等差數(shù)列的前n項和公式 高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第二冊

4.2.2等差數(shù)列的前n項和公式學習目標1.掌握等差數(shù)列前n項和公式及其獲取思路.2.熟練掌握等差數(shù)列的五個量a1，d，n，an，Sn的關(guān)系，能夠由其中三個求另外兩個.3.能用an與Sn的關(guān)系求an.問題導學如圖所示，有200根相同的圓木料，要把他們堆放成正三角形垛，并使剩余的圓木盡可能的少，那么將剩余多少根圓木料？問題提出這是一個等差數(shù)列的求和問題高斯德國數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一。與阿基米德、牛頓并列為歷史上最偉大的數(shù)學家有“數(shù)學王子”之稱。知識點一等差數(shù)列前n項和公式思考高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差數(shù)列前100項的和.但如果是求1＋2＋3＋…＋n，不知道共有奇數(shù)項還是偶數(shù)項怎么辦？答案不知道共有奇數(shù)項還是偶數(shù)項導致不能配對.但我們可以采用倒序相加來回避這個問題：設(shè)Sn＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n，又Sn＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1，∴2Sn＝(1＋n)＋[2＋(n－1)]＋…＋[(n－1)＋2]＋(n＋1)，∴2Sn＝n(n＋1)，等差數(shù)列的前n項和SnSn=a1+a2+a3+....+an-1+an

又Sn=an+an-1+an-2+....+a2+a1倒序相加得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)...+(an+a1)梳理等差數(shù)列的前n項和公式已知量首項，末項與項數(shù)首項，公差與項數(shù)選用公式Sn＝_________Sn＝_____________例題講解如圖，一個堆放鉛筆的V形架的最下面放一支鉛筆，往上每一層都比它下面多放一支，最上面放了120支，這個V形架上共放著多少支鉛筆？思考在等差數(shù)列{an}中，若已知d，n，an，如何求a1和Sn?知識點二a1，d，n，an，Sn知三求二答案利用an＝a1＋(n－1)d代入d，n，an，可求a1，利用Sn＝或Sn＝na1＋d可求Sn.梳理(1)兩個公式共涉及a1，d，n，an及Sn五個基本量，它們分別表示等差數(shù)列的首項，公差，項數(shù)，項和前n項和.(2)依據(jù)方程的思想，在等差數(shù)列前n項和公式中已知其中三個量可求另外兩個量，即“知三求二”.思考已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2，怎樣求a1，an?知識點三數(shù)列中an與Sn的關(guān)系答案a1＝S1＝1；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，又當n＝1時也適合上式，所以an＝2n－1，n∈N*.梳理對于一般數(shù)列{an}，設(shè)其前n項和為Sn，特別提醒：(1)這一關(guān)系對任何數(shù)列都適用.(2)若由an＝Sn－Sn－1(n≥2)中令n＝2求得a1與利用a1＝S1求得的a1相同，則說明an＝Sn－Sn－1(n≥2)也適合n＝1的情況，數(shù)列的通項公式用an＝Sn－Sn－1表示.若由an＝Sn－Sn－1(n≥2)中令n＝2求得的a1與利用a1＝S1求得的a1不相同，則說明an＝Sn－Sn－1(n≥2)不適合n＝1的情況，數(shù)列的通項公式采用分段形式.課堂小結(jié)在等差數(shù)列{an}中（1）已知a15=10,a45=90,求a6