2025年臺(tái)州數(shù)學(xué)中考試題及答案

臺(tái)州數(shù)學(xué)中考試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題3分，共30分）

1.下列各數(shù)中，有理數(shù)是（）

A.$\sqrt{2}$

B.$\pi$

C.$\sqrt{9}$

D.$-\sqrt{16}$

2.已知$a=2$，$b=-3$，則$a^2+b^2$的值為（）

A.1

B.5

C.10

D.13

3.在$\triangleABC$中，$a=5$，$b=7$，$c=8$，則$\sinA$的值為（）

A.$\frac{5}{8}$

B.$\frac{7}{8}$

C.$\frac{8}{7}$

D.$\frac{8}{5}$

4.下列函數(shù)中，為奇函數(shù)的是（）

A.$f(x)=x^2$

B.$f(x)=|x|$

C.$f(x)=x^3$

D.$f(x)=\sqrt{x}$

5.若$x+y=3$，$xy=2$，則$x^2+y^2$的值為（）

A.7

B.5

C.9

D.11

6.已知$x=2$，$y=3$，則$\frac{x^2+y^2}{x-y}$的值為（）

A.4

B.5

C.6

D.7

7.下列各數(shù)中，無理數(shù)是（）

A.$\sqrt{4}$

B.$\sqrt{9}$

C.$\sqrt{16}$

D.$\sqrt{25}$

8.若$a=3$，$b=-2$，則$a^2-b^2$的值為（）

A.5

B.7

C.9

D.11

9.在$\triangleABC$中，$a=6$，$b=8$，$c=10$，則$\cosA$的值為（）

A.$\frac{3}{5}$

B.$\frac{4}{5}$

C.$\frac{5}{6}$

D.$\frac{6}{5}$

10.下列函數(shù)中，為偶函數(shù)的是（）

A.$f(x)=x^2$

B.$f(x)=|x|$

C.$f(x)=x^3$

D.$f(x)=\sqrt{x}$

二、填空題（每題5分，共25分）

1.已知$a=2$，$b=-3$，則$a^2+b^2$的值為_______。

2.在$\triangleABC$中，$a=5$，$b=7$，$c=8$，則$\sinA$的值為_______。

3.下列各數(shù)中，有理數(shù)是_______。

4.若$x+y=3$，$xy=2$，則$x^2+y^2$的值為_______。

5.已知$x=2$，$y=3$，則$\frac{x^2+y^2}{x-y}$的值為_______。

三、解答題（每題10分，共30分）

1.已知$a=2$，$b=-3$，求$a^2+b^2$的值。

2.在$\triangleABC$中，$a=5$，$b=7$，$c=8$，求$\sinA$的值。

3.已知$x+y=3$，$xy=2$，求$x^2+y^2$的值。

姓名：____________________

一、選擇題（每題3分，共30分）

1.下列各數(shù)中，有理數(shù)是（）

A.$\sqrt{2}$

B.$\pi$

C.$\sqrt{9}$

D.$-\sqrt{16}$

2.已知$a=2$，$b=-3$，則$a^2+b^2$的值為（）

A.1

B.5

C.10

D.13

3.在$\triangleABC$中，$a=5$，$b=7$，$c=8$，則$\sinA$的值為（）

A.$\frac{5}{8}$

B.$\frac{7}{8}$

C.$\frac{8}{7}$

D.$\frac{8}{5}$

4.下列函數(shù)中，為奇函數(shù)的是（）

A.$f(x)=x^2$

B.$f(x)=|x|$

C.$f(x)=x^3$

D.$f(x)=\sqrt{x}$

5.若$x+y=3$，$xy=2$，則$x^2+y^2$的值為（）

A.7

B.5

C.9

D.11

6.已知$x=2$，$y=3$，則$\frac{x^2+y^2}{x-y}$的值為（）

A.4

B.5

C.6

D.7

7.下列各數(shù)中，無理數(shù)是（）

A.$\sqrt{4}$

B.$\sqrt{9}$

C.$\sqrt{16}$

D.$\sqrt{25}$

8.若$a=3$，$b=-2$，則$a^2-b^2$的值為（）

A.5

B.7

C.9

D.11

9.在$\triangleABC$中，$a=6$，$b=8$，$c=10$，則$\cosA$的值為（）

A.$\frac{3}{5}$

B.$\frac{4}{5}$

C.$\frac{5}{6}$

D.$\frac{6}{5}$

10.下列函數(shù)中，為偶函數(shù)的是（）

A.$f(x)=x^2$

B.$f(x)=|x|$

C.$f(x)=x^3$

D.$f(x)=\sqrt{x}$

二、填空題（每題5分，共25分）

1.已知$a=2$，$b=-3$，則$a^2+b^2$的值為_______。

2.在$\triangleABC$中，$a=5$，$b=7$，$c=8$，則$\sinA$的值為_______。

3.下列各數(shù)中，有理數(shù)是_______。

4.若$x+y=3$，$xy=2$，則$x^2+y^2$的值為_______。

5.已知$x=2$，$y=3$，則$\frac{x^2+y^2}{x-y}$的值為_______。

三、解答題（每題10分，共30分）

1.已知$a=2$，$b=-3$，求$a^2+b^2$的值。

2.在$\triangleABC$中，$a=5$，$b=7$，$c=8$，求$\sinA$的值。

3.已知$x+y=3$，$xy=2$，求$x^2+y^2$的值。

姓名：____________________

一、選擇題（每題3分，共30分）

1.下列各數(shù)中，有理數(shù)是（）

A.$\sqrt{2}$

B.$\pi$

C.$\sqrt{9}$

D.$-\sqrt{16}$

2.已知$a=2$，$b=-3$，則$a^2+b^2$的值為（）

A.1

B.5

C.10

D.13

3.在$\triangleABC$中，$a=5$，$b=7$，$c=8$，則$\sinA$的值為（）

A.$\frac{5}{8}$

B.$\frac{7}{8}$

C.$\frac{8}{7}$

D.$\frac{8}{5}$

4.下列函數(shù)中，為奇函數(shù)的是（）

A.$f(x)=x^2$

B.$f(x)=|x|$

C.$f(x)=x^3$

D.$f(x)=\sqrt{x}$

5.若$x+y=3$，$xy=2$，則$x^2+y^2$的值為（）

A.7

B.5

C.9

D.11

6.已知$x=2$，$y=3$，則$\frac{x^2+y^2}{x-y}$的值為（）

A.4

B.5

C.6

D.7

7.下列各數(shù)中，無理數(shù)是（）

A.$\sqrt{4}$

B.$\sqrt{9}$

C.$\sqrt{16}$

D.$\sqrt{25}$

8.若$a=3$，$b=-2$，則$a^2-b^2$的值為（）

A.5

B.7

C.9

D.11

9.在$\triangleABC$中，$a=6$，$b=8$，$c=10$，則$\cosA$的值為（）

A.$\frac{3}{5}$

B.$\frac{4}{5}$

C.$\frac{5}{6}$

D.$\frac{6}{5}$

10.下列函數(shù)中，為偶函數(shù)的是（）

A.$f(x)=x^2$

B.$f(x)=|x|$

C.$f(x)=x^3$

D.$f(x)=\sqrt{x}$

二、填空題（每題5分，共25分）

1.已知$a=2$，$b=-3$，則$a^2+b^2$的值為_______。

2.在$\triangleABC$中，$a=5$，$b=7$，$c=8$，則$\sinA$的值為_______。

3.下列各數(shù)中，有理數(shù)是_______。

4.若$x+y=3$，$xy=2$，則$x^2+y^2$的值為_______。

5.已知$x=2$，$y=3$，則$\frac{x^2+y^2}{x-y}$的值為_______。

三、解答題（每題10分，共30分）

1.已知$a=2$，$b=-3$，求$a^2+b^2$的值。

2.在$\triangleABC$中，$a=5$，$b=7$，$c=8$，求$\sinA$的值。

3.已知$x+y=3$，$xy=2$，求$x^2+y^2$的值。

四、解答題（每題10分，共30分）

1.已知$a=2$，$b=-3$，求$a^2+b^2$的值。

解：$a^2+b^2=2^2+(-3)^2=4+9=13$

2.在$\triangleABC$中，$a=5$，$b=7$，$c=8$，求$\sinA$的值。

解：根據(jù)正弦定理，$\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}$，因此$\sinA=\frac{a}{c}=\frac{5}{8}$。

3.已知$x+y=3$，$xy=2$，求$x^2+y^2$的值。

解：由平方差公式，$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=3^2-2\cdot2=9-4=5$。

五、應(yīng)用題（每題10分，共20分）

1.某商店推出一種商品，原價(jià)100元，現(xiàn)價(jià)80元，顧客購買時(shí)還可以享受8折優(yōu)惠，求顧客最終需要支付的金額。

解：最終支付金額=80元×0.8=64元。

2.一個(gè)長方形的長是12厘米，寬是8厘米，求這個(gè)長方形的對(duì)角線長度。

解：對(duì)角線長度=$\sqrt{12^2+8^2}=\sqrt{144+64}=\sqrt{208}=4\sqrt{13}$厘米。

六、證明題（每題10分，共10分）

證明：若$a$，$b$，$c$是等差數(shù)列，$x$，$y$，$z$是等比數(shù)列，且$a+b+c=3$，$x\cdoty\cdotz=1$，則$a\cdotx+b\cdoty+c\cdotz=3$。

證明：因?yàn)?a$，$b$，$c$是等差數(shù)列，所以$b=\frac{a+c}{2}$。又因?yàn)?x$，$y$，$z$是等比數(shù)列，所以$y=\sqrt{x\cdotz}$。

由$a+b+c=3$，代入$b=\frac{a+c}{2}$得到$a+\frac{a+c}{2}+c=3$，即$2a+c=6$。

由$x\cdoty\cdotz=1$，代入$y=\sqrt{x\cdotz}$得到$x\cdot\sqrt{x\cdotz}\cdotz=1$，即$x\cdotz=\frac{1}{y^2}$。

因此$a\cdotx+b\cdoty+c\cdotz=a\cdotx+\frac{a+c}{2}\cdot\sqrt{x\cdotz}+c\cdotz=a\cdotx+\frac{a+c}{2}\cdot\frac{1}{y}+c\cdotz$。

代入$2a+c=6$和$x\cdotz=\frac{1}{y^2}$得到$a\cdotx+\frac{a+c}{2}\cdot\frac{1}{y}+c\cdotz=a\cdotx+\frac{6-2a}{2}\cdot\frac{1}{y}+c\cdotz$。

因?yàn)?a+c=6-2a$，所以$a\cdotx+\frac{6-2a}{2}\cdot\frac{1}{y}+c\cdotz=a\cdotx+\frac{6-2a}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{x\cdotz}}+c\cdotz$。

代入$x\cdotz=\frac{1}{y^2}$得到$a\cdotx+\frac{6-2a}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{y^2}}}+c\cdotz=a\cdotx+\frac{6-2a}{2}\cdoty+c\cdotz$。

因?yàn)?a+c=6-2a$，所以$a\cdotx+\frac{6-2a}{2}\cdoty+c\cdotz=a\cdotx+\frac{6-2a}{2}\cdoty+(6-2a)\cdotz$。

代入$a+c=6-2a$得到$a\cdotx+\frac{6-2a}{2}\cdoty+(6-2a)\cdotz=a\cdotx+3y+3z$。

因?yàn)?a+b+c=3$，所以$a\cdotx+3y+3z=a\cdotx+3\cdot\frac{a+b+c}{3}=a\cdotx+3$。

所以$a\cdotx+b\cdoty+c\cdotz=3$，證畢。

試卷答案如下：

一、選擇題答案：

1.C

2.D

3.A

4.C

5.A

6.B

7.D

8.A

9.B

10.A

解析思路：

1.有理數(shù)是可以表示為兩個(gè)整數(shù)比的數(shù)，$\sqrt{9}=3$是整數(shù)，所以是有理數(shù)。

2.平方和公式，$a^2+b^2=(a+b)(a-b)+2ab$，代入$a=2$，$b=-3$得到$2^2+(-3)^2=4+9=13$。

3.在直角三角形中，正弦值是對(duì)邊與斜邊的比值，由勾股定理$a^2+b^2=c^2$，得到$\sinA=\frac{a}{c}$。

4.奇函數(shù)滿足$f(-x)=-f(x)$，偶函數(shù)滿足$f(-x)=f(x)$，$x^3$是奇函數(shù)。

5.平方差公式，$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$，代入$x+y=3$，$xy=2$得到$3^2-2\cdot2=9-4=5$。

6.代入$x=2$，$y=3$，計(jì)算$\frac{x^2+y^2}{x-y}$得到$\frac{2^2+3^2}{2-3}=\frac{4+9}{-1}=-13$。

7.無理數(shù)是不能表示為兩個(gè)整數(shù)比的數(shù)，$\sqrt{25}=5$是整數(shù)，所以不是無理數(shù)。

8.平方差公式，$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，代入$a=3$，$b=-2$得到$3^2-(-2)^2=9-4=5$。

9.在直角三角形中，余弦值是鄰邊與斜邊的比值，由勾股定理$a^2+b^2=c^2$，得到$\cosA=\frac{c}$。

10.偶函數(shù)滿足$f(-x)=f(x)$，$x^2$是偶函數(shù)。

二、填空題答案：

1.13

2.$\frac{5}{8}$

3.$\sqrt{9}$

4.5

5.-13

解析思路：

1.代入$a=2$，$b=-3$，計(jì)算$a^2+b^2$得到13。

2.代入$a=5$，$b=7$，$c=8$，計(jì)算$\sinA$得到$\frac{5}{8}$。

3.$\sqrt{9}=3$是整數(shù)，所以是有理數(shù)。

4.代入$x+y=3$，$xy=2$，計(jì)算$x^2+y^2$得到5。

5.代入$x=2$，$y=3$，計(jì)算$\frac{x^2+y^2}{x-y}$得到-13。

三、解答題答案：

1.$a^2+b^2=13$

2.$\sinA=\frac{5}{8}$

3.$x^2+y^2=5$

解析思路：

1.直接計(jì)算$a^2+b^2$得到13。

2.根據(jù)正弦定理，$\sinA=\frac{a}{c}$，代入$a=5$，$c=8$得到$\frac{5}{8}$。

3.使用平方差公式，$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$，代入$x+y=3$，$xy=2$得到5。

四、應(yīng)用題答案：

1.64元

2.$4\sqrt{13}$厘米

解析思路：

1.直接計(jì)算80元×0.8得到64元。

2.使用勾股定理，$對(duì)角線長度=\sqrt{12^2+8^2}$，計(jì)算得到$4\sqrt{13}$厘米。

五、證明題答案：

證明：若$a$，$b$，$c$是等差數(shù)列，$x$，$y$，$z$是等比數(shù)列，且$a+b+c=3$，$x\cdoty\cdotz=1$，則$a\cdotx+b\cdoty+c\cdotz=3$。

證明：因?yàn)?a$，$b$，$c$是等差數(shù)列，所以$b=\frac{a+c}{2}$。又因?yàn)?x$，$y$，$z$是等比數(shù)列，所以$y=\sqrt{x\cdotz}$。

由$a+b+c=3$，代入$b=\frac{a+c}{2}$得到$a+\frac{a+c}{2}+c=3$，即$2a+c=6$。

由$x\cdoty\cdotz=1$，代入$y=\sqrt{x\cdotz}$得到$x\cdot\sqrt{x\cdotz}\cdotz=1$，即$x\cdotz=\frac{1}{y^2}$。

因此$a\cdotx+b\cdoty+c\cdotz=a\cdotx+\frac{a+c}{2}\cdot\sqrt{x\cdotz}+c\cdotz$。

代入$2a+c=6$和$x\cdotz=\frac{1}{y^2}$得到$a\