第4章-測(cè)量數(shù)據(jù)的處理方法

第4章測(cè)量數(shù)據(jù)的處理方法

測(cè)量是用一定的測(cè)量工具或儀器，通過一定的測(cè)量方法，直接或間接地得到所需要的量值。

誤差反映測(cè)量值偏離真實(shí)值的大小和方向。

誤差=測(cè)量值---真實(shí)值測(cè)量誤差的分類測(cè)量結(jié)果的表征測(cè)量誤差的估計(jì)和處理測(cè)量數(shù)據(jù)的處理方法

測(cè)量誤差的分類

1.誤差來源

設(shè)備誤差（標(biāo)準(zhǔn)誤差、儀器誤差、附件誤差、機(jī)構(gòu)誤差、調(diào)整誤差、量值誤差）環(huán)境誤差人員誤差測(cè)量方法誤差被測(cè)量的誤差2.按照誤差的性質(zhì)分類系統(tǒng)誤差隨機(jī)誤差粗大誤差

測(cè)量誤差的分類隨機(jī)誤差在同一測(cè)量條件下，多次重復(fù)測(cè)量同一量值時(shí)，每次測(cè)量誤差的絕對(duì)值和符號(hào)都以不可預(yù)知的方式變化的誤差。系統(tǒng)誤差

在同一測(cè)量條件下，多次測(cè)量重復(fù)同一量時(shí)，測(cè)量誤差的絕對(duì)值和符號(hào)都保持不變，或在測(cè)量條件改變時(shí)按一定規(guī)律變化的誤差。測(cè)量結(jié)果減去在重復(fù)性條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無限多次測(cè)量結(jié)果的平均值：在重復(fù)性條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無限多次測(cè)量所得結(jié)果的平均值減去被測(cè)量的真值。粗大誤差是一種顯然與實(shí)際值不符的誤差。產(chǎn)生粗差的原因有：①測(cè)量操作疏忽和失誤②測(cè)量方法不當(dāng)或錯(cuò)誤③測(cè)量環(huán)境條件的突然變化含有粗差的測(cè)量值稱為壞值或異常值，在數(shù)據(jù)處理時(shí)，應(yīng)剔除掉。測(cè)量誤差的分類測(cè)量結(jié)果的表征測(cè)量值

是粗大誤差準(zhǔn)確度表示系統(tǒng)誤差的大小系統(tǒng)誤差越小，則準(zhǔn)確度越高，即測(cè)量值與實(shí)際值符合的程度越高。精密度表示隨機(jī)誤差的影響精密度越高，表示隨機(jī)誤差越小。隨機(jī)因素使測(cè)量值呈現(xiàn)分散而不確定，但總是分布在平均值附近。精確度用來反映系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的綜合影響精確度越高，表示準(zhǔn)確度和精密度都高，意味著系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差都小。射擊誤差示意圖測(cè)量結(jié)果的表征隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及處理方法在測(cè)量中，隨機(jī)誤差是不可避免的。進(jìn)行多次測(cè)量，則測(cè)量值和隨機(jī)誤差服從概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律，可用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法處理測(cè)量數(shù)據(jù)，從而減少隨機(jī)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法粗大誤差及其判斷準(zhǔn)則

測(cè)量誤差的估計(jì)和處理算術(shù)平均值：隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法殘差：實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差（標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值），貝塞爾公式：算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值：有限次測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值：【例2.1】用溫度計(jì)重復(fù)測(cè)量某個(gè)不變的溫度，得11個(gè)測(cè)量值的序列（見下表）。求測(cè)量值的平均值及其標(biāo)準(zhǔn)偏差。解：①平均值

②用公式計(jì)算各測(cè)量值殘差列于上表中③實(shí)驗(yàn)偏差④標(biāo)準(zhǔn)偏差測(cè)量結(jié)果的置信問題（1）置信概率與置信區(qū)間：

置信區(qū)間內(nèi)包含真值的概率稱為置信概率。置信限：k——置信系數(shù)（或置信因子）

置信概率是圖中陰影部分面積（2）正態(tài)分布的置信概率

正態(tài)分布，當(dāng)k=3時(shí)置信因子k置信概率Pc10.68320.95530.997區(qū)間越寬，置信概率越大（3）非正態(tài)分布的置信因子由于常見的非正態(tài)分布都是有限的，設(shè)其置信限為誤差極限，即誤差的置信區(qū)間為，置信概率為100％。（P=1)反正弦均勻三角分布例：均勻分布

有故:系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法

在同一條件下，多次測(cè)量同一量值時(shí)，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持不變，或者在條件改變時(shí)，誤差按一定的規(guī)律變化。

多次測(cè)量求平均不能減少系差。1.系統(tǒng)誤差的特征：多種系統(tǒng)誤差的特征(a)不變系差(b)線性變化系差(c)周期性系差(d)復(fù)雜規(guī)律系差2.系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法（1）不變的系統(tǒng)誤差：校準(zhǔn)、修正和實(shí)驗(yàn)比對(duì)。（2）變化的系統(tǒng)誤差①

殘差觀察法，適用于系統(tǒng)誤差比隨機(jī)誤差大的情況 將所測(cè)數(shù)據(jù)及其殘差按先后次序列表或作圖，觀察各數(shù)據(jù)的殘差值的大小和符號(hào)的變化。

存在線性變化的系統(tǒng)誤差無明顯系統(tǒng)誤差②馬利科夫判據(jù)：若有累進(jìn)性系統(tǒng)誤差，D值應(yīng)明顯異于零。 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

③阿貝－赫梅特判據(jù)：檢驗(yàn)周期性系差的存在。3.系統(tǒng)誤差的削弱或消除方法

（1）從產(chǎn)生系統(tǒng)誤差根源上采取措施減小系統(tǒng)誤差；（2）用修正方法減少系統(tǒng)誤差；

（3）采用一些專門的測(cè)量方法。①替代法②交換法③對(duì)稱測(cè)量法④減小周期性系統(tǒng)誤差的半周期法系統(tǒng)誤差可忽略不計(jì)的準(zhǔn)則：系統(tǒng)誤差或殘余系統(tǒng)誤差代數(shù)和的絕對(duì)值不超過測(cè)量結(jié)果擴(kuò)展不確定度的最后一位有效數(shù)字的一半。實(shí)際值＝測(cè)量值＋修正值粗大誤差及其判斷準(zhǔn)則1.粗大誤差產(chǎn)生原因以及防止與消除的方法粗大誤差的產(chǎn)生原因

①測(cè)量人員的主觀原因：操作失誤或錯(cuò)誤記錄；②客觀外界條件的原因：測(cè)量條件意外改變、受較大的電磁干擾，或測(cè)量?jī)x器偶然失效等。防止和消除粗大誤差的方法重要的是采取各種措施，防止產(chǎn)生粗大誤差。2.粗大誤差的判別準(zhǔn)則統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法的基本思想是：給定一置信概率，確定相應(yīng)的置信區(qū)間，凡超過置信區(qū)間的誤差就認(rèn)為是粗大誤差，并予以剔除。萊特檢驗(yàn)法格拉布斯檢驗(yàn)法式中，G值按重復(fù)測(cè)量次數(shù)n及置信概率Pc確定。測(cè)量結(jié)果的處理步驟

①對(duì)測(cè)量值進(jìn)行系統(tǒng)誤差修正；②求出算術(shù)平均值③列出殘差，并驗(yàn)證④按貝塞爾公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值⑤按萊特準(zhǔn)則，或格拉布斯準(zhǔn)則檢查和剔除粗大誤差；⑥判斷有無系統(tǒng)誤差。如有系統(tǒng)誤差，應(yīng)查明原因，修正或消除系統(tǒng)誤差后重新測(cè)量；⑦計(jì)算算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差⑧寫出最后結(jié)果的表達(dá)式，即（單位）。【例2.3】對(duì)某電壓進(jìn)行了16次等精度測(cè)量，測(cè)量數(shù)據(jù)中已記入修正值，列于表中。要求給出包括誤差在內(nèi)的測(cè)量結(jié)果表達(dá)式。測(cè)量數(shù)據(jù)處理有效數(shù)字的處理1.數(shù)字修約規(guī)則數(shù)據(jù)修約規(guī)則：（1）小于5舍去——末位不變。（2）大于5進(jìn)1——在末位增1。（3）等于5時(shí)，取偶數(shù)——當(dāng)末位是偶數(shù)，末位不變；末位是奇數(shù)，在末位增1（將末位湊為偶數(shù)）。例：將下列數(shù)據(jù)舍入到小數(shù)第二位。12.3344→12.33 62.73501→62.740.69499→0.6925.3250→25.32 17.6955→17.70 122.1150→122.12需要注意的是，舍入應(yīng)一次到位，不能逐位舍入。上例中0.69499，正確結(jié)果為0.69，錯(cuò)誤做法是：

0.69499→0.6950→0.695→0.70。在“等于5”的舍入處理上，采用取偶數(shù)規(guī)則，是為了在比較多的數(shù)據(jù)舍入處理中，使產(chǎn)生正負(fù)誤差的概率近似相等。2.有效數(shù)字若截取得到的近似數(shù)其截取或舍入誤差的絕對(duì)值不超過近似數(shù)末位的半個(gè)單位，則該近似數(shù)從左邊第一個(gè)非零數(shù)字到最末一位數(shù)為止的全部數(shù)字，稱之為有效數(shù)字。例如：2.142 四位有效數(shù)字，極限誤差≤0.00058.700 四位有效數(shù)字，極限誤差≤0.00058.7×103

二位有效數(shù)字，極限誤差≤0.05×1030.0807 三位有效數(shù)字，極限誤差≤0.00005測(cè)量結(jié)果（或讀數(shù)）的有效位數(shù)應(yīng)由該測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)偏差來確定，即測(cè)量結(jié)果的最末一位應(yīng)與標(biāo)準(zhǔn)偏差的位數(shù)對(duì)齊。例如，某物理量的測(cè)量結(jié)果的值為62.34，且該量的測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)偏差u＝0.4，測(cè)量結(jié)果表示為62.3±0.4。

3.近似運(yùn)算法則 保留的位數(shù)原則上取決于各數(shù)中準(zhǔn)確度最差的那一項(xiàng)。（1）加法運(yùn)算 以小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少的為準(zhǔn)（各項(xiàng)無小數(shù)點(diǎn)則以有效位數(shù)最少者為準(zhǔn)），其余各數(shù)可多取一位。例如：

（2）減法運(yùn)算：當(dāng)兩數(shù)相差甚遠(yuǎn)時(shí)，原則同加法運(yùn)算；當(dāng)兩數(shù)很接近時(shí)，有可能造成很大的相對(duì)誤差，因此，第一要盡量避免導(dǎo)致相近兩數(shù)相減的測(cè)量方法，第二在運(yùn)算中多一些有效數(shù)字。

（3）乘除法運(yùn)算以有效數(shù)字位數(shù)最少的數(shù)為準(zhǔn)，其余參與運(yùn)算的數(shù)字及結(jié)果中的有效數(shù)字位數(shù)與之相等。例如：

→也可以比有效數(shù)字位數(shù)最少者多保留一位有效數(shù)字。例如上面例子中的517.43和4.08各保留至517和4.08，結(jié)果為35.5。（4）乘方、開方運(yùn)算：運(yùn)算結(jié)果比原數(shù)多保留一位有效數(shù)字。例如：（27.8）2≈772.8 (115)2≈1.322×104測(cè)量數(shù)據(jù)的表示方法1.列表法根據(jù)測(cè)試的目的和內(nèi)容，設(shè)計(jì)出合理的表格。列表法簡(jiǎn)單、方便，數(shù)據(jù)易于參考比較，它對(duì)數(shù)據(jù)變化的趨勢(shì)不如圖解法明了和直觀，但列表法是圖示法和經(jīng)驗(yàn)公式法的基礎(chǔ)。例：x024681012y1.512.119.131.342.148.659.12.圖示法圖示法的最大優(yōu)點(diǎn)是形象、直觀，從圖形中可以很直觀地看出函數(shù)的變化規(guī)律，如遞增或遞減、最大值和最小值及是否有周期性變化規(guī)律等。作圖時(shí)采用直角坐標(biāo)或極坐標(biāo)。一般是先按成對(duì)數(shù)據(jù)（x，y）描點(diǎn)，再連成光滑曲線，并盡量使曲線于所有點(diǎn)接近，不強(qiáng)求通過各點(diǎn)，要使位于曲線兩邊的點(diǎn)數(shù)盡量相等。3.經(jīng)驗(yàn)公式法經(jīng)驗(yàn)公式法就是通過對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的計(jì)算，采用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法，確定它們之間的數(shù)量關(guān)系，即用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示各變量之間關(guān)系。有時(shí)又把這種經(jīng)驗(yàn)公式稱為數(shù)學(xué)模型。類型有些一元非線性回歸可采用變量代換，將其轉(zhuǎn)化為線性回歸方程來解。一元線形回歸一元非線性回歸多元線性回歸多元非線性回歸變量個(gè)數(shù)11>1>1方次1>11>1y=a+bx

建立經(jīng)驗(yàn)公式的步驟已知測(cè)量數(shù)據(jù)列(xi,yi,

i=1,2,…,n)，建立公式的步驟如下：(1)將輸入自變量xi作為橫坐標(biāo)，輸出量yi即測(cè)量值作為縱坐標(biāo)，描繪在坐標(biāo)紙上，并把數(shù)據(jù)點(diǎn)描繪成測(cè)量曲線。(2)分析描繪的曲線，確定公式y(tǒng)=f(x)的基本形式。①直線，可用一元線性回歸方法確定直線方程。③某種類型曲線，這可以按曲線多項(xiàng)式回歸處理。即：

(3)由測(cè)量數(shù)據(jù)確定擬合方程（公式）中的常量。(4)檢驗(yàn)所確定的方程的準(zhǔn)確性。①用測(cè)量數(shù)據(jù)中的自變量代入擬合方程計(jì)算出函數(shù)值y′②計(jì)算擬合殘差③計(jì)算擬合曲線的標(biāo)準(zhǔn)偏差

式中：m為擬合曲線未知數(shù)個(gè)數(shù)，n為測(cè)量數(shù)據(jù)列長(zhǎng)度。如果標(biāo)準(zhǔn)偏差很大，說明所確定的公式基本形式有錯(cuò)誤，應(yīng)建立另外形式公式重做。一元線性回歸

用一個(gè)直線方程y=a+bx來表達(dá)測(cè)量數(shù)據(jù)(xi,yi

i=1,2,…,n)之間的相互關(guān)系，即求出a和b，此過程就是一元線性回歸。1.端點(diǎn)法此方法是將測(cè)量數(shù)據(jù)中兩個(gè)端點(diǎn)，起點(diǎn)和終點(diǎn)（即最大量程點(diǎn)）的測(cè)量值（x1,y1）和（xn,yn），代入y=a+bx

，則a,b分別為2.平均選點(diǎn)法此方法是將全部n個(gè)測(cè)量值(xi,yi

i=1,2,…,n)分成數(shù)目大致相同的兩組，前半部k個(gè)測(cè)量點(diǎn)為一組，其余的n-k個(gè)測(cè)量點(diǎn)為另一組，兩組測(cè)量點(diǎn)都有自己的“點(diǎn)系中心”，其坐標(biāo)分別為