡(jiǎn)可得：，為任意常數(shù)。故原方程的通解就是：，為任意常數(shù)。例題4.4求解微分方程。分析讓，，則。所以有，這是一個(gè)伯努利方程，令，，那么該方程就變成。求解，得到(鄭宇晨,王悅婷,2022)，即，所以原方程的通解是，是任意常數(shù)。4.3關(guān)于積分因子的選擇我們知道，如果微分方程不是恰當(dāng)微分方程的時(shí)候需要借助于積分因子來(lái)求解。由前文可知，從這些趨勢(shì)中看出一個(gè)齊次微分方程的積分因子可以有多個(gè)，那么選擇哪一個(gè)積分因子能夠讓求解過(guò)程變得更加簡(jiǎn)便呢？通常求解微分方程是積分因子就是重新組合后的各個(gè)項(xiàng)的公因子(韓一鳴,王瑾瑜,2022)。例題4.5求解微分方程。分析第一步：進(jìn)行分項(xiàng)，重新進(jìn)行組合則原方程即，這里是獨(dú)立的微分項(xiàng)，應(yīng)該單獨(dú)列為一項(xiàng)。這樣方程就可以改寫成。第二步：找積分因子根據(jù)和，推出與都可以作為左端的積分因子。但是由于方程的右端的符號(hào)是負(fù)號(hào)，為了計(jì)算簡(jiǎn)便，從這些活動(dòng)中看出這里選擇作為方程左端的積分因子。在方程的兩端同乘，可得：，兩邊進(jìn)行積分化處理，有：，為任意常數(shù)。因此原方程的通解就是，為任意常數(shù)。例題4.6求微分方程的通解。分析令，，在平面上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，、均為、的多項(xiàng)式(張語(yǔ)涵,李睿澤,2023)。然后計(jì)算，，所以方程不是恰當(dāng)微分方程，因?yàn)?，所以，解得，積分因子是，把積分因子同乘方程的兩邊，得。此時(shí)方程是恰當(dāng)微分方程，進(jìn)行湊微分，方程可化為因此，方程的通解是，是任意常數(shù)。參考文獻(xiàn)李曉東，張文博，王俊宇.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2022.4.BYC.常微分方程[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,2023.8.張志華，李天佑，王怡萱,等.應(yīng)用常微分方程[M].北京:科學(xué)出版社,2021.2.周逸和，劉思琪，張博文.基于化歸思想的幾種常微分方程解法研究[J].淮南職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2021,18(05):89-90.王紫萱，陳雪婷，李俊杰,等.常微分方程簡(jiǎn)明教程[M].杭州:浙江大學(xué)出版社,2013.7.李博然，趙思源，王瑾萱.變量代換法在常微分方程求解中的應(yīng)用[J].高等數(shù)學(xué)研究,2017,20(03):8-9.(瑞典)NailH.lbragimov著.微分方程與數(shù)學(xué)物理問(wèn)題(中文校訂版)[M].劉凱琳，張宇航，周文博譯.北京:高等教育出版社,2013.8.王天澤，趙子萱，陳宇和.常微分方程導(dǎo)教·導(dǎo)學(xué)·導(dǎo)考[M].西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社,2014.8.李星宇，周佳怡，張曉馮.常微分方程習(xí)題解答與學(xué)習(xí)指導(dǎo)[M].北京:清華大學(xué)出版社,2013.7.劉思遠(yuǎn)，王文靜，陳嘉瑞.積分因子法在求解常微分方程中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2017(21):5-6.張文杰，趙瑞婷，李宇翔.一階微分方程的積分因子研究[J].齊魯工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2021,35(01):69-72.王子凡，劉玉婷，張啟航.全微分方程的求解方法研究[J].電子技術(shù),2020,49(11):142-143.Kh.A.Khachatryan,A.K.Kroyan.ExistenceofOddSolutionstoBoundaryValueProblemswithPowerNonlinearity[J].JournalofMathematicalSciences,2021,(253),382-390.AnhNgocPhamHuu.Contractionofstochasticdifferentialequations[J].Commun-icationsinNonlinearScienceandNumericalSimulation,2021,(95),56-64.BaccouchMahboub.ThediscontinuousGalerkinmethodforgeneralnonlinearthird-orderordinarydifferentialequations[J].AppliedNumericalMathematics,2021,(162),331-350.致謝衷心感謝在論文寫作期間，我的導(dǎo)師及各位同學(xué)所給予的悉心陪伴與無(wú)私幫助。在無(wú)數(shù)個(gè)日夜的深入討論與緊密合作