2025年滬科版八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假預(yù)習(xí)：一元二次方程的解法

第04講一元二次方程的解法

T模塊導(dǎo)航一T素養(yǎng)目標(biāo)A

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解

模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理(吃透教材)數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三

模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)

I，R*二M’N0)JW

名■力■牝力一■需支

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■的耳力

一元二次方程解法

■方?化■一?泰式

MC'Ab、cAfl

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6模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理-----------------------------

知識(shí)點(diǎn)1開平方法

(1)形如*=P或(〃x+加了=0(P20)的一元二次方程可采用直接開平方法解一元二次方程

(2)如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=+4p

(3)如果方程能化成(〃x+加丫=)(220)的形式，那么nx+m=+4p＞進(jìn)而得出方程的根。

注意：

①等號(hào)左邊是一個(gè)數(shù)的平方的形式而等號(hào)右邊是一個(gè)常數(shù)。

②降次的實(shí)質(zhì)是由一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程；

③方法是根據(jù)平方根的意義開平方。

知識(shí)點(diǎn)2配方法

將一元二次方程配成（X+加1=〃的形式，再利用直接開平方法求解的方法。

1.用配方法解一元二次方程的步驟：

①把原方程化為一般形式；

②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1,并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；

③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；

④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；

⑤進(jìn)一步通過直接開平方法求出方程的解，如果右邊是非負(fù)數(shù)，則方程有兩個(gè)實(shí)根；如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，

則方程無解。

2.配方法的理論依據(jù)是完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+by

3.配方法的關(guān)鍵是：先將一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)化為1,然后在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平

方。

知識(shí)點(diǎn)3公式法

1.用求根公式法解一元二次方程的一般步驟為：

①把方程化成一般形式ax2+bx+c=Q（a^O）,確定a,b,c的值（注意符號(hào)）；

②求出判別式A=〃-4ac的值，判斷根的情況；

③在A=/—（注：此處△讀“德爾塔”）的前提下，把。，“c的值代入公式

—b+—b+J:2—4ac

x="工二，T_絲土進(jìn)行計(jì)算，求出方程的根。

2a2a

知識(shí)點(diǎn)4因式分解法

1.定義：因式分解法即利用因式分解求出方程的解的方法。

2.因式分解法解一元二次方程的一般步驟如下：

①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；

②將方程的左邊轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程的乘積；

③令每個(gè)因式分別為零

④括號(hào)中x,它們的解就都是原方程的解。

6模塊三核心考點(diǎn)舉一反三------------------------------

考點(diǎn)01：直接開平方法解一元二次方程

［\］例題1.（24-25八年級(jí)上?上海?期中）解方程：9（2X-3）2=（1-X）2

【變式1-1】方程3卜+2）2=24的解是.

【變式1-2】方程2/-4=0的解是.

【變式1-3］（24-25九年級(jí)上?山東荷澤?期中）若方程/+%=（）有整數(shù)根，則的值可以是.（填

2

一個(gè)可能的值）

考點(diǎn)02：配方法解一元二次方程

例題2.解方程：/+2工一6=0.

【變式2-1】解一元二次方程/-6》-4=0,配方后得到（x-3y=p,則p的值是（）

A.13B.9C.5D.4

【變式2-2X24-25九年級(jí)上吶蒙古包頭?期中）若關(guān)于x的一元二次方程/+6X+3=0配方后得到（x+3y=c,

則c的值為（）

A.0B.3C.6D.9

【變式2-3］用配方法解方程：X2+8X-9=0.

考點(diǎn)03：配方法的應(yīng)用

］例題3.若/+/+4工+6了+13=0（x,了為實(shí)數(shù)），貝1|a=.

【變式3-1】二次三項(xiàng)式/-4x+4的最小值是.

【變式3-2］求證：無論僅為何值，關(guān)于x的方程（/-4"7+5）/+2》-7=0是一元二次方程.

【變式3-3】選取二次三項(xiàng)式*2+區(qū)+4。*0）中的兩項(xiàng)，配成完全平方公式的過程叫配方.例如：

/-4尤+2=(x-2『-2.

(1)對(duì)/一8歹+21進(jìn)行配方，y2-Sy+21=(y-_)2+_；

（2）已知加之+/+2加一6〃+io=o,求加"的值.

考點(diǎn)04：公式法解一元二次方程

］例題4.一元二次方程X?-2x-5=0的根為.

【變式4-1】已知關(guān)于加的方程1+3%+川=0，那么機(jī)=

【變式4-2】若一元二次方程的根為xi可—?jiǎng)t該一元二次方程可以為——

【變式4-3］已知x二一"4（/_4北0）,貝I式子Y+6X+C的值是

c

2

考點(diǎn)05：因式分解法解一元二次方程

\j例題5.（24-25九年級(jí)上?吉林長春?期末）

解方程：X2-7X+12=0.

【變式5-1】方程x（x-2）=4（x-2）的根是（）

A.x=2B.x=4C.X]=-2,玉=-2D.%=2,%2=4

【變式5-2】解方程:

(l)x2+3x=0;

3

（2）2/一3x+l=0.

【變式5-3]（24-25九年級(jí)上?四川成都?期中）計(jì)算：

（1）2X2-4X-5=0

（2）（X-3）2+2X（X-3）=0

考點(diǎn)06：換元法解一元二次方程

|\例題6.若X,y都是實(shí)數(shù)，且滿足（/+何①+了2-1）=12,則/+/的值為.

【變式6-1]若（/+62）2_2（/+6>3=0則代數(shù)式/+/的值為（）

A.-1或3B.1或-3C.-1D.3

【變式6-2】方程號(hào)-―=1,若設(shè)土?=y,則原方程可化為關(guān)于了的方程是：

【變式6-3】【材料】請(qǐng)你先認(rèn)真閱讀材料并解決下面問題.

已知關(guān)于x、V的方程（x+y）2-2（x+y）-8=0,求x+y的值.

解：設(shè)/=》+九則方程變形為：/-2-8=0

?-4）?+2）=0

4=4,t2=—2

即x+y=4或x+y=-2

（1）【引申】己知9/+/-1）=9,則蘇+”2=.

（2）【拓展】已知，+對(duì)卜2+x-l）=2,求/+尤的值.

3模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)

一、單選題

1.（24-25九年級(jí)上?安徽黃山?期中）把方程％2一6%-1=0化成（X+加）2=〃的形式，貝!）加，幾的值是（）

A.-3,10B.—3,1C.3,8D.3,9

2.（22-23九年級(jí)上?安徽蕪湖?期中）若實(shí)數(shù)x滿足①+x)2-6(x?+x)-16=0,貝!Jx?+x的值為（）

A.8B.-2C.8或一2D.一8或2

3.（23-24八年級(jí)下?安徽安慶?期末）已知x=l是一元二次方程（2機(jī)+2）x?+尤-,/=0的一個(gè)根，則加的

值為（）

A.-1B.3或一1C.3D.-3或1

二、填空題

4.（23-24八年級(jí)下?安徽淮北?期末）若(-+/)(x2+y2-4)=5,則/+/的值為

5.（23-24九年級(jí)上?安徽黃山?期末）若關(guān)于％的一元二次方程/+1）/-、+左2—2"3=0的一個(gè)根為x=0,

則實(shí)數(shù)左的值為.

4

三、解答題

6.(24-25九年級(jí)上,貴州貴陽?期中)解方程：

(1)X2-16=0

⑵x2+3x=1

(3)x(5x+4)=5%+4

(4)3X2-6X+1=0

7.解方程：

(l)x2-6%-4=0;

(2)5(x-2)f4.

(3)X2-4.X+3=0;

(4)(x-2)"+x(x-2)=0.

8.阿成與阿龍兩位同學(xué)解一元二次方程5(x-3)=(x-3『的過程如下框:

阿龍：

阿成：

移項(xiàng)，得5(x-3)-(x-3『=0.

兩邊同除以(X-3)得

提取公因式，得(x-3)(5-x-3)=0.

5=x—3.

貝！|x—3=0或5-x-3=0.

貝鼠=8.

解得再=3,々=2.

你認(rèn)為他們的解法是否正確？直接寫出判斷結(jié)果.

⑴阿成的解法,阿龍的解法.(填“正確”或者“不正確”)

(2)請(qǐng)你選擇合適的方法解一元二次方程3(2x+l)=(2x+l)2.

9.(23-24八年級(jí)下?安徽安慶?期末)讀下列材料：已知實(shí)數(shù)小〃滿足(2/+〃2+1)(2/+〃2_1)=80,試

求2蘇+〃2的值.

解：設(shè)2療+/=/,則原方程變?yōu)?7+1)(/1)=80,整理得/_1=80,r=81,

t-+9,2m2+n2>0>2m2+n2=9,

上面這種方法稱為“換元法”，在結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的數(shù)和式的運(yùn)算中，若把其中某些部分看成一個(gè)整體，并用新字

母代替(即換元)，則能使復(fù)雜的問題簡單化.

根據(jù)以上閱讀材料內(nèi)容，解決下列問題，并寫出解答過程.

⑴設(shè)0,6滿足等式(/+〃)(2/+262-1)=3,求3/+3/_1的值；

(2)若四個(gè)連續(xù)正整數(shù)的積為24,求這四個(gè)連續(xù)正整數(shù).

10.(23-24八年級(jí)下?安徽淮北?期末)閱讀下列材料：配方法是代數(shù)變形的重要手段，是研究相等關(guān)系和不

等關(guān)系的常用方法，配方法不僅可以用來解一元二次方程，還可以用來求某些代數(shù)式的最值，

5

我們可以通過以下方法求代數(shù)式V+6x+5的最小值.

解：VX2+6X+5=X2+2X(3X)+32-32+5=(X+3)2-4,

V(X+3)2>0,

二當(dāng)尤=-3時(shí)，/+6》+5有最小值-4.

請(qǐng)根據(jù)上述方法，解答下列問題：

(1)若/+4x+5=(x+0y+6,貝!］。=_；b=__

⑵求代數(shù)式2尤?+4x-l的最值；

⑶若代數(shù)式-/+日+7的最大值為8,求人的值.

6

第04講一元二次方程的解法

T模塊導(dǎo)航一T素養(yǎng)目標(biāo)A

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解

模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三

模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)

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6模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理-----------------------------

知識(shí)點(diǎn)1開平方法

（1）形如/=?或（加+加）2=p（p>0）的一元二次方程可采用直接開平方法解一元二次方程

（2）如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±4p

（3）如果方程能化成（〃x+加了=?（。20）的形式，那么nx+m=+y[p,進(jìn)而得出方程的根。

注意：

①等號(hào)左邊是一個(gè)數(shù)的平方的形式而等號(hào)右邊是一個(gè)常數(shù)。

②降次的實(shí)質(zhì)是由一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程；

③方法是根據(jù)平方根的意義開平方。

7

知識(shí)點(diǎn)2配方法

將一元二次方程配成（X+掰了=〃的形式，再利用直接開平方法求解的方法。

1.用配方法解一元二次方程的步驟：

①把原方程化為一般形式；

②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1,并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；

③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；

④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；

⑤進(jìn)一步通過直接開平方法求出方程的解，如果右邊是非負(fù)數(shù)，則方程有兩個(gè)實(shí)根；如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，

則方程無解。

2.配方法的理論依據(jù)是完全平方公式：a-+2ab+b2=（a+by

3.配方法的關(guān)鍵是：先將一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)化為1,然后在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平

方。

知識(shí)點(diǎn)3公式法

1.用求根公式法解一元二次方程的一般步驟為：

①把方程化成一般形式ax"+bx+c=O（a^Q）,確定a,b,c的值（注意符號(hào)）；

②求出判別式A=/—4ac的值，判斷根的情況；

③在A=〃—4區(qū)20（注：此處△讀“德爾塔”）的前提下，把。，仇c的值代入公式

-Z)±7A_-b+y/b~-4ac

進(jìn)行計(jì)算，求出方程的根。

2a2a

知識(shí)點(diǎn)4因式分解法

1.定義：因式分解法即利用因式分解求出方程的解的方法。

2.因式分解法解一元二次方程的一般步驟如下：

①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；

②將方程的左邊轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程的乘積；

③令每個(gè)因式分別為零

④括號(hào)中X,它們的解就都是原方程的解。

0＞模塊三核心考點(diǎn)舉一反三-

考點(diǎn)01：直接開平方法解一元二次方程

、j例題1.（24-25八年級(jí)上?上海?期中）解方程：9（2x-3『=（1-尤『

8

【答案】xy,x

1=25

【分析】本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵；因此此題可根

據(jù)直接開平方法進(jìn)行求解方程即可.

8

【解析】解：9（2X-3）2=（1-X）2

3（2x-3）=±（l-x）,

3（2x-3）=l-x或3（2x-3）=x-l,

解得：xi=|?

【變式1-1】方程3（x+2）2=24的解是.

【答案】西=-2-2及廣2=-2+2&

【分析】本題考查直接開平方法解一元二二次方程，先把方程化簡成（x+2『=8,再直接開平方即可.

【解析】解：???3（X+2）2=24,

二（X+2『=8,

x+2=±V8）

?*-x=-2+2V2，

X]=—2—2V2,X]=—2+2y

故答案為：Xl=-2-242,x2=-2+242.

【變式1-2】方程2/—4=0的解是.

【答案】±2

【分析】本題考查解一元二次方程，先移項(xiàng)，再系數(shù)化1,最后利用直接開平方法求解，即可解題.

【解析】解；2X2-4=0

2x2=4

x2=2

x=+2,

故答案為：±2.

【變式1-3]（24-25九年級(jí)上?山東苗澤?期中）若方程/+機(jī)=。有整數(shù)根，則根的值可以是.（填

一個(gè)可能的值）

【答案】-1（答案不唯一）

【分析】本題考查了直接開平方法解一元二次方程，將原方程變形為工2=-根，根據(jù)方程有整數(shù)根，即可得

出-加為完全平方數(shù)，即可得出答案，解題的關(guān)鍵是熟悉方程有根的條件.

【解析】解：尤2+〃?=0，

x1=-m，

?方程f+m=0有整數(shù)根，

加為完全平方數(shù)，

，加可以是-1,

9

故答案為：-1（答案不唯一）.

考點(diǎn)02：配方法解一元二次方程

例題2.解方程:X2+2X-6=0.

【答案】西=一1+近，X2=-1一新

【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵.

先移項(xiàng)，利用配方法，即可求解.

【解析】解：x2+2x-6=0

x2+2x=6

+2x+1=6+1

（x+1）2=7,

%+1=±近

解得：=—I+A/7,x2=—1—V7.

【變式2-1】解一元二次方程》2—6x-4=0,配方后得到（X-3）2=〃，則P的值是（）

A.13B.9C.5D.4

【答案】A

【分析】本題考查了解一元二次方程一配方法，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵.利用配方法進(jìn)行計(jì)算即可

解答.

【解析】解：x2-6x-4=0,

x2-6x=4

12-6x+9=4+9,

（x-3）2=13,

/-p=13.

故選：A.

【變式2?2］（24-25九年級(jí)上?內(nèi)蒙古包頭?期中）若關(guān)于x的一元二次方程/+6x+3=0配方后得到（X+3）2=C,

則c的值為（）

A.0B.3C.6D.9

【答案】C

【分析】本題主要考查了配方法解一元二次方程，先把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，再把方程兩邊同時(shí)一次項(xiàng)系

數(shù)一半的平方進(jìn)行配方即可得到答案.

【解析】解：?.*+6X+3=0,

??f+6x=—3，

x2+6x+9=6,

10

(X+3)2=6,

c=6,

故選：c.

【變式2-3】用配方法解方程：x2+8x-9=o.

【答案】國=1,X2=-9

【分析】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法，是解題的關(guān)鍵.先移項(xiàng)，然

后配方，再開平方，最后求出方程的解即可.

【解析】解：x2+8x-9=0,

移項(xiàng)得：x2+Sx=9>

配方得：x2+8x+16=9+16>

即(x+4)2=25,

開平方得：x+4=±5,

解得:%=1,x2=-9.

考點(diǎn)03：配方法的應(yīng)用

fX產(chǎn)題3.若/+/+叔+6了+13=0(X,7為實(shí)數(shù))，則孫=.

【答案】6

【分析】本題考查了配方法的應(yīng)用，利用配方法得到(x+2y+(y+3y=0,再利用非負(fù)數(shù)性質(zhì)得到x=-2,

尸-3,然后計(jì)算9的值.

【解析】解：：x2+y2+4x+6y+13=0,

(x+2『+(y+3『=0,

x+2=0或了+3=0,

x=-2,y=-3,

xy=-2x(-3)=6.

故答案為：6.

【變式3-1】二次三項(xiàng)式一一人+4的最小值是.

【答案】0

【分析】本題考查了配方法求最值，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵.利用配方法，把二次三項(xiàng)式V-4x+4

配方成卜-2丫，再根據(jù)平方的非負(fù)性即可得出最小值.

【解析】解：X2-4x+4=(x-2)2,

根據(jù)平方的非負(fù)性，W(X-2)2>0,

所以(x-2『的最小值為0,

11

二次三項(xiàng)式尤2一4尤+4的最小值是0.

故答案為：0.

【變式3-2]求證：無論他為何值，關(guān)于x的方程(/-4%+5卜2+2X-7=0是一元二次方程.

【分析】本題考查的是一元二次方程女2+云+°=0(°20)的定義，配方法的應(yīng)用，利用配方法證明

m2—4m+5^0,即可證明.

【解析】證明：*.*m2-4m+5=(m1-4m+4^+1=[m-2)2+1>1,

m2-4m+5w0,

...無論相為何值，方程(加2-4加+5,2+2X-7=0是一元二次方程..

【變式3-3】選取二次三項(xiàng)式"2+bx+c(aw0)中的兩項(xiàng)，配成完全平方公式的過程叫配方.例如：

x~-4x+2=(x-2y-2.

22

(1)對(duì)/-8y+21進(jìn)行配方，y-8y+21=(y-_)+_；

(2)已知m2+n2+2m—6M+10=0,求加"的值.

【答案】⑴4,5(2)-1

【分析】本題考查了配方法的應(yīng)用；

(1)利用配方法即可填空；

(2)利用配方法把原式寫成兩個(gè)完全平方式的和的形式，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求得怔〃的值，即可求出

mn的值.

【解析】(1)/-8y+21

=v2-8y+42-42+21

="-4)2+5,

故答案為：4,5；

(2)m2+n2+2m-6??+10=0>

m2+2m+1+-6〃+9=0，

即(加+l『+(〃-3)2=0,

???加+1=0,〃—3=0,

m=—1,n=3,

：.m"=(-1)3=-1.

考點(diǎn)04：公式法解一元二次方程

|例題4.一元二次方程/-2》-5=0的根為.

【答案】Xl=l+y/6,x2=1-V6

12

【分析】本題考查的是一元二次方程的解法，先計(jì)算A=(-2)2-4x1x(-5)=24>0,再利用求根公式解方程

即可.

【解析】解：:丁一2%一5=0

???A=(-2『-4x1x(-5)=24>0,

2±276=1+V6,

??再=1+-^6,%2=1-；

故答案為：%!=1+V6,%2=1-遙?

【變式4-1］已知關(guān)于機(jī)的方程1+3次+/=0,那么加=,

了比室Y—3+3+卡

L合榮1mx----------,m2=-------——

【分析】本題考查了一元二次方程的解法一公式法，熟記公式是解答本題的關(guān)鍵.先求出△的值，然后根

據(jù)。=一任而求解即可.

2a

【解析】解：關(guān)于冽的方程1+3加+蘇=0，即加之+3加+1=0,

tz—15Z?—3,c—1,

/.A=32—4xlxl=5,

.—6+VA—3+A/5—3+y/5

??m=-----------=-----------=----------

2a2xl2

AZJ《曰-3+y/53+卡

用牛付：m,=----------=----------------，

1222

故答案為：mx-3+J，加2=-.

【變式4-2】若一元二次方程的根為x=-3±J3;4x2xl,則該一元二次方程可以為.

2x2

【答案】2x2+3x+l=0

【分析】本題主要考查了公式法解一元二次方程，對(duì)于一元二次方程辦2+瓜+。=0(〃。0),若其有實(shí)數(shù)根,

那么其實(shí)數(shù)根為x='±J從一4這，據(jù)此結(jié)合題意得到。=2,6=3,c=l,即可得到答案.

2a

【解析】解：設(shè)關(guān)于X的一元二次方程為依2+加+。=0(0*0),

??,一元二次方程的根為x=-3±」2-4x2xl,

2x2

?*-a=2,6=3,c=1,

二.該一元二次方程可以為2?+3x+1=0,

13

故答案為：2X2+3X+1=0.

【變式4-3]已知xJ+"J，'(Z)2-4C>0),則式子V+bx+c的值是—.

2

【答案】0

【分析】本題考查一元二次方程的求根公式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的求根公式，本題屬于

基礎(chǔ)題型，根據(jù)一元二次方程的求根公式即可求出答案.

24c

【解析】解：由一元二次方程的求根公式可知：/+a+C=0的其中一個(gè)解為x=-l+J1-，

2

故答案為：0.

考點(diǎn)05：因式分解法解一元二次方程

例題5.(24-25九年級(jí)上?吉林長春?期末)解方程：X2-7X+12=0.

【答案】再=3,X2=4

【分析】本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握因式分解法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

利用因式分解法解方程即可.

【解析】解：X2-7X+12=0,

(x-3)(x-4)=0,

尤-3=0或x-4=0,

..%=3,%2=4.

【變式5-1】方程尤(x-2)=4(尤一2)的根是()

A.x=2B.x=4C.X]=-2,再=一2D.xt=2,x2=4

【答案】D

【分析】本題考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可得解.

【解析】解：：尤(x-2)=4(x-2),

-2)-4(x-2)=0,

(x—2)(無一4)=0,

***x—2=0,x-4=0,

解得：占=2,%=4,

故選：D.

【變式5-2】解方程:

(l)x?+3無=0;

(2)2x2-3x+l=0.

【答案】⑴占=0,々=-3

14

(2)Xj=1,x2=—

【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握直接開平方法，因式分解法，配方法和公式法是解題的關(guān)

鍵.

(1)利用因式分解法即可求解；

(2)利用因式分解法即可求解.

【解析】(1)解：x2+3x=0

x(x+3)=0,

尤=0或x+3=0,

解得：士=0,%=-3；

(2)解：2X2-3X+1=0

(2x-l)(x-l)=0

21=0或尤-1=0

解得：%!=1,X2=-1.

【變式5-3](24-25九年級(jí)上泗川成都?期中)計(jì)算：

(1)2X2-4X-5=0

(2)(X-3)2+2X(X-3)=0

【答案】(1)王=土普,馬=與三

(2)%=3,X2=1

【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握直接開平方法，因式分解法，配方法和公式法是解題的關(guān)

鍵.

(1)利用公式法即可求解；

(2)利用因式分解法求解.

【解析】⑴解：2X2-4X-5=0

a=2,b=—4,c——5,

A=(-4)2-4X2X(-5)=56,

_4±V56_4±2^4_2±JT

x—----------------------------------,

2x242

?2+V142-V14

(2)解：(X-3)2+2X(X-3)=0

(x-3)(x-3+2x)=0

15

(x-3)(3x-3)=0

x—3=0或3x-3=0

解得：石=3,%2=1.

考點(diǎn)06：換元法解一元二次方程

［、例題6.若x,了都是實(shí)數(shù)，且滿足(丁+力仁+/T=i2,則x2+j?的值為.

【答案】4

【分析】本題考查了換元法，因式分解法一元二次方程，根據(jù)題意，設(shè)/+V=1摩0)，則原式得?T)=12,

根據(jù)因式分解法求解即可.

【解析】解：設(shè)/+/=19o),

=整理得，^2-^-12=(Z+3)(Z-4)=0,

解得，4=—3,q=4,

22

?.?X+y=t>0,

x2+y2=4,

故答案為：4.

【變式6-1］若(/+62)2-2(/+62)-3=0則代數(shù)式/+〃的值為()

A.一1或3B.1或-3C.-1D.3

【答案】D

【分析】本題考查了用換元法解一元二次方程，設(shè)/+62=X20,把原方程轉(zhuǎn)化為Y-2X-3=0,然后利

用因式分解法求解即可.

【解析】設(shè)=x>0.

原方程變形為：X2-2X-3=0，

(x-3)(x+l)=0

x-3=0或x+l=0

解得x=3或-1,

a2+b2>0

a2+b2=3■

故選：D.

【變式6-2】方程注1-至=1,若設(shè)上n=y，則原方程可化為關(guān)于y的方程是：______

XX+1X

【答案】r7-2=0

【分析】本題考查了換元法解分式方程，換元法解分式方程時(shí)常用方法之一，它能夠把一些分式方程化繁

16

y-L1

為簡，化難為易，對(duì)此應(yīng)注意總結(jié)能用換元法解的分式方程的特點(diǎn)，尋找解題技巧.利用換元法，將＞=注

X

代入原方程，再化成整式方程即可.

【解析】解：設(shè)三=歹，則—

%%+1y

則原方程可化為＞-2=1,

y

y2-y-2=0

故答案為：y2-y-2=0.

【變式6?3】【材料】請(qǐng)你先認(rèn)真閱讀材料并解決下面問題.

已知關(guān)于工、＞的方程(x+y)2_2(工+＞)—8=0,求x+＞的值.

解：設(shè)%=%+?,則方程變形為：t2-2t-S=0

—4乂/+2)=0

4=4,t2=-2

即x+y=4或x+y=-2

⑴【引申】己知(小+“2-1)=9,則毋+〃2=.

(2)【拓展】已知(無2+X)(X2+X-1)=2,求Y+x的值.

【答案】(1)10

(2)x2+jc=2a￡x2+x=-l

【分析】本題考查了換元法解一元一次方程與一元二次方程；

(1)設(shè)/+〃2=f進(jìn)而解一元一次方程，即可求解；

(2)^x2+x=t,得出，?-1)=2,解一元二次方程，即可求解.

【解析】(1)解：^m2+n2=t

?L—1=9,

/./=10

故答案為：10；

(2)設(shè)好+工二方

?，?/Q-l)=2

At2-t-2=0

_2)(/+1)=0

解得：％=2或，=一1

即+x=2或f+x=—1

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6模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)-------------------------------

一、單選題

1.（24-25九年級(jí)上?安徽黃山?期中）把方程x2-6x-l=0化成（x+加）2=〃的形式，則m，〃的值是（）

A.—3,10B.—3,1C.3,8D.3,9

【答案】A

【分析】此題考查了解一元二次方程一配方法，解題的關(guān)鍵是首先將二次項(xiàng)系數(shù)化為1,常數(shù)項(xiàng)移到方程右

邊，然后方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，左邊化為完全平方式，右邊合并為一個(gè)常數(shù)，開方即可

求出解.

將方程常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，左右兩邊都加上9,左邊化為完全平方式，右邊合并即可得到所求的結(jié)果.

【解析】解：x2-6x-1=0>

移項(xiàng)得：x2-6x=1?

配方得：X2-6X+9=1+9,即（X-3）2=10.

???冽=-3,n=10f

故選A.

2.（22-23九年級(jí)上?安徽蕪湖?期中）若實(shí)數(shù)x滿足-可f+尤/16=0,貝收+尤的值為（）

A.8B.-2C.8或-2D.-8或2

【答案】A

【分析】本題考查解一元二次方程，把x?+x看成一個(gè)整體，利用因式分解法解方程即可.

【解析】解：（X?+x）~-6（x?+無）-16=0,

因式分解得，（X2+X-8）（X2+^+2）=0,

??%2+x—8=0,%2+%+2=0,

x2+x=8tx2+x=-2（滿足此式實(shí)數(shù)不存在，舍去），

故選：A.

3.（23-24八年級(jí)下?安徽安慶?期末）已知尤=1是一元二次方程（2機(jī)+2）尤2+工-病=。的一個(gè)根，則正的

值為（）

A.-1B.3或-1C.3D.-3或1

【答案】C

【分析】首先把x=l代入（2優(yōu)+2濡+x-療=0解方程可得%=3,m2=-1,再結(jié)合一元二次方程定義可得加

的值.本題考查了一元二次方程的解及定義和解一元二次方程，正確理解定義及熟練掌握解方程是解題的

關(guān)鍵.

【解析】解：把x=1代入（2W+2）%2+x-n?=0得，

2m+2+1—m2=0,

18

m2-2m-3=0，

解得：加i=3,m2=-l,

,：(2m+2)x2+x—m2=0,

/.2m+2w0,

/.加W—1,

m=3,

故選：c.

二、填空題

4.(23-24八年級(jí)下?安徽淮北?期末)若(x?+/)(/+/—4)=5,貝1]/+/的值為.

【答案】5

【分析】本題考查了用換元法解一元二次方程，找出整體/+/將原式進(jìn)行適當(dāng)變形，轉(zhuǎn)化為解一元二次

方程是解題的關(guān)鍵，并注意根據(jù)已知條件判斷/+/的值.可用換元法將原式化為《"4)=5,解此方程可

求出f的值，即可得出結(jié)果.

【解析】解：設(shè)x2+j?=:,

則原式可化為：(-4)=5,

即/-4―5=0,

解得:/=5或1=-1,

t=x2+y2>0,

故/+/=5,

故答案為：5.

5.(23-24九年級(jí)上?安徽黃山?期末)若關(guān)于x的一元二次方程(4+1)/-x+/—24-3=0的一個(gè)根為x=0,

則實(shí)數(shù)上的值為.

【答案】3

【分析】本題考查了一元二次方程的定義，一元二次方程的解及解一元二次方程；把根代入方程中即可求

得k的值，但要注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0.

【解析】解:「關(guān)于x的一元二次方程伏+l)/-x+r-2左-3=0的一個(gè)根為x=0,

/.左2—2左一3=0,

解得:%=3,后2=T,

但上+1*0,即左片一1,

k=3；

故答案為：3.

三、解答題

19

6.(24-25九年級(jí)上?貴州貴陽?期中)解方程：

(1)X2-16=0

⑵x2+3x-]

(3)x(5x+4)=5x+4

(4)3X2-6X+1=0

【答案】(1)項(xiàng)=4,X2=-4

c、—3+V13—3

Q)國二一--，%:一--

4?

(3)再-%=1

(4)占=1+*%=1_*

【分析】本題考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：直接開平方法，配方法，因式分解法及

公式法，根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選取解題的方法是解題的關(guān)鍵.

(1)方程移項(xiàng)后得：1=16,利用直接開平方法求解即可；

(2)先化為一元二次方程的一般式的形式，利用公式法求解；

(3)方程右邊移項(xiàng)后，利用因式分解法即可求解；

(4)方程移項(xiàng)，并化二次項(xiàng)系數(shù)化為1得V-2x=-g,再利用配方法求解.

【解析】(1)解：移項(xiàng)后得：x2=16f

開平方得：x=±4,

即再=4,x2=-4；

(2)解：原方程化為：必+3%—1=0,

A=32-4xlx(-l)=13>0,

.-3土而

??V---------，

(3)解:方程化簡得：(5x+4)(x-l)=0,

即5x+4=0或=

4

解得：再=一1''2=1；

(4)解：方程化為Y—2x=—

配方得：x2—2x+1=1——,

20

7

即(x-l)2=§,

開方得：工-1="，

3

即西=1+^^,x2=1~~~?

1.解方程：

(l)x2-6x-4=0;

(2)5(X-2)2=X2-4.

⑶――4工+3=0；

(4)(x—2)+x(x—2)=0.

【答案】(1)再=3+而，X2=3-V13

(2)玉=3,4=2

(3)再=1,%=3

(4)石=2,%=1

【分析】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握解方程的方法與步驟是解本題的關(guān)鍵;

(1)先計(jì)算△=(-6)2-4x1x(-4)=52,再利用求根公式解方程即可；

(2)先移項(xiàng)，把方程化為(4x-12)(x-2)=0,再化為兩個(gè)一次方程求解即可；

(3)把方程化為(尤-1)(尤-3)=0,再化為兩個(gè)一次方程求解即可；

(4)把方程化為(》-2)(2工-2)=0,再化為兩個(gè)一次方程求解即可；

【解析】(1)解：x2—6%-4=0>

AA=(-6)2-4X1X(-4)=52,

...尤=-(-6)土反=3土而,

2x1

角軍得，X]=3+V13,9=3—V13；

(2)解：5(X-2)2=X2-4,

移項(xiàng)：5(X-2)2-(X+2)(X-2)=0,

整理得：[5(尤-2)-(x+2)](x-2)=0,

(4x-12)(x-2)=0,

4x—12=0,x—2=0,

解得，再=3,%2=2.

21

(3)解:,?,f—4x+3=0,

=0,

..x—1=0^4x—3=0,

解得再=1,x2=3；

(4)解：???(X-2)2+X(X-2)=0,

二.(x-2)(x-2+x)=0,

gp(x-2)(2x-2)=0.

x—2=02x—2=0.

=

解得％=2,x21.

8.阿成與阿龍兩位同學(xué)解一元二次方程5(X-3)=(X-3)2的過程如下框:

阿龍：

阿成：

移項(xiàng)，得5(x—3)—(x—3)=0.

兩邊同除以(x-3)得

提取公因式，得(尤-3)(5-x-3)=0.

5=x-3.

則x-3=0或5-工-3=0.

貝鼠=8.

解得項(xiàng)=3,*2=2.

你認(rèn)為他們的解法是否正確？直接寫出判斷結(jié)果.

(1)阿成的解法,阿龍的解法.(填“正確”或者“不正確”)

(2)請(qǐng)你選擇合適的方法解一元二次方程3(2x+l)=(2x+l『.

【答案】(1)不正確，不正確

(2)&=一；,x2=1

【分析】本題考查提公因式法解一元二次方程，閱讀材料，理解材料中的解法，按照相應(yīng)解法步驟操作是

解決問題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)材料中的解題過程分析即可得出答案；