2025屆黑龍江省龍東地區(qū)高三上學期期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1黑龍江省龍東地區(qū)2025屆高三上學期期末考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)題意，，.故選：A.2.已知復數(shù)，若是純虛數(shù)，則實數(shù)（）A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】由于，故，所以，解得.故選：C.3.若一個圓臺的上、下底面半徑分別為1，2，母線與底面所成角為，則該圓臺的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圓臺的軸截面如下圖：因為母線與下底面所成的角為，所以母線長為，所以圓臺的側(cè)面積為：.故選：D.4.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意可得，由于在上單調(diào)遞增，故，因此恒成立，故，由于，故，故選：B.5.已知一種物質(zhì)的某種能量N與時間t的關(guān)系為，其中m是正常數(shù)，若經(jīng)過時間，該物質(zhì)的能量由減少到，則再經(jīng)過時間，該物質(zhì)的能量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)的能量為，則，又經(jīng)過時間，該物質(zhì)的能量由減少到，所以，所以，則再經(jīng)過時間時，該物質(zhì)的能量為.故選：C.6.已知定義域為的奇函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且，則（）A. B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】根據(jù)題意有，，故，從而.所以.故選：A.7.已知銳角，滿足，，則的最小值為（）A2 B.3 C.5 D.【答案】A【解析】由題意得，故.于是，當且僅當時取等號，故選：A.8.已知雙曲線的左、右焦點分別為，焦距為．若雙曲線的右支上存在點，使得，且的面積為，為銳角，則雙曲線的離心率（）A. B.2C. D.【答案】C【解析】設(shè)，則，從而.而在雙曲線的右支上，故，從而，即.同時，由于，故.移項可得，兩邊除以就得到.所以，從而，即.兩邊平方即得，整理得到.去分母后即可得到關(guān)于的方程.直接計算可得，故該方程等價于.從而或，將這兩個方程分別看作關(guān)于的一元二次方程，即可分別解得和.同時，由于為銳角，故，所以，故.而，故符合條件的解只有一個.而，，所以.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（）A.已知隨機變量，若，則B.若隨機變量（其中），，則C.若事件，且，則D.若隨機變量，且，則【答案】AC【解析】對于A，由于，故，故A正確；對于B，由于，故，解得，故B錯誤；對于C，，且，則，故C正確；對于D，，故，進而可得，故D錯誤.故選：AC.10.如圖，在棱長為2的正方體，中，點分別是梭，，，的中點，則下列說法正確的是（）A.若正方體的各頂點都在同一球面上，則該球的體積為B.異面直線與所成角的余弦值為C.平面和平面分正方體成三部分的體積由小到大的比值為1：8：16D.平面和平面之間的距離為【答案】ABD【解析】對于A,正方體的外接球的直徑為,故外接球的半徑為，故體積為，故A正確，對于B，由于,因此為異面直線與所成角或其補角，,由余弦定理可得,故B正確；對于C，,延長和相交于點,由于是的中點，,所以是的中點，同理可知與也相交于點，故為三棱臺，因此，因此平面和平面之間的體積為,因此三部分的體積由小到大的比值為1：7：16，C錯誤；對于D，由于,故，平面，平面，故平面，同理由可得平面，平面，故平面平面，因此到平面的距離即為平面和平面之間的距離，,故到平面的距離為，故D正確，故選：ABD11.已知曲線C：，則（）A.曲線C的圖象關(guān)于x軸對稱B.曲線C上任意一點的橫坐標的最小值為C.若點在曲線C上，則D.若直線與曲線C有三個交點，則實數(shù)k的取值范圍為【答案】ACD【解析】對于A；由，可得，所以曲線C的圖象關(guān)于x軸對稱，故A正確；對于B；令，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，又，所以，所以，所以曲線C上任意一點的橫坐標的最小值為，故B錯誤；對于C；若點在曲線C上，則，令，求導得，，求導可得，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當時，，即，所以在上單調(diào)遞減，當時，，即，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，所以，故C正確；若直線與曲線C有三個交點，所以在上有三個解，顯然時，方程不成立，所以在上有三個解，令，則，令，求導可得，當時，，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當時，，即，當時，，即，當，，所以，所以，所以，即在上為增函數(shù)，又，所以時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，，當時，，又，要使在上有三個解，則需，解得或，所以若直線與曲線C有三個交點，則實數(shù)k的取值范圍為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.若單位向量，滿足，則向量與的夾角為______．【答案】【解析】由可得，故，故，由于，故，故答案為：.13.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，且，則______．【答案】【解析】設(shè)，由題意，由圖象可知，則，又，所以，即，因為，即符合題意，則，因為，所以，所以或，所以或，因為，即符合題意，綜上.故答案為：.14.冰雹猜想又稱考拉茲猜想、角谷猜想、猜想等，其描述為：任一正整數(shù)x，如果是奇數(shù)就乘以3再加1，如果是偶數(shù)就除以2，反復計算，最終都將會得到數(shù)字1．例如：給出正整數(shù)6，則進行這種反復運算的過程為，即按照這種運算規(guī)律進行8次運算后得到1．若從正整數(shù)3，11，12，13，14中任取2個數(shù)按照上述運算規(guī)律進行運算，則運算次數(shù)均被4整除余1的概率為______．【答案】【解析】按照題中運算規(guī)律，正整數(shù)3的運算過程為，運算次數(shù)為；正整數(shù)11的部分運算過程為，當運算到10時，運算次數(shù)為9，由正整數(shù)3的運算過程可知，正整數(shù)7總的運算次數(shù)為；正整數(shù)12的運算次數(shù)為，共次；正整數(shù)13的運算次數(shù)為9；正整數(shù)14的運算次數(shù)為，共故能被4整除余1共3個，概率為．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，．（1）求A；（2）若，，求．解：（1）由可得，故，即，故，由于，故，（2）由可得，由，由正弦定理可得.16.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面ABCD，E是DP的中點，，垂足為F，，（1）證明：平面AEF；（2）求二面角的正弦值．（1）證明：因為底面ABCD為矩形，平面ABCD，平面，所以，即兩兩互相垂直，故以為原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，注意到，不妨設(shè)，所以，所以，從而，即，由題意，又平面，所以平面AEF；（2）解：由（1）可知平面的一個法向量可以是，注意到三點共線，從而可設(shè)，而，，所以，解得，所以，由（1）可知，設(shè)平面的法向量為，則，令，解得，所以，設(shè)二面角的大小為，則，故所求為.17.已知橢圓C：的長半軸長為2，離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)點A為橢圓C的左頂點，過原點的直線與橢圓C分別相交于P，Q（點P，Q不在坐標軸上）兩點，直線AP，AQ分別交y軸于M，N兩點，判斷直線PN和QM的交點是否在定直線上，并說明理由．解：（1）由題意：，又，所以.則橢圓C的標準方程為.（2）設(shè)，則，且，即，，直線方程為：，，直線方程為：，，直線方程為：，直線方程為：，聯(lián)立直線方程與直線方程得，化簡可得恒成立,因此直線與直線的交點過定直線.18.已知函數(shù)．（1）若曲線在點處的切線的斜率為，求實數(shù)的值；（2）討論函數(shù)單調(diào)性；（3）當時，令函數(shù)，證明：．（1）解：由于，故，解得或.（2）解：首先有.若，則在上遞減；若，則對有，對有.所以在上遞減，在上遞增；若，則對有，對有.所以在上遞減，在上遞增.綜上，當時，在上遞減；當時，在上遞減，在上遞增；當時，在上遞減，在上遞增.（3）證明：為使有意義，需要，下面的討論默認為正數(shù).先證明一些結(jié)論作為準備工作：①設(shè)，則對有，對有.所以在上遞減，在上遞增，從而，.②設(shè)，則.所以對有，對有.從而在上遞減，在上遞增，故.③設(shè)，則對有，對有.從而在上遞減，在上遞增，故.④由于，故，所以.由于，，故.所以，即，從而.將和結(jié)合，即得.最后，由于，故.所以.從而原命題得證.19.已知正項數(shù)列滿足：對任意的正整數(shù)n，都有，其中d為非零常數(shù)．（1）若，求數(shù)列的通項公式；（2）證明：；（3）若且，從，，，…，（且）中任取兩個數(shù)，記這兩個數(shù)是無理數(shù)，且這兩個無理數(shù)中間僅包含一個整數(shù)概率為，若，求正整數(shù)的最小值．公式：（其中n為正整數(shù)）．（1）解：由可得，數(shù)列滿足遞推關(guān)系，因此是以為首項，公差為的等差數(shù)列，因此，又為正項數(shù)列，可得，因此數(shù)列的通項公式為；（2）證明：根據(jù)遞推關(guān)系可得：所以,因此（3）解：由（2）中結(jié)論且可得；又，即可得，因此，即可得；又，即，即可知；所以，即，因此此時；數(shù)列中無理數(shù)項對應的為非平方數(shù)項，因此，，，…，中共有個無理數(shù)；符合條件的無序?qū)橄噜弲^(qū)間和中的無理數(shù)對，即在區(qū)間和上分別任取一個無理數(shù)構(gòu)成無理數(shù)對，相鄰兩區(qū)間上符合題意的無理數(shù)對為；因此總對數(shù)共有；總的組合數(shù)為從個數(shù)中隨機取出兩個，即，因此，又，即可得，即，解得，易知；所以正整數(shù)的需滿足，因此正整數(shù)的最小值為22.黑龍江省龍東地區(qū)2025屆高三上學期期末考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)題意，，.故選：A.2.已知復數(shù)，若是純虛數(shù)，則實數(shù)（）A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】由于，故，所以，解得.故選：C.3.若一個圓臺的上、下底面半徑分別為1，2，母線與底面所成角為，則該圓臺的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圓臺的軸截面如下圖：因為母線與下底面所成的角為，所以母線長為，所以圓臺的側(cè)面積為：.故選：D.4.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意可得，由于在上單調(diào)遞增，故，因此恒成立，故，由于，故，故選：B.5.已知一種物質(zhì)的某種能量N與時間t的關(guān)系為，其中m是正常數(shù)，若經(jīng)過時間，該物質(zhì)的能量由減少到，則再經(jīng)過時間，該物質(zhì)的能量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)的能量為，則，又經(jīng)過時間，該物質(zhì)的能量由減少到，所以，所以，則再經(jīng)過時間時，該物質(zhì)的能量為.故選：C.6.已知定義域為的奇函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且，則（）A. B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】根據(jù)題意有，，故，從而.所以.故選：A.7.已知銳角，滿足，，則的最小值為（）A2 B.3 C.5 D.【答案】A【解析】由題意得，故.于是，當且僅當時取等號，故選：A.8.已知雙曲線的左、右焦點分別為，焦距為．若雙曲線的右支上存在點，使得，且的面積為，為銳角，則雙曲線的離心率（）A. B.2C. D.【答案】C【解析】設(shè)，則，從而.而在雙曲線的右支上，故，從而，即.同時，由于，故.移項可得，兩邊除以就得到.所以，從而，即.兩邊平方即得，整理得到.去分母后即可得到關(guān)于的方程.直接計算可得，故該方程等價于.從而或，將這兩個方程分別看作關(guān)于的一元二次方程，即可分別解得和.同時，由于為銳角，故，所以，故.而，故符合條件的解只有一個.而，，所以.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（）A.已知隨機變量，若，則B.若隨機變量（其中），，則C.若事件，且，則D.若隨機變量，且，則【答案】AC【解析】對于A，由于，故，故A正確；對于B，由于，故，解得，故B錯誤；對于C，，且，則，故C正確；對于D，，故，進而可得，故D錯誤.故選：AC.10.如圖，在棱長為2的正方體，中，點分別是梭，，，的中點，則下列說法正確的是（）A.若正方體的各頂點都在同一球面上，則該球的體積為B.異面直線與所成角的余弦值為C.平面和平面分正方體成三部分的體積由小到大的比值為1：8：16D.平面和平面之間的距離為【答案】ABD【解析】對于A,正方體的外接球的直徑為,故外接球的半徑為，故體積為，故A正確，對于B，由于,因此為異面直線與所成角或其補角，,由余弦定理可得,故B正確；對于C，,延長和相交于點,由于是的中點，,所以是的中點，同理可知與也相交于點，故為三棱臺，因此，因此平面和平面之間的體積為,因此三部分的體積由小到大的比值為1：7：16，C錯誤；對于D，由于,故，平面，平面，故平面，同理由可得平面，平面，故平面平面，因此到平面的距離即為平面和平面之間的距離，,故到平面的距離為，故D正確，故選：ABD11.已知曲線C：，則（）A.曲線C的圖象關(guān)于x軸對稱B.曲線C上任意一點的橫坐標的最小值為C.若點在曲線C上，則D.若直線與曲線C有三個交點，則實數(shù)k的取值范圍為【答案】ACD【解析】對于A；由，可得，所以曲線C的圖象關(guān)于x軸對稱，故A正確；對于B；令，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，又，所以，所以，所以曲線C上任意一點的橫坐標的最小值為，故B錯誤；對于C；若點在曲線C上，則，令，求導得，，求導可得，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當時，，即，所以在上單調(diào)遞減，當時，，即，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，所以，故C正確；若直線與曲線C有三個交點，所以在上有三個解，顯然時，方程不成立，所以在上有三個解，令，則，令，求導可得，當時，，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當時，，即，當時，，即，當，，所以，所以，所以，即在上為增函數(shù)，又，所以時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，，當時，，又，要使在上有三個解，則需，解得或，所以若直線與曲線C有三個交點，則實數(shù)k的取值范圍為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.若單位向量，滿足，則向量與的夾角為______．【答案】【解析】由可得，故，故，由于，故，故答案為：.13.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，且，則______．【答案】【解析】設(shè)，由題意，由圖象可知，則，又，所以，即，因為，即符合題意，則，因為，所以，所以或，所以或，因為，即符合題意，綜上.故答案為：.14.冰雹猜想又稱考拉茲猜想、角谷猜想、猜想等，其描述為：任一正整數(shù)x，如果是奇數(shù)就乘以3再加1，如果是偶數(shù)就除以2，反復計算，最終都將會得到數(shù)字1．例如：給出正整數(shù)6，則進行這種反復運算的過程為，即按照這種運算規(guī)律進行8次運算后得到1．若從正整數(shù)3，11，12，13，14中任取2個數(shù)按照上述運算規(guī)律進行運算，則運算次數(shù)均被4整除余1的概率為______．【答案】【解析】按照題中運算規(guī)律，正整數(shù)3的運算過程為，運算次數(shù)為；正整數(shù)11的部分運算過程為，當運算到10時，運算次數(shù)為9，由正整數(shù)3的運算過程可知，正整數(shù)7總的運算次數(shù)為；正整數(shù)12的運算次數(shù)為，共次；正整數(shù)13的運算次數(shù)為9；正整數(shù)14的運算次數(shù)為，共故能被4整除余1共3個，概率為．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，．（1）求A；（2）若，，求．解：（1）由可得，故，即，故，由于，故，（2）由可得，由，由正弦定理可得.16.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面ABCD，E是DP的中點，，垂足為F，，（1）證明：平面AEF；（2）求二面角的正弦值．（1）證明：因為底面ABCD為矩形，平面ABCD，平面，所以，即兩兩互相垂直，故以為原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，注意到，不妨設(shè)，所以，所以，從而，即，由題意，又平面，所以平面AEF；（2）解：由（1）可知平面的一個法向量可以是，注意到三點共線，從而可設(shè)，而，，所以，解得，所以，由（1）可知，設(shè)平面的法向量為，則，令，解得，所以，設(shè)二面角的大小為，則，故所求為.17.已知橢圓C：的長半軸長為2，離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)點A為橢圓C的左頂點，過原點的直線與橢圓C分別相交于P，Q（點P，Q不在坐標軸上）兩點，直線AP，AQ分別交y軸于M，N兩點，判斷直線PN和QM的交點是否在定直線上，并說明理由．解：（1）由題意：，又，所以.則橢圓C的標準方程為.（2）設(shè)，則，且，即，，直線方程為：，，直線方程為：，，直線方程為：，直線方程為：，聯(lián)立直線方程與直