2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷2（新高考Ⅱ卷專用）（解析版）

2025年高考數(shù)學(xué)全真模擬卷02（新高考II卷專用）

（考試時(shí)間：120分鐘；滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)

在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.回答第II卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

求的。

1.（5分）（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z=^，貝Hz在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

3—1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)即可求解.

【解答過(guò)程】?--z=g=罌券=等=,辦z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為&|）,

???Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.

故選：A.

2.（5分）（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）已知命題pTxeR,x2—x+1<0,命題q:Vx>0,ex>cosx,

則（）

A.p和q都是真命題B.「p和q都是真命題

C.p和->q都是真命題D.-ip和-iq都是真命題

【解題思路】首先判斷命題p為假命題，令f（久）=e，-cosx,xe[0,+co）,利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，

即可判斷命題q為真命題，即可得解.

【解答過(guò)程】因?yàn)椋?-"+1=（乂-92+22m>0,所以VKCR,%2一乂+120恒成立，

\2/44

所以命題P為假命題，貝科P為真命題；

令/（%）=ex-cosx,xE[0,+8）,則尸（汽）=e*+sin%,

當(dāng)％G[0河時(shí)e*6[1,eK],sin%6[0,1],所以/'(%)>0,

當(dāng)xe(TT,+8)時(shí)e*>e">2,sinxe[—1,1],所以/''(x)>0,

所以/''(>)>o對(duì)任意的xe[o,+8)恒成立，所以/■(%)在[o,+8)上單調(diào)遞增，

所以/'CO>/(0)=0,即e*>cos*對(duì)任意的x6[0,+8)恒成立，故命題q為真命題，則->q為假命題；

所以rp和q都是真命題.

故選：B.

3.(5分)(2024.廣東.模擬預(yù)測(cè))已知向量2=(久+3,4),3=(%,-1),若恒+同=恒一可，則實(shí)數(shù)x的值

為()

A.4B.-4或1C.-1D.4或一1

【解題思路】將區(qū)+b\=\d-同平方化簡(jiǎn)得N-b=o,然后利用數(shù)量積的坐標(biāo)公式列式計(jì)算即可.

【解答過(guò)程】將口+b\=\a-同兩邊平方，得江j=0,

由2=(x+3,4),b=(x,-1)得(x+3)x+4x(-1)=0,

即/+3%-4=0,解得％=-4或1.

故選：B.

4.(5分)(2024?廣東韶關(guān)?一模)眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，它們的大小關(guān)系和數(shù)

據(jù)的分布形態(tài)有關(guān).根據(jù)某小區(qū)1000戶居民的月均用水量數(shù)據(jù)(單位：t),得到如圖所示的頻率分布直方

圖，記該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為p,中位數(shù)為小，平均數(shù)為總則()

C.m<x<pD.p<m<x

【解題思路】由頻率分布直方圖結(jié)合中位數(shù)以及眾數(shù)的計(jì)算即可比較大小.

【解答過(guò)程】觀察頻率分布直方圖，發(fā)現(xiàn)是屬于右邊“拖尾”，所以平均數(shù)元大于中位數(shù)為m,

由于第一個(gè)小矩形面積為4X0.060=0.24<0.50,

前2個(gè)小矩形面積之和為4X(0.060+0.080)=0.56>0.50,

所以中位數(shù)位于(5,9)之間，故可得0.240+(小一5)x0.080=0.5,解得m=8.25,

由頻率分布直方圖可知眾數(shù)p=?=7,

故p<m<X,

故選：D.

5.（5分）（2024?廣西來(lái)賓?模擬預(yù)測(cè)）一動(dòng)圓與圓/+*+4%=o外切，同時(shí)與圓久2+/一?—60=0

內(nèi)切,則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為（）

A.次+”=1B-F=1

95

C.J加=1D.加+次=1

25212521

【解題思路】計(jì)算兩個(gè)已知圓的圓心和半徑，根據(jù)圓的位置關(guān)系得到動(dòng)圓圓心到兩已知圓圓心距離和為定

值，結(jié)合橢圓的定義即可得到結(jié)果.

【解答過(guò)程】圓/+丫2+4*=0可化為（工+2）2+丫2=4,圓心。式一2,0）,半徑為2.

圓+*-4刀-60=0可化為(x—2)2+V=64,圓心。2(2,0),半徑為8.

設(shè)動(dòng)圓圓心為點(diǎn)P,半徑為r,圓P與圓。1外切于點(diǎn)M,圓P與圓。2內(nèi)切于點(diǎn)N,如圖所示:

由題意得，三點(diǎn)共線，MP,。?三點(diǎn)共線，MOi=2,O2N=8,PM=PN=r,

+PO2=(2+r)+(8-r)=10>0102,

.?.點(diǎn)P的軌跡為以。1，。2為焦點(diǎn)的橢圓，且2a=10,c=2,

.".a=5,b=V2T,

點(diǎn)P的軌跡方程為（+（=1.

故選：C.

6.（5分）（2024.吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（無(wú)）=sin（3x+R）,如圖4B是直線y=|與曲線y=/（x）

的兩個(gè)交點(diǎn)，|明='/（等）=一1,則f償）=（）

A.0B.-C.—D.--

222

【解題思路】設(shè)4卜1，3,812，鄉(xiāng)，依題可得，不―修=也結(jié)合Sinx=］的解可得13（*2—Xl）l=g，從而

得到3的值，再根據(jù)/（冢）=-1即可得f（x）=sin（4%-|n）,進(jìn)而求得f償）.

【解答過(guò)程】設(shè)4（卬9乃（如3,由|4B|=汨得小一石屋,

由sinx=L可知，久=2+2/CTT或X=@+2/rn,/cGZ,由圖可知，

266

當(dāng)3>0時(shí)，a）x2+（p-（3/+9）=|n—2=*，即3（%2—%i）=詈，???3=4；

當(dāng)3<0時(shí)，a）x1+g_（cox2+（p）=|n—即3（%i—x2）=3=—4；

綜上：3=±4;

因?yàn)橥粓D象對(duì)應(yīng)的解析式是一樣的，所以此時(shí)不妨設(shè)a=4,則/（%）=sin（4x+cp）,

因?yàn)閒（詈）=sin（詈+3）=-L

則---卜cp=2kn4——,kEZ,解得R=-----F2ku,k6Z,

623

所以f（x）=sin（4%—y+2/rrr）=sin（4x-gn）,

-?,f（*）=sin（詈—I71）=sin（2n+g）=sing=苧.

故選：C.

7.（5分）（2024?四川攀枝花?一模）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一

千多年，例如塹堵指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱；鱉席指的是四個(gè)面均為直角三角形

的三棱錐如圖，在塹堵ABC—&B1Q中，AACB=90°,若AC=BC=1,A&=2,直線/C與平面48%久

所成角的余弦值為（）

D

A.煙B.回C—D.巫

101033

【解題思路】以點(diǎn)c為原點(diǎn)，ca、CB、CC1所在直線分別為尤、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量

法與同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得直線BiC與平面4BB14所成角的余弦值.

【解答過(guò)程】在塹堵ABC—中，CCi_L平面ABC,/.ACB=90",AAr=2,AC=BC=1,

以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CA.CB、CQ所在直線分別為無(wú)、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則當(dāng)(0,1,2)、C(0,0,0)>4(1,0,0)、B(0,1,0),

西=(0,1,2),BA=(1,-1,0),西=(0,0,2),

設(shè)平面力的法向量元=(%,y,z),

n-BA=x—y=0

則取x=l,得元=(1,1,0),

.n-BB]=2z=0

設(shè)直線與平面a幽4所成角為氏貝bine=鼎=短=言

所以cos。=V1—sin2^=

因此，直線BiC與平面力所成角的余弦值為噤.

故選：A.

8.(5分)(2024?浙江杭州?一模)對(duì)V%W[l,+8),不等式((lna%)2-l)(e%-b)之0恒成立，則()

A.若QE(O,，)，貝！Jb<eB.若QC(0，)，貝帕〉e

C.若ae［，，e),則a"=D.若ae［，，e),貝！Jb。=ee

【解題思路】令a=g通過(guò)舉反例說(shuō)明選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C、D,通過(guò)分析可得(Ina%-l)(ex-b)>0

在［1,+8)

上恒成立，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=Ina%-l,y=e%-b有相同的零點(diǎn)，計(jì)算可得選項(xiàng)D正確.

【解答過(guò)程】由((Ina%/—l)(ex—b)>0得(Ina%—l)(lnax+l)(ex—b)>0,

對(duì)于選項(xiàng)A、B,若a€(0,，)，可令a=2，不等式可化為Qn%—3)(ln第—l)(e"—b)Z0,

當(dāng)%6怛3,+8)時(shí),Inx—3>OJnx-1>0,

要使(In%—3)(Inx—l)(ex—b)>0恒成立，則需e%—b>0,即b<e%恒成立，

xe

:?b<(e)min=e\

當(dāng)久G(e,e?)時(shí)，Inx—3<OJnx-1>0,

要使(In%—3)(Inx—l)(ex—ft)>0恒成立，則需e%—b<0,即b>e”恒成立,

:?b>Omax，

：.b>ee\

當(dāng)％e［1,e］時(shí)，Inx—3<OJnx—1<0,

要使(In%-3)(Inx-l)(ex-h)>0恒成立，則需e*-b>0,即b<e%恒成立,

x

:,b<(e)min=e,

綜上可得，不存在b使得不等式(In%-3)(ln%-l)(e%-b)20恒成立，選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)C、D,若aeRe),

VxE［1,+8)

?、i

?.ax>-e,

Inax+1>0,

要使不等式(Ina%—l)(lnax+l)(ex—b)>0恒成立,則需(Ina%—l)(ex—h)>0,

函數(shù)y=Inax—l,y=ex—b在［1,+oo)為增函數(shù)，

函數(shù)y=Inax-l,y=ex-b有相同的零點(diǎn)，

由得％=由得，

Ina%—1=0ae%—b=0x=\nb,

即

a=Inb,e=alnh,

/.lnee=\nba,

：.baee,選項(xiàng)D正確.

故選D.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的

要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.（6分）（2024.貴州黔南.一模）函數(shù)/（x）=Asin（a>x+⑴）（3>0,［如<］）的部分圖象如圖所示.下列說(shuō)

A.函數(shù)y=/O）在區(qū)間（￡,3）上單調(diào)

B.函數(shù)y=/（久）在區(qū)間（r,2n）上有兩個(gè)極值點(diǎn)

C.函數(shù)y=/（%）的圖象關(guān)于點(diǎn)（岸,0）中心對(duì)稱

D.函數(shù)y=/Q）的圖象與直線y=1在區(qū)間片詈］上有兩個(gè)公共點(diǎn)

【解題思路】根據(jù)圖象得到外幻=2sin（2久-J）,然后代入的方法判斷ABC選項(xiàng)，將f（x）的圖象與直線y=1

的交點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為方程“X）=1的根的個(gè)數(shù)，然后解方程判斷D選項(xiàng).

【解答過(guò)程】由圖象可知，最小正周期T=4一（一,）］X2=冗=爭(zhēng)

所以3=2,

'>lsin（2--+（/>）=2

將住,2）,（_a_2）代入/G：）中得［然也［2.（1）+同=_2，

結(jié)合|初<3解得

所以/（%）=2sin（2x—J,

工償?。?貝⑵-江e）詈），因?yàn)閥=2sinx在（詈，詈）上不單調(diào),

所以/（%）在上不單詭,故A錯(cuò)；

xG則2%—G03Tl23叫

因?yàn)閥=2sinx在（詈,等）上單調(diào)遞增，在（^，g）上單調(diào)遞減，

所以/⑺在償詈）,（手,2n）上單調(diào)遞增，在傳，詈）上單調(diào)遞減，

所以八%）在（r,2n）有兩個(gè)極值點(diǎn)，故B正確；

=2sin（2--=）=2siny=-2,所以（岸,0）不是f（%）的對(duì)稱中心，故C錯(cuò)；

令f（x）=2sin（2x—弓）=1,解得x=：+/cir,keZ或x=：+fcir,fceZ,

因?yàn)榈龋荩裕?田或泉所以f（x）的圖象與直線y=l在t，等］上有兩個(gè)公共點(diǎn)，故D正確.

故選：BD.

22

10.（6分）（2024?四川.一模）已知橢圓E:9+?=1的左頂點(diǎn)為4,左、右焦點(diǎn)分別為&F?，過(guò)點(diǎn)出的直

線與橢圓相交于P,Q兩點(diǎn)，則（）

A.|&尸21=1

B.\PQ\<4

C.當(dāng)F2，P，Q不共線時(shí)，△/2PQ的周長(zhǎng)為8

D.設(shè)點(diǎn)P到直線x=-4的距離為d,則d=2|P&|

【解題思路】根據(jù)橢圓方程、焦點(diǎn)弦性質(zhì)和橢圓定義可知ABC正誤；設(shè)P（xo，y。），結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式和

點(diǎn)在橢圓上可化簡(jiǎn)求得D正確.

【解答過(guò)程】

22

對(duì)于A,由題意知：a=2,b=-\/3,?1?c=Va—b-1,|F1F2|=2c=2,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,為橢圓C的焦點(diǎn)弦，??.|PQ|W2a=4,B正確；

對(duì)于C,■■\PF1\+\PF2\=IQF/+\QF2\=2a=4,

???△尸2「＜?的周長(zhǎng)為1尸。1+1尸尸21+收尸21=\PFI\+\PF2\+\QF1\+\QF2\=8,C正確；

對(duì)于D,作PM垂直于直線尤=-4,垂足為M,

設(shè)P(Xo，yo)，則d=|PM|=I比o+4],

22

Fi(-1,0),???\PF1\=7(%0+I)+yl=l(x0+l)+3-=J潴+2菊+4=/Qx0+2)=

Ilxo+2h

2|Pa|=I久o+4|,d=2|P0|,D正確.

故選：BCD.

11.(6分)(2024?廣東佛山.一模)已知函數(shù)/(x)=a/—3/+1,則下列命題中正確的是()

A.1是/(%)的極大值

B.當(dāng)—1Va<0時(shí)，/(a—1)</(a)

C.當(dāng)a〉2時(shí)，f(%)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)％°,且%。>0

D.若/(%)存在極小值點(diǎn)%1，且/(%1)=/(%2)，其中%1?%2,則支1+2%2=0

【解題思路】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)并對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類討論得出函數(shù)單調(diào)性，即可判斷了(%)在％=0處取得極大值

/(0)=1,即A正確；根據(jù)a的范圍得出單調(diào)性即可得出B正確；a>2時(shí)，/(x)的極小值/Q=1-^>0

在(0,+8)上沒(méi)有零點(diǎn)，所以C錯(cuò)誤；根據(jù)/(%)的極小值點(diǎn)%1，%2之間的關(guān)系，得出(%1-％2)2(久1+2%2)=0

即可判斷D正確.

【解答過(guò)程】由題意可得/(%)=ax3—3x2+1,/'(%)=3ax2—6x=3%(ax—2),

令尸(%)=0，當(dāng)a。0時(shí)，得x=0或％=|.

對(duì)于A,當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在(一8,§和(0,+8)上單調(diào)遞減，在&0)上單調(diào)遞增，所以f(x)在％=0處取得

極大值"0)=1;

當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(-8,0)和&+8)上單調(diào)遞增，在(0,￡)上單調(diào)遞減，所以八支)在x=0處取得極大值

/(0)=1；

當(dāng)a=0時(shí)，r(%)=—6久，/(x)在(—8,0)上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞減，所以/(x)在x=0處取得極

大值"0)=1,所以A正確；

對(duì)于B,當(dāng)—l<a<0時(shí)，/(%)在(三,0)上單調(diào)遞增，又(<—2>因?yàn)椤?<a—l<a<0,所以/(a-1)<

f(a),所以B正確；

對(duì)于C,當(dāng)a>0時(shí)，/(X)在(-8,0)上單調(diào)遞增,由于/(一1)"(0)=—。一2<0,所以f(x)在(一8,0)上存

在唯一的零點(diǎn)且小于0；

若a>2,則f(x)的極小值fQ=1-2>0,即f(x)在(0,+8)上沒(méi)有零點(diǎn)，所以f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)且

小于0,所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若/(X)存在極小值點(diǎn)，則X]=馬，即a=三，

CL比i

因?yàn)?(%i)=/(%2)，所以Q婢—3%1+1=a%2一3妊+1，

所以2好—3%1=—%2—3媛，2%2—3%1%2+^1=0,即(第1—%2)2(xl+2%2)=0，

X1

又%1H血，所以％1+2%2=0，所以D正確.

故選：ABD.

第n卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(5分)(2024?浙江溫州?一模)已知正項(xiàng)數(shù)列｛&J滿足工+工+-++4且的=。3,

則(12024—6069.

【解題思路】首先由遞推關(guān)系式得出｛aj是以為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，再代入n=1,結(jié)合的=即

可求出。2,最后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得答案.

【解答過(guò)程】因?yàn)椋鸻j為正項(xiàng)數(shù)列且上+上+…+^^+—=3①

a2a3^n^n+i^^n+i6

所以工+上+…+—--+'=工，②

ala2a2a3anan+lan+lan+2^an+26

②一①得^~\—+J-----=°'即％1+2-M+i=3,

an+lan+23a7i+2^an+l

所以｛a"是以。2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，

^^71=1口H=一，=。3，。3=。2+3,

ara23a26’’’”

所以+白=；，解得。2=3,

(。2+3)。23a26

。2。24=。2+2022X3=3+2022X3=6069.

故答案為：6069.

13.(5分)(2024?河南?模擬預(yù)測(cè))已知角a,￡的終邊不重合，且sina+23sB=sin/?+2cosa,則cos(a+/?)=

3

5

【解題思路】先利用輔助角公式及正弦的性質(zhì)得到a+H=7r+20+2Mr,k€Z,再結(jié)合誘導(dǎo)公式、倍角公

式可得cos(a+S)的值.

【解答過(guò)程】根據(jù)sina+2cos￡=sin/J+2cosa可得sina—2cosa=sin/3—23sB0V5sin(a—(p)=

V5sin(jff-(p),

其中銳角9滿足tan"=2,

故sin(a—w)=sinQ5-g)可得a—cp=p—cp+2kn,kEZ,或者a—(p+0—(p=K+2ku,kEZ,

由于a,/?的終邊不重合，故a—0+/?-0=TT+2kn,kGZ,

因此a+￡=n+2?+2kn,kEZ,

siMg—cos2（/?tan2</7—13

cosfcr+0）=cosfn+2口+2fcn）=cosfir+2（p）=—cos2（p=--------=---；-----=-

sm%+cosz（ptan%+15

故答案為：I.

14.（5分）（2024?安徽淮北?二模）在3x3的方格中，每個(gè)方格被涂上紅、橙、黃、綠四種顏色之一，若

每個(gè)2x2的方格中的四個(gè)小方格的顏色都不相同，則滿足要求的不同涂色方法的種數(shù)為72.

【解題思路】根據(jù)題意，第一個(gè)2x2的方格有四種涂法，假設(shè)第一個(gè)2x2的方格，涂如圖所示4BCD四種

顏色，分類求得不同的涂色方法，結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理，即可求解.

【解答過(guò)程】設(shè)四種顏色分別為28CD,對(duì)于第一個(gè)2x2的方格，共有用=24種不同的涂法，

假設(shè)第一個(gè)2x2的方格，涂如圖所示48CD四種顏色，

①若第三列的一個(gè)方格涂4第三列的第二方格涂C,則第三列的第三方格涂2或B,

當(dāng)?shù)谌械牡谌礁裢?時(shí),則第三行的第一、二方格，分別涂4B；

當(dāng)?shù)谌械牡谌礁裢緽時(shí),則第三行的第一、二方格，分別涂B,4

②若第三列的一個(gè)方格涂C,第三列的第二方格涂4則第三列的第三方格涂C或B,

當(dāng)?shù)谌械牡谌礁裢緾時(shí),則第三行的第一、二方格，分別涂4B；

當(dāng)?shù)谌械牡谌礁裢緽時(shí),則第三行的第二方格涂C,不合題意;

所以，共有3類涂法，則共有24X3=72種不同的涂色方法.

故答案為：72.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟。

15.（13分）（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為見(jiàn)仇c.已知cos2A=cosBcosC-

sinBsinC.

（1）求角力的大??；

（2）已知a=6,c=2百.求AZBC的面積.

【解題思路】（1）由兩角和的余弦公式化簡(jiǎn)結(jié)合二倍角的余弦公式即可求出cosA的值，進(jìn)而可求角4

（2）由余弦定理可得b,再利用三角形面積公式即可求出.

【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閏os24=cosBcosC-sinBsinC=cos（B+C）=COS（TT-4）=—cosZ,

即2cos2人—1=—cosX,解得cos4=1或cosA=—1.

因?yàn)樵贏中，o<a<rt,

所以4=/

(2)在AABC中，由余弦定理a?=爐+?2-2bccos4,

得62=b2+(2V3)2-4V3bxI，

整理得爐一2bb-24=0,

由b>0,解得6=4百，

所以△4BC的面積為另踞=IbcsinA=[x4V3x2V3x亨=6A/3.

16.(15分)(2024?廣西柳州?一模)已知函數(shù)/(x)=ax—Inx-

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=/(%)在處的切線方程；

(2)若f(x)有極小值，且極小值小于0,求a的取值范圍.

【解題思路】(1)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；

(2)求導(dǎo)，分析aW0和a>0兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和極值，分析可得1+Ina-3<0,構(gòu)建函

a

數(shù)解不等式即可.

【解答過(guò)程】(1)當(dāng)a=l時(shí)，貝l|/(x)=%—Inx—1,f'(x)-1—^

可得f(l)=0,f(1)=0,即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),切線斜率為k=0,

所以切線方程為y=0.

(2)f(x)定義域?yàn)?0,+8),且r(x)=a-§,

若a<0,貝1Jf'(x)<0對(duì)任意xe(0,+8)恒成立.

所以“X)在(0,+8)上單調(diào)遞減，無(wú)極值，不合題意，

若a>0,令/'(x)>0,解得x>令<0,解得無(wú)<

可知f(x)在(0,￡)上單調(diào)遞減，弓,+8)上單調(diào)遞增，

則/(x)有極小值/Q=1+Ina-無(wú)極大值，

由題意可得：f-1+Ina--<0,即1+lna—工<0.

J\ajaa

令g(a)=1+Ina一>0),g'(a)=^+^>0,g(a)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又g(l)=l,不等式1+InaV0等價(jià)于g(a)Vg(l),解得a<1,

又a>0,綜上a的取值范圍是0<a<l.

17.(15分)(2024?廣東?模擬預(yù)測(cè))如圖，在三棱柱ABC—4B1G中，側(cè)面BBiGC是邊長(zhǎng)為2的菱形,

其對(duì)角線交于點(diǎn)。.且4。，平面BBiGC.

⑴求證:BiCi平面4BG；

(2)若4818c=60。,02=OB,求平面718cl與平面ABC夾角的余弦值.

【解題思路】(1)通過(guò)證明BiC_LBC「40LB1C可證明結(jié)論；

(2)方法1,如圖建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面48G與平面ABC的法向量，然后由空間向量知識(shí)可得答

案；

方法2,取4B中點(diǎn)。，連接。D,CD,由題可得平面ABC1與平面ABC的夾角即為NODC,然后可得答案.

【解答過(guò)程】(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜝/C1C是菱形，所以/C1BG，

又因?yàn)?。1平面B/C1C,且B]Cu平面BBiQC,所以4。1/C.

又4。。-=。，AO,BGu平面ASG，所以3停1平面

(2)方法1,由8&=2,四邊形BBiGC為菱形，NB/C=60。，

則^BBiC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.

所以。q=OB=BCsin60°=2Xy=V3,0B1=OC=1,OA=OB=V3.

因?yàn)?。1平面881clC,OB1081，則以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

OB,0B],。4所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則8(百,0,0),G(-73,0,0),8式0,1,0),X(0,0,V3),C(0,-l,0),

則荏=(V3,0,-V3),BC=(-V3,-l,0),

設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為元=(x,y,z),

貝°歸%=V5z=°,取刀=1,則一0z=L故有=

易知平面力BG的一個(gè)法向量為記=(0,1,0),

則平面力BC1與平面4BC夾角e的余弦值

cose=|cos<m,n>\=|就|=|福|=

故平面力BC】與平面力BC夾角的余弦值為手；

方法2,由B/=2,四邊形BBiGC為菱形，Z.BrBC=60°,

則小B/C是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

所以。6=OB=BCsin60。=2xy=V3,OBr=OC=1,OA=OB=V3,

所以48=y/OA2+OB2=V6.

取4B中點(diǎn)D,連接。D,CD,

在等腰直角△40B中，。。14B且。。=2AB=?，

由勾股定理得力C=y/OA2+OC2=2.

因?yàn)锽C=2=4C,貝l|CDLAB,CD=y/BC2-BD2=J22-（當(dāng)j=手.

注意至I」。。1AB,CDLAB,平面4BQfl平面ABC=AB,

所以平面ABC1與平面ABC的夾角即為“DC.

在△ODC中，OC=1,OD*,CD=號(hào),貝1|0。2+。。2=亦，

即OC10。0cos乙ODC=—=—,

CD5

故平面力BCi與平面4BC夾角的余弦值為手.

18.（17分）（2024.陜西寶雞.二模）某趣味運(yùn)動(dòng)設(shè)置了“謎語(yǔ)競(jìng)猜”活動(dòng)，在活動(dòng)中設(shè)置①、②、③三道謎

語(yǔ)題，猜謎者按照一定的順序猜謎，只有猜對(duì)當(dāng)前謎語(yǔ)才能繼續(xù)競(jìng)猜下一道謎語(yǔ)，并且獲得本謎語(yǔ)的獎(jiǎng)金.每

次猜謎的結(jié)果相互獨(dú)立.猜對(duì)三道謎語(yǔ)的概率及獲得的相應(yīng)獎(jiǎng)金如下表：

謎語(yǔ)①②③

猜對(duì)的概率0.8p(0<p<1)0.5

獲得的獎(jiǎng)金(元)102030

(1)若p=0.5,按“①、②、③”的順序猜謎，求所獲獎(jiǎng)金至少為30元的概率；

(2)假設(shè)只按“①、②、③”和“③、②、①”兩種順序猜謎.若以猜謎所獲獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，按哪

種順序猜謎所獲獎(jiǎng)金更多？

【解題思路】(1)設(shè)事件4B,C,D,依題D=(ABC)U(ABC),根據(jù)事件力與事件ABC的互斥與AB,C的相

互獨(dú)立，利用概率公式計(jì)算即得；

(2)分兩種方案分別計(jì)算隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)取值的概率，列出分布列，計(jì)算期望值，作差比較即得.

【解答過(guò)程】(1)設(shè)“猜謎者①猜對(duì)”為事件A;“猜謎者②猜對(duì)”為事件&“猜謎者③猜對(duì)”為事件C.

記“所獲得獎(jiǎng)金至少為30元”為事件D,則包括獲得獎(jiǎng)金30元或60元.

獎(jiǎng)金30元指①、②猜對(duì)，③猜錯(cuò)，即事件力發(fā)生；

獎(jiǎng)金60元指①、②猜對(duì)，③猜對(duì)，即事件力BC發(fā)生.

因事件與事件4BC互斥，且相互獨(dú)立，

則P(D)=P(X5C)+PQ4BC)=PG4)P(8)P(G+PQ4)P(B)P(C)

=0.8x0.5x0.54-0.8x0.5x0.5=0.4.

即所獲得獎(jiǎng)金至少為30元的概率為0.4;

(2)若猜謎者按“①、②、③”的順序猜謎語(yǔ).

則他所獲獎(jiǎng)金X的所有可能取值為0,10,30,60(元)，

P(x=0)=1_0.8=0.2,

P(X=10)=0.8(1-p),

P[X=30)=0.8xpx0.5=OAp,

P(X—60)=0.8xpx0.5=0.4p,

列出X的分布列為：

X0103060

P0.20.8(1-p)0.4p0.4p

故E(X)=8(1—p)+12P+24P=28P+8；

若猜謎者按“③、②、①”順序猜謎語(yǔ).

則他所獲獎(jiǎng)金y的所有可能取值為0,30,50,60(元)，

P(Y=0)=0.5,

P(Y=30)=0.5(1-p),

P(y=50)=0.5px0.2=O.lp,

P(Y-60)=0.5xpx0.8=OAp,

列出y的分布列為：

Y0305060

P0.50.5(1-p)O.lp0.4p

故E(y)=15(1一p)+5p+24P=14P+15.

由E(X)-E(Y)=14p-7,

當(dāng)14p—7>0,即pe(0.5,1)時(shí)，應(yīng)按①、②、③順序猜謎所獲得獎(jiǎng)金更多；

當(dāng)14p-7=0,即p=0.5時(shí)，按①、②、③和③、②、①順序猜謎所獲獎(jiǎng)金一樣多；

當(dāng)14p-7