2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：數(shù)與導(dǎo)數(shù)核心考點深度剖析與壓軸題解答策略（講義）（原卷版）

專題07函數(shù)與導(dǎo)數(shù)核心考點深度剖析與壓軸題解答策略

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03知識梳理?方法技巧............................................................4

04真題研析?精準(zhǔn)預(yù)測............................................................5

題型一：含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性討論9

題型二：導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式的綜合問題11

題型三：雙變量問題13

題型四：證明不等式15

題型五：極最值問題17

題型六：零點問題19

題型七：不等式恒成立問題20

題型八：極值點偏移問題與拐點偏移問題23

題型九：利用導(dǎo)數(shù)解決一類整數(shù)問題25

題型十：導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題27

題型十一：洛必達法則29

題型十二：導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合問題32

重難點突破：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)背景下的新定義壓軸解答題34

差情;奏汨?日標(biāo)旦祐

本節(jié)內(nèi)容在高考中常作為壓軸題出現(xiàn)，涉及函數(shù)零點個數(shù)、不等式證明及存在性等問題，綜合性強且

難度較大。解決這類導(dǎo)數(shù)綜合問題，需要綜合運用分類討論、構(gòu)造函數(shù)、等價轉(zhuǎn)化、設(shè)而不求等多種思維方

法，并結(jié)合不等式、方程等相關(guān)知識。這類問題不僅思維難度大，而且運算量也相當(dāng)可觀?？梢哉f，考生一

旦攻克了本節(jié)內(nèi)容，就將具備出色的邏輯推理'數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析和直觀想象等核心素養(yǎng)。

考點要求目標(biāo)要求考題統(tǒng)計考情分析

2024年天津卷第20題，16分函數(shù)與導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)

2023年I卷第19題，12分中占據(jù)重要地位，不僅是重點

掌握技巧，靈活

不等式2023年甲卷第21題，12分

應(yīng)用求解考查內(nèi)容，也是高等數(shù)學(xué)的基

2023年天津卷第20題，16分

礎(chǔ)。通過對近十年高考數(shù)學(xué)試

2022年H卷第22題，12分

題的分析，可以總結(jié)出五大核

2024年II卷第16題，15分

明確概念，掌握心考點：一是含參函數(shù)的單調(diào)

極最值2023年乙卷第21題，12分

求解方法性、極值與最值問題；二是函

2023年H卷第22題，12分

數(shù)的零點求解問題；三是不等

2024年I卷第18題，17分

式恒成立與存在性的探討；四

2024年甲卷第21題，12分

理解概念，熟練是函數(shù)不等式的證明技巧；五

恒成立與有解2022年北京卷第20題，12分

轉(zhuǎn)化求解是導(dǎo)數(shù)中涉及三角函數(shù)的問

2021年天津卷第20題，16分

2020年I卷第21題，12分題。其中，函數(shù)不等式證明中

的極值點偏移、隱零點問題、

2022年甲卷第21題，12分含三角函數(shù)形式的問題以及

理解原理，熟練

零點問題2022年I卷第22題，12分不等式的放縮技巧，是當(dāng)前高

求解應(yīng)用

2022年乙卷第20題，12分考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題的熱門

考點。

〃用識導(dǎo)圖?思維引航\\

//40w

1、對稱變換

主要用來解決與兩個極值點之和、積相關(guān)的不等式的證明問題.其解題要點如下：（1）定函數(shù)（極值

點為％0）,即利用導(dǎo)函數(shù)符號的變化判斷函數(shù)單調(diào)性，進而確定函數(shù)的極值點XO.

（2）構(gòu)造函數(shù)，即根據(jù)極值點構(gòu)造對稱函數(shù)尸（%）=/（%）-/（2%-%）,若證片，則令

斤（x）=/（x）-）（馮.

X

（3）判斷單調(diào)性，即利用導(dǎo)數(shù)討論尸（龍）的單調(diào)性.

（4）比較大小，即判斷函數(shù)廠（無）在某段區(qū)間上的正負，并得出/（%）與/（2%-%）的大小關(guān)系.

（5）轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)“口的單調(diào)性，將,（x）與/（2%—X）的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為X與2蒞-％之間的

關(guān)系，進而得到所證或所求.

【注意】若要證明/［土產(chǎn)］的符號問題，還需進一步討論二手與項的大小，得出工裝所在的

單調(diào)區(qū)間，從而得出該處導(dǎo)數(shù)值的正負.

構(gòu)造差函數(shù)是解決極值點偏移的一種有效方法，函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿

于整個高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)

在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單

調(diào)性進行全面、準(zhǔn)確的認識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點，構(gòu)造一個

適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能

獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效

2、應(yīng)用對數(shù)平均不等式后＜廠工一＜”區(qū)證明極值點偏移：

inin乙

①由題中等式中產(chǎn)生對數(shù)；

②將所得含對數(shù)的等式進行變形得到高茫］；

inXy-inA2

③利用對數(shù)平均不等式來證明相應(yīng)的問題.

3、比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明

題中的不等式即可.

0

II真題研析?精準(zhǔn)頸測N

1.(2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)已知函數(shù)〃x)=(l-*ln(l+x)-x.

⑴當(dāng)a=—2時，求/(X)的極值；

⑵當(dāng)MO時，/(%)>0,求4的取值范圍.

2.(2024年天津高考數(shù)學(xué)真題)已知函數(shù)/(x)=xlnx.

⑴求曲線y=在點(I"⑴)處的切線方程；

(2)若-6)對任意(0,+8)成立，求實數(shù)。的值;

⑶若入,9?0」)，求證：|/(x1)-/(x2)|<|x1-x2|i.

3.(2024年新課標(biāo)全國II卷數(shù)學(xué)真題)已知函數(shù)/(》)=1-依-/.

(1)當(dāng)a=l時，求曲線y=/W在點。，/⑴)處的切線方程；

(2)若/(尤)有極小值，且極小值小于0,求。的取值范圍.

4.(2024年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題)已知函數(shù)〃x)=ln—+亦+6(%-1)3

(1)若b=0,且/(無)20,求a的最小值；

(2)證明：曲線y=/(尤)是中心對稱圖形；

⑶若/。)>-2當(dāng)且僅當(dāng)1<%<2,求》的取值范圍.

5.(2023年北京高考數(shù)學(xué)真題)設(shè)函數(shù)/(幻=%-%3*+,,曲線y=/(x)在點(11(1))處的切線方程為

y=-x+l.

(1)求。力的值;

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=/'(x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑶求/Xx)的極值點個數(shù).

6.(2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(文)真題)已知函數(shù)〃x)=[：+a]ln(l+x).

⑴當(dāng)a=-1時，求曲線y=/(x)在點(1,f⑴)處的切線方程.

(2)若函數(shù)在(0,+8)單調(diào)遞增，求。的取值范圍.

sinx(Jr

7.(2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(文)真題)已知函數(shù)〃”=依——-,xe0,-

COSXk，

(1)當(dāng)a=l時，討論/(x)的單調(diào)性；

⑵若〃x)+sinx<0,求”的取值范圍.

QinY(JT?

8.(2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)已知函數(shù)/(x)=or———,xe0,-

cosxv2J

⑴當(dāng)。=8時，討論了(無)的單調(diào)性；

⑵若f(x)<sin2尤恒成立，求。的取值范圍.

9.(2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)已知函數(shù)/(x)=(j+ajln(l+x).

⑴當(dāng)a=-1時，求曲線y=“X)在點(1,/⑴)處的切線方程；

(2)是否存在a,b,使得曲線y=關(guān)于直線x=b對稱，若存在，求a,6的值，若不存在，說明理由.

⑶若〃x)在(0,+8)存在極值,求a的取值范圍.

10.(2023年天津高考數(shù)學(xué)真題)已知函數(shù)〃x)=/+gjln(x+：l).

(1)求曲線y=f(x)在x=2處的切線斜率；

(2)求證:當(dāng)無>0時,/(%)>1；

(3)證明:—<ln(n!)-ln+—llnn+n<l.

11.(2023年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題)已知函數(shù)/(x)=a(e，+a)-尤.

⑴討論/(X)的單調(diào)性；

3

(2)證明：當(dāng)〃>0時，/(x)>21n?+-.

12.(2023年新課標(biāo)全國H卷數(shù)學(xué)真題)(1)證明：當(dāng)0<%<1時，x-%2<sinx<x;

(2)已知函數(shù)"x)=cosox-ln(l-x2),若％=。是/⑴的極大值點，求。的取值范圍.

13.(2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題)已知a,beR,函數(shù)/(x)=e*-asinx,g(x)=Z??

⑴求曲線y=/(x)在(0,〃0))處的切線方程；

(2)若曲線y=/(%)和y=g(%)有公共點，

(i)當(dāng)a=0時，求b的取值范圍；

(ii)求證：+人2>?.

㈤5

孩心精說，題型突破

題型一：含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性討論

【典例1-1】設(shè)/(x)=(尤?+a尤+,aeR.

(1)若a=0,求/(x)在x=l處的切線方程；

⑵若aeR,試討論了(尤)的單調(diào)性.

【典例1-2］已知函數(shù)〃x)=ln(l-x)+Aln(l+x),左20.

⑴若函數(shù)“X)存在一條對稱軸，求左的值；

(2)求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間.

1、導(dǎo)函數(shù)為含參一次型的函數(shù)單調(diào)性

導(dǎo)函數(shù)的形式為含參一次函數(shù)時，首先討論一次項系數(shù)為0,導(dǎo)函數(shù)的符號易于判斷，當(dāng)一次項系數(shù)

不為零，討論導(dǎo)函數(shù)的零點與區(qū)間端點的大小關(guān)系，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)圖像判定導(dǎo)函數(shù)的符號，寫出函數(shù)的單調(diào)

區(qū)間.

2、導(dǎo)函數(shù)為含參二次型函數(shù)的單調(diào)性

當(dāng)主導(dǎo)函數(shù)(決定導(dǎo)函數(shù)符號的函數(shù))為二次函數(shù)時，確定原函數(shù)單調(diào)區(qū)間的問題轉(zhuǎn)化為探究該二次

函數(shù)在給定區(qū)間上根的判定問題.對于此二次函數(shù)根的判定有兩種情況：

(1)若該二次函數(shù)不容易因式分解，就要通過判別式來判斷根的情況，然后再劃分定義域；

(2)若該二次函數(shù)容易因式分解，令該二次函數(shù)等于零，求根并比較大小，然后再劃分定義域，判

定導(dǎo)函數(shù)的符號，從而判斷原函數(shù)的單調(diào)性.

3、導(dǎo)函數(shù)為含參二階求導(dǎo)型的函數(shù)單調(diào)性

當(dāng)無法直接通過解不等式得到一階導(dǎo)函數(shù)的符號時，可對“主導(dǎo)”函數(shù)再次求導(dǎo)，使解題思路清晰.“再

構(gòu)造、再求導(dǎo)”是破解函數(shù)綜合問題的強大武器.

在此我們首先要清楚了"(無)、「(x)、/(x)之間的聯(lián)系是如何判斷原函數(shù)單調(diào)性的.

(1)二次求導(dǎo)目的：通過/〃(幻的符號，來判斷尸(x)的單調(diào)性；

(2)通過賦特殊值找到尸(x)的零點，來判斷/''(X)正負區(qū)間，進而得出/(x)單調(diào)性.

【變式1-1］已知函數(shù)〃x)=e2"-2”:.

⑴當(dāng)”=2時，求曲線在點(0,/(0))處的切線方程；

⑵討論“X)的單調(diào)性.

【變式1-2］(2024?海南省直轄縣級單位?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃尤)=x-lnx-2.

⑴求曲線y=/(x)在(e,e-3)處的切線方程；

⑵若a20,g(x)=or-2(tu+l)-/(^),討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性.

命題預(yù)測［

1.已知函數(shù)/(x)=lnx+?-2x.討論當(dāng)a>0時，/(x)的單調(diào)性.

題型二：導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式的綜合問題

【典例2-1］［新考法］(2024?陜西榆林?模擬預(yù)測)不動點在數(shù)學(xué)和應(yīng)用中具有重要作用，不動點是指被函

數(shù)映射到其自身的點.對于函數(shù)/(%)，我們把滿足/(〃)=。的。稱為函數(shù)/(x)的不動點，已知函數(shù)

f(x\=x'—x1+—x+^-.

\，24

⑴證明：在(0,，有唯一的不動點不；

(2)已知無1=0,尤,+1=/(%),必=：,%+］=/(%),%=%-匕,且｛為｝的前，項和為5“,〃€>1*.證明：

①｛%｝為遞增數(shù)列，｛%｝為遞減數(shù)列，且%>%；

②S.

9

【典例2?2】已知函數(shù)/(%)=3111犬+依2一耳光+3.

⑴討論函數(shù)八%)極值點的個數(shù)；

33｝9

(2)當(dāng)。=5時，數(shù)列｛%｝滿足：q=亍4+1=f￡(a"'+1.求證:｛%｝的前"項和滿足“<S=<〃+鼻.

在解決等差、等比數(shù)列綜合問題時，要充分利用基本公式、性質(zhì)以及它們之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，在求解過

程中要樹立“目標(biāo)意識”，“需要什么，就求什么”，并適時地采用“巧用性質(zhì)，整體考慮”的方法.可以達到

減少運算量的目的.

【變式2-1］［新考法］(2024?高三?遼寧?開學(xué)考試)已知函數(shù)/(何=1天-/(e是自然對數(shù)的底數(shù)).

⑴若a=2e,求/(x)的極值;

(2^xw(-L,+8),V〃eN*,/(x)V(x+2)”-x-3,求a；

⑶利用(2)中求得的。，若/(x)=〃liu)+無+J,數(shù)列^/滿足4式?！?，且。用=*a”)，證明:

2%+i+an+3-l>2a?+2.

【變式2-2】已知函數(shù)〃x)=ln(依+1)-x在點(0,0)處的切線與無軸重合.

⑴求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間與極值；

(2)已知正項數(shù)列｛叫滿足％=1,a?+1=ln(fl?+l),〃wN*,記數(shù)列｛%｝的前〃項和為工，求證:

S”>In(〃+1).

命題預(yù)測

1.牛頓(1643—1727)給出了牛頓切線法求方程的近似如圖設(shè)/是y=/(x)的一個零點，任意選取不作為

「的初始近似值，過點(見)(久0))作曲線y=f(x)的切線4，4與x軸的交點為橫坐標(biāo)為4，稱X］為r的1

次近似值，過點(卬/%))作曲線y=/(%)的切線L4與x軸的交點為橫坐標(biāo)為“稱9為「的2次近似

值.一般地，過點(乙,〃七))作曲線y=/(%)的切線/用，/用與x軸的交點為橫坐標(biāo)為x,+i，就稱Xx為r

的”+1次近似值，稱數(shù)列｛%｝為牛頓數(shù)列.

⑴若/(x)=x3+x-l的零點為r,%=。，請用牛頓切線法求『的2次近似值；

(2)已知二次函數(shù)g(x)有兩個不相等的實數(shù)根。,c(c>b),數(shù)列｛七｝為g(x)的牛頓數(shù)列，數(shù)列｛?！埃凉M足

%且x.>c.

Xn-C

(i)設(shè)天+|=刈%)，求力(王)的解析式；

1112

(ii)證明：一+—+…+-<--

。GGInq

題型三：雙變量問題

【典例3-1】已知函數(shù)/(x)=xlnx-x.

⑴求函數(shù)的最值；

(2)若函數(shù)g(x)=〃x)-加+。有兩個不同的極值點，記作玉,尤2，且西<々，求證：1叫+21噸>3.

【典例3-2］已知函數(shù)/(尤)=尤?-ax+21nx,aeR.

⑴當(dāng)。=2時，求曲線y=/(x)在點(11(D)處的切線方程;

(2)已知/(%)有兩個極值點%,無2，且再<馬，

(D求實數(shù)。的取值范圍;

(ii)求的最小值.

破解雙參數(shù)不等式的方法：

一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的

不等式；

二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；

三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.

【變式3-1](2024?高三?江蘇無錫?期中)已知函數(shù)〃x)=e\

(1)若VxeR,不等式：W(x)-x>0恒成立，求實數(shù)機的取值范圍；

⑵過點7(。)可以作曲線V=/(%)的兩條切線，切點分別為A(a,e”),3(6,e").

①求實數(shù)t的取值范圍；

②證明：若a>b,則

mn

【變式3?2】(2024.四川成都?模擬預(yù)測)定義運算：=吁呼，已知函數(shù)

pq

Inxx-\1

/(尤)=,,g(x)=一―1.

1ax

(1)若函數(shù)/(X)的最大值為0,求實數(shù)。的值；

⑵證明：+++

(3)若函數(shù)五(x)=/(x)+g(x)存在兩個極值點%證明：'&)一'、)-。+2<0.

命題預(yù)測

1.已知函數(shù)/(x)=lnx-x+a.

⑴若直線y=(e-l)x與函數(shù)〃x)的圖象相切，求實數(shù)。的值;

⑵若函數(shù)g(x)=j/(x)有兩個極值點X］和9，且不<工2，證明：^2+X］>l+ln土］.(e為自然對數(shù)的底

1*2)

數(shù))

題型四：證明不等式

【典例4-1】(2024?高三?四川?期中)已知函數(shù)/(x)=ox-tanx,xe|o,g

⑴當(dāng)。=2時，求/(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若aV2,證明：/(x)<sin2x.

【典例4-2］已知x>0,證明：e'-sinx-l>xlnx.

巧

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：

(1)直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式/(x)>g(x)(或/(x)vg(x))轉(zhuǎn)化為證明/(x)-g(x)>。(或

進而構(gòu)造輔助函數(shù)〃(x)=〃x)-g(x)；

(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；

(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).

(4)對數(shù)單身狗，指數(shù)找基友

(5)凹凸反轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化為最值問題

(6)同構(gòu)變形

【變式4-1】已知函數(shù)〃%)=：尤2-(Q+2)x+2〃lnx(a^R).

⑴討論函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

117

(2)當(dāng)〃時，證明：—x2+—xeA+l—2.

【變式4-2]已知函數(shù)"x)=or+xln[l+谷-(l+x)ln(l+x).

⑴若曲線y=在點(0,/(0))處的切線與x軸平行，求。的值；

⑵設(shè)函數(shù)g(x)=4]￡|,給出g(?的定義域，并證明：曲線y=g(x)是軸對稱圖形;

(3)證明：[1+j

命題預(yù)測T

1.已知函數(shù)/(%)=a(e*+a)—x.

⑴當(dāng)。=1時，求函數(shù)在(1,7⑴)的切線方程;

⑵討論/(x)的單調(diào)性;

3

(3)證明：當(dāng)。>0時，/(x)>21na+-.

題型五：極最值問題

【典例5-1]已知函數(shù)/(x)=xz-mx+2\nx(meR).

(1)若f(x)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)5的取值范圍；

(2)若4VM<5,且f(無)有兩個極值點X],%，其中玉<々，求/(西)-/(尤2)的取值范圍.

【典例5-2】(2024?四川眉山?一模)已知函數(shù)/(x)=e'-依-2(aeR).

⑴當(dāng)a=2時，求的零點個數(shù)；

e2”

⑵設(shè)aN2,=-+?el-1.

(i)判斷g(x)的單調(diào)性；

(ii)若g'(?i)=g'(〃)(?/<〃),求g(m)+g(〃)的最小值.

巧

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極最值問題.解題方法是利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性關(guān)系確定單調(diào)區(qū)間，從而求得極最

值.只是對含有參數(shù)的極最值問題，需要對導(dǎo)函數(shù)進行二次討論，對導(dǎo)函數(shù)或其中部分函數(shù)再一次求導(dǎo)，

確定單調(diào)性，零點的存在性及唯一性等，由于零點的存在性與參數(shù)有關(guān)，因此對函數(shù)的極最值又需引入新

函數(shù)，對新函數(shù)再用導(dǎo)數(shù)進行求值、證明等操作.

【變式5-1](2024?高三?天津?期末)已知函數(shù)〃x)=xe，.

⑴求函數(shù)在x=l處的切線方程；

(2)令g(x)=〃x)-a(x+lnx).

⑴討論函數(shù)g(x)極值點的個數(shù)；

(ii)若與是g(x)的一個極值點，且g(Xo)>O,證明：g(%o)>2(xo-%o).

【變式5-2](2024?高三?黑龍江哈爾濱?期中)已知函數(shù)/(x)=lnx+“無

⑴當(dāng)”=1時，求/(尤)在(1J。))處的切線方程；

(2)若/(X)存在最大值，且最大值小于0,求。的取值范圍.

命題預(yù)測[I

1.已知函數(shù)+lnx-cos2x.

⑴判斷/(X)在區(qū)間(嗚]上的單調(diào)性；

⑵求“X)在區(qū)間兀)上的極值點的個數(shù).

題型六：零點問題

【典例6-1］已知曲線/(x)=e'(依+1)在x=l處的切線方程為y=6x-e.

⑴求a,b；

(2)若函數(shù)g(x)=/(%)-3e'-機有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍.

【典例6-2］(2024?高三?湖北?期中)設(shè)函數(shù)〃刈=1-］卜《工+1.

⑴討論函數(shù)/(X)在區(qū)間［0,可上的單調(diào)性；

?JT3兀

(2)判斷并證明函數(shù)y=/(x)在區(qū)間-,y上零點的個數(shù).

函數(shù)零點問題的常見題型：判斷函數(shù)是否存在零點或者求零點的個數(shù)；根據(jù)含參函數(shù)零點情況，求參數(shù)

的值或取值范圍.

求解步驟：

第一步：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題，進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與1軸(或直線、=左)在某區(qū)間上的

交點問題；

第二步：利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性、極值、端點值等性質(zhì)，進而畫出其圖像；

第三步：結(jié)合圖像判斷零點或根據(jù)零點分析參數(shù).

【變式6-1】已知〃x)=liw-a.±q,aeR.

⑴當(dāng)a=l時，求曲線)=/(尤)在點處的切線方程.

(2)若恰有1個極大值點和1個極小值點.

①求極大值與極小值的和；

②判斷“X)零點的個數(shù).

【變式6-2】已知函數(shù)/(%)=萬一++.

⑴當(dāng)a=-l時，求曲線y=〃x)在點(2,〃2))處的切線方程;

(2)若“X)有兩個零點，求。的取值范圍.

命題碩測

1.已知函數(shù)/(x)=f-辦+21nx.

⑴當(dāng)a=5時，求函數(shù)/Xx)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)〃(x)=sinx+lnx,求證：當(dāng)ae[l,2]時，/(x)-21nx=x/z(x)有且僅有2個不同的零點.

IT7T37r371

(參考數(shù)據(jù)：--In-?1.119,n-ln7T?1.997,y-ln—?3.162,27r-ln27r?4.445)

題型七：不等式恒成立問題

【典例7-1](2024?高三?天津濱海新?期末)已知函數(shù)7>0)=尤111%,g(x)^(a+l)x-a.

⑴當(dāng)。=1時，求函數(shù)聯(lián)幻=/(x)-g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若存在xe[l,e]時，使+依-3成立，求a的取值范圍.

(3)若不等式f(x)-g(X)<(x-a-2)ei+a對任意xe口,+◎恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【典例7-2】已知函數(shù)/(x)=x-0-21n尤(aeR).

X

⑴已知/Xx)在x=3處取得極小值，求a的值；

(2)對任意xNl,不等式x----21nx-1+a20恒成立，求a的取值范圍.

x

1、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題的求解策略：

(1)通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；

(2)利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題；

(3)根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)

后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論

法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.

2、利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒(能)成立，可根據(jù)以下原則進行求解：

(1)\/xeD,帆1nhi；

(2)VxeD,；

(3)3xeD,帆三，0)0加三/(兀)??；

(4)3xeD,相相二/(x)1nhi.

3、不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：

一般地，已知函數(shù)V=/(兀)，x^[a,b],y=g(x),xe[c,d].

⑴若“引。,可，VX,&[c,d],有〃%)vg&)成立，則〃%)1n；

(2)若vxc[a,可，e[c,(7],有?/■&)<g(巧)成立，則〃^濡<g(x)；

1HX21mx

⑶若當(dāng)e[a，N，HX2e[c,(7],有〃③)<g&)成立，則/⑸1n<8(X)皿；

(4)若VNe[a,可，Hx2e[c,d],有〃因)=g(F)成立，則/(x)的值域是g(x)的值域的子集.

【變式7-1]已知函數(shù)〃x)=-：-lnx+l.

⑴求“X)的極值；

⑵設(shè)g(X)="X)+三-一1(?GR).

(i)當(dāng)a>0時，求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(ii)若g(x)〈l-x-：在。,+8)上恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【變式7-2](2024?重慶?模擬預(yù)測)設(shè)aeR,已知函數(shù)/(x)=lnx+ax—片+2.

⑴當(dāng)函數(shù)〃x)在點(2,/(2))處的切線機與直線/:3x-2y-l=0平行時，求切線機的方程;

(2)若函數(shù)的圖象總是在x軸的下方，求。的取值范圍.

[命題預(yù)測

士..............J

1.已知awR,函數(shù)/(x)=e*-依-1,gO)=x—ln(x+l)(e是自然對數(shù)的底數(shù)).

⑴討論函數(shù)極值點的個數(shù)；

⑵若f(x)=e「辦-120對任意的xeR恒成立，求實數(shù)。的值；

(3)在第(2)小題的條件下，若存在xe[0,+“)，使得/(X)<依⑶，求實數(shù)上的取值范圍.

題型八：極值點偏移問題與拐點偏移問題

【典例8-1］已知函數(shù)/(x)=g+ln%g(x)=ox—lnx—2.

(1)若〃＞0,當(dāng)/(%)與g(%)的極小值之和為。時，求正實數(shù)。的值;

112

(2)若/(玉)=/(入2)=2(%A%)，求證：一+—＞一.

元］工2a

【典例8-2】已知函數(shù)%)=。。2*+。、+%，acR.

⑴若在兀=0處取得極值，求。的值；

⑵設(shè)g(x)=/(x)-(a+3)ex,試討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性；

⑶當(dāng)。=2時，若存在實數(shù)4，巧滿足/&)+/(％)+3e、'M=0,求證：9+?。?；.

巧

1、極值點偏移的相關(guān)概念

所謂極值點偏移，是指對于單極值函數(shù)，由于函數(shù)極值點左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖像沒有對稱

性.若函數(shù)/'(x)在％=/處取得極值，且函數(shù)y=/(x)與直線y=b交于4(七,3,以出力)兩點，則A5的

中點為河(七迤,6),而往往「工與迤.如下圖所示.

圖1極值點不偏移圖2極值點偏移

極值點偏移的定義：對于函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(區(qū)與內(nèi)只有一個極值點％0,方程/'(X)的解分別為

%、9，且?！碭＜/＜》，(1)若紅盛包片飛,則稱函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(為,電)上極值點％°偏移；(2)

若當(dāng)三＞%,則函數(shù)y=/(%)在區(qū)間(為,巧)上極值點％。左偏，簡稱極值點%。左偏；(3)若當(dāng)選＜%,

則函數(shù)y=Ax)在區(qū)間區(qū),％)上極值點％。右偏，簡稱極值點/右偏.

【變式8-1］已知函數(shù)/(%)=2111%+:加-2(〃z+l)x-8,msR.

(1)討論函數(shù)〃x)的單調(diào)性;

(2)對實數(shù)根=2,令g(x)=/(x)—3x,正實數(shù)X],々滿足g(X)+g(%)+2%/=。,求)+々的最小值.

【變式8-2】已知函數(shù)/(耳=號尸，其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)當(dāng)。=1時，求/(元)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若方程f(尤)—1有兩個不同的根X1,%.

(i)求。的取值范圍；

(ii)證明：無；+考＞2.

命題預(yù)測

1.已知函數(shù)/(x)=?x-xlnx,7'(x)為其導(dǎo)函數(shù).

⑴若/(x)Vl恒成立，求。的取值范圍；

(2)若存在兩個不同的正數(shù)%,%，使得/(%)=〃動，證明：f'(斥)>0.

2.［新考法］已知函數(shù)/(x)=f-2ax+41nx.

(1)討論/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)已知ae［4,6］,設(shè)了。)的兩個極值點為4，%(4<%),且存在力eR,使得>=/W的圖象與y=。有三

個公共點可,尤2，演(芯</<$)；

①求證：%+尤2>24；

②求證：七-王<4，7.

題型九：利用導(dǎo)數(shù)解決一類整數(shù)問題

【典例9-1］已知函數(shù)/(x)=e'-x2-2x+a.

⑴證明：“X)有兩個極值點，且分別在區(qū)間(-1,0)和(虛,6)內(nèi)；

(2)若〃x)有3個零點，求整數(shù)。的值.

參考數(shù)據(jù)：e^?4.11，e如25.65，A/3-1.73,后士1.4L

【典例9.2】已知函數(shù)/(x)=lnx+辦2+3(〃￡R).

⑴當(dāng)。=一;時，求函數(shù)“X)的極值；

(2)求函數(shù)〃尤)的單調(diào)區(qū)間；

(3)當(dāng)a=0時，若獷(%)＞依-上+2在時恒成立，求整數(shù)上的最大值.

巧

分離參數(shù)、分離函數(shù)、半分離

【變式9-1】函數(shù)〃x)=(d+國e'(aeR).

⑴求〃x)的單調(diào)區(qū)間;

⑵若/(x)=x只有一個解，則當(dāng)尤＞0時，求使誓〉(區(qū)-成立的最大整數(shù)左

【變式9-2](2024?福建廈門?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=e'-依.

⑴討論函數(shù)/⑺的單調(diào)性；

(2)設(shè)8(彳)=/(X)-b,若存在藥＜%＜判,使得g(%)=g(蒼)=g/).

①求。的取值范圍；

②設(shè)機為整數(shù)，若當(dāng)。＜3時，相應(yīng)的與三總滿足〃*%+電，求7〃的最小值.

命題預(yù)測

1.已知函數(shù)/(x)=x(lnx+l).

⑴若曲線y=〃x)在點&,八%))處的切線的斜率小于1,求與的取值范圍.

(2)若整數(shù)人使得/(x)2A-)對Xe(0,內(nèi))恒成立，求整數(shù)女的最大值.

題型十：導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題

【典例10-1】(2024?內(nèi)蒙古?三模)已知函數(shù)=—冰+21nx.

(1)討論〃元)的單調(diào)性;

⑵若，>0"(%)<e"恒成立，求。的取值范圍.

【典例10-2】已知函數(shù)/(x)=》x+--------2([￡氏).

x+1

(1)討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a=2時，求證：/(x)>0在(l,+oo)上恒成立;

,V2

(3)求證：當(dāng)x>0時，ln(x+1)>-------.

ex-I

Hl巧

1、同構(gòu)式：是指除了變量不同，其余地方均相同的表達式

2、同構(gòu)式的應(yīng)用：

⑴在方程中的應(yīng)用：如果方程/（。）=0和/僅）=0呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則兄少可視為方程"4）=。

的兩個根

（2）在不等式中的應(yīng)用：如果不等式的兩側(cè)呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則可將相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)造為一個函數(shù)，進而

和函數(shù)的單調(diào)性找到聯(lián)系.可比較大小或解不等式.〈同構(gòu)小套路〉

①指對各一邊，參數(shù)是關(guān)鍵；②常用“母函數(shù)”：f（x）^x-ex,f（x）=ex±x；尋找"親戚函數(shù)”是關(guān)鍵；

③信手拈來湊同構(gòu)，湊常數(shù)、x、參數(shù)；④復(fù)合函數(shù)（親戚函數(shù)）比大小，利用單調(diào)性求參數(shù)范圍.

（3）在解析幾何中的應(yīng)用：如果A（西,3）,6（%,%）滿足的方程為同構(gòu)式，則AB為方程所表示曲線

上的兩點.特別的，若滿足的方程是直線方程，則該方程即為直線A5的方程

（4）在數(shù)列中的應(yīng)用：可將遞推公式變形為“依序同構(gòu)”的特征，即關(guān)于（4,〃）與（4-,〃-1）的同構(gòu)

式，從而將同構(gòu)式設(shè)為輔助數(shù)列便于求解

【變式10-1】（2024?高三?天津西青?期末）已知函數(shù)/（x）=e'—ax和g（無）=ox—lnx.

⑴若曲線數(shù)y=/（元）與'=8（尤）在x=I處切線的斜率相等，求。的值；

⑵若函數(shù)Ax）與g（x）有相同的最小值.

①求。的值；

②證明：存在直線＞=b,其與兩條曲線y=/（x）與y=g（尤）共有三個不同的交點，并且從左到右三個交點

的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

【變式10-2］對任意x＞0,若不等式。爐46*+依111》（。＞0）恒成立，求。的取值范圍.

命題預(yù)測

1.2024.四川遂寧.模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x>=e",g(x)=ln(x+〃),直線/：y=x+機為曲線y=/(元)與

y=g。)的一條公切線.

⑴求機,〃；

(2)若直線l':y=s(O<s<1)與曲線y=/(%),直線I,曲線y=g(x)分別交于&國,％),B(x2,y2),C(x3,y3)三

點，其中且再，馬，三成等差數(shù)列，證明：滿足條件的,有且只有一個.

2.已知函數(shù)〃x)=ae*—x.

⑴討論〃x)的單調(diào)性；

x

e-1

(2)若Q〉0,VXW(0,+8),/(X)>------,求〃的取值范圍.

題型十一：洛必達法則

【典例11-13已知函數(shù)f(x)=a\nx+bx(a,be/?)*%=-處取得極值，且曲線y=/(%)在點(1,/(1))處的

2

切線與直線%-丁+1=0垂直.

(1)求實數(shù)。力的值；

(2)若X/x￡[l,+8),不等式—2)%——恒成立，求實數(shù)加的取值范圍.

x

Y

【典例11?2】設(shè)函數(shù)/(x)=l—"].當(dāng)X20時，/(%)<-----，求。的取值范圍.

ax+1

國國國

法則1、若函數(shù)/(X)和g(x)滿足下列條件：

(1)lim/(x)=0及l(fā)img(x)=0；

(2)在點a的去心鄰域(a—kj(a.a+￡)內(nèi),/(%)與g(x)可導(dǎo)且g，(x)W0;

?)同34=/，那么同44=同34"

⑴Ig(x)Eg。)

法則2、若函數(shù)/(冗)和g(x)滿足下列條件：⑴lim/(x)=0及l(fā)img(x)=0；

X-X?'/X->00\7

(2)3A>0?/(1)和g(%)在(―8,A)與(A+8)上可導(dǎo)，且g，(Ar)wO；

(3)lim--~~——I,

3°g”)

那么Iimg4=limg4=/.

法則3、若函數(shù)/⑴和g(x)滿足下列條件：

(1)lim/(x)=oo^limg(x)=oo；

(2)在點a的去心鄰域(a—e,a)kJ(a,a+￡)內(nèi)，/(%)與g(x)可導(dǎo)且g，(x)W0;

⑶hm—汰=1,

』g'(x)

那么同父=同可"

ig(力Ig[x)

注意：利用洛必達法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點之一，在解題中應(yīng)注意：

(1)將上面公式中的1—〃，xf+oo,x—,尤_>々+,尤.洛必達法則也成立.

(2)洛必達法則可處理9,巴,0.OO，1”,,n°,oo-oo型.

0oo18U

(3)在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足9,藝，0.8，r，g°,n°,00-00型定式，否則

00018U

濫用洛必達法則會出錯.當(dāng)不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則不適用，應(yīng)從

另外途徑求極限.

(4)若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止.

lim44=lim^4=lim^4,如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達法則.

sinY

【變式11-1】設(shè)函數(shù)/(x)=--------.如果對任何x'o,都有/(X)WGC,求。的取值范圍.

2+cosx

【變式11-2】已知/(%)=(x+l)/nx.

(1)求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對任意工..1,不等式宜［㈣-以］+④。恒成立，求。的取值范圍.

x+1

命題預(yù)測

1.已知函數(shù)/(%)二犬-mx-ex+1.

(1)若函數(shù)/(%)在點(1,f(1))處的切線/經(jīng)過點(2,4),求實數(shù)相的值;

(2)若關(guān)于x的方程|/1(%)|=如有唯一的實數(shù)解，求實數(shù)用的取值范圍.

題型十二：導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合問題

【典例12-1】(2024?內(nèi)蒙古赤峰?二模)已知尤兀J.

(1)將sin龍，cosx,x,-gf+i按由小到大排列，并證明；

⑵令/(x)=xe'+A-COSX-2sinr-sin2x,求證：/(*)在兀)內(nèi)無零點.

【典例12-2］已知函數(shù)〃x)=ln(l+x)+ax2-彳(。>0).

⑴討論的單調(diào)區(qū)間;

1

⑵若函數(shù)g(x)=x-ln(l+x),證明：g(sina)+g(cosa)<-.

2

巧

分段分析法

【變式12?1】已知函數(shù)/O)=sinx,g(x)=ex-rrvc-cosx,(meR)

⑴求證：口隰

,/(%)<%；

(2)若g(x)在。+8)上單調(diào)遞增，求的最大值;

、1715

(3)設(shè)〃=以光一,b=—,c=ln，試判斷a,6,C的大小關(guān)系.

28

【變式12-2](2024?黑龍江佳木斯三模)已知函數(shù)/(力=皿1+力+依2—%.

⑴當(dāng)。=0時，求"X)在彳=0處的切線方程：

(2)若〃x)在(0,+“)上單調(diào)遞增，求。的取值范圍；

⑶若g(x)=x-ln(l+x),證明：g(sina)