2025年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)復(fù)習(xí)：概率與統(tǒng)計(jì)答題技巧（原卷版）

解答題045類概率與統(tǒng)計(jì)答題模板

(分布列及期望方差、二項(xiàng)分布超幾何分布正態(tài)分布、條件概率全概率貝葉斯公

式、獨(dú)立性檢驗(yàn)與線性回歸直線方程、概率與數(shù)列及導(dǎo)數(shù)雜糅)

-?-----本節(jié)導(dǎo)航------?

模板01離散型隨機(jī)變量的分布列及期望方差的答題模板

模板02二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布的答題模板

模板03條件概率、全概率與貝葉斯公式的答題模板

模板04獨(dú)立性檢驗(yàn)與線性回歸直線方程的答題模板

模板05概率與數(shù)列及導(dǎo)數(shù)雜糅的答題模板

模板01■效里隨機(jī)變量的分布弧期望方模板〔

離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)字特征是新高考卷中的高頻考點(diǎn)，難度適中，常在解答題中出現(xiàn)，需要

重點(diǎn)復(fù)習(xí)。

@橫池西建

1.離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)

(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為X1，尤2，…，Xi，???,Xn，X取每一個(gè)值Xi(i=l,2,…,

W)的概率P(X=Xi)=pi，則表

……

XX1X2XiXn

???…

PPiP2PiPn

稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列.

(2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)：

?Pi>0(z=l,2,???,n)；②pi+p2H-----Hp"=l.

2.離散型隨機(jī)變量均值

(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為:

??????

XXIX2XiXn

??????

PPiP2PiPn

則稱線&=尤01+X202+…+…+為必為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值

的平均水平.

(2)若￥=<^+匕，其中a,b為常數(shù)，則￥也是隨機(jī)變量，且E(aX+b)=aE(X)+A

(3)①若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)=p；

②若X?B(mp),則￡(X)=牝.

3.離散型隨機(jī)變量方差

(1)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為

….??

XX\X2Xi

…

pPiP2Pi???Pn

則國(guó)—戈田)2描述了屬《=1,2,…，①相對(duì)于均值E(X)的偏離程度.而。(X)=￡(尤LE(X))2"為這些偏離程

度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，稱￡>(X)為隨機(jī)變量X的方差，并稱其算

術(shù)平方根而后為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.

(2)Z)(oX+Z?)=a2O(X).

(3)若X服從兩點(diǎn)分布，則￡>(X)=p(l—p).

(4)若X?3(〃,p),MD(X)=np(l~p).

4極運(yùn)用

(2022?全國(guó)?高考真題)甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽,比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10

分，負(fù)方得0分，沒有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.己知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中

獲勝的概率分別為0.5,0,4,0.8,各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

⑴求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；

(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.

)支式1.(2021?全國(guó)?高考真題)某學(xué)校組織“一帶一路"知識(shí)競(jìng)賽，有48兩類問題，每位參加比賽

的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正

確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個(gè)問

題回答正確得20分，否則得。分；8類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得。分，已知小明能正確

回答A類問題的概率為0.8,能正確回答8類問題的概率為0.6,且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).

（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；

（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

3

＞麥K（2。24四川宜賓?一模）現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)靶,某射手向甲靶射擊兩次,每次命中的概率為了,

每命中一次得1分，沒有命中得。分；向乙靶射擊一次，命中的概率為:，命中得2分，沒有命中得。分。

假設(shè)該射手完成以上三次射擊，且每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立.

⑴求該選手恰好命中一次的概率;

⑵求該射手的總得分X的分布列及其數(shù)學(xué)期望E（X）.

01橫板演煉

1.（2024?福建廈門?模擬預(yù)測(cè)）小李參加一種紅包接龍游戲：他在紅包里塞了24元，然后發(fā)給朋友4如

果A猜中，A將獲得紅包里的所有金額；如果A未猜中，A將當(dāng)前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友2,如果B猜中，A、B

平分紅包里的金額；如果8未猜中，8將當(dāng)前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友C,如果C猜中，A、8和C平分紅包里的

金額；如果C未猜中，紅包里的錢將退回小李的賬戶，設(shè)A、B、C猜中的概率分別為g,1,且A、B、

C是否猜中互不影響.

⑴求A恰好獲得8元的概率；

（2）設(shè)A獲得的金額為X元，求X的分布列及X的數(shù)學(xué)期望.

2.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）某中學(xué)為積極貫徹并落實(shí)教育部提出的“五育并舉"措施，在軍訓(xùn)期間成立了自動(dòng)

步槍社團(tuán)來促進(jìn)同學(xué)們德智體美勞全面發(fā)展，在某次軍訓(xùn)課上該自動(dòng)步槍社團(tuán)的某同學(xué)進(jìn)行射擊訓(xùn)練，已

知該同學(xué)每次射擊成功的概率均為g.

⑴求該同學(xué)進(jìn)行三次射擊恰好有兩次射擊成功的概率；

⑵若該同學(xué)進(jìn)行三次射擊，第一次射擊成功得2分，第二次射擊成功得2分，第三次射擊成功得4分，記X

為三次射擊總得分，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

3.（2024?山東煙臺(tái)?三模）為提高學(xué)生對(duì)航天科技的興趣，培養(yǎng)學(xué)生良好的科學(xué)素養(yǎng)，某學(xué)校組織學(xué)生參

加航天科普知識(shí)挑戰(zhàn)賽，比賽共設(shè)置A,B,C三個(gè)問題，規(guī)則如下：①每位參加者計(jì)分器的初始分均為50

分，答對(duì)問題4B,C分別加10分，20分，30分，答錯(cuò)任一題減10分；②每回答一題，計(jì)分器顯示累

計(jì)分?jǐn)?shù)，當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)小于40分或答完三題時(shí)累計(jì)分?jǐn)?shù)不足80分，答題結(jié)束，挑戰(zhàn)失敗；當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)大于

或等于80分時(shí)，答題結(jié)束，挑戰(zhàn)成功；③每位參加者按問題A,B,C順序作答，直至挑戰(zhàn)結(jié)束.設(shè)甲同學(xué)

431

能正確回答出問題A,B,C的概率分別為丁，且回答各題正確與否互不影響.

542

⑴求甲同學(xué)挑戰(zhàn)成功的概率；

(2)用X表示甲同學(xué)答題結(jié)束時(shí)答對(duì)問題的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).

模板02■蟀布何知羥正秀碰的翎模板;

二項(xiàng)分布、超幾何分布以及正態(tài)分布是新高考卷中頻繁出現(xiàn)的考點(diǎn)，難度適中，通常在解答題中進(jìn)行

考查，需要重點(diǎn)復(fù)習(xí)。

。模於我建

1.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布

獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)二項(xiàng)分布

在相同條件下重復(fù)做的n在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中

定義次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)事件A發(fā)生的概率為P，此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X?

試驗(yàn)B(n,p),并稱p為成功概率

A,(z=l,2,-??,〃)表示第i

計(jì)算次試驗(yàn)結(jié)果，則在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X=?=C￡

公式P(4A2A3…4)=p/(l-p)"F/=0,l,2,…，71)

P(AI)P(A2)-P(A?)

2.超幾何分布列

一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取〃件，其中恰有X件次品，則事件｛X=心發(fā)生的概率為尸(X

,,,,m,其中n},且nWN,MWN,〃,M,NGN*,稱分布列為超

幾何分布列.如果隨機(jī)變量X的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.

X01???m

CMLN-MC風(fēng)N—M

P???

C知C價(jià)

3.正態(tài)分布

正態(tài)曲線的特點(diǎn)

(1)曲線位于無軸上方，與無軸不相交；

(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線對(duì)稱;

(3)曲線在尤=〃處達(dá)到峰值一7=;

八/2兀

(4)曲線與無軸之間的面積為1；

(5)當(dāng)。一定時(shí)，曲線的位置由〃確定，曲線隨著〃的變化而沿x軸平移；

(6)當(dāng)〃一定時(shí)，曲線的形狀由。確定，c越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；°越大，曲線越

“矮胖”，表示總體的分布越分散.

正態(tài)分布的三個(gè)常用數(shù)據(jù)

⑴PQLKXW〃+c)=0.6826；

(2)P(/z—2<7<XW〃+2<7)=0.9544；

(3)P(/z—3<7<X4+3(T)=0.9974.

橫板運(yùn)用

＞哀倒1.(2024?陜西商洛?一模)甲、乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽、雙方約定采用五局三勝制(有一方先

2

勝三局即贏得比賽，比賽結(jié)束)，根據(jù)雙方以往的比賽情況可知每局比賽甲獲勝的概率是乙獲勝的概

率是g.假設(shè)每局比賽結(jié)果互不影響.

⑴求比賽進(jìn)行四局且甲獲勝的概率：

⑵比賽結(jié)束時(shí)、甲、乙共進(jìn)行了X局比賽，求X的分布列和期望.

)支式(2024?全國(guó)?三模)甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽規(guī)則：每一局比賽中，勝者得1分，負(fù)者

2

得。分，且比賽中沒有平局.根據(jù)以往戰(zhàn)績(jī)，每局比賽甲獲勝的概率為I,每局比賽的結(jié)果互不影響.

⑴經(jīng)過3局比賽，記甲的得分為X,求X的分布列和期望；

⑵若比賽采取3局制，試計(jì)算3局比賽后，甲的累計(jì)得分高于乙的累計(jì)得分的概率.

(2024?河北邯鄲?模擬預(yù)測(cè))體育老師想了解高三(1)班男學(xué)生100米達(dá)標(biāo)情況，首次隨機(jī)

抽查了12名男學(xué)生，結(jié)果有8名學(xué)生達(dá)標(biāo)，4名學(xué)生沒有達(dá)標(biāo).

⑴現(xiàn)從這12名男學(xué)生中隨機(jī)抽取3名，用X表示抽取的3名學(xué)生中沒有達(dá)標(biāo)的人數(shù)，求X的分布列和期望;

(2)為了提高達(dá)標(biāo)率，老師經(jīng)過一段時(shí)間的訓(xùn)練，第二次測(cè)試達(dá)標(biāo)率增加了;，現(xiàn)從該班男學(xué)生中任意抽取2

6

人，求至多兩次測(cè)試后，這兩人全部達(dá)標(biāo)的概率.

＞麥K(2024?廣東茂名?一模)近幾年，隨著新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革孕育興起，新能源汽車產(chǎn)業(yè)進(jìn)

入了加速發(fā)展的階段，我國(guó)的新能源汽車產(chǎn)業(yè)，經(jīng)過多年的持續(xù)努力，技術(shù)水平顯著提升、產(chǎn)業(yè)體系日趨

完善、企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)力大幅增強(qiáng)，呈現(xiàn)市場(chǎng)規(guī)模、發(fā)展質(zhì)量"雙提升”的良好局面.某汽車廠為把好質(zhì)量關(guān)，對(duì)送

來的某個(gè)汽車零部件進(jìn)行檢測(cè).

⑴若每個(gè)汽車零部件的合格率為0.9,從中任取3個(gè)零部件進(jìn)行檢測(cè)，求至少有1個(gè)零部件是合格的概率;

(2)若該批零部件共有20個(gè)，其中有4個(gè)零部件不合格，現(xiàn)從中任取2個(gè)零部件，求不合格零部件的產(chǎn)品數(shù)

X的分布列及其期望值.

＞哀創(chuàng)3.(2024,河南?模擬預(yù)測(cè))某大型公司進(jìn)行了新員工的招聘，共有10000人參與.招聘規(guī)則為:

前兩關(guān)中的每一關(guān)最多可參與兩次測(cè)試，只要有一次通過，就自動(dòng)進(jìn)入下一關(guān)的測(cè)試，否則過關(guān)失敗.若連

續(xù)通過三關(guān)且第三關(guān)一次性通過，則成功競(jìng)聘，已知各關(guān)通過與否相互獨(dú)立.

543

⑴若小李在第一關(guān)、第二關(guān)及第三關(guān)通過測(cè)試的概率分別為求小李成功競(jìng)聘的概率尸；

654

(2)統(tǒng)計(jì)得10000名競(jìng)聘者的得分X~N(420.5,10.752),試估計(jì)得分在442分以上的競(jìng)聘者有多少人.(四舍

五人取整)

附：若隨機(jī)變量X~N3b2）,則尸（〃-cr4X4〃+o■卜0.6827,尸（〃-2cr4X4;/+2o■卜0.9545

,支式(2024?湖南常德?一模)某市共有教師1000名，為了解老師們的寒假研修學(xué)習(xí)情況，評(píng)選研修先

進(jìn)個(gè)人，現(xiàn)隨機(jī)抽取了10名教師利用"學(xué)習(xí)APP"學(xué)習(xí)的時(shí)長(zhǎng)數(shù)據(jù)(單位：小時(shí))：35,43,90,83,50,

45,82,75,62,35.學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)不低于80小時(shí)的教師評(píng)為"研修先進(jìn)個(gè)人”.

⑴現(xiàn)從該樣本中隨機(jī)抽取3名教師的學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)，求這3名教師中恰有1名教師是研修先進(jìn)個(gè)人的概率.

(2)若該市所有教師的學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)X近似地服從正態(tài)分布其中b=10,〃為抽取的10名教師學(xué)習(xí)時(shí)

長(zhǎng)的樣本平均數(shù)，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題：

①試估計(jì)學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)不低于50小時(shí)的教師的人數(shù)(結(jié)果四舍五入到整數(shù))；

②若從該市隨機(jī)抽取的〃名教師中恰有忑名教師的學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)在［50,70］內(nèi)，則當(dāng)J的均值不小于32時(shí)，n的

最小值為多少？

附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N出吟,貝|尸(〃—bVXV〃+。)它0.6827,

P(〃一2(TWX<〃+2<T)a0.9545,尸(〃-3bVXW〃+3o■人0.9973.

@橫極演煉

1.（2024?甘肅白銀?一模）某導(dǎo)彈試驗(yàn)基地對(duì)新研制的AB兩種導(dǎo)彈進(jìn)行試驗(yàn)，A導(dǎo)彈每次擊中空中目標(biāo)、

3213

地面目標(biāo)的概率分別為=,彳，5導(dǎo)彈每次擊中空中目標(biāo)、地面目標(biāo)的概率分別為不:

4324

⑴若一枚A導(dǎo)彈擊中一個(gè)空中目標(biāo)，且一枚5導(dǎo)彈擊中一個(gè)地面目標(biāo)的概率為B，一枚A導(dǎo)彈擊中一個(gè)地

面目標(biāo)，且一枚5導(dǎo)彈擊中一個(gè)空中目標(biāo)的概率為外，比較Pi，P2的大??；

（2）現(xiàn)有兩枚A導(dǎo)彈，一枚8導(dǎo)彈，用來射擊兩個(gè)空中目標(biāo)，一個(gè)地面目標(biāo)（每枚導(dǎo)彈各射擊一個(gè)目標(biāo)），

請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)射擊方案，使得擊中目標(biāo)的個(gè)數(shù)的期望最大，并求此時(shí)擊中目標(biāo)的個(gè)數(shù)的分布列和期望.

2.（2024?上海長(zhǎng)寧?二模）盒子中裝有大小和質(zhì)地相同的6個(gè)紅球和3個(gè)白球；

（1）從盒子中隨機(jī)抽取出1個(gè)球，觀察其顏色后放回，并同時(shí)放入與其顏色相同的球3個(gè)，然后再?gòu)暮凶与S

機(jī)取出1個(gè)球，求第二次取出的球是紅球的概率；

⑵從盒子中不放回地依次隨機(jī)取出2個(gè)球，設(shè)2個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)為X,求X的分布、期望與方差；

3.（2024?海南?模擬預(yù)測(cè)）某大型公司進(jìn)行了新員工的招聘，共有來自全國(guó)各地的10000人參加應(yīng)聘.招聘

分為初試與復(fù)試.初試為筆試，已知應(yīng)聘者的初試成績(jī)X~N（80,32）.復(fù)試為闖關(guān)制：共有三關(guān)，前兩關(guān)中的

每一關(guān)最多可闖兩次，只要有一次通過，就進(jìn)入下一關(guān)，否則闖關(guān)失??；第三關(guān)必須一次性通過，否則闖

關(guān)失敗.若初試通過后，復(fù)試三關(guān)也都通過，則應(yīng)聘成功.

⑴估計(jì)10000名應(yīng)聘者中初試成績(jī)位于區(qū)間（83,86］內(nèi)的人數(shù)；

⑵若小王已通過初試，在復(fù)試時(shí)每次通過第一關(guān)、第二關(guān)及第三關(guān)的概率分別為I432且每次闖關(guān)是否

通過不受前面闖關(guān)情況的影響，求小王應(yīng)聘成功的概率P.

附：若隨機(jī)變量X?N.d）,則P{jLt-a<X<//+cr）?0.6827,P（//-2a<X<//+2cr）?

0.9545,P（//-3o-<X<//+3cr）?0.9973.

在概率論與統(tǒng)計(jì)學(xué)中，條件概率是一個(gè)極其重要的概念，它衍生出了兩個(gè)極為關(guān)鍵的公式一全概率

公式和貝葉斯公式，三類公式并稱為概率“三劍客”，是高考的重要考點(diǎn)，需強(qiáng)化練習(xí)

1.條件概率

條件概率的定義條件概率的性質(zhì)

已知B發(fā)生的條件下，A發(fā)生的概率，稱為B發(fā)生時(shí)A發(fā)生的條件概率，記為P(A|B).(1)OWP(B|A)W1,

當(dāng)P(8)>0時(shí)，我們有P(A|8)—'(8))?(其中，AA8也可以記成A8)(2)如果B和C是兩

個(gè)互斥事件，則P(B

類似地，當(dāng)P(A)>0時(shí)，A發(fā)生時(shí)B發(fā)生的條件概率為P(3|A)—錯(cuò)1UC|A)=P(fi|A)+

P(C\A)

2.全概率公式

一般地，設(shè)Ai，A2,4是一組兩兩互斥的事件，AIUA2U-UA?=/2,且P(4)>0,i=l,2,n,

則對(duì)任意的事件匹。B^=B(Al+A2+-+An)^BAl+BA2+-+BAn,有尸⑻=22(4)「(刎4)

1=1

,此公式為全概率公式.

(1)計(jì)算條件概率除了應(yīng)用公式P(8|A)=[")外,還可以利用縮減公式法，即P(JA尸""),其

中"(A)為事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)，"(AB)為事件AB包含的樣本點(diǎn)數(shù).

(2)全概率公式為概率論中的重要公式，它將對(duì)一個(gè)復(fù)雜事件A的概率的求解問題，轉(zhuǎn)化為了在不同情況

下發(fā)生的簡(jiǎn)單事件的概率的求和問題.

3.貝葉斯公式

一般地，設(shè)4，&廣，4是一組兩兩互斥的事件，有…=。且P(4)>0"=I，2,…,"，則對(duì)

任意的事件3=。P(5)>0有

P(BIa)一："(劇a)=N4)P(@A),占2...,〃

P?a)

Z=1

、曲橫極運(yùn)用

?*到1.(2022?全國(guó)?高考真題)在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年

齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖:

⑴估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；

（2）估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間［20,70）的概率；

⑶已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40,50）的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%,從該

地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間［40,50）,求此人患這種疾病的概率.（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡

位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.

）支式（2024?黑龍江雙鴨山?模擬預(yù)測(cè)）中華茶文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，博大精深，不但包含豐富的物質(zhì)文化,

還包含深厚的精神文化.其中綠茶在制茶過程中，在采摘后還需要經(jīng)過殺青、揉捻、干燥這三道工序.現(xiàn)在某

綠茶廠將采摘后的茶葉進(jìn)行加工，其中殺青、揉捻、干燥這三道工序合格的概率分別為;每道工序

59

的加工都相互獨(dú)立，且茶葉加工中三道工序至少有一道工序合格的概率為二.三道工序加工都合格的綠茶為

60

特級(jí)綠茶，恰有兩道工序加工合格的綠茶為一級(jí)綠茶，恰有一道工序加工合格的綠茶為二級(jí)綠茶，其余的

為不合格綠茶.

⑴在綠茶的三道工序中恰有兩道工序加工合格的前提下，求殺青加工合格的概率；

（2）每盒綠茶（凈重100g）原材料及制作成本為30元，其中特級(jí)綠茶、一級(jí)綠茶、二級(jí)綠茶的出廠價(jià)分別為

90元，60元，40元，而不合格綠茶則不進(jìn)入市場(chǎng).記經(jīng)過三道工序制成的一盒綠茶的利潤(rùn)為X元，求隨機(jī)

變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

（2023?全國(guó)?高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人

繼續(xù)投籃，若末命中則換為對(duì)方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃

的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

⑴求第2次投籃的人是乙的概率；

⑵求第i次投籃的人是甲的概率;

n

⑶已知：若隨機(jī)變量X,服從兩點(diǎn)分布，且P（X,=1）=1-P（X,=0）=q4=1,2,…,n,則E￡x,=2%.記

Vi=lZ=1

前〃次（即從第1次到第〃次投籃）中甲投籃的次數(shù)為y,求E（y）.

,變式（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)某電子元件制造廠有甲、乙、丙、丁4條生產(chǎn)線，現(xiàn)有40個(gè)該廠生產(chǎn)

的電子元件，其中由甲、乙、丙、丁生產(chǎn)線生產(chǎn)的電子元件分別為5個(gè)、10個(gè)、10個(gè)、15個(gè)，且甲、乙、

丙、丁生產(chǎn)線生產(chǎn)該電子元件的次品率依次為?

⑴若將這40個(gè)電子元件按生產(chǎn)線生產(chǎn)的分成4箱，現(xiàn)從中任取1箱，再?gòu)闹腥稳?個(gè)電子元件，求取到的

電子元件是次品的概率.

（2）若將這40個(gè)電子元件裝入同一個(gè)箱子中，再?gòu)倪@40個(gè)電子元件中任取1個(gè)電子元件，取到的電子元件

是次品，求該電子元件是乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的概率.

（2024?福建廈門?模擬預(yù)測(cè)）甲箱裝有2個(gè)黑球和4個(gè)白球，乙箱裝有2個(gè)黑球和3個(gè)白球,

這些球除顏色外完全相同.某人先從兩個(gè)箱子中任選一個(gè)箱子，再?gòu)闹须S機(jī)摸出一球.

⑴求摸出的球是黑球的概率；

（2）若已知摸出的球是黑球，用概率公式判斷該球取自哪個(gè)箱子的可能性更大.

,麥K（2024,安徽?模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)需要抽取甲、乙兩個(gè)箱子的商品，檢驗(yàn)其是否合格.其中甲箱中有9個(gè)

正品和1個(gè)次品；乙箱中有8個(gè)正品和2個(gè)次品.從這兩個(gè)箱子中隨機(jī)選擇一個(gè)箱子，再?gòu)脑撓渲械瓤赡艹?/p>

出一個(gè)商品，稱為首次檢驗(yàn).將首次檢驗(yàn)的商品放回原來的箱子，再進(jìn)行二次檢驗(yàn)，若兩次檢驗(yàn)都為正品,

則通過檢驗(yàn).首次檢驗(yàn)選到甲箱或乙箱的概率均為

⑴求首次檢驗(yàn)抽到合格產(chǎn)品的概率；

（2）在首次檢驗(yàn)抽到合格產(chǎn)品的條件下，求首次檢驗(yàn)選到的箱子為甲箱的概率；

⑶將首次檢驗(yàn)抽出的合格產(chǎn)品放回原來的箱子，繼續(xù)進(jìn)行二次檢驗(yàn)時(shí)有如下兩種方案：方案一，從首次檢

驗(yàn)選到的箱子中抽??；方案二，從另外一個(gè)箱子中抽取.比較兩個(gè)方案，哪個(gè)方案檢驗(yàn)通過的概率大.

頷橫板演煉

1.（2024?山東?一模）某商場(chǎng)在開業(yè)當(dāng)天進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，規(guī)定該商場(chǎng)購(gòu)物金額前200名的顧客，均可

獲得3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次中獎(jiǎng)的概率為g,每次中獎(jiǎng)與否相互不影響，中獎(jiǎng)1次可獲得50元獎(jiǎng)金，中獎(jiǎng)2

次可獲得100元獎(jiǎng)金，中獎(jiǎng)3次可獲得200元獎(jiǎng)金.

⑴求顧客甲獲得了100元獎(jiǎng)金的條件下，甲第一次抽獎(jiǎng)就中獎(jiǎng)的概率；

(2)若該商場(chǎng)開業(yè)促銷活動(dòng)的經(jīng)費(fèi)為1.5萬元，則該活動(dòng)是否會(huì)超過預(yù)算？請(qǐng)說明理由.

2.(2024?黑龍江大慶?一模)2024年7月12日，國(guó)家疾控局會(huì)同教育部、國(guó)家衛(wèi)生健康委和體育總局制定

并發(fā)布了《中小學(xué)生超重肥胖公共衛(wèi)生綜合防控技術(shù)導(dǎo)則》，其中一級(jí)預(yù)防干預(yù)技術(shù)的生活方式管理中就

提到了"少喝或不喝含糖飲料，足量飲水”，某中學(xué)準(zhǔn)備發(fā)布健康飲食的倡議，提前收集了學(xué)生的體重和飲食

習(xí)慣等信息，其中學(xué)生飲用含糖飲料的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：學(xué)校有;的學(xué)生每天飲用含糖飲料不低于500毫升，

12

這些學(xué)生的肥胖率為§;而每天飲用含糖飲料低于500毫升的學(xué)生的肥胖率為§.

⑴若從該中學(xué)的學(xué)生中任意抽取一名學(xué)生，求該生肥胖的概率；

(2)現(xiàn)從該中學(xué)的學(xué)生中任意抽取三名學(xué)生，記X表示這三名學(xué)生中肥胖的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

3.(2024?湖南?二模)現(xiàn)有甲、乙、丙三個(gè)工廠生產(chǎn)某種相同的產(chǎn)品進(jìn)入市場(chǎng)，已知甲、乙、丙三個(gè)工廠

生產(chǎn)的產(chǎn)品能達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的概率分別為3，3，現(xiàn)有某質(zhì)檢部門，對(duì)該產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，首先從

三個(gè)工廠中等可能地隨機(jī)選擇一個(gè)工廠，然后從該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品抽取一件進(jìn)行檢測(cè).

⑴若該質(zhì)檢部門的一次抽檢中，測(cè)得的結(jié)果是該件產(chǎn)品為優(yōu)秀等級(jí)，求該件產(chǎn)品是從乙工廠抽取的概率；

(2)因?yàn)槿齻€(gè)工廠的規(guī)模大小不同，假設(shè)三個(gè)工廠進(jìn)入市場(chǎng)的產(chǎn)品的比例為2回1回1,若該質(zhì)檢部門從已經(jīng)進(jìn)入

市場(chǎng)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，求能達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的產(chǎn)品的件數(shù)J的分布列及數(shù)學(xué)期望.

廠.一11匚------■—-ZZ1............................................―—-----.一一i

模板041獨(dú)立性檢驗(yàn)與線性回歸直線方程的答題模板

獨(dú)立性檢驗(yàn)與線性回歸直線方程本身知識(shí)點(diǎn)較為簡(jiǎn)單，但通常結(jié)合統(tǒng)計(jì)與概率的其他知識(shí)點(diǎn)聯(lián)合考查,

需重點(diǎn)強(qiáng)化練習(xí)

小橫於的建

獨(dú)立性檢驗(yàn)解題方法：

(1)依題意完成列聯(lián)表；(2)用公式求解；(3)對(duì)比觀測(cè)值即可得到所求結(jié)論的可能性

獨(dú)立性檢驗(yàn)計(jì)算公式：K2=-——n(ad’bc)——

線性回歸分析解題方法:

(1)計(jì)算工亍,趟；，"％%的值；(2)計(jì)算回歸系數(shù)°,機(jī)(3)寫出回歸直線方程$=隊(duì)+)

Z=1Z=1

n八

E(xi--y)Z玉弘一旃

線性回歸直線方程為：y=bx+a5=上匕------------=嚀----------a=y-bx

寸￡玉2_戒2

i=lZ=1

其中與，可為樣本中心，回歸直線必過該點(diǎn)

(4)線性相關(guān)系數(shù)(衡量?jī)蓚€(gè)變量之間線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱)

r>0,正相關(guān)；r<0,負(fù)相關(guān)

卜歸1,且卜|越接近于1,線性相關(guān)性越強(qiáng)；

上越接近于0,線性相關(guān)性越弱，71乎不存在線性相關(guān)性

?梗也三用

>哀創(chuàng)1.(2024?全國(guó)?高考真題)某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造，升級(jí)改造后，從該工廠甲、乙

兩個(gè)車間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下:

優(yōu)級(jí)品合格品不合格品總計(jì)

甲車間2624050

乙車間70282100

總計(jì)96522150

⑴填寫如下列聯(lián)表:

優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品

甲車間

乙車間

能否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？能否有99%的把握認(rèn)為甲，乙兩車間產(chǎn)品

的優(yōu)級(jí)品率存在差異？

⑵已知升級(jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率。=。5,設(shè)萬為升級(jí)改造后抽取的〃件產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率.如果

p>p+1.65,則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了，根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為生

產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了？（麗”12.247）

附：K2=Md-bc)]

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k]0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

）支式（2023?全國(guó)?高考真題）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng).實(shí)驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將

其中20只分配到實(shí)驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，實(shí)驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小

白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.

⑴設(shè)X表示指定的兩只小白鼠中分配到對(duì)照組的只數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

（2）實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：

對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?/p>

15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.1

32.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

實(shí)驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?/p>

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.2

19.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

（i）求40只小鼠體重的增加量的中位數(shù)相，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于相與不小于的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下

列聯(lián)表：

<m>m

對(duì)照組

實(shí)驗(yàn)組

（ii）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量

有差異.

n(ad-bc)2

附：K2=

(a+Z?)(c+d)(〃+c)(Z?+d)，

0.1000.0500.010

2

P(K>k0)2.7063.8416.635

,龔俐（2022?全國(guó)?高考真題）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計(jì)一

林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測(cè)量每棵樹的根部橫截面積（單位：n?）和材積量

（單位：n?）,得到如下數(shù)據(jù):

樣本號(hào)i12345678910總和

根部橫截面積占0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

材積量為0.250.400.220.540.510340.360.460.420.403.9

101010

并計(jì)算得》=0.038,=1.6158,，尤*=0.2474.

i=li=li=l

⑴估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

⑶現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186m2.已

知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值.

￡（%一君（乂一了）

附：相關(guān)系數(shù)r="，”頡1.377.

應(yīng)王一君吃（乂一寸

Vi=li=l

>之K（2024?山東淄博?二模）汽車尾氣排放超標(biāo)是導(dǎo)致全球變暖、海平面上升的重要因素.我國(guó)近幾

年著重強(qiáng)調(diào)可持續(xù)發(fā)展，加大新能源項(xiàng)目的支持力度，積極推動(dòng)新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展.某汽車制造企

業(yè)對(duì)某地區(qū)新能源汽車的銷售情況進(jìn)行調(diào)查，得到下面的統(tǒng)計(jì)表:

年份r20152016201720182019

年份代碼尤（x=t-2014）12345

銷量y（萬輛）1012172026

⑴計(jì)算銷量y關(guān)于年份代碼X的線性相關(guān)系數(shù)r,并判斷是否可以認(rèn)為y與x有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系（若

|r|>0.75,則認(rèn)為有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系）.若是，求出y關(guān)于x的線性回歸方程：若不是，說明理由；

⑵為了解購(gòu)車車主的性別與購(gòu)車種類（分為新能源汽車與傳統(tǒng)燃油汽車）的情況，該企業(yè)又隨機(jī)調(diào)查了該

地區(qū)100位購(gòu)車車主的購(gòu)車情況，假設(shè)一位車主只購(gòu)一輛車.男性車主中購(gòu)置傳統(tǒng)燃油汽車的有40名，購(gòu)

置新能源汽車的有30名：女性車主中有一半購(gòu)置新能源汽車.將頻率視為概率，已知一位車主購(gòu)得新能源

汽車，請(qǐng)問這位車主是女性的概率.

附：若（再，%），（馬，加），…為樣本點(diǎn),

n〃

Za-元）（％-》）z毛?-再

相關(guān)系數(shù)公式：產(chǎn)I“T]“=1“t1“；y=6x+a為回歸方程，則

叵（%-x）2??宜%（一y2）、fx；-湛,\宜資-ny

Vi=\Vi=iVz=ivz=i

nn

￡（x,-元）（%-y）-；母

卜_i=l_______________i=l___________

u_n—~~n‘a(chǎn)=y—bx?

f（x,.-君2麻2

Z=1Z=1

@橫極演煉

1.（2022?全國(guó)?高考真題）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分

為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患

該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù):

不夠良好良好

病例組4060

對(duì)照組1090

⑴能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？

（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件"選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好"，8表示事件"選到的人患有該疾

病、然普與饋號(hào)的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)’記該指標(biāo)為R-

P(A|B)P(A|B)

（回）證明:

P(才|B)P(A|豆)

（ffl）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出尸（A|3）,尸（A|乃的估計(jì)值，并利用（回）的結(jié)果給出R的估計(jì)值.

附K2=Mad-bcf

(a+Z?)(c+d){a+c)(b+d)

2

P[K>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

2.（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）已知某學(xué)校為提高學(xué)生課外鍛煉的積極性，開展了豐富的課外活動(dòng)，為了

解學(xué)生對(duì)開展的課外活動(dòng)的滿意程度，該校隨機(jī)抽取了350人進(jìn)行調(diào)查，整理得到如下列聯(lián)表：

課外活動(dòng)

性別合計(jì)

滿意不滿意

男150100250

女5050100

合計(jì)200150350

⑴根據(jù)小概率值。=0。5的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)課外活動(dòng)的滿意情況與性別因素有關(guān)聯(lián)？

（2）從這350名樣本學(xué)生中任選1名學(xué)生，設(shè)事件A="選到的學(xué)生是男生"，事件8="選到的學(xué)生對(duì)課外活

動(dòng)滿意”,比較尸（3⑷和尸（B間的大小,并解釋其意義,

附：/=_______________________

(a+6)(c+")(a+c)(Z?+d)

a0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

3.（2024?青海西寧?一模）某廠近幾年陸續(xù)購(gòu)買了幾臺(tái)A型機(jī)床，該型機(jī)床己投入生產(chǎn)的時(shí)間無（單位：年）

與當(dāng)年所需要支出的維修費(fèi)用y（單位：萬元）有如下統(tǒng)計(jì)資料：

X23456

y2.23.85.56.57.0

555_____

已知?；=90,=]40.78,=112.3,月§々8.9,0r4

Z=1Z=1Z=1

⑴計(jì)算y與X的樣本相關(guān)系數(shù)r（精確到0Q01）,并判斷該型機(jī)床的使用年限與所支出的維修費(fèi)用的相關(guān)

性強(qiáng)弱（若0.75VMV1，則認(rèn)為＞與x相關(guān)性很強(qiáng)，否則不強(qiáng)）.

（2）該廠購(gòu)入一臺(tái)新的A型機(jī)床，工人們分別使用這臺(tái)機(jī)床（記為X）和一臺(tái)已經(jīng)使用多年的A型機(jī)床（記

為Y）各制造50個(gè)零件，統(tǒng)計(jì)得出的數(shù)據(jù)如下表：

零件

機(jī)床合計(jì)

合格不合格

X4

Y40

合計(jì)

請(qǐng)將上面的2x2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為"零件合格情況是否與機(jī)床的使用情況有

關(guān)”.

模板05概率與數(shù)列及導(dǎo)數(shù)雜糅的答題模板

概率與數(shù)列及導(dǎo)數(shù)的綜合是新高考卷的新命題內(nèi)容，難度中等偏難，常在大題中考查，需重點(diǎn)復(fù)習(xí).

。模逆辿建

用數(shù)列和導(dǎo)數(shù)的分塊知識(shí)來證明數(shù)列、求和及證明單調(diào)性、求最值即可

、硒橫板運(yùn)用

1.（2023,全國(guó)?高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人

繼續(xù)投籃，若末命中則換為對(duì)方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃

的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

⑴求第2次投籃的人是乙的概率；

⑵求第i次投籃的人是甲的概率；

則n

⑶已知：若隨機(jī)變量X,服從兩點(diǎn)分布，且P（X,=1）=1-P（X,=0）=q4=1,2,…,n,E￡x,=2%.記

Vi=lZ=1

前”次（即從第1次到第〃次投籃）中甲投籃的次數(shù)為y,求E（y）.

,變式1.（2024,江蘇鹽城?模擬預(yù)測(cè)）某學(xué)校有A、8兩個(gè)餐廳，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在第一天就餐時(shí)會(huì)

隨機(jī)地選擇一個(gè)餐廳用餐.此后，如果某同學(xué)某天去A餐廳，那么該同學(xué)下一天還去A餐廳的概率為0.4；

如果某同學(xué)某天去8餐廳，那么該同學(xué)下一天去A餐廳的概率為0.8.

⑴記甲、乙、丙3位同學(xué)中第2天選擇A餐廳的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和期望；

（2）甲同學(xué)第幾天去A餐廳就餐的可能性最大？并說明理由.

）支式（2024?四川?模擬預(yù)測(cè)）在某月從該市大學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查了100人，并將這100人在本月的網(wǎng)

絡(luò)外賣的消費(fèi)金額制成如下頻數(shù)分布表（已知每人每月網(wǎng)絡(luò)外賣消費(fèi)金額不超過3000元）：

消費(fèi)金額（單位：百元）[0,5](5,10](10,15](15,20](20,25](25,30]

頻數(shù)2035251055

⑴由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為，該市大學(xué)生網(wǎng)絡(luò)外賣消費(fèi)金額Z（單位：元）近似地服從正態(tài)分布N（〃,</）,其

中〃近似為樣本平均數(shù)x（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點(diǎn)值，b=660）.現(xiàn)從該市任取20名大學(xué)生，記其中網(wǎng)絡(luò)

外賣消費(fèi)金額恰在390元至2370元之間的人數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望；

(2)A市某大學(xué)后勤部為鼓勵(lì)大學(xué)生在食堂消費(fèi)，特地給參與本次問卷調(diào)查的大學(xué)生每人發(fā)放價(jià)值100元的

飯卡，并推出一檔"勇闖關(guān)，送大獎(jiǎng)”的活動(dòng).規(guī)則是：在某張方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格、第60

格共61個(gè)方格棋子開始在第0格,然后擲一枚均勻的硬幣(已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是g，其中耳=1),

若擲出正面，將棋子向前移動(dòng)一格(從左到上+1),若挪出反面，則將棋子向前移動(dòng)兩格(從上到上+2).

重復(fù)多次，若這枚棋子最終停在第59格，則認(rèn)為“闖關(guān)成功"，并贈(zèng)送500元充值飯卡；若這枚棋子最終停

在第60格，則認(rèn)為“闖關(guān)失敗"，不再獲得其他獎(jiǎng)勵(lì)，活動(dòng)結(jié)束.

①設(shè)棋子移到第〃格的概率為8,求證：當(dāng)1V〃W59時(shí)，｛匕-*｝是等比數(shù)列；

②若某大學(xué)生參與這檔“闖關(guān)游戲"，試比較該大學(xué)生闖關(guān)成功與闖關(guān)失敗的概率大小，并說明理由.

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量自服從正態(tài)分布NO/,/),則尸("-b<《V〃+b)=0.6827,

尸(〃-2b<自<〃+2b)=0.9545,P("-3。<4<〃+3(T)=0.9973.

(2021?全國(guó)?高考真題)一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個(gè)這種微生

物為第。代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代......，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互

獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，P(X=i)=0,(i=O,l,2,3).

(1)已知Po=0.4,0]=0.3,02=。.2,03=?！?，求E(X)；

(2)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：20+。儼+0/+。3/=X的

一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)項(xiàng)X)VI時(shí)，p=l,當(dāng)E(X)>1時(shí)，p<l.

(3)根據(jù)你的理解說明(2)問結(jié)論的實(shí)際含義.

＞之K1.(2024?廣東汕頭?三模)假設(shè)甲同學(xué)每次投籃命中的概率均為

⑴若甲同學(xué)投籃4次，求恰好投中2次的概率.

(2)甲同學(xué)現(xiàn)有4次投籃機(jī)會(huì)，若連續(xù)投中2次，即停止投籃，否則投籃4