2025年滬科版八年級數(shù)學(xué)寒假復(fù)習(xí)：三角形中的幾何模型

專題07三角形中的幾何模型

T模塊導(dǎo)航—

考點聚焦：核心考點+中考考點，有的放矢

提升專練：真題感知+精選專練，全面突破

考點聚焦

提升專練---------------------------------------

，題型歸納

【考點01"8”字模型】

1.(24-25八年級上?江西贛州?期中)平面上A、B、C、D、E、F六點,構(gòu)成如圖所示的圖形，則

NA+N5+NC+ND+NE+ZF度數(shù)是()

1

F

2.（24-25八年級上?安徽淮南?期中）如圖所示，ZDBE=75°,試求NA+/C+/D+/E=

3.（24-25八年級上?天津河北?期中）如圖，已知一8。尸=120。，貝UNA+/3+/C+NO+NE+N尸的度數(shù)為

度.

4.（24-25八年級上?陜西寶雞?期中）如圖，把五角星ABCDE的頂點B移動到邊AC上.求:

NA+/DBE+NC+NO+NE的度數(shù).

A

【考點02飛鏢模型】

1.（24-25八年級上?湖北恩施?期中）如圖，Nl+N2=40。，ZD=U0。，則2A的大小是（）

2

A

A.70°B.40°D.50°

2.（24-25八年級上?四川廣安?期中）如圖，在VABC中，AD平分尸為AD延長線上一點，PELBC

于點E.已知NACB=80°,NB=24°,求一尸的度數(shù).

3.（24-25八年級上?吉林?期中）如圖，已知NA=75。，ZB=25°,ZC=35°,求N1的度數(shù).

4.（24-25八年級上?全國?期中）如圖①，凹四邊形ABOC形似圓規(guī)，這樣的四邊形稱為“規(guī)形”.

①②

（1）如圖①，在規(guī)形中，若NA=80。，ZBDC=130°,ZC=30°,求4的度數(shù);

（2）如圖②，在規(guī)形中，NBAC和/BDC的角平分線AE,DE交于點E,且NB>NC,試探究

NB,ZC,NE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【考點03風(fēng)箏模型】

1.（24-25八年級上?河北保定?期中）如圖，兩面鏡子A3和AC的夾角N3AC=50。，當(dāng)光線經(jīng)過鏡子后反射,

Z1=Z2,N3=24,則入射光線與第三條反射光線的夾角口的度數(shù)為（）

3

，B

1

a

2

34

AC

A.50°B.60°C.70°D.80°

2.（24-25八年級上.廣東惠州?期中）如圖，把VABC的-4往內(nèi)部折疊，若NA=70。，則N1+N2的度數(shù)為

)

A.120°B.140°C.135°D.150°

3.（24-25八年級上?湖北武漢?期中）如圖①，②，ZA=?,Z1=Z2,-3=/4,則NM+NP的度數(shù)為.

圖①圖②

4.（24-25八年級上?新疆烏魯木齊?期中）如圖1,BE平分/ABC,CE平分/DCS,且,CD//BE.

（圖2）

⑴求證：Z1=Z2.

（2）如圖2,延長AB,DC交于點E求/尸的度數(shù).

【考點04雙內(nèi)角平分線模型】

1.（22-23八年級上?安徽亳州?期中）如圖，在VA3C中，BO,CO分別是/ABC,NACB的平分線，ZA=50°,

4

則—3OC的度數(shù)為（）.

A

/°\

A.115°B.120°C.125°D.130°

2.（24-25八年級上?山西陽泉?期中）如圖，在VABC中，Z1=Z2,N3=N4,ZA=60。，則Nb=.

A

3.（23-24七年級下?河南南陽?期末）【概念認(rèn)識】

如圖①，在/ABC中，若ZABD=NDBE=NEBC,則BO,BE叫做/ABC的“三分線”其中，3。是“鄰A3

三分線”，BE“鄰BC三分線”.

【問題解決】

（1）如圖①，ZABC=60°,BD,BE是/ABC的“三分線”，則NABE=_°；

（2）如圖②，在VA3C中，ZA=60°,ZB=45°,若的“鄰8C三分線"8。交AC于點O,則ZfiDC=

。.

（3）如圖③，在VABC中，BP、CP分別是NABC“鄰AB三分線”和NZCB“鄰AC三分線”，S.BP±CP,

求/A的度數(shù).

4.（24-25八年級上?福建福州?期中）新定義：在VA3C中，若存在最大內(nèi)角是最小內(nèi)角度數(shù)的〃倍（"為大

于1的正整數(shù)），則VABC稱為“"倍角三角形”.例如，在VABC中，若NA=90。，ZB=60°,則/C=30。，

因為一A最大，NC最小，且NA=3/C,所以VABC為“3倍角三角形”.

5

B

⑴在ADEF中，若/D=20。，NE=60。，則NF=,QEF為“倍角三角形”.

（2）如圖，在VABC中，ZC=44°,ZBAC,—ABC的角平分線相交于點。.

①求4DB的度數(shù).

②若△"￡＞為"4倍角三角形”，請求出的度數(shù).

【考點05一內(nèi)角一外角雙角平分線模型】

1.（23-24八年級上.福建廈門?期中）如圖，已知VABC的內(nèi)角NA=a,分別作內(nèi)角/ABC與外角Z4CD的

平分線，兩條平分線交于點4,得A;乙4田。和4C。的平分線交于點4,得/4；…以此類推得到4%",

則乙/16的度數(shù)是.

2.（21-22七年級下?福建福州?期末）在VABC中，,ABC,—ACB的平分線交于點O,N7LC3外角平分線

所在的直線NABC的平分線相交于點。，與NABC的外角平分線相交于點E,則下列結(jié)論一定正確的

是.（填寫所有正確結(jié)論的序號）

11

?ZBOC=90°+-ZA；?ZD=-ZA；?ZE=ZA；?ZE+ZDCF=90°+ZABD.

22

2.（24-25八年級上?安徽合肥?期中）如圖1,/MON=90。，點A、8分別在OM、ON上運動（不與點O

重合）.

6

圖1圖2

(1)若BC是/ABN的平分線，BC的反方向延長線與/BAO的平分線交于點。.

①若440=60。，則NO=°；

②猜想：”的度數(shù)是否隨A,B的移動發(fā)生變化？并說明理由.

33

(2)如圖2,若NOAO=—NOAB,NNBC=—NNBA,求/。的度數(shù).

44

3.(24-25八年級上?安徽滁州?期中)已知VABC中，

⑵如圖2,/3CE是VABC的外角，NBCE、ZB4c的平分線交于點。，求—8與"的數(shù)量關(guān)系；

⑶如圖3,NBCE、NHAC是VABC的外角，/BCE的平分線所在的直線與NHAC、NBAC的平分線分別

交于點F、D.在△MR中，如果NF=3",求/8的度數(shù).

【考點06一線三等角模型】

1.(23-24八年級上.遼寧大連.期中)通過對下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題:

圖2

(1)如圖1,點A在直線/上，ZBAD^90°,AB=AD,過點8作于點C,過點。作DEL/交于點E.得

Z7=ZD.又/3C4=NAED=90。，可以推理得到A45。/4￡>>1￡(415).進(jìn)而得到結(jié)論：AC=,BC=

.我們把這個數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三直角”模型；

7

（2）如圖2,/N5W=NMAN=90。,AB=AD,AM=AN,8M，/于點C,OE，/于點E,NO與直線/交于點

P,求證：NP=DP.

2.（24-25八年級上?海南?期中）如圖1所示，已知在VABC中，ZACB=9Q°,AC=BC,直線加經(jīng)過點C,

過A、8兩點分別作直線機(jī)的垂線，垂足分別為E、F.

⑵若直線機(jī)繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置時（8b<AE）,其余條件不變，猜想斯與AE,M有什么數(shù)量關(guān)

系？并證明你的猜想；

（3）若直線機(jī)繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時（3尸〉A(chǔ)E）其余條件不變，問所與AE,所的關(guān)系如何？直接

寫出猜想結(jié)論，不需證明.

3.（24-25八年級上?山西大同?期中）如圖1,已知AABC中，ABAC=90°,AB=AC；AE是過A的一條

直線，且BC在A,E的異側(cè)，皮）_LAE于D,CE_LAE于E.

（1）試說明：BD=DE+CE.

（2）若直線AE繞A點旋轉(zhuǎn)到圖2位置時（BD<CE）,其余條件不變，問BD與DE,CE的關(guān)系如何？請

直接寫出關(guān)系式；

⑶在（2）的條件下，當(dāng)BD=2,CE=3時，直接寫出四邊形BCED的面積.

4.（23-24八年級上?江蘇南通?期中）已知滿足3C=AC,ZACB=90°,直角頂點C在x軸上，一

銳角頂點B在y軸上.

8

圖①圖②圖③

(1)如圖①若AD垂直于x軸,垂足為點D.點C坐標(biāo)是(。,0),點B的坐標(biāo)是(O,b),且滿足卜+l|+(Z?-3)2=0,

請直接寫出。、6的值以及點A的坐標(biāo).

(2)如圖②，直角邊BC在兩坐標(biāo)軸上滑動，使點A在第四象限內(nèi)，在滑動的過程中，當(dāng)B的坐標(biāo)為(0,4),點

C的坐標(biāo)為(5,0)時,求A的坐標(biāo);

(3)如圖③，直角邊在兩坐標(biāo)軸上滑動，AC與y軸交于點。，過點A作軸于E,若BD=2AE,

試說明，軸恰好平分/ABC.

【考點07倍長中線模型】

1.(24-25八年級上?河北保定?期中)在通過構(gòu)造全等三角形解決問題的過程中，有一種方法叫做倍長中線

法.

圖⑴圖(2)

(1)如圖(1),AD是VABC的中線.且AC.延長AD至點E.使ED=AD.連接BE.求證：NADC^EDB.

⑵如圖(2),AD是VA3C的中線，點E在BC的延長線上，CE=AB,/BAC=/BCA,求證：AE=2AD.

2.(24-25八年級上?江西贛州?期中)八年級數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動中進(jìn)行了探究試驗活動，請你和他們

一起活動吧.

【初步探索】

(1)如圖1,在VA3c中，若A3=12,BC=8.求AC邊上的中線3。的取值范圍.以下兩位同學(xué)是這樣思

考的：

小聰：延長8。至E,使DE=BD,連接CE.利用全等將邊A3轉(zhuǎn)化到CE,在ABCE中利用三角形三邊關(guān)

系即可求出中線3D的取值范圍.

小明：過點C作交3D的延長線于點E.利用全等將邊轉(zhuǎn)化到CE,在ABCE中利用三角形

9

三邊關(guān)系即可求出中線BO的取值范圍.

在這個過程中小聰同學(xué)證三角形全等用到的判定方法是；中線的取值范圍是.

【靈活運用】（2）如圖2,在VA3C中，點。是AC的中點，AB=MB,BC=BN,其中=4VBC=90。，

連接MN,試判斷8。與MN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【拓展延伸】

（3）如圖3,在五邊形ABCDE中，AABC^AADE,ZACB=ZAED=9Q°,ZABC=ZCAD,AF為BE邊

上的中線.

①求證：AF±CD；②若AE=12,DE=8,則五邊形ABCDE的面積為.

圖1圖2圖3

3.（24-25八年級上?浙江臺州?期中）新定義：我們把兩個面積相等但不全等的三角形叫做偏等積三角形.

初步嘗試

圖1

(1)如圖1,在VABC中，ZACB=9Q°,ACBP

為偏等積三角形.

理解運用

（2）如圖2,/XABD與AACD為偏等積三角形，AB=2,AC=4,且線段AD的長度為正整數(shù)，過點C作

CE〃AB,交AD的延長線于點E,求AE的長.

綜合應(yīng)用

（3）如圖3,已知VA3C和VADE為兩個等腰直角三角形，其中AC=AB,AD=AE,ZCAB=ZDAE^90°,

尸為CD的中點.請根據(jù)上述條件，回答以下問題:

①NCW+N54E的度數(shù)為一。;

10

②試探究線段AF與跖的數(shù)量關(guān)系，并寫出解答過程.

4.（24-25八年級上?福建福州?期中）數(shù)學(xué)興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題：如圖1,在VA3C

中，AB=4,AC=8,。是8c的中點，求BC邊上的中線4。的取值范圍.

【方法探索】（1）小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖1,延長4D到點E,^DE=AD,

連接BE.根據(jù)SAS可以判定VADC絲VED3,得出AC=3E.這樣就能把線段AB、AG2AD集中在AME

中.利用三角形三邊的關(guān)系，即可得出中線4。的取值范圍是.

【問題解決】（2）由第（1）問方法的啟發(fā)，請解決下面問題：如圖2,在VABC中，。是3C邊上的一點，

AE是的中線，CD=AB,ZBDA=/BAD,試說明：AC=2AE；

【問題拓展】（3）如圖3,點。是BC邊上的一點，連接力D,過點A分別向外作/AFrAC,使

得AE=AB,AF=AC,若ADJ_￡F,求證：￡F=2AD且AD為VA3C的中線.

【考點08半角模型】

1.（24-25八年級上?浙江衢州?期中）在VABC中，AB^AC,點。是直線BC上一點（不與8,C重合），

以為一邊在AD的右側(cè)作VADE,使=NDAE=NBAC,連接CE.

（2）設(shè)/&4C=a,/BCE=0.

①如圖2,當(dāng)點。在線段BC上移動時，a、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

②當(dāng)點。在直線上移動時，a、￡之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請你在備用圖上畫出圖形，并直接寫出結(jié)論.

2.（24-25八年級上?四川宜賓?期中）（1）【問題背景】如圖1,在四邊形ABC。中，AB=AD,ZBAD=120°,

ZB=ZADC=90°,分別是3C、CD上的點，且ZE4F=60。，探究圖中線段BEEF,FD之間的數(shù)量關(guān)系.

小王同學(xué)探究此問題的思路是延長FD到點G,使得DG=BE,連接AG,先證明△ABE/△ADG,再證明

AAEF^AAGF,可得出結(jié)論.他的結(jié)論是一請你幫他完善證明過程.

（2）【探索延伸】如圖2,在四邊形ABC。中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E、尸分別是3C、CD上的點,

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且NE4F=1N8A。，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由.

（3）【實際應(yīng)用】如圖3,在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心。的北偏西30。的A處，艦艇乙在指揮中

心。的南偏東70。的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60

海里/小時的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50。的方向以80海里/小時的速度前進(jìn)，1.5小時后，指揮中心觀測

到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E、尸處且兩艦艇之間的夾角為70°（即/EO-=70。），請直接寫出甲、乙兩艦艇

之間的距離為_海里.

3.（24-25八年級上?山東濟(jì)寧?期中）（1）問題背景:

圖1圖2圖3

如圖1,在四邊形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120°,ZB=ZADC=9O°,點E,尸分別是BC,上的

點，且Z￡4F=6O。，請?zhí)骄繄D中線段BE,EF,ED之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

小明探究此問題的方法是：延長線段FD到點G,使DG=BE,連接AG.先證明△ABE/△ADG,得

AE=AG；再由條件可得NE4F=NC4F,再證明AAEF名AAGF,進(jìn)而可得線段BE,EF,FD之間的數(shù)量

關(guān)系.請根據(jù)小明的思路，完成解題過程.

（2）拓展應(yīng)用：

如圖2,在四邊形中，AB=AD,ZB+ZAZ）C=18O。，點E,尸分別是8C,CD上的點，且

ZEAF=^ZBAD,（1）中的線段BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系是否還成立？若成立，請給出證明：若不成

立，請說明理由.

（3）學(xué)以致用：

我們知道，正方形的四條邊都相等，四個角都為直角.如圖3,四邊形ABCD是邊長為5的正方形，點、E,

產(chǎn)分別是2C,CD上的點，且NE4F=45。，請直接寫出△CEF的周長.

4.（24-25八年級上?重慶萬州?期中）按要求解答下列問題：

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圖1圖2圖3

(1)如圖1,在四邊形中，AB=AD,ZB^ZD=9Q°,E、/分別是邊3C、CD上的點，且

NBM)=2NEAF.求證：EF=BE+FD；

(2汝口圖2,在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=\SO°,E、尸分別是邊BC、CD上的點，且

NBAD=2NEAF,請先寫出斯、BE、尸。之間的數(shù)量關(guān)系再證明；

(3)如圖3,在四邊形9CD中，AB=AD,ZB+ZADC=180°,E、/分別是邊BC、CD延長線上的點，且

NBAD=2/EAF,請直接寫出EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系(不證明).

【考點09手拉手模型】

1.(24-25八年級上?廣東廣州?期中)如圖，在V43C和V3DE中，/ABC=/DBE=90。,NCBE為銳角，

AB=BC,BE=BD,連接AE、CD,AE與CD交于點M,AE與BC交于點N.

(1)求證：AABE-CBD

(2)線段AE與CO有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由.

2.(23-24八年級上?寧夏固原?期中)數(shù)學(xué)越學(xué)越聰明，不信你試試：如圖，VABC是等腰三角形、YADE是

等腰三角形，AB^AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=a,直線3。與CE交于0.

13

⑴探究1：△

(2)探究2：/BAC與ZBOC有什么關(guān)系？寫出證明過程.

3.(24-25八年級上?黑龍江哈爾濱?期中)我們把有公共頂點且形狀相同的兩個三角形組成的圖形稱為“手拉

手”圖形.數(shù)學(xué)興趣小組的幾名同學(xué)對“手拉手”圖形進(jìn)行了探究.

(1)初步探究：如圖1，VAO3與△COD的頂點。重合，ZAOB=ZCOD=90°,OA=OB,OC=OD,連接妝3C,

他們通過測量發(fā)現(xiàn)在VAO3和△COD繞點。轉(zhuǎn)動的過程中，AD=BC,請你證明他們的結(jié)論；

(2)大膽猜想：如圖2,在(1)的條件下，連接他們猜想△AOC的面積與ABO。的面積相等，請

證明他們的猜想是正確的；

(3)拓展延伸：如圖3,在(2)的條件下，當(dāng)48=90。時，延長C。交8。于點G,CG=8,ABCO的面

積為18,求AC的長度.

4.(24-25八年級上?廣東東莞?期中)綜合實踐

在學(xué)習(xí)全等三角形的知識時，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個模型：它是由兩個共頂點且頂角相等的等腰三角

形構(gòu)成的，在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形，興趣小組成員經(jīng)過研討給出定義：如果兩

個等腰三角形的頂角相等，且頂角的頂點互相重合,則稱此圖形為“手拉手全等模型”因為頂點相連的四條邊，

可以形象地看作兩雙手，所以通常稱為“手拉手模型”，如圖1,VABC與VADE都是等腰三角形，其中

ZBAC=Z.DAE,則AABD絲AACE(SAS).

14

A

D

【初步把握】如圖2,VABC與VADE都是等腰三角形，AB^AC,AD=AE,且N3AC=〃4E,請直接

寫出圖中的一對全等三角形：；

【深入研究】如圖3,已知VABC,以AB、AC為邊分別向外作等邊△相￡）和等邊△ACE,BE、CD交于

點Q,求/DQ8的大小.

【拓展延伸】如圖4,在兩個等腰直角三角形VABC和VADE中，AB^AC,AE=AD,ABAC=ZDAE=90°；

連接8。，CE,交于點P,請判斷3D和CE的關(guān)系，并說明理由.

?過關(guān)檢測

一、單選題

1.（24-25八年級上?安徽阜陽?期中）如圖，8人和CA分別是VA2C的內(nèi)角平分線和外角平分線，B4是/4跳）

的平分線，C4是的平分線，8A3是幺8。的平分線，C4是N&C。的平分線，依此下去.若NA=a,

202420252026

1IaC.aD.1'a

2.（24-25八年級上?安徽馬鞍山?期中）如圖，班是上的平分線，CF是NACD的平分線，BE,CF相

交于點G.若N5DC=135。，ZBGC=100°,則NA的度數(shù)是（）

A.65°B.75°C.80°D.85°

3.（24-25八年級上?四川德陽?期中）在中，ZABC,NAC5的平分線交于點0,NACB的外角平分

線所在直線與NABC的平分線交于點D,與ZABC的外角平分線交于點E,下列結(jié)論:①4BOC=90。+；44；

15

12

@ZD=-ZA；?ZA=-ZE；（4）ZE+ZDCF=90°+ZABD.其中正確結(jié)論有（）個.

23'一

A.1B.2C.3D.4

4.（24-25八年級上?天津南開?期中）如圖，NACF和/EBG均為VABC的外角，NAC支的平分線所在直線

與，ABC的平分線相交于點。，與NEBG的平分線相交于點E,則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.ZE=ZAB.NDBE=90。

C.2ZD=ZAD.ZE+ZDCF=90°+ZABD

5.（23-24七年級下?山東泰安?期中）如圖，ZABC=ZACB,BD,CD,AD分別平分VABC的內(nèi)角/ABC,

外角/ACF,外角/E4c.以下結(jié)論：①AD〃BC；②ZACB=2ZADB；③NBDC=g/BAC；④

2ZADB+ZCDB=90°；⑤NADC+NASD=135。.其中正確的結(jié)論有（）

A.2個B.3個D.5個

6.（24-25八年級上?山東濱州?期中）如圖，在銳角三角形A3C中，A”是BC邊上的高，分別以AB,AC為

一邊，向外作正方形和ACFG（正方形四條邊都相等，四個角都是直角），連接CE,BG和EG,EG

與的延長線交于點M,下列結(jié)論：①BG=CE；②BGLCE；③4〃是△AEG的中線；④

NEAM=ZABC.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

16

E

M

G

BHC

A.1個B.2個C.3個D.4個

7.（24-25八年級上?山西大同?期中）如圖，在VABC中，AB=AC,。為2C上一點，ZBAD=20°,在AD

的右側(cè)作VADE,使隹=AO,NDAE=NBAC,連接CE,DE與AC相交于點。，若CE〃AB,則NCOE

的度數(shù)為（）

A.80°B.75°D.65°

8.（24-25八年級上?安徽阜陽?期中）如圖，在VA3C和ACDE中,CA=CB,CD=CE,ZACB=NECD=a,

AD,BE交于點、H,則NAHE的度數(shù)為（）

A.180°-(zB.90°+a90°+-a

22

二、填空題

9.（24-25八年級上,新疆?期中）如圖,NA+N3+NC+ND+NE的度數(shù)是..度.

10.（22-23八年級上?浙江杭州?期中）如圖，在VA3c中，ZACB=90°,ZB-ZA=10°,。是4B上一點,

將AACE）沿CD翻折后得到△CE。，邊CE交48于點若ADEB中有兩個角相等，則NACD=

17

11.（24-25八年級上,重慶長壽?期中）如圖，在VABC中，NABC和的角平分線交于點。，若NA=80。,

則NBOC的度數(shù)為.

12.（23-24八年級上.遼寧鐵嶺?期中）如圖1,2,3：已知VABC中，,ABC的”等分線與，ACB的”等分

線分別相交于G，G°,G.,...,G“一試猜想：NBG“TC與-A的關(guān)系.（其中〃是不小于2的整數(shù)）

首先得到：當(dāng)〃=2時，如圖1,NBG、C=,當(dāng)〃=3時，如圖2,NBG?C=，…

如圖3,猜想NBG-C=____________.

13.（24-25八年級上?遼寧鐵嶺?期中）小強(qiáng)同學(xué)用10塊高度都是5cm的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面

垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個等腰直角三角板（AC=BC,NAC8=90。），點C在DE上，點A

和B分別與木墻的頂端重合，則兩堵木墻之間的距離為cm.

CE

14.（24-25八年級上?湖北武漢?期中）如圖，在VA3C中，是VABC的中線，AB=12,AD=8,貝UAC

的取值范圍是.

18

15.（22-23七年級下?重慶?期末）如圖，四邊形ABCD中，AC與8。相交于點。，且AC，3。,AC=A8=3。，

點E是—BAC和平分線的交點，連接ED,EC,給出下列結(jié)論：①/AEB=135。；②AD=￡>C；③

BE±EC；④SAAEB=SAEDC；其中正確結(jié)論的序號為.

16.（21-22八年級上.湖北襄陽?期末）如圖，在VABC中，AB^AC,/3=/C=45。，D、E是斜邊2c上

兩點，且/ZME=45。，過點A作AFl,仞，垂足是A,過點C作C尸，3C,垂足是C.交AF于點尸，連接跖，

下列結(jié)論：①AABO0A4CV；②DE=EF；③若54的=10,5AC￡F=4,則，叱=24；④BD+CE=DE.

其中正確的是.

三、解答題

17.（24-25八年級上?安徽蚌埠?期中）如圖，在VABC中，點。在2B上，過點。作OE〃臺C,交AC于點

E.DP平分4DE,交24%的平分線于點P,CP與DE相交于點G,NACP的平分線C。與的延長

線相交于點Q.

⑴若ZA=50°,ZB=60°,貝ijNDPC=0,NQ=°；

（2）若NA=a,當(dāng)Z3的度數(shù)發(fā)生變化時，NDPC,N。的度數(shù)是否發(fā)生變化？若要變化，說明理由；若不

變化求出NDPC,NQ的度數(shù)（用。的代數(shù)式表示）；

（3）若△PCQ中存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍，則所有符合條件的NA的度數(shù)為.

18.（24-25八年級上?江西贛州?期中）（1）如圖1,在VABC中，點E在CB延長線上，點尸在線段AC上,

連接EF交于點D,ZBAF和ZCEF的平分線交于點P.

①若NC=60。，ZBDF=150°,則一尸的度數(shù)為；

19

②猜想出NC、ZBD尸和/尸之間的數(shù)量關(guān)系為,并證明；

(2)如圖2,在VABC中，點E在線段CB上，點歹在C4延長線上，連接所交A8于點。，/胡/和ZBEF

的平分線交于點P,直接寫出尸和/P之間的數(shù)量關(guān)系為.

BEC

圖2

19.(24-25八年級上?河南周口?期中)綜合與探究

(1)如圖1,直線/經(jīng)過正方形ABCD的頂點A,分別過正方形的頂點8,。作于點E,DFLI于點F,

若斯=7,BE=4.則的長為；

(2)如圖2,在VABC中，NACB=90。，AC=CB,過點C在VABC外作直線m,40_1加于點加，BNLm

于點N.求證：MN=AM+BN；

(3)在(2)的條件下，過點C作直線〃?與線段A8相交，直接寫出線段A",BN和之間的數(shù)量關(guān)系.

BC

圖1

20.(24-25八年級上?河北邢臺?期中)【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1,在VABC中，AD是VABC的中線，作NO3M=NC,

邊BM交力。延長線于M點，求證：AMBD冬AACD.

：D

/

【初步應(yīng)用】如圖2,在VABC中，AB=16,AC=12,AD是VABC中線，則AD的取值范圍為:

【探究提升】如圖3,AD是VABC的中線，過點A分別向外作AE_LAB、AF±AC,AE=AB,AF=AC,

20

連接所，延長ZM交跖于點P,判斷線段所與2D的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請說明理由.

圖3

21

專題07三角形中的幾何模型

T模塊導(dǎo)航—

考點聚焦：核心考點+中考考點，有的放矢

提升專練：真題感知+精選專練，全面突破

考點聚焦

提升專練---------------------------------------

，題型歸納

【考點01"8”字模型】

1.(24-25八年級上?江西贛州?期中)平面上A、B、C、D、E、F六點,構(gòu)成如圖所示的圖形，則

NA+N5+NC+ND+NE+ZF度數(shù)是()

22

F

A.180°B.360°D.720°

【答案】B

【解析】解：如圖所示:

???ZAGH是ACGE的一個外角,

:.ZAGH=/C+/E,

???/FHG是ABDH的一個外角，

:./FHG=ZB+/D,

在四邊形E4G”中，連接AH,如圖所示,

ZFAG=ZFAH+ZGAH,ZFHG=AFHA+ZGHA,

在△AGH中，ZAGH+Z.GHA+AHAG=180°；

在中，ZAFH+ZFHA+ZHAF=180°；

...ZF+ZFAG+ZAGH+ZFHG=360°,

NA+N6+NC+ND+NE+"=360。，

故選：B.

2.（24-25八年級上?安徽淮南?期中）如圖所示，ZDBE=75。,試求NA+NC+ND+/E=

【答案】105。

【解析】解：?.?NA+NE=NESC,ZC-^-ZD=ZABD,

ZA+ZC+ZD+ZE=ZEBC+ZABD,

23

?/AEBC+ZDBE+ZABD=180°,

.?.ZEBC+ZABD=180°-ZDBE=180。-75。=105。，

.-.ZA+ZC+ZZ）+ZE=105o.

故答案為：105。.

3.（24-25八年級上?天津河北?期中）如圖，已知/3O尸=120。，則NA+NB+NC+NO+N石+ZF的度數(shù)為

度.

【答案】240

【解析】解：如下圖所示:

ZA+ZC=Z2,N2+ZE=ZA+NC+NE=NCOE,

ZBOF=120°,

；.NCOE=NBOF=120。,

ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF

=/A+/C+/石+ZO+N尸+4

=ZCOE+ZBOF

=120°+120°=240°,

故答案為：240.

4.（24-25八年級上?陜西寶雞?期中）如圖，把五角星ABCDE的頂點B移動到邊AC上.求:

ZA+NO3E+NC+NO+NE1的度數(shù).

24

A

【答案】180°

【解析】解：如圖所示，設(shè)和應(yīng):交于點”,

???ZAMB是ABDM的外角,

ZDBM+ZADB=ZAMB,

QNASA/是△5C石的外角，

:.ZC+ZE=ZABM,

?/ZA+ZABM+ZAMB=180°

.?.ZA+ZE+ZC+ZD+ZDBE=18O°.

【考點02飛鏢模型】

1.（24-25八年級上.湖北恩施?期中）如圖，Zl+Z2=40°,ZD=110°,則NA的大小是（

A.70°B.40°

【答案】A

【解析】vZD=110°,

/.NDBC+ZDCB=180。一NO=70°,

???Zl+Z2=40°,

...ZABC+ZACB=Z1+Z2+ZDAC+ZDCB=40o+70°=110°

25

ZA=180°-（ZABC+ZACB）=70°,

故選擇：A

2.（24-25八年級上?四川廣安?期中）如圖，在VABC中，AO平分/B4C,尸為AD延長線上一點，PE1BC

于點E.已知NACB=80。，ZB=24°,求/尸的度數(shù).

【答案】4=28。

【解析】解：在VABC中，ZACB=80。，ZB=24。，

:.ZBAC=180°-ZACB-ZB=76°.

平分NBAC,

ZCAD=-ZBAC=38°.

2

在AACD中，ZACD=80°,ZCAD=38°,

ZADC=180°-ZACD-ZCAD=62°,

ZPDE=ZADC=62°.

?;PE上BC于E,

:.ZPED=90°,

...ZP=180o-ZPDE-ZPED=28°.

3.（24-25八年級上?吉林?期中）如圖，已知Z4=75。，NB=25°,ZC=35°,求/I的度數(shù).

【答案】Zl=135°

【解析】解：在AACD中，ZA=75°,ZC=35°,則/。=180°-75°-35°=70°,

ND是YBDE的一個外角，

ZBDE=180°-70°=110°,

?.?N1是VBDE的一個外角，4=25°,

Z1=ZB+ZBDE=25°+110°=135°.

4.（24-25八年級上?全國?期中）如圖①，凹四邊形ABDC形似圓規(guī)，這樣的四邊形稱為“規(guī)形”.

26

AA

(1)如圖①，在規(guī)形ABDC中，若NA=80。，ZBDC=130°,/C=30。，求上8的度數(shù)；

(2)如圖②，在規(guī)形A5DC中，/B4C和/BDC的角平分線AE,DE交于點E,且N8>NC,試探究

/B,ZC,/E之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】⑴20°

(2)ZE=1ZB-|ZC,理由見解析

【解析】(1)解：如圖1,延長CD交AB于G,

:.NB=Z.BDC-Z.BGC=20°,

的度數(shù)為20。；

(2)解：ZE=-ZB-1ZC,理由如下;

22

圖2

AE,DE分別是NBAC和NBDC的角平分線，

ZBAE=NCAE,Z.BDE=NCDE,即Nl=N2,/3=/4,

由題意知，Z5=Z1+ZB=Z3+ZE,Z4=ZC+ZCME=ZC+Z2+ZE=ZC+Z1+ZE,

27

Zl+ZB=(ZC+Zl+Z￡)+ZE,即ZE=-ZB--ZC

22

【考點03風(fēng)箏模型】

1.（24-25八年級上?河北保定?期中）如圖，兩面鏡子45和47的夾角N54C=50。，當(dāng)光線經(jīng)過鏡子后反射,

Z1=Z2,N3=，4,則入射光線與第三條反射光線的夾角。的度數(shù)為（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

【答案】D

【解析】解：如圖：

ZBAC=50°,

：.Z2+Z3=180°-50°=130°,

VZ1=Z2,N3=/4,

Zl+Z4=130°,

,/Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=360°,

Z5+Z6=360°-(Z2+Z3)-(Z4+Zl)=100°,

/.a=180°-(Z5+Z6)=80