1.6 直角三角形（2） 直角三角形的性質(zhì)與判定-八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)10分鐘課前預(yù)習(xí)練（北師大版）（解析版）

課前預(yù)習(xí)記錄：月日星期10分鐘課前預(yù)習(xí)練（北師大版）1.6直角三角形（2）—直角三角形的性質(zhì)與判定知識(shí)要點(diǎn):1．在直角三角形中，30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的________.【答案】一半2．直角三角形斜邊的中線等于________________.【答案】斜邊的一半3．斜邊和一條直角邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形_________，簡(jiǎn)稱“HL”【答案】全等課堂練習(xí)一、選擇題1．如圖，在等腰中，，，BD平分，交AC于點(diǎn)D，，若cm，則的周長(zhǎng)為（）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm【答案】B【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=AD，利用“HL”證明Rt△ABD和Rt△EBD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AB=BE，然后求出△DEC的周長(zhǎng)=BC，再根據(jù)BC=10cm，即可得出答案．【詳解】解：∵BD是∠ABC的平分線，DE⊥BC，∠A=90°，

∴，

在Rt△ABD和Rt△EBD中，

∵，，

∴AB=BE，

∴△DEC的周長(zhǎng)=DE+CD+CE

=AD+CD+CE，

=AC+CE，

=AB+CE，

=BE+CE，

=BC，

∵BC=10cm，

∴△DEC的周長(zhǎng)是10cm．

故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并求出△DEC的周長(zhǎng)=BC是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在中，，，平分交于點(diǎn)，，垂足為，且，則的周長(zhǎng)是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，再證，可得，最后根據(jù)三角形的中周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】解：平分，，，，在和中，，，，，，的周長(zhǎng)．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、直角三角形全等的判定等知識(shí)點(diǎn)，掌握角平分線的性質(zhì)成為解答本題的關(guān)鍵．3．如圖，E是正方形ABCD的邊DC上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作FA＝AE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若AB＝4，則四邊形AFCE的面積是（）A．4 B．8 C．16 D．無(wú)法計(jì)算【答案】C【分析】先證明可得從而可得答案.【詳解】解：正方形ABCD，AB＝4，故選C【點(diǎn)睛】本題考查的是小學(xué)涉及的正方形的性質(zhì)，直角三角形全等的判定與性質(zhì)，證明是解本題的關(guān)鍵.4．如圖，在中，∠ACB＝90°，AB＝10，CD是AB邊上的中線，則CD的長(zhǎng)是（）A．20 B．10 C．5 D．2【答案】C【分析】由直角三角形的性質(zhì)知：斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可求出CD的長(zhǎng)．【詳解】解：∵在中，，AB=10，CD是AB邊上的中線故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．5．如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，連接EF，EF與AD相交于點(diǎn)G，則下列關(guān)系正確的是（）A． B．且C． D．【答案】B【分析】證明△ADE≌△ADF（HL），利用全等三角形的性質(zhì)以及線段的垂直平分線的判定一一判斷即可．【詳解】解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，在△ADE和△ADF中，，∴△ADE≌△ADF（HL），∴AE=AF，∴AD是線段EF的垂直平分線，∴AD⊥EF且EG=FG，故選項(xiàng)B正確；∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD=90°，∴∠BAC+∠EDF=360°-∠AED-∠AFD=180°，∵∠BAC不一定等于90°，∴∠EDF也不一定等于90°，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；∵∠EDF90°，而∠AFD=90°，∴∠EDF+∠AFD180°，∴DE與AC不一定平行，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；∵∠AED=90°，DE與AE不一定相等，∴AG與DG也不一定相等，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和定理，熟記各圖形的性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．已知一直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為6和8，則斜邊上中線的長(zhǎng)度是_____．【答案】5【分析】直角三角形中，斜邊長(zhǎng)為斜邊中線長(zhǎng)的2倍，所以求斜邊上中線的長(zhǎng)求斜邊長(zhǎng)即可．【詳解】解：在直角三角形中，兩直角邊長(zhǎng)分別為6和8，則斜邊長(zhǎng)＝＝10，∴斜邊中線長(zhǎng)為×10＝5，故答案為5．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，根據(jù)勾股定理求得斜邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．7．如圖，中，，，D，E分別為AC，AB邊上的點(diǎn)，將沿DE翻折，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)B重合，若，則______．【答案】6【分析】由翻折的性質(zhì)可得：∠ABD=∠A=30°，∠AED=∠BED=90°，從而可證BD平分∠ABC，由角平分線的性質(zhì)即可得到DE=CD=3，則AD=2DE=6．【詳解】解：由翻折的性質(zhì)可得：∠ABD=∠A=30°，∠AED=∠BED=90°，∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°，∴∠CBD=30°，∴∠ABD=∠CBD，∴BD平分∠ABC，又∵∠DEB=∠C=90°，∴DE=CD=3，∴AD=2DE=6，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．8．如圖，是的角平分線，，，，則的長(zhǎng)為______．【答案】##【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，先用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，進(jìn)而根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，證明，設(shè)，在中，利用勾股定理求得的值，進(jìn)而在中，勾股定理即可求得的值．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，，，∴是直角三角形是的角平分線，在與中設(shè)，則在中，即解得在中故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)與判定，勾股定理與勾股定理的逆定理，證明三角形全等，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．9．如圖，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，BF⊥AC于點(diǎn)F，DE＝3cm，則BF＝____________cm．

【答案】6【分析】先利用證明，得出，又，將代入即可求出．【詳解】解：在與中，，，，，，，，．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是利用面積公式得出等式．10．如圖，，，，則_________．【答案】50°【分析】只需要證明Rt△ABC≌Rt△ADC得到∠1=∠CAD=40°，則∠2=90°-∠CAD=50°．【詳解】解：∵∠B=∠D=90°，∴△ABC和△ADC均為直角三角形，在Rt△ABC和Rt△ADC中，，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠1=∠CAD=40°，∴∠2=90°-∠CAD=50°．故答案為：50°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形兩銳角互余，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定條件．三、解答題11．如圖，在中，是的中點(diǎn)，，，垂足分別是，．（Ⅰ）若，求證：是的角平分線；（Ⅱ）若是的角平分線，求證：．【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析【分析】(1)根據(jù)HL可證Rt△BED≌Rt△CFD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得DE=DF，再根據(jù)角平分線的判定即可求解；(2)根據(jù)AD為角平分線知ED=FD，再根據(jù)AD為BC中線和HL定理得知Rt△BED≌Rt△CFD．【詳解】解：（Ⅰ）∵是的中點(diǎn)，∴．∵，，∴．∵，∴≌（HL)．∴．∴點(diǎn)在的平分線上．∴是的角平分線．（Ⅱ）∵是的角平分線，，，∴，．∵是的中點(diǎn)，∴．∴≌（HL)．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生對(duì)角平分線的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是證明Rt△BED≌Rt△CFD．12．如圖，于于F，若，（1）求證：平分；（2）已知，求的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析；（2）6【分析】（1）由題所給條件可得，即得ED=DF，則可得，則，故平分．（2）由（1）問所得條件，得AF=AE=8，則AB=8-2=6．【詳解】（1）∵于于F，∴（HL）∴ED=DF∵于于F，AD=AD∴（HL）∴故平分．（2）∵BE=CF∴AF=AC-BE=10-2=8∴AE=AF=8∴AB=AE-BE=8-2=6．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形全等的判定，所應(yīng)用的定理為斜邊、直角邊定理：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等（簡(jiǎn)寫成HL）．13．已知：如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，BD平分∠CBA，DE⊥AB于點(diǎn)E．求證：（1）△DEB≌△DCB；（2）AD+DE=BE．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)可得CD=ED，即可利用HL證明Rt△DEB≌Rt△DCB；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得BE=BC，即可推出BE=AC，再由AC=AD+DC=AD+DE，即可得到BE=AD+DE．【詳解】解：（1）∵∠C=90°，BD

平分∠CBA，DE⊥AB，∴∠DEB=∠C=90°，CD=ED，在Rt△DEB和Rt△DCB中，，∴Rt△DEB≌Rt△DCB（HL）；（2）Rt△DEB≌Rt△DCB，∴BE=BC，∵AC=BC，∴BE=AC，又∵AC=AD+DC=AD+DE，∴BE=AD+DE．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定條件．14．如圖，△ABC是等邊三角形，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CE=BC，若D是AC的中點(diǎn)，連接ED并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F．（1）若AF=3，求AD的長(zhǎng)；（2）求證：DE=2DF．

【答案】（1）6；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AC=BC，∠A=∠ACB=60°，求出∠E=∠CDE，根據(jù)三角形外角性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出BD=DE，求出AD的長(zhǎng)即可；（2）連接BD，求出BD=DE，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出BD=2DF，即可得出答案．【詳解】解：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴AC=BC，∠A=∠ACB=60°，∵D為AC中點(diǎn)，∴CD=AD=AC，∵CE=BC，∴CD=CE，∴∠E=∠CDE，∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴∠E=∠CDE=30°，∴∠ADF=∠CDE=30°，∵∠A=60°，∴∠AFD=180°-∠A-∠ADF=90°，∵AF=3，∴AD=2AF=6，（2）連接BD，∵△ABC為等邊三角形，D為AC中點(diǎn)，∴BD平分∠ABC，∠ABC=60°，∴∠DBC=∠ABD=∠ABC=30°，∵∠BFD=90°，∴BD=2DF，∵∠DBC=∠E=30°，∴BD=DE，∴DE=2DF，

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．15．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，點(diǎn)E是邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AE、DE，過點(diǎn)C作CF⊥DE于點(diǎn)F，且DF＝EF．（1）求證：AD＝CE．（2）若CD＝5，AC＝6，求△AEB的面積．【答案】（1）見解析；（2）39【分析】（1）首先根據(jù)CF⊥DE，DF＝EF得出CF為DE的中垂線，然后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到CD＝CE，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到CD＝AD，即可證明AD＝CE；（2）由（1）得CD＝CE=AB=5，由勾股定理求出BC，然后結(jié)合三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算．【詳解】（1）證明：∵DF＝EF∴點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)又∵CF⊥DE∴CF為DE的中垂線∴CD＝CE又∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線∴CD＝=AD∴AD＝CE（2）解：由（1）得CD＝CE==5∴AB=10∴在Rt△ABC中，BC==8∴EB=EC+BC=13∴．【點(diǎn)睛】此題考查了垂直平分線的判定和性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，三角形面積公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂直平分線的判定和性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，三角形面積公式．16．如圖，在△ABC中，D是BC的垂直平分線DH上一點(diǎn)，DF⊥AB于F，DE⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于E，且BF=CE．（1）若∠BAC=80°，則∠EDF=________．（2）求證：AD平分∠BAC；（3）在（1）的條件下，求∠BCD的度數(shù)．【答案】（1）100°；（2）證明見解析；（3）40°．【分析】（1）直接根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360度求解即可；（2）連接BD，由線段垂直平分線的性質(zhì)得到BD=CD，證，得到DE=DF，再由DF⊥AB于F，DE⊥AC，即可得到AD平分∠BAC；（3）由，得到∠CDE=∠BDF，則∠BDC=∠EDF，從而得到∠BDC=100°，再由BD=CD，得到．【詳解】（1）解：∵DF⊥AB，DE⊥AC，∴∠AFD=∠AED=90°，∵∠AFD+∠AED+∠BAC+∠EDF=360°，∴∠EDF=360