1.9~1.10 角平分線-八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)10分鐘課前預(yù)習(xí)練（北師大版）（解析版）

課前預(yù)習(xí)記錄：月日星期10分鐘課前預(yù)習(xí)練（北師大版）1.9—1.10角平分線知識(shí)要點(diǎn):1．角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角________的距離_________.【答案】兩邊相等2．在一個(gè)角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的__________.【答案】角平分線上3．三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離__________.【答案】相等課堂練習(xí)一、選擇題1．如圖，在等腰中，，，BD平分，交AC于點(diǎn)D，，若cm，則的周長為（）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm【答案】B【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=AD，利用“HL”證明Rt△ABD和Rt△EBD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AB=BE，然后求出△DEC的周長=BC，再根據(jù)BC=10cm，即可得出答案．【詳解】解：∵BD是∠ABC的平分線，DE⊥BC，∠A=90°，

∴，

在Rt△ABD和Rt△EBD中，

∵，，

∴AB=BE，

∴△DEC的周長=DE+CD+CE

=AD+CD+CE，

=AC+CE，

=AB+CE，

=BE+CE，

=BC，

∵BC=10cm，

∴△DEC的周長是10cm．

故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并求出△DEC的周長=BC是解題的關(guān)鍵．2．如圖，Rt△ABC中，B＝90，點(diǎn)P在邊AB上，CP平分∠ACB，PB＝3cm，AC＝10cm，則△APC的面積是（）A．15cm2 B．22.5cm2 C．30cm2 D．45cm2【答案】A【分析】過點(diǎn)P作PD⊥AC于D，由角平分線的性質(zhì)可得PD=PB=3cm，然后利用三角形面積公式求解即可．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)P作PD⊥AC于D，∵CP平分∠ACB，∠B=90°，PD⊥AC，∴PD=PB=3cm，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，三角形面積，熟知角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．3．如圖，E為∠BAC平分線AP上一點(diǎn)，AB＝4，△ABE的面積為12，則點(diǎn)E到直線AC的距離為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】利用△ABE的面積，求出點(diǎn)E到直線AB的距離，再利用角平分線的性質(zhì)，即可得到答案【詳解】解：∵AB＝4，△ABE的面積為12，∴點(diǎn)E到直線AB的距離，∵E為∠BAC平分線AP上一點(diǎn)，∴點(diǎn)E到直線AC的距離＝6，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要是考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等，是解決本題的關(guān)鍵．4．如圖，AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC長是()

A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【分析】過D作DF⊥AC于F，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出DF=DE=2，根據(jù)S△ADB+S△ADC=7和三角形面積公式求出即可．【詳解】解：過D作DF⊥AC于F，

∵AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DE=2，

∴DE=DF=2，

∵S△ABC=7，

∴S△ADB+S△ADC=7，

∴×AB×DE+×AC×DF=7，

∴×4×2+×AC×2=7，

解得：AC=3．

故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形面積公式的應(yīng)用，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵，注意：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．5．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以點(diǎn)A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點(diǎn)M和N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，連結(jié)AP并延長交BC于點(diǎn)D．下列結(jié)論①AD平分∠CAB，②DA＝DB，③S△ACD＝S△ADB，④點(diǎn)D到直線AB的距離等于CD的長度．正確的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】利用基本作圖對(duì)①進(jìn)行判斷；利用∠BAD=∠CAD=30°得到∠ADC=60°，證出DA=DB則可對(duì)②進(jìn)行判斷；利用30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半、三角形的面積計(jì)算公式即可得出兩個(gè)三角形的面積之比．由角平分線的性質(zhì)可對(duì)④進(jìn)行判斷．【詳解】解：由作法得，AD平分∠BAC，所以①正確；∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，∴∠BAD＝∠CAD＝×60°＝30°，∴∠ADC＝90°﹣∠CAD＝60°，∵∠B＝∠BAD，∴DA＝DB，所以②正確；如圖，在直角△ACD中，∠CAD＝30°，∴CD＝AD，∴BC＝CD+BD＝AD+AD＝AD，S△DAC＝AC?CD＝AC?AD．∴S△ABC＝AC?BC＝AC?AD＝AC?AD，∴S△DAC：S△ABC＝AC?AD：AC?AD＝1：3，∴S△DAC：S△ABD＝1：2．故③錯(cuò)誤．∵AD平分∠CAB，∴點(diǎn)D到直線AB的距離等于CD的長度．故④正確．綜上，①②④正確，共3個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及作圖-基本作圖．熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．如圖，是的角平分線，，，，則的長為______．【答案】##【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，先用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，進(jìn)而根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，證明，設(shè)，在中，利用勾股定理求得的值，進(jìn)而在中，勾股定理即可求得的值．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，，，∴是直角三角形是的角平分線，在與中設(shè)，則在中，即解得在中故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)與判定，勾股定理與勾股定理的逆定理，證明三角形全等，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在中，，三角形的兩個(gè)外角和的平分線交于點(diǎn)E．則______．【答案】26°26度【分析】根據(jù)題意過點(diǎn)作三邊的垂線段，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，，進(jìn)而判定是的角平分線，根據(jù)角平分線的定義即可求得【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作三邊的垂線段，三角形的兩個(gè)外角和的平分線交于點(diǎn)E在的角平分線上，即是的角平分線故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)與判定，證明是的角平分線是解題的關(guān)鍵．8．如圖，是的平分線，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，的面積是36，則的長是______．【答案】##【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)，得出DE=DF，利用S△ABC=S△ABD+S△BCD得出，求解即可．【詳解】解：∵是的平分線，，，∴DE=DF，S△ABC=S△ABD+S△BCD=，解得．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線性質(zhì)，三角形面積，一元一次方程，掌握角平分線性質(zhì)，三角形面積，一元一次方程，關(guān)鍵是利用S△ABC=S△ABD+S△BCD列出方程．9．如圖，在中，是角平分線，于點(diǎn)，的面積為15，，，則的長是__________．

【答案】4【分析】過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，則由角平分線的性質(zhì)定理可得DF=DE=3，再由即可求得AC的長．【詳解】如圖，過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC∴DF=DE=3∵=15，AB=6∴即解得：AC=4

故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，面積的計(jì)算，關(guān)鍵是作垂線便于角平分線性質(zhì)定理的運(yùn)用．10．如圖，AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，S△ABC＝21，DE＝3，AB＝9，則AC長是_____．【答案】5【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=DF，再根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴S△ABC=×9×3+AC?3=21，解得AC=5．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．如圖，在中，是的中點(diǎn)，，，垂足分別是，．（Ⅰ）若，求證：是的角平分線；（Ⅱ）若是的角平分線，求證：．【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析【分析】(1)根據(jù)HL可證Rt△BED≌Rt△CFD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得DE=DF，再根據(jù)角平分線的判定即可求解；(2)根據(jù)AD為角平分線知ED=FD，再根據(jù)AD為BC中線和HL定理得知Rt△BED≌Rt△CFD．【詳解】解：（Ⅰ）∵是的中點(diǎn)，∴．∵，，∴．∵，∴≌（HL)．∴．∴點(diǎn)在的平分線上．∴是的角平分線．（Ⅱ）∵是的角平分線，，，∴，．∵是的中點(diǎn)，∴．∴≌（HL)．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生對(duì)角平分線的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是證明Rt△BED≌Rt△CFD．12．如圖，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，點(diǎn)E，D分別為垂足，CF＝CB．（1）求證：BE＝FD．（2）若AF＝4，AB＝6，求DF．【答案】（1）答案見解析（2）1【分析】（1）根據(jù)HL證明Rt△BCE與Rt△FCD全等，再利用全等三角形的性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)AAS證明△ADC≌△AEC全等，再利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）證明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，∴CE＝CD，在Rt△BCE和Rt△FCD中，，∴Rt△BCE≌Rt△FCD（HL），∴BE＝FD；（2）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，∴∠BAC=∠CAD，∠CDA=∠CEA=90°，在△ADC和△AEC中，，∴△ADC≌△AEC，∴AD=AE∵AF＝4，AB＝6，BE＝FD，∴AF+DF=AB-BE，∴4+DF=6-DF，∴2DF=2，∴DF=1．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，做題的關(guān)鍵是掌握三角形全等判定與性質(zhì)．13．如圖所示，BE＝CF，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD＝CD．求證：（1）△BDE≌△CDF；（2）AD是∠BAC的平分線．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）由HL證明Rt△BDE≌Rt△CDF即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)得DE=DF，再由角平分線的判定即可得出結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）；（2）由（1）得：△BDE≌△CDF，∴DE=DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是∠BAC的平分線．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線的判定，證明Rt△BDE≌Rt△CDF是解題的關(guān)鍵．14．已知∠MAN，AC平分∠MAN，D為AM上一點(diǎn)，B為AN上一點(diǎn)．（1）如圖①所示，若∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，求證：AB+AD＝AC；（2）如圖②所示，若∠MAN＝120°，∠ABC+∠ADC＝180°，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由．

【答案】（1）見解析；（2）成立，見解析【分析】（1）根據(jù)AC平分∠MAN，可得CB＝CD，∠CAB＝60°，即可證明RT△ACD≌RT△ACB，可得AD＝AB，再根據(jù)AC＝2AB，即可解題；（2）根據(jù)AC平分∠MAN，可得CB＝CD，∠CAB＝60°，易證∠FCD＝∠BCE，即可證明△CDF≌△CBE，可得BE＝DF，再根據(jù)（1）中證明AC＝AE+AF，即可解題．【詳解】解：（1）證明：∵AC平分∠MAN，∴CB＝CD，∠CAB＝60°，在Rt△ACD和Rt△ACB中，，∴Rt△ACD≌Rt△ACB（HL），∴AD＝AB，∵∠ACB＝90°﹣∠CAB＝30°，∴AC＝2AB，∴AD+AB＝AC；（2）成立，過C作CE⊥AN于E，CF⊥AM于F，

∵AC平分∠MAN，∴CB＝CD，∠CAB＝60°，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠DCB＝60°，∵∠FCE＝180°﹣∠BAD＝60°，∴∠FCE＝∠BCD，∵∠FCD+∠DCE＝∠FCE，∠BCE+∠DCE＝∠BCD，∴∠FCD＝∠BCE，在△CDF和△CBE中，，∴△CDF≌△CBE，（ASA）∴BE＝DF，∴AD+AB＝AD+AE+BE＝AD+DF+AE＝AE+AF，∵AC＝AE+AF，∴AD+AB＝AC．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△CDF≌△CBE是解題的關(guān)鍵．15．如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，EA⊥AB于點(diǎn)A，EB交AC于點(diǎn)D，且AD＝AE．

（1）求證：BD平分∠ABC；（2）如圖2，過E作EF⊥AC于點(diǎn)F．①求證：AF＝CD；②若BC＝6，AB＝10，則線段DE的長為_______．【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②．【分析】（1）首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠E＝∠ADE，然后根據(jù)等角的余角相等得到∠DBC＝∠ABE，即可證明BD平分∠ABC；（2）①過D作DH⊥AB于H，首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得到CD＝DH，然后根據(jù)同角的余角相等得到∠AEF＝∠DAH，利用AAS證明△ADH≌△EAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF＝DH，即可證明AF＝CD；②首先根據(jù)勾股定理求出AC的長度，然后證明Rt△BCD≌Rt△BHD（HL），根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到BH＝BC＝6，設(shè)AF＝CD