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高級中學名校試卷PAGEPAGE1黑龍江省龍東地區(qū)2025屆高三上學期期末考試數(shù)學試題一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知集合,,則()A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)題意,,.故選:A.2.已知復數(shù),若是純虛數(shù),則實數(shù)()A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】由于,故,所以,解得.故選:C.3.若一個圓臺的上、下底面半徑分別為1,2,母線與底面所成角為,則該圓臺的側(cè)面積為()A. B. C. D.【答案】D【解析】圓臺的軸截面如下圖:因為母線與下底面所成的角為,所以母線長為,所以圓臺的側(cè)面積為:.故選:D.4.若函數(shù)在上單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范圍為()A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意可得,由于在上單調(diào)遞增,故,因此恒成立,故,由于,故,故選:B.5.已知一種物質(zhì)的某種能量N與時間t的關(guān)系為,其中m是正常數(shù),若經(jīng)過時間,該物質(zhì)的能量由減少到,則再經(jīng)過時間,該物質(zhì)的能量為()A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)的能量為,則,又經(jīng)過時間,該物質(zhì)的能量由減少到,所以,所以,則再經(jīng)過時間時,該物質(zhì)的能量為.故選:C.6.已知定義域為的奇函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,且,則()A. B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】根據(jù)題意有,,故,從而.所以.故選:A.7.已知銳角,滿足,,則的最小值為()A2 B.3 C.5 D.【答案】A【解析】由題意得,故.于是,當且僅當時取等號,故選:A.8.已知雙曲線的左、右焦點分別為,焦距為.若雙曲線的右支上存在點,使得,且的面積為,為銳角,則雙曲線的離心率()A. B.2C. D.【答案】C【解析】設(shè),則,從而.而在雙曲線的右支上,故,從而,即.同時,由于,故.移項可得,兩邊除以就得到.所以,從而,即.兩邊平方即得,整理得到.去分母后即可得到關(guān)于的方程.直接計算可得,故該方程等價于.從而或,將這兩個方程分別看作關(guān)于的一元二次方程,即可分別解得和.同時,由于為銳角,故,所以,故.而,故符合條件的解只有一個.而,,所以.故選:C.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分,在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.下列說法正確的是()A.已知隨機變量,若,則B.若隨機變量(其中),,則C.若事件,且,則D.若隨機變量,且,則【答案】AC【解析】對于A,由于,故,故A正確;對于B,由于,故,解得,故B錯誤;對于C,,且,則,故C正確;對于D,,故,進而可得,故D錯誤.故選:AC.10.如圖,在棱長為2的正方體,中,點分別是梭,,,的中點,則下列說法正確的是()A.若正方體的各頂點都在同一球面上,則該球的體積為B.異面直線與所成角的余弦值為C.平面和平面分正方體成三部分的體積由小到大的比值為1:8:16D.平面和平面之間的距離為【答案】ABD【解析】對于A,正方體的外接球的直徑為,故外接球的半徑為,故體積為,故A正確,對于B,由于,因此為異面直線與所成角或其補角,,由余弦定理可得,故B正確;對于C,,延長和相交于點,由于是的中點,,所以是的中點,同理可知與也相交于點,故為三棱臺,因此,因此平面和平面之間的體積為,因此三部分的體積由小到大的比值為1:7:16,C錯誤;對于D,由于,故,平面,平面,故平面,同理由可得平面,平面,故平面平面,因此到平面的距離即為平面和平面之間的距離,,故到平面的距離為,故D正確,故選:ABD11.已知曲線C:,則()A.曲線C的圖象關(guān)于x軸對稱B.曲線C上任意一點的橫坐標的最小值為C.若點在曲線C上,則D.若直線與曲線C有三個交點,則實數(shù)k的取值范圍為【答案】ACD【解析】對于A;由,可得,所以曲線C的圖象關(guān)于x軸對稱,故A正確;對于B;令,可得,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,且,又,所以,所以,所以曲線C上任意一點的橫坐標的最小值為,故B錯誤;對于C;若點在曲線C上,則,令,求導得,,求導可得,所以在上單調(diào)遞增,又,所以當時,,即,所以在上單調(diào)遞減,當時,,即,所以在上單調(diào)遞增,所以,所以,所以,所以,故C正確;若直線與曲線C有三個交點,所以在上有三個解,顯然時,方程不成立,所以在上有三個解,令,則,令,求導可得,當時,,所以在上單調(diào)遞增,又,所以當時,,即,當時,,即,當,,所以,所以,所以,即在上為增函數(shù),又,所以時,,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,當時,,當時,,又,要使在上有三個解,則需,解得或,所以若直線與曲線C有三個交點,則實數(shù)k的取值范圍為,故D正確.故選:ACD.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分12.若單位向量,滿足,則向量與的夾角為______.【答案】【解析】由可得,故,故,由于,故,故答案為:.13.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,且,則______.【答案】【解析】設(shè),由題意,由圖象可知,則,又,所以,即,因為,即符合題意,則,因為,所以,所以或,所以或,因為,即符合題意,綜上.故答案為:.14.冰雹猜想又稱考拉茲猜想、角谷猜想、猜想等,其描述為:任一正整數(shù)x,如果是奇數(shù)就乘以3再加1,如果是偶數(shù)就除以2,反復計算,最終都將會得到數(shù)字1.例如:給出正整數(shù)6,則進行這種反復運算的過程為,即按照這種運算規(guī)律進行8次運算后得到1.若從正整數(shù)3,11,12,13,14中任取2個數(shù)按照上述運算規(guī)律進行運算,則運算次數(shù)均被4整除余1的概率為______.【答案】【解析】按照題中運算規(guī)律,正整數(shù)3的運算過程為,運算次數(shù)為;正整數(shù)11的部分運算過程為,當運算到10時,運算次數(shù)為9,由正整數(shù)3的運算過程可知,正整數(shù)7總的運算次數(shù)為;正整數(shù)12的運算次數(shù)為,共次;正整數(shù)13的運算次數(shù)為9;正整數(shù)14的運算次數(shù)為,共故能被4整除余1共3個,概率為.故答案為:.四、解答題:本題共5小題,共77分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,.(1)求A;(2)若,,求.解:(1)由可得,故,即,故,由于,故,(2)由可得,由,由正弦定理可得.16.如圖,在四棱錐中,底面ABCD為矩形,平面ABCD,E是DP的中點,,垂足為F,,(1)證明:平面AEF;(2)求二面角的正弦值.(1)證明:因為底面ABCD為矩形,平面ABCD,平面,所以,即兩兩互相垂直,故以為原點,所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系,注意到,不妨設(shè),所以,所以,從而,即,由題意,又平面,所以平面AEF;(2)解:由(1)可知平面的一個法向量可以是,注意到三點共線,從而可設(shè),而,,所以,解得,所以,由(1)可知,設(shè)平面的法向量為,則,令,解得,所以,設(shè)二面角的大小為,則,故所求為.17.已知橢圓C:的長半軸長為2,離心率為.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)點A為橢圓C的左頂點,過原點的直線與橢圓C分別相交于P,Q(點P,Q不在坐標軸上)兩點,直線AP,AQ分別交y軸于M,N兩點,判斷直線PN和QM的交點是否在定直線上,并說明理由.解:(1)由題意:,又,所以.則橢圓C的標準方程為.(2)設(shè),則,且,即,,直線方程為:,,直線方程為:,,直線方程為:,直線方程為:,聯(lián)立直線方程與直線方程得,化簡可得恒成立,因此直線與直線的交點過定直線.18.已知函數(shù).(1)若曲線在點處的切線的斜率為,求實數(shù)的值;(2)討論函數(shù)單調(diào)性;(3)當時,令函數(shù),證明:.(1)解:由于,故,解得或.(2)解:首先有.若,則在上遞減;若,則對有,對有.所以在上遞減,在上遞增;若,則對有,對有.所以在上遞減,在上遞增.綜上,當時,在上遞減;當時,在上遞減,在上遞增;當時,在上遞減,在上遞增.(3)證明:為使有意義,需要,下面的討論默認為正數(shù).先證明一些結(jié)論作為準備工作:①設(shè),則對有,對有.所以在上遞減,在上遞增,從而,.②設(shè),則.所以對有,對有.從而在上遞減,在上遞增,故.③設(shè),則對有,對有.從而在上遞減,在上遞增,故.④由于,故,所以.由于,,故.所以,即,從而.將和結(jié)合,即得.最后,由于,故.所以.從而原命題得證.19.已知正項數(shù)列滿足:對任意的正整數(shù)n,都有,其中d為非零常數(shù).(1)若,求數(shù)列的通項公式;(2)證明:;(3)若且,從,,,…,(且)中任取兩個數(shù),記這兩個數(shù)是無理數(shù),且這兩個無理數(shù)中間僅包含一個整數(shù)概率為,若,求正整數(shù)的最小值.公式:(其中n為正整數(shù)).(1)解:由可得,數(shù)列滿足遞推關(guān)系,因此是以為首項,公差為的等差數(shù)列,因此,又為正項數(shù)列,可得,因此數(shù)列的通項公式為;(2)證明:根據(jù)遞推關(guān)系可得:所以,因此(3)解:由(2)中結(jié)論且可得;又,即可得,因此,即可得;又,即,即可知;所以,即,因此此時;數(shù)列中無理數(shù)項對應的為非平方數(shù)項,因此,,,…,中共有個無理數(shù);符合條件的無序?qū)橄噜弲^(qū)間和中的無理數(shù)對,即在區(qū)間和上分別任取一個無理數(shù)構(gòu)成無理數(shù)對,相鄰兩區(qū)間上符合題意的無理數(shù)對為;因此總對數(shù)共有;總的組合數(shù)為從個數(shù)中隨機取出兩個,即,因此,又,即可得,即,解得,易知;所以正整數(shù)的需滿足,因此正整數(shù)的最小值為22.黑龍江省龍東地區(qū)2025屆高三上學期期末考試數(shù)學試題一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知集合,,則()A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)題意,,.故選:A.2.已知復數(shù),若是純虛數(shù),則實數(shù)()A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】由于,故,所以,解得.故選:C.3.若一個圓臺的上、下底面半徑分別為1,2,母線與底面所成角為,則該圓臺的側(cè)面積為()A. B. C. D.【答案】D【解析】圓臺的軸截面如下圖:因為母線與下底面所成的角為,所以母線長為,所以圓臺的側(cè)面積為:.故選:D.4.若函數(shù)在上單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范圍為()A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意可得,由于在上單調(diào)遞增,故,因此恒成立,故,由于,故,故選:B.5.已知一種物質(zhì)的某種能量N與時間t的關(guān)系為,其中m是正常數(shù),若經(jīng)過時間,該物質(zhì)的能量由減少到,則再經(jīng)過時間,該物質(zhì)的能量為()A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)的能量為,則,又經(jīng)過時間,該物質(zhì)的能量由減少到,所以,所以,則再經(jīng)過時間時,該物質(zhì)的能量為.故選:C.6.已知定義域為的奇函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,且,則()A. B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】根據(jù)題意有,,故,從而.所以.故選:A.7.已知銳角,滿足,,則的最小值為()A2 B.3 C.5 D.【答案】A【解析】由題意得,故.于是,當且僅當時取等號,故選:A.8.已知雙曲線的左、右焦點分別為,焦距為.若雙曲線的右支上存在點,使得,且的面積為,為銳角,則雙曲線的離心率()A. B.2C. D.【答案】C【解析】設(shè),則,從而.而在雙曲線的右支上,故,從而,即.同時,由于,故.移項可得,兩邊除以就得到.所以,從而,即.兩邊平方即得,整理得到.去分母后即可得到關(guān)于的方程.直接計算可得,故該方程等價于.從而或,將這兩個方程分別看作關(guān)于的一元二次方程,即可分別解得和.同時,由于為銳角,故,所以,故.而,故符合條件的解只有一個.而,,所以.故選:C.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分,在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.下列說法正確的是()A.已知隨機變量,若,則B.若隨機變量(其中),,則C.若事件,且,則D.若隨機變量,且,則【答案】AC【解析】對于A,由于,故,故A正確;對于B,由于,故,解得,故B錯誤;對于C,,且,則,故C正確;對于D,,故,進而可得,故D錯誤.故選:AC.10.如圖,在棱長為2的正方體,中,點分別是梭,,,的中點,則下列說法正確的是()A.若正方體的各頂點都在同一球面上,則該球的體積為B.異面直線與所成角的余弦值為C.平面和平面分正方體成三部分的體積由小到大的比值為1:8:16D.平面和平面之間的距離為【答案】ABD【解析】對于A,正方體的外接球的直徑為,故外接球的半徑為,故體積為,故A正確,對于B,由于,因此為異面直線與所成角或其補角,,由余弦定理可得,故B正確;對于C,,延長和相交于點,由于是的中點,,所以是的中點,同理可知與也相交于點,故為三棱臺,因此,因此平面和平面之間的體積為,因此三部分的體積由小到大的比值為1:7:16,C錯誤;對于D,由于,故,平面,平面,故平面,同理由可得平面,平面,故平面平面,因此到平面的距離即為平面和平面之間的距離,,故到平面的距離為,故D正確,故選:ABD11.已知曲線C:,則()A.曲線C的圖象關(guān)于x軸對稱B.曲線C上任意一點的橫坐標的最小值為C.若點在曲線C上,則D.若直線與曲線C有三個交點,則實數(shù)k的取值范圍為【答案】ACD【解析】對于A;由,可得,所以曲線C的圖象關(guān)于x軸對稱,故A正確;對于B;令,可得,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,且,又,所以,所以,所以曲線C上任意一點的橫坐標的最小值為,故B錯誤;對于C;若點在曲線C上,則,令,求導得,,求導可得,所以在上單調(diào)遞增,又,所以當時,,即,所以在上單調(diào)遞減,當時,,即,所以在上單調(diào)遞增,所以,所以,所以,所以,故C正確;若直線與曲線C有三個交點,所以在上有三個解,顯然時,方程不成立,所以在上有三個解,令,則,令,求導可得,當時,,所以在上單調(diào)遞增,又,所以當時,,即,當時,,即,當,,所以,所以,所以,即在上為增函數(shù),又,所以時,,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,當時,,當時,,又,要使在上有三個解,則需,解得或,所以若直線與曲線C有三個交點,則實數(shù)k的取值范圍為,故D正確.故選:ACD.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分12.若單位向量,滿足,則向量與的夾角為______.【答案】【解析】由可得,故,故,由于,故,故答案為:.13.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,且,則______.【答案】【解析】設(shè),由題意,由圖象可知,則,又,所以,即,因為,即符合題意,則,因為,所以,所以或,所以或,因為,即符合題意,綜上.故答案為:.14.冰雹猜想又稱考拉茲猜想、角谷猜想、猜想等,其描述為:任一正整數(shù)x,如果是奇數(shù)就乘以3再加1,如果是偶數(shù)就除以2,反復計算,最終都將會得到數(shù)字1.例如:給出正整數(shù)6,則進行這種反復運算的過程為,即按照這種運算規(guī)律進行8次運算后得到1.若從正整數(shù)3,11,12,13,14中任取2個數(shù)按照上述運算規(guī)律進行運算,則運算次數(shù)均被4整除余1的概率為______.【答案】【解析】按照題中運算規(guī)律,正整數(shù)3的運算過程為,運算次數(shù)為;正整數(shù)11的部分運算過程為,當運算到10時,運算次數(shù)為9,由正整數(shù)3的運算過程可知,正整數(shù)7總的運算次數(shù)為;正整數(shù)12的運算次數(shù)為,共次;正整數(shù)13的運算次數(shù)為9;正整數(shù)14的運算次數(shù)為,共故能被4整除余1共3個,概率為.故答案為:.四、解答題:本題共5小題,共77分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,.(1)求A;(2)若,,求.解:(1)由可得,故,即,故,由于,故,(2)由可得,由,由正弦定理可得.16.如圖,在四棱錐中,底面ABCD為矩形,平面ABCD,E是DP的中點,,垂足為F,,(1)證明:平面AEF;(2)求二面角的正弦值.(1)證明:因為底面ABCD為矩形,平面ABCD,平面,所以,即兩兩互相垂直,故以為原點,所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系,注意到,不妨設(shè),所以,所以,從而,即,由題意,又平面,所以平面AEF;(2)解:由(1)可知平面的一個法向量可以是,注意到三點共線,從而可設(shè),而,,所以,解得,所以,由(1)可知,設(shè)平面的法向量為,則,令,解得,所以,設(shè)二面角的大小為,則,故所求為.17.已知橢圓C:的長半軸長為2,離心率為.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)點A為橢圓C的左頂點,過原點的直線與橢圓C分別相交于P,Q(點P,Q不在坐標軸上)兩點,直線AP,AQ分別交y軸于M,N兩點,判斷直線PN和QM的交點是否在定直線上,并說明理由.解:(1)由題意:,又,所以.則橢圓C的標準方程為.(2)設(shè),則,且,即,,直線方程為:,,直線方程為:,,直線方程為:,直線方程為:,聯(lián)立直線方程與直
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