《幾種常用的重分形分析方法分析3500字》

幾種常用的重分形分析方法分析綜述目錄TOC\o"1-2"\h\u1385幾種常用的重分形分析方法分析綜述 1304831.1R/S方法與修正的R/S方法 130760式中的q可以通過(guò)時(shí)間序列的一階自相關(guān)系數(shù)來(lái)確定，式中 230351.2DFA方法 3901.3MF-DFA方法 4R/S方法與修正的R/S方法R/S方法是最早最經(jīng)典的進(jìn)行分形分析的方法。該方法是由英國(guó)水文學(xué)家Hurst在20世紀(jì)初參與尼羅河水壩工程時(shí)提出的。為了判斷水位序列是隨機(jī)游走序列還是有偏的隨機(jī)游走，即分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)序列，他提出了一個(gè)新的統(tǒng)計(jì)量Hurst指數(shù)來(lái)判斷。Hurst指數(shù)刻畫(huà)的是不同頻率下有偏隨機(jī)游走增量的波動(dòng)和頻率的關(guān)系。波動(dòng)的數(shù)學(xué)含義是有偏的隨機(jī)游走運(yùn)動(dòng)在不同頻率下的增量的分布寬度?？坍?huà)這個(gè)寬度可以使用標(biāo)準(zhǔn)差或者其他指標(biāo)。當(dāng)使用重標(biāo)極差作為刻畫(huà)寬度的指標(biāo)來(lái)度量波動(dòng)的分布寬度時(shí)，該方法便稱(chēng)為重標(biāo)極差分析法。1972年數(shù)學(xué)家Mandelbrot首次在美國(guó)的證劵市場(chǎng)中應(yīng)用R/S方法，用于股票價(jià)格走勢(shì)的分析中。20世紀(jì)九十年代，Peters則將該方法作為他的分形市場(chǎng)假說(shuō)最重要的研究工具進(jìn)行了詳細(xì)的研究，在他做的很多實(shí)證研究中，R/S方法都取得了較為明顯的效果?，F(xiàn)在，盡管已經(jīng)在R/S方法的基礎(chǔ)上已經(jīng)有了更多更完善的方法，但該方法仍然是用來(lái)分析時(shí)間序列的分形特征和長(zhǎng)期記憶過(guò)程的有力工具之一。對(duì)于給定的對(duì)數(shù)收益率序列X=xiStep1:將長(zhǎng)度為N的時(shí)間序列X等分成A個(gè)長(zhǎng)度為s的子集，其中每個(gè)子集互不重疊，長(zhǎng)度s=N/AStep2:對(duì)于子集a，計(jì)算前k個(gè)點(diǎn)（k=1,2,3,…,n）相對(duì)該子集均值eaDk,a=Step3:計(jì)算每個(gè)子集a內(nèi)對(duì)數(shù)收益率序列的波動(dòng)范圍RaRa=Step4:計(jì)算每個(gè)子集a內(nèi)的標(biāo)準(zhǔn)差SaSa=Step5:對(duì)每個(gè)子集a內(nèi)，使用標(biāo)準(zhǔn)差Sa對(duì)波動(dòng)范圍Ra標(biāo)準(zhǔn)化，得到(R/S)a=Step6:對(duì)于a=1,2,…,A，重復(fù)以上步驟。當(dāng)?shù)玫紸個(gè)(R/S)a(R/S)s=Step7:改變分割長(zhǎng)度s，使之取遍2,int(N/2)里所有的正整數(shù)。對(duì)不同的s，重復(fù)以上Step2～Step6，得到散點(diǎn)對(duì)s,(R/S)s。由于Hurst指數(shù)是用來(lái)描述(R/S)s(R/S)s=C?因此，對(duì)s和(R/S)s進(jìn)行雙對(duì)數(shù)回歸，即使用散點(diǎn)對(duì)ln?ln?((R/S)s所以該線性回歸方程的斜率H就是Hurst指數(shù)。Hurst指數(shù)結(jié)果幫助我們判斷序列是否具有單分形特征和長(zhǎng)記憶性，以及時(shí)間序列是具有正向持續(xù)性還是反向持續(xù)性，又或者或者該序列其實(shí)是隨機(jī)游走序列（Hurst指數(shù)=0.5）。R/S方法雖然可以檢測(cè)時(shí)間序列中的長(zhǎng)程相關(guān)性，但它對(duì)短期記憶性比較敏感，不能區(qū)分序列的短程和長(zhǎng)程依賴(lài)關(guān)系。由于原始的R/S方法容易混淆短程和長(zhǎng)程相關(guān)性，于是在羅聞全學(xué)者在經(jīng)典R/S方法基礎(chǔ)上提出了修正的R/S統(tǒng)計(jì)量。修正的R/S方法的與經(jīng)典R/S方法在Step1～Step5都是一樣的，在第六步：Step6:時(shí)間序列X的R/S統(tǒng)計(jì)量：(R/S)s=式中的q可以通過(guò)時(shí)間序列的一階自相關(guān)系數(shù)來(lái)確定，式中σn2在公式中wkq=1? 根據(jù)Taqqu等人的研究表明，修正R/S方法仍然有其局限性，具體表現(xiàn)在于盡管該方法可以區(qū)分短程依賴(lài)性的問(wèn)題，但是它在某些情況下可能是檢測(cè)不到長(zhǎng)期記憶性的。所以在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，序列的長(zhǎng)期記憶可能會(huì)被修正R/S方法低估。因此，對(duì)于針對(duì)時(shí)間序列長(zhǎng)期記憶性的判別的應(yīng)用上，修止R/S方法應(yīng)結(jié)合其他的統(tǒng)計(jì)學(xué)方法綜合判斷。DFA方法DFA方法是一種由C.K.Peng等生物學(xué)家在1994年引入的去趨勢(shì)波動(dòng)分析法（DetrendedFluctuationAnalysis，簡(jiǎn)記DFA），最開(kāi)始應(yīng)用于研究DNA的長(zhǎng)期冪律關(guān)系。DFA可以用來(lái)分析類(lèi)似長(zhǎng)記憶過(guò)程的時(shí)間序列的自相關(guān)性。該技術(shù)已廣泛應(yīng)用于分析長(zhǎng)時(shí)間連續(xù)發(fā)展后的自然環(huán)境中生物的長(zhǎng)期關(guān)系。通過(guò)DFA方法以消除短期的波動(dòng)趨勢(shì)從而得出可以用來(lái)檢測(cè)非平穩(wěn)時(shí)間序列的長(zhǎng)記憶性，該方法所得到的結(jié)果和R/S方法一樣，得到Hurst指數(shù)。對(duì)于一個(gè)給定的對(duì)數(shù)收益率序列X=xStep1:按照下列公式構(gòu)造時(shí)間序列X去均值的和序列Y=yy(i)=k=1i式中x=Step2:將去均值的和序列Y劃分為N個(gè)互不相交的數(shù)據(jù)區(qū)間，子區(qū)間長(zhǎng)度為s，其中N=n/s。由于取整的過(guò)程會(huì)導(dǎo)致尾部部分時(shí)間序列數(shù)據(jù)丟失，為了解決這個(gè)問(wèn)題，對(duì)Y從尾部開(kāi)始逆向分成等長(zhǎng)的N個(gè)區(qū)間段。Step2結(jié)束后，共得到2N個(gè)長(zhǎng)為sStep3:對(duì)每一個(gè)子區(qū)間λ,λ=1,2,…,2N，求其局部消除趨勢(shì)序列。按如下方法：eq\o\ac(○,1)在子區(qū)間λ的s個(gè)數(shù)據(jù)中使用最小二乘回歸法擬合m階趨勢(shì)多項(xiàng)式y(tǒng)λi:yλ式中m代表回歸方程的階數(shù)，可以去任意正整數(shù)。在標(biāo)準(zhǔn)的DFA方法中，取階數(shù)m=2。eq\o\ac(○,2)計(jì)算各個(gè)區(qū)間段局部消除趨勢(shì)序列Dλi。對(duì)于正向切割的區(qū)間λ=1,2,…,N，每個(gè)小區(qū)間上的消除趨勢(shì)序列為：Dλi對(duì)于逆向切割的區(qū)間λ=N+1,N+2,…,2N的消除趨勢(shì)序列為：DλiStep4:計(jì)算2N個(gè)小區(qū)間上的局部消除趨勢(shì)序列的均方誤差：F2s,λF2Step5:對(duì)這2N個(gè)F2Fs=[Step6:對(duì)分割長(zhǎng)度s取遍區(qū)間2,int(N/2)里所有的正整數(shù)，重復(fù)Step2～Step5，計(jì)算出不同分割長(zhǎng)度下的Fs，得到Fs關(guān)于不同F(xiàn)(s)∝sH再對(duì)(lns,ln?(F(s))lnFs則斜率H即為我們求得的Hurst指數(shù)。DFA方法和R/S方法求出的都是時(shí)間序列的Hurst指數(shù)，且該值是固定的。固定的Hurst指數(shù)主要用來(lái)判斷時(shí)間序列是否具有單分形性和長(zhǎng)記憶性的特征。若有上述特征，則繼續(xù)使用MF-DFA方法探測(cè)序列的多重分形特征。MF-DFA方法2002年Kantelhard等人在傳統(tǒng)DFA方法的基礎(chǔ)上提出了多重分形消除趨勢(shì)波動(dòng)分析方法，英文名是MultifractalDetrendedFluctuationAnalysis（記為MF-DFA），是DFA方法的拓展。R/S方法和DFA方法一般先用在檢測(cè)時(shí)間序列是否具有單分形特征，MF-DFA方法再更深入地探測(cè)時(shí)間序列是否具有多重分形特征。給定對(duì)數(shù)收益率序列X=xStep1:按照公式1構(gòu)造時(shí)間序列X去均值的和序列Y=yyi=式中x=Step2:將去均值的和序列Y劃分為N個(gè)互不相交的數(shù)據(jù)區(qū)間，子區(qū)間長(zhǎng)度為s，其中N=n/s。由于取整的過(guò)程會(huì)導(dǎo)致尾部部分時(shí)間序列數(shù)據(jù)丟失，為了解決這個(gè)問(wèn)題，對(duì)Y從尾部開(kāi)始逆向分成等長(zhǎng)的N個(gè)區(qū)間段。Step2結(jié)束后，共得到2NStep3:對(duì)每一個(gè)子區(qū)間λ,λ=1,2,…,2N內(nèi)的s個(gè)點(diǎn)，求其局部消除趨勢(shì)序列。按如下方法：eq\o\ac(○,1)在子區(qū)間λ的s個(gè)數(shù)據(jù)中使用最小二乘回歸法擬合m階趨勢(shì)多項(xiàng)式y(tǒng)λi:yλ式中m代表回歸方程的階數(shù)，可以去任意正整數(shù)。eq\o\ac(○,2)計(jì)算各個(gè)區(qū)間段局部消除趨勢(shì)序列Dλi。對(duì)于正向切割的區(qū)間λ=1,2,…,N，每個(gè)小區(qū)間上的消除趨勢(shì)序列為：Dλi對(duì)于逆向切割的區(qū)間λ=N+1,N+2,…,2N的消除趨勢(shì)序列為：DλiStep4:計(jì)算2N個(gè)子區(qū)間的均方誤差：F2s,λF2s,λStep5:計(jì)算2N個(gè)子區(qū)間的平均均方誤差，將結(jié)果開(kāi)q次方得到依賴(lài)于q值的消除趨勢(shì)波動(dòng)函數(shù)的表達(dá)式：Fqs式中的q稱(chēng)為消除趨勢(shì)波動(dòng)函數(shù)的階數(shù)。Step6:Fqs是關(guān)于子區(qū)間長(zhǎng)度s和消除趨勢(shì)波動(dòng)函數(shù)階數(shù)q的函數(shù)。根據(jù)冪律關(guān)系有下式成立FqsFqs的取值和分割長(zhǎng)度s成正比。固定q值，對(duì)分割長(zhǎng)度s取遍區(qū)間2,int(N/2)里的所有正整數(shù)，得到散點(diǎn)對(duì)(lns,ln(FStep7:改變q值，重復(fù)以上Step2～Step6，得到隨q變化的Hurst指數(shù)?(q)。此處的?q由于已經(jīng)是q的函數(shù)了，所以也稱(chēng)為廣義Hurst指數(shù)