2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷4（新高考Ⅱ卷專用）含答案及解析

備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考H卷）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

求的。

i-2

1.復(fù)數(shù)z==，貝”的虛部為（）

1+1

3333

A.-iB.-C.一一D.一—i

2222

2.已知命題p：NV—,命題q：R,x2—5x+4=0,則下列命題中為真命題的是（）

A.p,qB.Y，qC.p,D.r,~^q

3.如圖，在VABC中，點O,E分別在AB,AC邊上，且麗=瓦，荏=3反，點F為DE中點，則麗

()

88428884

4.某實驗田種植甲、乙兩種水稻，面積相等的兩塊稻田（種植環(huán)境相同）連續(xù)5次的產(chǎn)如下:

甲/kg260250210250280

乙/kg220260230250290

則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.甲種水稻產(chǎn)量的眾數(shù)為250

B.乙種水稻產(chǎn)的極差為70

C.甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)等于乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)

D.甲種水稻產(chǎn)量的方差大于乙種水稻產(chǎn)量的方差

5.已知正方形ABC。的四個頂點都在橢圓上，且橢圓的兩個焦點分別為邊和BC的中點，則該橢圓的

離心率為（）

AOR6-1pA/5—1八百

2222

jr

6.已知函數(shù)/（x）=2cosx+l,xe萬的圖象與直線y=f有兩個交點，貝！R的最大值為（）

A.1B.2C.立+1D.6+1

2

7.在空間中，三個平面以8,PBC,B4c相交于一點P,已知/APB=/APC=/3PC=60。，則直線必與

平面P8C所成角的正弦值等于（）

A.逅B.WC.-D.也

3322

3加

8.已知正數(shù)以〃滿足——+1=2加，若〃z+2"V/l〃療恒成立，則實數(shù)力的最小值為（）

n

124

A.—B.—C.1D.一

4555

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.關(guān)于函數(shù)/（x）=sin12xq］+l（xeR）,下列說法正確的是（）

A.函數(shù)〃x）在［。,曰上最大值為5+1B.函數(shù)的圖象關(guān)于點（gj對稱

C.函數(shù)/（x）在（0$］上單調(diào)遞增D.函數(shù)/（x）的最小正周期為兀

10.過拋物線丁=?的焦點/作直線交拋物線于A,3兩點，M為線段A8的中點，過點A作拋物線的切

線B4,則下列說法正確的是（）

A.|AB|的最小值為4

B.當(dāng)費=3而時，|A理=g

C.以線段AB為直徑的圓與直線x=-l相切

D.當(dāng)最小時，切線承與準(zhǔn)線的交點坐標(biāo)為（-1,0）

11.已知函數(shù)/（力=/-3尤+1,貝IJ（）

A.〃x）有兩個極值點

B.點（0,1）是曲線y=〃x）的對稱中心

C./（x）有三個零點且三個零點的和為0

D.直線V=3x是曲線y=的切線

第n卷（非選擇題）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知等差數(shù)列｛。,｝的前”項和為，若%+%=14,出=-3,貝1］演=.

13.已知3sin〃-cos￡+3=0,sina=3sin（a+尸），則tan（（z+?）=.

14.某學(xué)校圍棋社團組織高一與高二交流賽，雙方各挑選業(yè)余一段、業(yè)余二段、業(yè)余三段三位選手，段位

越高水平越高，已知高二每個段位的選手都比高一相應(yīng)段位選手強一些，比賽共三局，每局雙方各派一名

選手出場，且每名選手只賽一局，勝兩局或三局的一方獲得比賽勝利，在比賽之前，雙方都不知道對方選

手的出場順序.則第一局比賽高一獲勝的概率為,在一場比賽中高一獲勝的概率為.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

15.（本小題滿分13分）在VABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且b（2+cosA）=JWasinB.

（1）求角A的大??；

（2）。是線段BC上的點，B.AD=BD^1,CD=2,求的面積.

16.(本小題滿分15分)已知函數(shù)/(x)=ax-1-(a+l)lnx(aeR).

X

⑴當(dāng)a=-l時，求曲線y=在點（e,-（e））處的切線方程;

(2)若/(x)既存在極大值，又存在極小值，求實數(shù)。的取值范圍.

17.(本小題滿分15分)如圖所示，四邊形A2CD為正方形，四邊形WE,CDEP為兩個全等的等腰梯形,

AB=4,EF//AB,AB=2EF,EA=ED=FB=FC=3.

(1)當(dāng)點N為線段AO的中點時，求證：ADLFN；

(2)當(dāng)點N在線段AO上時(包含端點)，求平面和平面ADE的夾角的余弦值的取值范圍.

18.(本小題滿分17分)某素質(zhì)訓(xùn)練營設(shè)計了一項闖關(guān)比賽.規(guī)定：三人組隊參賽，每次只派一個人，且每

人只派一次：如果一個人闖關(guān)失敗，再派下一個人重新闖關(guān)；三人中只要有人闖關(guān)成功即視作比賽勝利，

無需繼續(xù)闖關(guān).現(xiàn)有甲、乙、丙三人組隊參賽，他們各自闖關(guān)成功的概率分別為Pl、P2＞假定Pl、。2、

互不相等，且每人能否闖關(guān)成功的事件相互獨立.

321

(D計劃依次派甲乙丙進行闖關(guān)，若PI=I，P2=§，求該小組比賽勝利的概率；

(2)若依次派甲乙丙進行闖關(guān)，則寫出所需派出的人員數(shù)目X的分布，并求X的期望E(X)；

(3)已知1＞月＞°2＞。3,若乙只能安排在第二個派出，要使派出人員數(shù)目的期望較小，試確定甲、丙誰先派

出.

19.(本小題滿分17分)如圖，已知曲線6：5-丁=1,曲線G：|y|=W+i，尸是平面上一點，若存在過點

P的直線與G、C2都有公共點，則稱P為“G-C2型點”.

(1)證明：C的左焦點是“G-c2型點”；

(2)設(shè)直線y=質(zhì)與G有公共點，求證：陽＞1,進而證明原點不是“C「C2型點”；

(3)求證：｛紅,的弧+3＜1｝內(nèi)的點都不是“6-孰型點”.

備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考H卷）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

第II卷（非選擇題）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.1613.-14.--

336

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

15.（本小題滿分13分）

【解】（1）因為6（2+854）=6公1116,

由正弦定理得sinB（2+cosA）=V3sinBsinA.....................................1分

因為兀），所以sinB>0,所以百sinA—cosA=2,.....................................2分

因為Ae（O,兀），所以=即A=f......................................5分

OX。

（2）設(shè)8=。，因為4所以。=兀一,一6.....................................6分

333

2兀

因為AD=BD=1,所以NB4O=5=9,ZADC=20,ZDAC=--0f

AD_CD

在△ACD中，由正弦定理可知8分

sinCsinZDAC

1、

即2cos3——sin。cos。+—sin。,10分

22J

化簡可得。sin?=Y^cosO,即tanO=Y^,

2236

所以Sf=：A?BDsin(兀一26?)=；4?2閃1126?=：><1坂￥=￥...................13分

16.(本小題滿分15分)

【解】(1)當(dāng)。=-1時，函數(shù)”X)=T-L

X

求導(dǎo)得尸(X)=-IT，貝U/'(e)=!-l,而"e)=-e」，..................2分

xee

所以曲線y=/(尤)在點(e/(e))處的切線方程為y-(-eT)=(J-1)(尤-e),

12

即y=(丁-1)、—-?..................4分

ee

(2)函數(shù)/(%)=以一工一(。+1)111%的定義域為(0,+8),

x

求導(dǎo)得「(%)=〃+二-"Ll)x+I=QTJxT),...................5分

2"一(”22

xxxx

當(dāng)aW0時，ax-1<0,由/'(x)>0,得0<%<1,由廣(犬)<。，得x>l,

則函數(shù)/(%)在(0,1)上遞增，在(1,+8)上遞減，函數(shù)/(1)只有極大值/⑴，不合題意；.....7分

當(dāng)。>0時，由/'(%)=。，得尤=1或%=,，..................8分

a

111

①若0<—<1,即〃>1,由廣。)>0,得0<x<—或%>1,由/'(x)<0,得—<%<1,

aaa

則函數(shù)fM在(o」),(1,內(nèi))上遞增，在(L1)上遞減，

aa

因此函數(shù)/(尤)的極大值為，d),極小值為了⑴，符合題意；..................io分

a

111

②若一>1,即0<a<l,由尸(x)>0,得0cx<1或x>—,由/'(尤)<0,得l<x<一,

aaa

11

則函數(shù)fM在(0,1),(-,+a))上遞增，在(1-)上遞減，

aa

因此函數(shù)/(尤)的極大值為了⑴，極小值為/d),符合題意；..................12分

a

③若』=1,即a=l,由廣(x)2。在(0,+8)上恒成立，得在(0,+8)上遞增，

a

函數(shù)/(彳)無極值，不合題意，..................14分

所以。的取值范圍為(0,l)u(L+8).................15分

17.(本小題滿分15分)

【解】(1)因為點N為線段的中點，且=

所以AD_L￡7V,...................1分

因為印〃AB,且四邊形ABCD為正方形，故..................2分

所以AD_LEF,而ENCEF=E,EN,EFu平面EFN,

故AD,平面E7W,...................3分

又FNu平面EFN,所以AD_LRV；...................4分

(2)設(shè)正方形ABC。的中心為0,分別取AB,3C,E尸的中點為尸,Q,S,

設(shè)點H為線段AO的中點，由(1)知E,￡”,Q四點共面，且平面EF”,

連接OS,QSu平面故AT>J_OS,

又A￡)u平面ABC。，故平面ABCDJ.平面E”Qb，

且平面A3CE>n平面EHQF=HQ,

由題意可知四邊形即。尸為等腰梯形，故OSLHQ,

QSu平面EHQF,故OSJ_平面ABCZ),...................5分

故以o為坐標(biāo)原點，赤，而，麗為％y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

因為AB=4,則42,-2,0）,8（2,2,0）,。（一2,2,0）,。（一2,-2,0）,...................6分

又AB=2EF,故EF=2,

設(shè)EF到底面ABCD的距離為h,

四邊形CD所為兩個全等的等腰梯形，且灰〃至，

故E（0,—1,〃）,尸（0,1,，），又EA=ED=FB=FC=3,

故V22+l2+/z2=3,:/=2，則￡（0,-1,2）,F（0,1,2）,

AE=（-2,1,2）,AD=（^4,0,0），旃=（-2,-1,2）,麗=（0,-4,0）,

^AN=AAD,Ae[0,1],:.BN=BA+AN=BA+AAD=（-42,-4,0）,...................7分

設(shè)平面BFN的一個法向量為：=(x,%z),

h-BF=-lx-y+2z=Q

則令x=2,n=(2,—2Z,2—,9分

n-BN=-42x-4y=0

設(shè)平面ADE的一個法向量為而=(a,6,c),

in-AD=-4。=0

則令c=l,m=(0,—2,1),11分

m-AE=-2a+b+2c=0

故1cos(為，利=|m-n||3A+2|312分

阿?同式x，5-2-4/l+8V5

=2+—,mG—

133

則

小5,2

令〃。-1/+5,則/⑺在上單調(diào)遞增，

故當(dāng)仁|時，/(omin=/Q]=f1,當(dāng)舊時，〃<u=/0=i8,

A/10y/5

故e7o-,T

即平面BEV和平面ADE的夾角的余弦值得取值范圍為15分

IQ-'V-

18.(本小題滿分17分)

【解】(1)設(shè)事件A表示“該小組比賽勝利”，

貝|JP(A)=三+Lx4+Lx±x±=2..................4分

—44343224

(2)由題意可知，X的所有可能取值為1,2,3,

則尸(X=1)=R,尸(X=2)=(l-pjp2，尸(X=3)=(1-R)(1-2)，..................7分

所以X的分布為:

X123

PPi(1一P1)P2(l-A)(l-p2)

..................9分

所以E(X)=P|+2(l-p])p2+3(l-pi)(l-p2)=PiP2-2p]-p2+3；..................11分

(3)若依次派甲乙丙進行闖關(guān)，設(shè)派出人員數(shù)目的期望為瓦，

由(2)可知，=plp2-2pl-p2+3,..................12分

若依次派丙乙甲進行闖關(guān)，設(shè)派出人員數(shù)目的期望為當(dāng)，

貝!1馬=P3P2_2「3_「2+3,..................13分

EE

則i-2=(P1P2-2"-必+3)-(2。2-2P3一22+3)=P1P2-2P]-p3P2+2P3

=P2(P|-P3)-2(P「P3)=(P|-P3)(P2-2),..................15分

因為1>P1>P2>P3，所以PI-03>°，。2-2<0,

所以耳_石2<0，即&<心，..................16分

所以要使派出人員數(shù)目的期望較小，先派出甲...................17分

19.(本小題滿分17分)

【解】(1)孰的左焦點為網(wǎng)-百,0),

過歹的直線x=-g與C|交于|一6,±*,與C?交于卜石，土(百+1)),..................2分

故C1的左焦點為“G-C2型點”，且直線可以為x=-VL..................3分

fy=kx1

(2)直線y=kx與C?有交點，則閔+1=(兇一1)國=1,

若方程組有解，則必須因>1；..................5分

22

直線y=kx與J有交點，則[27日o^(l-2k)x=2,

[x-2y=2')

若方程組有解，則必須..................7分

故直線y=kx至多與曲線C1和C2中的一條有交點，即原點不是“G-CZ型點”..................8分

(3)以國+卜|=1為邊界的正方形區(qū)域記為D.

I）若點P在O的邊界上，則該邊所在直線與C1相切，與C?有公共部分,

即。邊界上的點都是“G-C2型點，，；9分

2）設(shè)P（Xo，yo）是區(qū)域。內(nèi)的點，即民|+上油<1,

假設(shè)PR,%）是“G-C2型點”,

則存在過點P的直線l：y—y0=k（x-Xo）與CI、C2都有公共點...................10分

i）若直線1與C2有公共點，直線1的方程化為丫=1?+丫0-1?0，假設(shè),區(qū)1,則

|kx+y0-kx0|<|kx|+|y0|+|kx0|<|x|+|y0|+|x0|<|x|+l,

可知直線1在C2：卜|=|x|+l之間，與C?無公共點，這與“直線1與Cz有公共點，，矛盾，

所以得到：與C?有公共點的直線1的斜率k滿足閃>1...................12分

y=fcr+y0—foc0

ii）假設(shè)1與Q也有公共點，則方程組x22有實數(shù)解.

--y^i

2

從方程組得(1一2k?)x?-4k(y。-kx。)x-2[(y。一kx0)+l]=0,

A2222222

=8(y()-2kx0y0+kx0+1-2k)=8[(y0-kx0)+1-k-k],由|x0|+|y0|<l........14分

22

因為卜0-5|4卜0|+|斗網(wǎng)<卜0|+即(1—卜0|)=同+卜o|(lTk|)<|k|^(y0-kx0)<k

222

所以，A=8[(yo-kxo)-k+l-k]<O,....................16分

即直線1與Q沒有公共點，與“直線1與Q有公共點”矛盾，于是可知尸不是“G-C?型點”.

證明完畢....................17分

2222

另解：A=8(yo-2kxoyo+kXo+l-2k)....................9分

222

4-f(k)=(x0-l)k-2kx0y0+y0,因為網(wǎng)+又|<1,所以

即x；-1<0.于是可知f(k)的圖像是開口向下的拋物線，且對稱軸方程為是k=........12分

X。一1

因為當(dāng)

所以f(k)在區(qū)間(-8,-1)上為增函數(shù)，在(1,+8)上為減函數(shù).....................14分

因為f⑴=|x0-y。『-1《(風(fēng)|+%|)2一1<0,f(-l)=|xo+yo『-14(|xo|+|yo|)2_l<O,

所以對任意|k|>l,都有f(k)<0,A=8[f(k)+l_k2]<0,....................16分

即直線1與G沒有公共點，與“直線1與Q有公共點”矛盾，于是可知尸不是“G-C?型點，，.

證明完畢.......................17分

備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷(新高考H卷)

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷(選擇題)

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

求的。

i-2

1.復(fù)數(shù)z==，貝”的虛部為()

1+1

【答案】B

【解析】z=Ii7-2T=句（i—2）曷（1—i）=-丁l+3i=一，1+尹3故z的虛部為53,故選：B

2.已知命題p：V尤GR,尤2</,命題g：R,x2—5x+4=0,則下列命題中為真命題的是（）

A.p,qB.rp,qC.p,rqD.->p,rq

【答案】B

【解析】對于命題P：采用特殊值法，取x=-l,可知P為假命題，M為真命題;

對于命題4：當(dāng)%=1時，x：-5%+4=。成立，故4為真命題，F(xiàn)1為假命題；故選：B.

3.如圖，在VABC中，點、D,E分別在AC邊上，且麗=詼，怎=3反，點、F為DE中點,則訪=

()

C.-BA+-BCD.-BA+-BC

88428884

【答案】C

—.1—.—._._.

【解析】因為點尸為中點，所以8歹=5(8￡>+8￡),又BD=DA，AE=3EC，

—.1―._.1—.1—,1—,1—,1―.1―.—.3--3一

所以Bb=_(BD+BE)=_BA+_(BC+_CA)=_BA+_BC+_(BA_BC)=_BA+_BC

242442888

4.某實驗田種植甲、乙兩種水稻，面積相等的兩塊稻田（種植環(huán)境相同）連續(xù)5次的產(chǎn)如下:

甲/kg260250210250280

乙/kg220260230250290

則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.甲種水稻產(chǎn)量的眾數(shù)為250

B.乙種水稻產(chǎn)的極差為70

C.甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)等于乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)

D.甲種水稻產(chǎn)量的方差大于乙種水稻產(chǎn)量的方差

【答案】D

【解析】對于A選項，甲種水稻產(chǎn)量的眾數(shù)為250,A對;

對于B選項，乙種水稻產(chǎn)的極差為290-220=70,B對;

260+250+210+250+280

對于C選項，甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)為=250,

5

220+260+230+250+290

乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)為=250,C對;

5

對于D選項，甲種水稻產(chǎn)量的方差為g(100+0x2+1600+900)=520,

乙種水稻產(chǎn)量的方差為g(900+100+400+0+1600)=600,D錯.

故選：D.

5.已知正方形ABC。的四個頂點都在橢圓上，且橢圓的兩個焦點分別為邊AD和8C的中點，則該橢圓的

離心率為()

ACR「A/5-1n5/3

2222

【答案】C

【解析】設(shè)正方形的邊長為2,邊AO和的中點分別為瓦尸，橢圓的長半軸長為a(a>0),半焦距為c

(c>0),

連接則2c=￡F=2,2a=DE+DF=l+yJl2+21=1+75-

V5-1

所以離心率e=￡2

a1+有2

JT

6.已知函數(shù)〃x)=2cosx+l,xe-,2TT的圖象與直線y=/有兩個交點，貝!R的最大值為()

A.1B.2C.也+1D.V3+1

2

【答案】D

【解析】由2cosx+l=，可得cosx=-----,

2

所以當(dāng)/時，由'=。。$光與＞==!有兩個交點可得=1的最大值為必

16」222

所以則f的最大值為百+1

故選：D

7.在空間中，三個平面B4B,PBC,E4c相交于一點P,已知NAP8=NAPC=/BPC=60。，則直線E4與

平面PBC所成角的正弦值等于（）

A.逅B.也C.-D.—

3322

【答案】A

【解析】如圖，作作A點在平面P2C射影為。，連接0E,0F,設(shè)以=2a.

C

因NAPB=NAPC=60°,則PE=尸尸=a,AE=AF=耳.

因AO_L平面PFOE,PE,PFu平面PFOE,則AO_LPE,AO_L尸產(chǎn)，且NAPO為以與平面尸8c所成角,

又AE_LPE,AF_LPF,OA[}AE=OA[yAF=A,04,AEu平面AOE,OA,AFu平面AOB,

則尸E_L平面AOE,P尸_L平面AOE

又OEu平面AOE,Obu平面A。尸，則OE_LP￡,OF_LPF.

又PO=PO,PE=PF,ZOEP=ZOFP=90°,則APOE三APOF,

?ZOPE=ZOPF=30°,結(jié)合尸E=PF=a,得PO="~a.

3

又總=2a,則AO=JPA2一AO,=亞〃,故必與平面PBC所成角的正弦值等于9=諉.

3PA3

故選：A

8.已知正數(shù)孤〃滿足1+1=2加，若根+療恒成立，則實數(shù)幾的最小值為（）

n

4

A1B.-C.1D.

-452?

【答案】D

12

【解析】因為根＞0,〃＞0,月f以in+2rlK=>——~\------?X,

nmn

因為"3m+1=2加，所以1工=9m等—」1，

nn3m

2m-lV22m-l/.4m2+8m-5,。

故-----+----------On----------z------<2,

（3m）m3m9m

4m2+8m-55（1Y8145/14丫44

9m29\mJ9m99\m5J55

當(dāng)且僅當(dāng)加=:,"=:時，等號成立，

42

故2242,實數(shù)2的最小值為4

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.關(guān)于函數(shù)〃x）=sin12x-3+l（xeR）,下列說法正確的是（）

A.函數(shù)在［。，曰上最大值為g+1B.函數(shù)〃尤）的圖象關(guān)于點對稱

C.函數(shù)/■⑺在（02上單調(diào)遞增D.函數(shù)?。┑淖钚≌芷跒樨?/p>

【答案】BD

【解析】對于A,當(dāng)xe［0,申時，20梟［1爭，-^<sin（2x--）<l,〃x）最大值為2,A錯誤；

233323

對于B因為/（亭）=sin（2x學(xué)-勺+1=1,則函數(shù)的圖象關(guān)于點傳,1］對稱，B正確;

對于C,當(dāng)xe（0,9時，函數(shù)y=sin尤在（1,馬上不單調(diào)，則〃x）在［o,力上不單調(diào)，

C錯誤；

對于D,函數(shù)〃x）的最小正周期7=三=無，D正確.

故選：BD.

10.過拋物線丁=4龍的焦點/作直線交拋物線于A,3兩點，M為線段AB的中點，過點A作拋物線的切

線E4,則下列說法正確的是（）

A.|AB|的最小值為4

B.當(dāng)衣=3麗時，|A8|=m

C.以線段A8為直徑的圓與直線x=-l相切

D.當(dāng)最小時，切線出與準(zhǔn)線的交點坐標(biāo)為(-1,0)

【答案】ACD

【解析】對于A,依題意可設(shè)直線的方程為彳=歿+1,4國,%),^(々，%)，M(x()，%),則占＞。，尤2＞。，

x=my+1

聯(lián)立2：,消x整理得/一4妙一4=0,

y=4x

貝什訪二一"代入=4x得占%=1，

則|AZ?|=%+x2+2=XfH----F2＞2/i------F2=4,當(dāng)且僅當(dāng)xt=x?=1時取等號,

所以|AB|的最小值為4,故A正確；

對于B,結(jié)合A可得AF=(1—方y(tǒng)j,FB=(Xj—1,y2),

由通=3而，得F"二%"1),解得,1,網(wǎng)"+々+2=?，故B錯誤；

[f=3%3

對于C,由題意得拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-l,焦點廠(1,。)，

設(shè)A,B,"在準(zhǔn)線上的射影為4,B',M',

則|M=|A4[,\BF\^\BB'\,\MM'\=^(\AA'\+\BB'\)=^(\AF\+\BF\)=^\AB\,

所以以線段AB為直徑的圓與直線X=-1相切，故C正確；

對于D,結(jié)合A可得，當(dāng)最小時，不妨取4(1,2),

則可設(shè)切線叢的方程為x="(y-2)+l,

聯(lián)立尸：心一2)+1,消x整理得/_4胡+81=0,

[y=4x

則A=164(8"-4)=0,解得九=1,所以切線總的方程為尤=匕1,

(x=y-1/、

聯(lián)立產(chǎn)二，解得x=-l,產(chǎn)。，即切線以與準(zhǔn)線的交點坐標(biāo)為(-1,0),故D正確.

故選：ACD.

11.已知函數(shù)/(x)=%3-3x+l,則()

A.有兩個極值點

B.點(0,1)是曲線y=〃x)的對稱中心

C./(x)有三個零點且三個零點的和為0

D.直線y=3x是曲線y=的切線

【答案】ABC

【解析】因為函數(shù)/(x)=d-3x+l,所以可x)=3--3,

令尸(x)=3x2-3=0,;.x=±l,

當(dāng)x<-l或x>l時，r(x)>0,“X)在(f,-1),(1,+8)上都單調(diào)遞增,

當(dāng)—1<X<1時，/(尤)<。，“X)在(-1,1)上單調(diào)遞減，

故工=-1為函數(shù)的極大值點，X=1為函數(shù)的極小值點，

即〃X)有兩個極值點，A正確；

[3/(%)+/(-%)=x3-3x+l+[(-x)3+3x+l]=2,

故點(o,l)是曲線y=〃x)的對稱中心，B正確；

由A可知/■(x)有兩個極值點x=±1,且/(-l)=3>0,f(l)=-l<0,

/(-2)=-8+6+1<0,/(2)=8-6+1>0,

結(jié)合的單調(diào)性可知函數(shù)在(-2,-1),(-1,1),(1,2)各有一個零點，

即函數(shù)〃元)有3個零點；

由于/(0)=1>0,故(-1,1)之間的零點處于(0,1)內(nèi),

不妨設(shè)這3個零點為國,工2，工3，且玉

滿足F(占)=/(%)=/。3)=0，

即%3-3%+1=(%-^)(%-%2)(%-%,)

32

=x-(x,+x2+A^)X+(%1X2+X2Xj+)X-%3%4%5

故X]+%+X3=0,c正確;

不妨設(shè)直線y=3x是曲線y=〃x)的切線，則滿足F(x)=3/-3=3,

則x=士忘，即切點坐標(biāo)為(0,372),(-72,-372),

而了(忘)=-四+1/30,川-&)=應(yīng)+1*-3近，

說明假設(shè)不成立，即直線y=3x不是曲線y=/(x)的切線，D錯誤，

故選：ABC

第n卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知等差數(shù)列｛%｝的前w項和為%若%+的=14,出=-3,貝”8=

【答案】16

【解析】設(shè)等差數(shù)列%的公差為

4+4d+%+8d=14q=-5

則有，解得:

%+d=—3d=2

所以S&=8x(—5)+^—x2=16.

13.已知3sin4一cos分+3=0,sina=3sin(a+/?),則tan(a+0=.

【答案】

【解析】由題意可知sina=sin[(a+￡)—/?]=sin(a+/7)cos0-cos(a+0sin￡=3sin(a+p),

所以sin(a+/?)(cos，-3)=cos(a+/3)sin0,

由題意可知cos(a+尸)wO,cos/?—3w0,

由3sin，—cos，+3=0可得3sin，=cos>0-3,

sin(a+/7)_sin(3_sin_1

所以tan(a+4)=

cos(6r+P)cos/3-33sin(33

14.某學(xué)校圍棋社團組織高一與高二交流賽，雙方各挑選業(yè)余一段、業(yè)余二段、業(yè)余三段三位選手，段位

越高水平越高，已知高二每個段位的選手都比高一相應(yīng)段位選手強一些，比賽共三局，每局雙方各派一名

選手出場，且每名選手只賽一局，勝兩局或三局的一方獲得比賽勝利，在比賽之前，雙方都不知道對方選

手的出場順序.則第一局比賽高一獲勝的概率為，在一場比賽中高一獲勝的概率為

【答案】!T

【解析】設(shè)40=1，2,3）為高一出場選手，耳"=1,2,3）為高二出場選手，其中i表示段位,

則第一局比賽中，共有（A，旦）,（A，j），（A，a），（4,與），（4,鳥），（4，旦），（4，旦），（4，與），（4,83），共9個基本事

件，其中高一能取得勝利的基本事件為（4，與），（怎即，（A也），共3個,

31

所以第一局比賽高一獲勝的概率為尸=§=],

在一場三局比賽中，共有不同的3x3x2x2=36種安排方法，

其中高一能獲勝的安排方法為（4片，&22,4為），（A，BPAB3，A52）,（A層，A4，AB3），（人與,483,4瓦），

（44，44，4坊），（4層,4與，4耳），共6種，故在一場比賽中高一獲勝的概率為尸=2=

366

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

15.（本小題滿分13分）在VA3