2025年滬教版九年級數(shù)學(xué)上冊《銳角的三角比》核心考點(diǎn)練習(xí)題（含答案解析）

銳角的三角比（考點(diǎn)卷）（13大核心考點(diǎn)）

考點(diǎn)一銳角的三角比概念辨析（共5題）

1.如圖，在△45。中，ZC=90°fBC=a,AC=b,AB=c,則下列選項(xiàng)錯誤的是（）

A.sin^4=—B.cos5=—C.tan^=—D.tan5=-

ccbc

【答案】D

【分析】本題主要考查了三角函數(shù)的相關(guān)定義，根據(jù)正弦，余弦，正切的定義一一判斷即可.

【詳解】解：A.sin/=q,正確，故該選項(xiàng)不符合題意；

C

B.cos5=-,正確，故該選項(xiàng)不符合題意；

C

C.tan/=?,正確，故該選項(xiàng)不符合題意；

b

D.tan5=-,原表示方法錯誤，故該選項(xiàng)符合題意；

a

故選：D.

2.如圖，在RtA48c中，ZABC=90°,。為邊48上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作。E2/C,垂足為E,則下列結(jié)論中

正確的是（）

AEBC/AB

B.cAosZ=-----C.Atan/i------D.tan/i-----

ABADADBC

【答案】B

【分析】本題考查解直角三角形，關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)定義.由銳角的三角函數(shù)定義，即可判斷.

【詳解】解：???OE1/C,

;./AED=/ABC=9Q°,

A、sin/=W，故A不符合題意;

AC/

B、結(jié)論正確，故B符合題意;

C、ta“=花’故C不符合題意;

加人器,故。不符合題意.

D、

故選：B.

3.如圖，在用A48C中，乙4c8=90。，。是斜邊48上的高，下列線段的比值等于cos/的值的有..個

,、AD/、AC,、BD/、CD

(1)-----?(?)------(3)----------(4)--------

AC,AB，BC'BC.

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)關(guān)系的定義分析得出答案.

【詳解】解：???在放A45C中，乙4c5=90。，CD是斜邊48上的高,

???乙4+乙4。。=90。，乙4CQ+NBCO=90。,

^Z-A=Z-BCD,

ADACCD

???cos/=-----=------=-----.

ACABBC

故(1),(2),(4)正確.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】考查了銳角三角函數(shù)關(guān)系，正確把握銳角三角函數(shù)定義是解題關(guān)鍵.

4.如果ZMBC中/C=90°,那么41=______(填的三角比)

AB

【答案】cosB

【分析】根據(jù)直角三角形中余弦性質(zhì)求解即可

【詳解】???直角三角形中，余弦等于鄰邊比斜邊

rBC

???cosB=—

AB

???答案為cosB

【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵

5.如圖，在Rt448C中，ZC=90°,/A=a,^A,ZB,—C的對邊分別是。，b,c.

B

sina

（1）利用銳角三角函數(shù)的定義求證:tana=-------

cosa

公、sma+cosa

(2)若tana=2,求二---------的值.

sina-cosa

【答案】（1）見解析

(2)3

【分析】本題主要考查了三角函數(shù)的定義;

（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義進(jìn)行證明即可;

cin（y

（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論得出tana=——=2,即sina=2cosa,然后代入求值即可.

cosa

乙4的對邊

解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的定義，在一個Rt/XASC中，ZC=90°,則sinA=

斜邊

乙4的鄰邊NN的對邊

cosA=tan/=

斜邊NN的鄰邊

【詳解】（1）證明：???在中，ZC=90°,ZA=a,/A,/B,的對邊分別是b,

.BCaACbBCa

sina=----=—,costz=-----=—,tana=-----=—,

ABcABcACb

a

sin。_c_a

cosabb

sma

/.tana=-------.

coscr

(2)解：???tana=S^a=2,

cosa

???sina=2cosa,

sina+cosa2cosa+cosa3cosa

sina-cosa2cosa-cosacosa

考點(diǎn)二根據(jù)銳角的三角比求邊長（共5題）

1.如圖，在RtZX/BC中，ZC=90°,。是8c的中點(diǎn)，AC=6,tanN/3C=g,則AD的長為（）

【答案】B

【分析】

本題考查了銳角三角函數(shù)，掌握已知正切值求邊長是解題的關(guān)鍵，根據(jù)正切的概念可得

AC1

tanZABC=-=-,可得8C=12,再由線段中點(diǎn)即可求出答案；

nC2

Ar1

【詳解】解：在RtZ\ZBC中，tanZABC=-=-,

BC2

/.BC=2AC=n,

???￡>是8。的中點(diǎn),

:.BD=-BC=6,

2

故選：B.

2.如圖，四邊形為菱形，對角線NC,BD交于點(diǎn)、O,DEJ.AB,垂足為E.若48=10,50=12,

則cosZEDB為（）

【答案】A

【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，求一個角的余弦值，根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理求出

NC=20/=16,根據(jù)S菱衫2tBe￡>=/HOE==；xl6xl2=96,求出■DEng，根據(jù)

48

。。，皿=里工土,求出結(jié)果即可?

BD125

【詳解】解：???四邊形48CD為菱形，50=12,

：.0B=0D=6,OA^OC,AC1BD,

/./AOB=90°,

?*-OA=^AB2-OB2=V102-62=8，

：.AC=2OA=16,

?；DE，AB,

：./DEB=90°,S夔形ABCD=AB?DE=^AC-BD=—x16x12=96,

即10OE=96,

DE=^~,

48

cosZEDB=—=-^-=-f

BD125

故選：A.

3

3.在中，ZC=90°,AC=9,sinB=~,則的長等于.

【答案】15

AT3

【分析】本題考查了正弦的定義，根據(jù)sin5=W==計(jì)算即可得出答案，熟練掌握正弦的定義是解此題的

AB5

關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖,

3

???在RtZk/BC中，NC=90。，AC=9,sinB=-f

,AC3

siiino=-----=—,

AB5

/.AB=15,

故答案為：15.

4.在中，ZC=90°,cosB=~,如果48=14,那么NC=

7

【答案】4V6

【分析】根據(jù)余弦定義求得2C,再根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】解：在中，ZC=90°,cosB=-=—,AB=14,

7AB

.-.BC=-AB=\Q,

7

■■AC=yjAB2-BC2=V142-102=476，

故答案為：4n.

【點(diǎn)睛】本題考查余弦定義、勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)是解答的關(guān)鍵.

5.如圖，在RtZXZBC中，ZC=90°,ZA=60°f45=20.求的大小和4C的長.

【答案】N5=30。，AC=10

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理直接求出利用三角函數(shù)求出4C的長即可.

【詳解】解：ZB=180°-ZA-ZC

=180°-60°-90°

二30。；

■.■sinS=—

AB

AC=AB?sin5

=20xsin30°

=10；

答：AB=30°,AC=10.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練特殊角的三角函數(shù)值.

考點(diǎn)三特殊三角形的三角函數(shù)（共5題）

1.RtZX/BC中，ZC=90°,ZA:NB=1:2,貝han//的值（）

1「V3

A.-B.—L?----D.V3

223

【答案】C

【分析】本題主要考查了求特殊角的三角函數(shù)值，以及直角三角形兩銳角互余，根據(jù)直角三角形兩銳角互

余得出然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解即可.

【詳解】解：如下圖:

???RtzX/BC中，ZC=90°,NA:/B=1:2

ZA=90°x-=30°

3f

???tanZA=tan30°=

3

）

61sin60°

①cos——=45°②tan60°=cot30°③sincr=—=30°④tan60°=---------

?22cos60°

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值.解題的關(guān)鍵是熟練掌握各個三角函數(shù)的定義，以及熟記各個特

殊角度的銳角三角函數(shù)值，根據(jù)各個銳角三角函數(shù)的定義和值逐個判斷即可，解答④時，要充分利用三角

函數(shù)的定義.

【詳解】解：①345°=手’故①錯誤;

②：tan60。=5cot30°=5

.,.tan60°=cot30°；故②正確;

③若sintz=；,貝I]a=30。，故③錯誤;

對邊

對邊奈應(yīng)sin60。

（4）tan60°=故④正確;

鄰邊一鄰邊—cos60°'

斜邊

綜上所述，正確的說法有②④，共2個;

故選：c.

3.用min{a、b、c}表示這三個數(shù)中最小的數(shù)，則向11國1130。、1：0$45。、121130。}=.

【答案】sin30°

【分析】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角度的三角函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵.

分別得出各個三角函數(shù)的值，再比較大小，即可解答.

【詳解】解：sin30°=-,cos45°=—,tan30°=—,

223

?.?V2?1.4,V3~1.7,

收

2?0.7>—?0.57,

3

行

2>,HPcos45°>tan30°>sin30°,

32

min{sin300>cos45°>tan300}=sin30°.

故答案為：sin30°.

4.計(jì)算：(兀一2023)°+j+|tan600-l|=.

【答案】V3-4

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，利用零指數(shù)幕、負(fù)整數(shù)指數(shù)幕、特殊角的三角函數(shù)值及絕對值的性

質(zhì)分別運(yùn)算，再合并即可求解，掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：原式=1+(-4)+|道-1|=一3+百一1=百一4,

故答案為：V3-4.

5.先化簡，再求值代數(shù)式士衛(wèi)+。一-4。+4.金的值,其中q=tan45o+2cos30。.

6Z—1Cl—1Q—2

【答案】一L，2

0-13

【分析】此題考查了分式的混合運(yùn)算，特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是掌握以上運(yùn)算法則.

首先根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則化簡，然后利用特殊角的三角函數(shù)值求出a的值，然后代數(shù)求解即可.

3—aa~—4a+4(7+1

【詳解】-----------1---------2----------------------

Q—1CI—1Q—2

3-(4-2)2Q+]

a—1+_1)a_2

3—aci—2

+

Q—1Q—1

1

,*,a=tan450+2cos30°=l+2x——=1+V3

2

???原式二」一1

a-\1+V3-1-3?

考點(diǎn)四特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算(共5題)

1.l-2sin30°cos30°的值等于（）.

A.上走B.匕立C.D,”也

2222

【答案】C

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，特殊角的三角函數(shù)值，先化簡各式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】解：l-2sin30°cos30°

,1V3

=l-29x—x——

22

7有

2

2-V3

故選：C.

2.計(jì)算cos?45。+tan30。sin60。的值等于()

1+V3V2+V3「

ARD.2

22

【答案】C

【分析】本題主要考查了三角函數(shù)的混合運(yùn)算，先代入特殊角的三角函數(shù)值，然后在乘法，最后算加法即

可.

【詳解】解：cos245°+tan30°sin60°

夜丫+與也

32

11

—+—

22

=1,

故選：c.

3.cos2300-3tan450+2sin245°+sin30°=—.

3

【答案】--/-0.75

4

【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值代入計(jì)算即可.

【詳解】解：cos230°-3tan45°+2sin245°+sin30°

1

-3xl+2x后丫+—

2

~~4,

3

故答案為：-了

4

4.tan60°-2cos30°+V2sin45°=

【答案】1

【分析】本題主要考查了特殊角三角函數(shù)值的混合計(jì)算，先計(jì)算特殊角三角函數(shù)值，再計(jì)算二次根式乘法,

最后計(jì)算加減法即可.

【詳解】解：tan60°-2cos30°+VIsin45°

=6_2x也+^x與

22

=V3-V3+1

=1?

故答案為：1.

5.計(jì)算：

⑴2sin45。+tan30。-cos30。-亞；

(2)2cos600+4sin600-tan300-6cos245°.

【答案】⑴：

(2)0

【分析】本題考查了含特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，二次根式的加減運(yùn)算，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的

關(guān)鍵.

(1)先代入特殊角的三角函數(shù)值，再進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算;

(2)先代入特殊角的三角函數(shù)值，再進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算.

【詳解】(1)解：原式=2x變+且x3-收

232

=V2+--V2

2

——1.

2，

(2)角星：=2x—+4x—X--6x[2J

223

=1+2-3

0

考點(diǎn)五根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)(共5題)

1.在△45C中，若siM—：+[cos8—=0,則/C的度數(shù)是(

)

A.45°B.60°C.90°D.105°

【答案】C

【分析】直接利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算得出答案.此題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以

及特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：v|sin^-^-|+(cos5-i)2=0,

sinA--=0，cosB——=0,

22

.“6n1

smA=——，cosB=—,

22

ZA=60°f^B=60°,

??.NC的度數(shù)是：180。—60?！?0°=60°.

故選：C.

2.在中，ZC=90°f若si!L4=YI,則的度數(shù)是()

2

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】B

【分析】本題主要考查了根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角度，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握特

殊角的三角函數(shù)值.根據(jù)siiU=變，求出44=45。，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出結(jié)果即可.

2

【詳解】解：???在RtZUBC中，ZC=90°,sinA=—,

2

N4=45°,

.??Z8=90°-45°=45°.

故選：B.

3.己知//為銳角.

(1)若tanA=百，則Z.A=；

(2)若2siiU=l,則//=；

(3)若tan(//+15°),則//=.

【答案】60。/60度30。/30度30。/30度

【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解答本題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，進(jìn)行計(jì)算即可解答；

(2)根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，進(jìn)行計(jì)算即可解答；

(3)根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】解：(1):tan/=g,tan60。=6，//為銳角，

NA=60°；

(2),/2sin^4=1,

.”1

二.sm,

2

???sin30。=；,//為銳角，

N4=30°；

(3);tan(//+15°)=l,tan45°=l,為銳角，

.\ZA+15°=45°f

，//=30°.

故答案為：(1)60°；(2)30°；(3)30°.

4.已知//、NB、/C是A48C的三個內(nèi)角，若sin/-J+cosB--=0,則/C的度數(shù)是.

2I2J

【答案】90°

［分析］此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值以及偶次方和絕對值的性質(zhì)，正確得出//和ZB的度數(shù)是解

題關(guān)鍵.

直接利用特殊角的三角函數(shù)值以及偶次方和絕對值的性質(zhì)得出//和28的度數(shù)進(jìn)而求出即可.

/—//—\2

【詳解】解：??,sin4——-+cos5——-=0,

2I2J

..._V3D_V3

..sinA.——，cosJD——，

22

.?.24=60。，N5=30。，

二?NC的度數(shù)是90。.

故答案為：90°.

5.在A/8C中，已知2siih4—1|+|——cosB=0>求/C的值.

【答案】105°

【分析】本題考查了絕對值的非負(fù)性，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，特殊角三角函數(shù)值，三角形內(nèi)角和定理，利用非負(fù)

數(shù)和為零得出2siM-1=0,也-cos5=0,求出N/、N5度數(shù)，再由三角形內(nèi)角和定理求解即可.

2

/y

【詳解】解：:2siiL4-l|+|^--cos5=0

也

2siih4-1=0,------cosB=0,

2

.4_1D_V2

..SIIL4——,cos6——,

22

./二30。，4=45。，

^ZC=180°-ZA-ZB=105°.

考點(diǎn)六已知角度比較三角函數(shù)值的大小（共5題）

1.若a=40°,則a的正切值〃的范圍是（）

A.-<h<—B.^-<h<—C.I<h<yj3D.—<h<l

22323

【答案】D

【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義：正確理解正切的定義和記住特殊角的三角函數(shù)值是解決問題的

關(guān)鍵.

利用銳角正切隨角度的增大而增大得到tan30°<tan40°<tan45°,然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值對各選項(xiàng)進(jìn)

行判斷.

【詳解】解：V300<40°<45°,

.-.tan30°<tan40"<tan45",

即<tan40°<1.

3

故選：D.

2.sin77°,cos77°,tan77°的大小關(guān)系是（）

A.tan770<cos770<sin77°B.cos770<tan770<sin77°

C.sin770<cos770<tan77°D.cos770<sin770<tan77°

【答案】D

【分析】首先根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，知：sin77。和cos77。都小于1,tan77。大于1,故tan77。最大；只

需比較sin77。和cos77。，又cos77。=sinl3。，再根據(jù)正弦值隨著角的增大而增大，進(jìn)行比較.

【詳解】根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，知sin77°<l,cos770<l,tan77°>1.

又cos77o=sinl3。，正弦值隨著角的增大而增大，

sin77°>cos770=sinl3°.

故選D.

3.比較大?。簊in40°—sin70°.（填“>”，"="，或“<”）

【答案】<

【分析】可以根據(jù)“正弦函數(shù)值與正切函數(shù)值都是隨著銳角的增大而增大”，進(jìn)行填空即可.

【詳解】解：由“一個銳角的正弦值隨著銳角的增大而增大”可知，

sin400<sin70°,

故答案為：<.

【點(diǎn)睛】此題考查了銳角三角函數(shù)，正弦函數(shù)值，熟練掌握三角函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.下列結(jié)論（其中a是銳角）：①sina+cosaW1；②cos2a=2cosa；③當(dāng)0°<a<￡<90。時，

0<sina<sin/?<1；④sina=cosotana.其中正確的有.

【答案】③④

【分析】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系及銳角三角函數(shù)的增減性，掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)

鍵.

根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系及銳角三角函數(shù)的增減性進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：①,?,0<sina<l,0<COS6Z<1,

???sina+coso不一定小于等于1,故①錯誤；

②若［=30。，貝!J2cos30。=G，

2a=60°,cos2a=—

2

???cos60°w2cos30°

???cos2aw2cosa,故②錯誤；

③當(dāng)0°<a<￡<90。時，sina=景，

斜邊

越大，對邊越大，且越接近斜邊，

???sina越大,

...當(dāng)0。<。<分<90。時，O<sina<sin/<1,故③正確;

對邊COS”鸚，tana=翳,

④???sina=

而斜邊鄰邊

sina=cosa-tana,故④正確.

故答案為：③④.

5.（1）試比較18。，34°,52°,65°,88。這些角的正弦值的大小和余弦值的大小.

（2）利用互余的兩個角的正弦和余弦的關(guān)系，比較下列正弦值和余弦值的大?。簊in10°,cos30°,

sin50°,cos70°.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）利用三角函數(shù)的增減性的規(guī)律即可得答案；

（2）注意正余弦的轉(zhuǎn)換方法，轉(zhuǎn)換為同一種銳角三角函數(shù)后，再根據(jù)銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律進(jìn)行比較.

【詳解】解：（1）???銳角的正弦值隨角度的增大而增大，銳角的余弦值隨角度的增大而減小.

sin88°>sin65°>sin52°>sin34°>sin18°；

cos880<cos650<cos520<cos340<cos18°.

(2)cos30°=sin60°,cos70°=sin20°.

vsin60°>sin50°>sin20°>sin10°,

:.cos30°>sin50°>cos70°>sin10°.

【點(diǎn)睛】本題考查互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系，掌握銳角三角函數(shù)的增減性的規(guī)律是解題關(guān)鍵.

考點(diǎn)七三角函數(shù)綜合（共5題）

1.如圖，在中，ZC=90°,定義：斜邊與//的對邊的比叫做N/的余割，用“esc/”表示.若該直

角三角形的三邊分別為a,b,C,則csc/=￡,那么下列說法正確的是（）

A.csc8sin/=lB.cscB=—C.escA-cosB=1D.csc2^+csc5=l

c

【答案】C

【分析】本題主要考查了銳角三角三角函數(shù)，根據(jù)余割，正弦，余弦的定義逐一判斷即可.

【詳解】解：A、cscB.sin4=g2="l,原說法錯誤，不符合題意；

bcb

B、cscB=；原說法錯誤，不符合題意；

b

cn

C、csc^,cos5=--=l,原說法正確，符合題意；

ac

D、csc2/+cscB=q+：/l,原說法錯誤，不符合題意；

ab

故選：C.

2.如圖，在△/2C中，ZC=90°,定義：斜邊與的對邊的比叫做//的余割，用“cs"l”表示.如設(shè)該

直角三角形的三邊分別為。，b,c,貝Ucsc/=￡,那么下列說法正確的是（）

C.esc4cos3=1D.esc224+esc2B=1

【答案】C

【分析】本題主要考查了銳角三角函數(shù)，定義新運(yùn)算，根據(jù)定義逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】根據(jù)題意，得csc/=￡,csc5=y,sinZ=cos5=2,

abc

則csc8-sin/=mq=：,可知A,B不符合題意；

bcb

cd

則csc/-cos8=-----=1,可知C符合題意；

ac

則esc2A+esc2B=g+行,可知D不符合題意.

故選：C.

3.小明利用折射定律sina-"|=sin#-"2，(々，”為折射率，N0為入射角，々為折射角)制作了一個測

算液體折射率的裝置.光線從點(diǎn)A按固定角度從空氣射入液面，通過調(diào)節(jié)液面高度，使光線折射后恰好落

4

到點(diǎn)C.已知sin/l=1,空氣折射率多為1,正方形/BCD的邊長為36cm.

(1)如圖1裝入某款家用食用油時，恰好CF=15cm,sin/￡/P=,該食用油的折射率為,

4

(2)如圖2,裝入純凈水時，若水的折射率為1,則CF=cm.

【答案】^A/0.81.7i1y44/2014

【分析】(1)根據(jù)正弦值的定義及勾股定理即可求解；

(2)先求出sin/3,即sin/尸C尸，即可求解.

4

【詳解】解：(1)-Zl=ZEAP,sinZl=-

pp4

???sinZEAP=——=-

AP5

沒EP=4x,AP=5x,貝=dAP?-EP?=3x

：.PF=36-4x,CF=36-3x

故36—3x=15,x=7

尸=36-4x=8,CP=yJCF2+PF2=17

PF8

???sinZ2=sinZPCF=——=—

CP17

sina-nx=sin/7?n2

解得：%=L7

4

故答案為：y；L7

44

（2）?.?水的折射率為（，即%=]

44

—xl=—xsinZ3

53

PF3

???sinZ3=sinZPCF=——=-

CP5

—PF=-3,BP36-4x3

CF436-3x4

36

解得:x二一

7

144

.-.CF=36-3x=——

7

144

故答案為：-Y~

【點(diǎn)睛】本題以物理知識為背景，考查了三角函數(shù)值的定義，勾股定理的應(yīng)用.掌握銳角三角函數(shù)的定義

是關(guān)鍵.

4.如圖，已知正方形/5CD,將正方形/5CD繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)30。得到正方形尸G,其中點(diǎn)石與點(diǎn)3對應(yīng),

點(diǎn)產(chǎn)與點(diǎn)。對應(yīng)，點(diǎn)G與點(diǎn)。對應(yīng)，若直線CQ交直線石尸于點(diǎn)O,/5=4,則尸O的長是

【答案】*百或46-4

【分析】

本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)逆時針

旋轉(zhuǎn)時和當(dāng)順時針旋轉(zhuǎn)時，分別求解即可.

【詳解】解：當(dāng)逆時針旋轉(zhuǎn)時，如圖所示:

將正方形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)30°得到正方形AEFG,

AD=AE=AB,AO=AO,ZD=ZE=90°,

Rt^ADO^^AAEO,

ZDAO=ZOAE=30°,

■.■AB=4,

4J3

.-.EO=/E-tan30°=U-,

。尸=4-

當(dāng)順時針旋轉(zhuǎn)時，如圖所示

:將正方形48。繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)30。得到正方形/E尸G,

:.AD=AE,AO=AO,Z.D=Z.E=90°,

RtZDO會RtAAEO,

/DAO=/OAE=60。,

???AB=AE=4,

:.EO=ABtan60°=4y/3,

:.OF=4y/3-4；

故答案為：或4g-4.

3

5.如圖，在44BC中，AB=AC=13,BC=10,。是邊/C上一點(diǎn)，且tan/D8C=—.

(1)試求sinC的值；

(2)試求ASCA的面積.

【答案】(1)sinZC=i12|；(2)MCL＞的面積=2寧00.

【分析】(1)作等腰三角形底邊上的高AH與BD交點(diǎn)為E,并根據(jù)勾股定理求出AH,即可求得豆”C的

值；

123

(2)過點(diǎn)D作DF1BC,垂足為點(diǎn)F,利用S%NC=R,tanZDBC=~,設(shè)DF=x,分別表示出BF和FC

求得DF即可求得面積.

【詳解】(1)如圖，過點(diǎn)A作垂足為點(diǎn)交BD于點(diǎn)、E.

?."=/C=13,3c=10,

BH=CH=5,

在MAA877中，AH=4^^^=12,

在RtAEBH中,sinZC=—=—.

AC13

(2)過點(diǎn)。作1BC,垂足為點(diǎn)尸，

A

BpC

123

VsinZC=,tanZ/)BC=-,

134

設(shè)。廠二x,

.?.在必AZ)/。中，黑=得，則。C=￡x，

：.CF=ylCD2-DF2=^(j|x)2-x2=.x'

DF34

在及AD5尸中，=—,貝=—x,

BF43

54

：.BF+FC=BC,即一x+—x=10,

123

解得x=T.

ASCD的面積=1、80＜。尸=工*10*竺=迎.

2277

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，利用三角函數(shù)的意義，勾股定理以及三角形的面積來解決問題.

考點(diǎn)八解直角三角形的相關(guān)計(jì)算（共5題）

1.如圖，為△48C中，ZC=90°,48=10,AC=8,￡是/C上的一點(diǎn)，EAL4B垂足為。，若

/。=4,則?！甑拈L為（）

【答案】C

【分析】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理，先利用勾股定理得到BC=NAB?-AC。=6,再解直角

Be3

三角形得到tan/=—=—,則?！?4D?tan/=3.

AC4

【詳解】解：,??在RtZX/BC中，ZC=90°,AB^IO,AC=8,

■■BC=yjAB2-AC2=6-

,BC3

tanA=-----

AC4

在RtxADE中，DE=AD-tan4=3,

故選：C.

3

2.如圖，在△ZBC中，ZC=90°,點(diǎn)。是/C上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作。石145于點(diǎn)￡,已知sinB=1,

AD=2CD=2,則成的長為（）

19

A.4B.—D.3

5

【答案】B

【分析】該題主要考查了解直角三角形，解題的關(guān)鍵是理解正弦的定義.

根據(jù)sinB=g算出45=5,再算出出搭，即可求解;

【詳解】解：vAD=2CD=2f

AD=2,CD=\,AC=3f

3

vZC=90°,sinfi=-

5

??.sin八3

AB5

AB=5,

-DEJ.AB,

ZADE=ZB=90°-ZA,

???sin/ADE=sinZB=—=-

AD5f

19

：,BE=AB-AE=5~-

55

故選：B.

3.如圖，菱形紙片ABCD中，44=60。，折疊菱形紙片A8CD,使點(diǎn)C落在。P（尸為48的中點(diǎn)）所在的

直線上，得到經(jīng)過點(diǎn)。的折痕。E,若菱形邊長為2,則點(diǎn)后到8的距離為.

【答案】3-V3/-V3+3

【分析】連接8。，過點(diǎn)E作于點(diǎn)尸，由菱形的性質(zhì)及乙4=60。，得到三角形N8O為等邊三角形,

產(chǎn)為A8的中點(diǎn)，利用三線合一得到DP為角平分線，得到乙4。尸=30。，/4DC=120。，ZC=60°,進(jìn)而求

出NPDC=90。，由折疊的性質(zhì)得到NCO￡=NPOE=45。，設(shè)所=x,則=可得出》+且》=2,解

3

方程即可得出答案.此題考查了翻折變換（折疊問題），菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及內(nèi)角和定

理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

【詳解】解：連接3D,過點(diǎn)E作于點(diǎn)F,

四邊形為菱形,ZA=60°,

.,.△48。為等邊三角形，/4DC=120。，/C=60。，/FEC=90。-60。=30。

?.?尸為4B的中點(diǎn),

.1DP為—NOB的平分線，即N4DP=480尸=30。，

NPDC=90°,

由折疊的性質(zhì)得到/CDE=APDE=45°,

設(shè)EF=x,貝!DJF=x，

???tanZFEC“=旦,

EF3

...菱形的邊長為2,

CD=2,

；*=2,

3

解得：x=3-V3.

故答案為：3-V3.

4

4.在菱形45CD中，DEJ.AB,sinA=-fBE=2,則cosNZ>5￡的值是.

【答案】逅

5

4

【分析】本題考查了解直角三角形中三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)sin/=《，設(shè)出。E=4x,則

AD=5x,AE=3x,得出48=3x+2,根據(jù)4B=4D,3x+2=5x,求出x,再利用勾股定理得出的

長，即可求出答案.

【詳解】

4

解:vsinA=-,

設(shè)。E=4x,

貝Ij/Q=5x,AE=3x,

?「BE=2,

AB=3x+2,

?「AB=AD,

3x+2=5%,

..x=1,

/.DE=4,

BD=ylDE2+BE2=A/42+22=275，

故答案為：叵.

5

5.綜合與實(shí)踐

【問題情境】

在數(shù)學(xué)活動課上，老師提出這樣的一個問題：如圖1,四邊形N8CD中，44=90。,NC=45。,平分

ZADC,試說明線段和CD之間的數(shù)量關(guān)系.

圖1

【初步探究】

（1）針對老師提出的問題，小敏和小捷兩位同學(xué)給出了不同的思路：

小敏：如圖2,從結(jié)論的角度出發(fā)：在8上截取連接H2,

小捷：如圖3,從3。平分N/OC這個條件出發(fā)，將ABDC沿8。翻折，即：延長線段到點(diǎn)C，使

DC'=DC,；

請你選擇一名同學(xué)的解題思路，寫出證明過程；

【類比探究】

（2）如圖4,△ABC中，ZA=90°,平面內(nèi)有點(diǎn)。（點(diǎn)。和點(diǎn)A在3c的同側(cè)），連接

DC,DB,ZD=45°,ZABD+2AABC=180°,猜想線段/瓦8。CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【學(xué)以致用】

（3）如圖5,在（2）的條件下，若//加=30。,48=2,請直接寫出線段NC的長度.

【答案】（1）見解析；（2）42BD+42AB=CD＞理由見解析；（3）線段4c的長度是4+26.

【分析】（1）延長線段。/到點(diǎn)CL^DC'=DC,連接8C',可證明AC'SD絲ACBD（SAS）,得

ZC=ZC=45°,ABAC=ZDAB=90°,所以N4BC'=NC'=45。，則48=4。，即可推導(dǎo)出

AB+AD=BC；另一種證明方法是：在0c上截取40=4￡/,連接/'3,可證明A/'DB絲"AD（SAS）,得

A'B=AB,/。/'8=//=90°再證明/4'8。=/。=45°,則/2=/C,則N3+=HD+HC=CD；

（2）作CZJ_D3交￡）8的延長線于點(diǎn)乙ZL=ZA=90°,所以4CD=ND=45。，則C￡=”,再證明

ALBCmAABC（AAS）,得LB=4B,由CD=13+DE=>J2DL=-J1BD+&B，得s[lBD+4^AB=CD.

(3)由N4aD+2//8C=180。，AABD=30°,,求得乙4c2=15°,在4C上取一點(diǎn)“，連接8H,使

BH=CH,則NHBC=N/CB=15。，求得乙4〃5=30。，則8〃=CH=248=4,所以

AH=ylBH2-AB2=A/42-22=273，即可求得/C=CH+/〃=4+25

【詳解】(1)證明：如圖3,延長線段D4到點(diǎn)C',使DC=OC,連接8C',

圖3

???AD平分/4DC,

ACDB=ACDB,

在AC'BD和ACBD中，

DC=DC

<ZC'DB=ZCDB,

BD=BD

."BD'CBD(SAS),

：.AC=ZC=45°,

ABAC=ZDAB=90°,

/ABC'=ZC'=45°,

：.AB=AC',

AB+AD=AD+AC=DC,

：.AD+AB=DC.

證明：如圖2,在。C上截取40=40"連接H8,

圖2

???2。平分//DC,

???NA'DB=ZADB,

在和△43。中,

AD=AD

</ADB=/ADB,

BD=BD

,MADB%ABD(SAS),

??.AB=AB,/DAB=N4=90°,

???/CAB=90°,

???ZC=45°,

/.z^5C=zC=45°,

???AB=A'C,

??.AC=AB,

??.AB+AD=A,D+A,C=CD.

(2)證明：如圖4,作C￡_LO3交D8的延長線于點(diǎn)￡,ZL=ZA=90°f

圖4L

???ZD=45°,

???/LCD=ZD=45°,

:?CL=DL,

???/ABD+/ABC+ZLBC=180。，/ABD+2/ABC=180。，

???/ABD+/ABC+ZLBC=/ABD+2/ABC,

???ZLBC=Z.ABC,

在和△/5C中，

ZLBC=/ABC

<ZL=ZA,

BC=BC

??."BC知ABC(AAS),

LB=AB,

???CD=yjci}+DI}=41DL=42BD+41LB，

■-42BD+42AB^CD.

(3)解：線段NC的長度是4+2道，

理由：-,■ZABD+2.ZABC=130°,ZABD=30°,

.?.30O+2Zy4SC=180°,ZACB=15°,

在/C上取一點(diǎn)〃，連接瓦7,使BH=CH,貝l|NHBC=N/C8=15。,

NAHB=ZHBC+NACB=30°,

-：AB=2,

.-.BH=CH=2AB=4,

???AH=y）BH2-AB2=依-2?=2百，

；.AC=CH+AH=4+2B

???線段AC的長度是4+273.

【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與