湖南省婁底市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題

婁底市年秋季高三教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)注意事項：答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上寫在本試卷上無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.85分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.命題“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】由全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，即可判斷選項.【詳解】命題“，”的否定是“，”,故選:B.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法法則求得z，再由模的定義計算.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足，所以復(fù)數(shù)z滿足，第1頁/共21頁所以.故選：A.3.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】化簡集合B，結(jié)合和集合具有互異性，得出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】由，解得，所以，因?yàn)?，又因?yàn)?，所?故選：D.4.若，則下列結(jié)論一定正確的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用兩角和的正弦公式展開計算可得結(jié)論.【詳解】由已知得：，即，所以.故選：A.5.在中，點(diǎn)D在邊上，且，設(shè)，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】第2頁/共21頁【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的線性運(yùn)算求解即得.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D在邊上，且，所以.故選：C.6.如圖，在圓錐中，是底面圓的直徑，已知，，M是的中點(diǎn)，二面角的大小為.則圓錐的體積為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先說明為二面角的平面角，即可求出，再根據(jù)錐體的體積公式計算可得.【詳解】因?yàn)槭堑酌鎴A的直徑，所以，又M是的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，又平面，所以，所以為二面角的平面角，?由已知，，可得，所以，又平面，平面，所以，第3頁/共21頁由，解得，所以圓錐的體積.故選：B.7.已知，，則下列結(jié)論正確的是（）A.且B.且C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)式與指數(shù)式的轉(zhuǎn)換，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得答案.【詳解】法一：由，則，由，則，即.因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，故；法二：由，，，∵，∴，?故選：D.8.已知點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A是拋物線E上一點(diǎn).過點(diǎn)A作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為B，C，且分別交拋物線的準(zhǔn)線于M，N兩點(diǎn)，M，N位于y軸異側(cè)（如圖所示）.若，則的長為（）A.2B.3C.4D.第4頁/共21頁【答案】B【解析】【分析】設(shè)與圓O相切于點(diǎn)D，由切線長定理可得的周長為，可得，設(shè)，由題意得，可得，計算可得，結(jié)合已知可得，可求.【詳解】設(shè)與圓O相切于點(diǎn)D，由題圖及切線長相等可得：，，，∴的周長為，∴，設(shè)，由題意得，∵，∴，∴，由，則，解得，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于利用切線長定理與三角形的面積得到，進(jìn)而計算求解.36分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）第5頁/共21頁9.已知函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后與函數(shù)的圖象重合，則關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C.函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】ABD【解析】【分析】由已知條件可得，根據(jù)周期公式即可判斷A項；代入檢驗(yàn)結(jié)合余弦函數(shù)的對稱性可判斷B、C項；根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷D項.【詳解】因?yàn)閷⒌膱D象向左平移個單位長度得到，對于A，函數(shù)的最小正周期，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，令，整理得，所以單調(diào)遞減區(qū)間為，顯然時，單調(diào)遞減區(qū)間為，第6頁/共21頁因?yàn)椋蔇正確.故選：ABD.10.設(shè)AB，，（）A.A，B相互獨(dú)立B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件、和事件、條件概率等知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，，因?yàn)?，所以，即，所以A，B相互獨(dú)立，故A正確；所以，故B錯誤；因?yàn)锳，B相互獨(dú)立，所以，相互獨(dú)立，，B相互獨(dú)立，A，相互獨(dú)立，所以，故C正確；因?yàn)?，，所以，故D正確.第7頁/共21頁故選：ACD.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，區(qū)間，若，，則稱是在D上的不動點(diǎn)，集合為在D上的不動點(diǎn)集.若函數(shù)在R上的不動點(diǎn)集為，下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)不動點(diǎn)集的定義，根據(jù)方程的三個根化簡列出等式，求解即可判斷A和B；再設(shè)m的范圍，判斷C和D即可.【詳解】因?yàn)樵赗上的不動點(diǎn)集為，所以，即方程在R上存在3個實(shí)數(shù)根，，，所以，從而，所以A正確，B錯誤；令，則，當(dāng)和時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，則，解得.第8頁/共21頁因?yàn)?，所以C錯誤，D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)（或方程的根）的問題的方法（1）直接法，對函數(shù)求導(dǎo)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)結(jié)合零點(diǎn)存在定理求解：（2）構(gòu)造函數(shù)法，將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；（3）參變量分離法，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共分）12.函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為________.【答案】【解析】【分析】先求出導(dǎo)函數(shù)，得，即切線斜率，然后可得切線方程.【詳解】因?yàn)椋?，又，所以切線方程為：，即.故答案為：.13.在ABC所對的邊分別為abc，的面積的最大值為________.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理結(jié)合均值不等式求得最大值，再用三角形的面積公式求解即可.【詳解】因?yàn)橐阎?，由余弦定理可得，因?yàn)?，又因?yàn)?，得，?dāng)且僅當(dāng)時等號成立，則面積為，第9頁/共21頁當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的面積的最大值為.故答案為：.14.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，其中，直線與橢圓C交于PQ的面積為S時，C的離心率的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】連接，，由題意可得四邊形為矩形，利用已知可得，利用橢圓的幾何性質(zhì)與勾股定理可得橢圓C的離心率的取值范圍.【詳解】連接，，由題意得，，所以四邊形為矩形，所以，故，又，由勾股定理得，即，則，故，第10頁/共21頁即，即，解得，又點(diǎn)P在直線上，且，所以，即，所以，，解得，綜上，橢圓C的離心率的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于利用已知得到，進(jìn)而利用橢圓的幾何性質(zhì)與勾股定理可得，進(jìn)而計算即可，需注意.四、解答題（本大題共5小題，共分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.已知數(shù)列滿足：，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項和為，若，求證：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】1）用累加法即可求出結(jié)果；（2）將第（1）問的結(jié)果代入原式，裂項相消求出前n項和為，即可證明結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時，，，，，上述各式相加得，又，所以，第11頁/共21頁又滿足上式，故.【小問2詳解】由（1）得，所以，所以數(shù)列的前n項和，即.16.方式，全校共有200名學(xué)生自主報名參賽，統(tǒng)計參賽成績，參賽學(xué)生所得分?jǐn)?shù)的分組區(qū)間為，，，得到如下的頻數(shù)統(tǒng)計表：分?jǐn)?shù)區(qū)間性別男生/名154560女生/名252530（1）若學(xué)生得分不低于90分，則認(rèn)為基本技能優(yōu)秀，得分低于90分，則認(rèn)為基本技能良好，依據(jù)小概率值獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析該校學(xué)生的基本技能與性別是否有關(guān)？（2）為進(jìn)一步調(diào)研男生和女生在基本技能上的差異，在參加數(shù)學(xué)基本技能比賽的200例分層抽樣的方式隨機(jī)抽取5名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)研，然后再從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生進(jìn)行座談?wù){(diào)研，記取出的3人中女生的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：α0.100.050.0102.7063.8416.635第12頁/共21頁，.【答案】（1）認(rèn)為該校學(xué)生的基本技能與性別有關(guān)聯(lián)（2）分布列見解析，【解析】【分析】(1)由題設(shè)完善列聯(lián)表，應(yīng)用卡方公式求卡方值，根據(jù)獨(dú)立檢驗(yàn)的基本思想得結(jié)論；(2)由題意的可能取值有0，1，2，進(jìn)而求其分布列并求期望值.【小問1詳解】根據(jù)題意得如下2×2列聯(lián)表：男生女生合計基本技能優(yōu)秀603090基本技能良好6050合計12080200零假設(shè)：該校學(xué)生的基本技能與性別無關(guān)聯(lián).，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為該校學(xué)生的基本技能與性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.1.【小問2詳解】由題意知，隨機(jī)抽取進(jìn)行問卷調(diào)查的5名學(xué)生中，女生2名，男生3名，所以隨機(jī)變量的可能取值有0，1，2，故，，第13頁/共21頁，故X的分布列如下，X012P17.如圖，在三棱柱中，D為邊上（異于A，C兩點(diǎn)）的動點(diǎn)，平面與邊交于點(diǎn)E.（1）請判斷四邊形的形狀，并說明理由；（2）已知側(cè)面底面，，，，求直線與平面所成角的大小.【答案】（1）平行四邊形，理由見解析（2）【解析】1）利用線線平行證明線面平行，再證明線線平行，還要利用面面平行證明線線平行，從而可得平行四邊形；（2）利用空間向量法來求線面角的大小.【小問1詳解】第14頁/共21頁在三棱柱中，，又平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以,又平面平面，平面平面，平面平面，所以.所以四邊形為平行四邊形.【小問2詳解】取的中點(diǎn)O，連接，.在中，因，所以，因?yàn)閭?cè)面底面，底面?zhèn)让?，底面，所以平面，又?cè)面，所以.在中，由，，可知，在Rt中，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，從而，，兩兩垂?以O(shè)為原點(diǎn)，以，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，第15頁/共21頁則，，，，.所以，.設(shè)平面的法向量為，則令，得.又，設(shè)直線與平面所成角為，且，則，所以直線與平面所成角的大小為.18.已知函數(shù)，.（1）證明：函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱；（2）設(shè).（ⅰ）判斷函數(shù)的單調(diào)性；（ⅱ）證明：，.【答案】（1）證明見解析（2i）在ii）證明見解析【解析】1可得答案；第16頁/共21頁（2i）整理函數(shù)解析式，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，對于導(dǎo)數(shù)由指數(shù)函數(shù)恒大于零，構(gòu)造函數(shù)并利用其導(dǎo)數(shù)求其最值，可得答案；（ii）整理不等式，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)并利用放縮法，研究導(dǎo)數(shù)的最值，可得答案.【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)為函數(shù)上任一點(diǎn)，又點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)在函數(shù)的圖象上.設(shè)點(diǎn)為函數(shù)上任意一點(diǎn)，又點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)在函數(shù)的圖象上.綜上可得，函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱；【小問2詳解】（?。┯梢阎?，令，則，當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，所以，所以，則在單調(diào)遞增.（ⅱ）根據(jù)題意知，當(dāng)時，令，則，第17頁/共21頁令，則，所以在上單調(diào)遞增，則，所以，則在上單調(diào)遞增，則，所以，即，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的單調(diào)在于第二小題第二問對于構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性研究，關(guān)鍵在于對于構(gòu)造函數(shù)的導(dǎo)數(shù)采用放縮法化簡，利用放縮法解決問題是要注意放縮方向以及放縮的程度.19.已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，D是雙曲線C的右支上一點(diǎn)，若，雙曲線E的離心率為.（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，分別是雙曲線C的左，右頂點(diǎn)，平行y軸的直線l交雙曲線C于P，Q（異于，）兩點(diǎn).直線與直線交于點(diǎn)R，求交點(diǎn)R的軌跡E的方程；（3）過點(diǎn)且斜率為的直線交第（2）問的軌跡E于A，B（A，B不在坐標(biāo)軸上）兩點(diǎn)，點(diǎn)G是軌跡E上一點(diǎn)，滿足軸，直線，分別交直線于點(diǎn)M，N，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記，，求的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】第