2025年蘇科版九年級數(shù)學(xué)寒假專練：圖形的相似（原卷版）

專題09圖形的相似

嫌內(nèi)容早知道

G第一層鞏固提升練（9大題型）

目錄

題型一比例的性質(zhì)及成比例線段.................................................................1

題型二黃金分割................................................................................1

題型三相似圖形及性質(zhì)..........................................................................2

題型四選擇或補充條件使兩個三角形相似.........................................................3

題型五證明兩個三角形相似.....................................................................5

題型六利用相似三角形的性質(zhì)求解...............................................................6

題型七相似三角形的判定與性質(zhì)綜合.............................................................6

題型八圖形的位似..............................................................................7

題型九用相似三角形解決問題...................................................................9

。第二層能力提升練

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犀型一比例的性質(zhì)及成比例線段

☆技巧積累與運用

四條線段a,b,c,d中，如果a和力的比等于。和，的比，即°°,那么這四條線段a,b,c,d叫

~b=~d

做成比例線段，簡稱比例線段

例題：（24-25九年級上?內(nèi)蒙古包頭?階段練習(xí)）下列各組中的四條線段是成比例線段的是（）

A.4cm、2cm>lcm>3cmB.2cm>3cm>4cm>5cm

C.25cm>35cm、45cm>55cmD.1cm、2cm>20cm>40cm

鞏固訓(xùn)練

1.（22-23八年級下?山東泰安?期末）如果6M=7〃（"0）,那么下列比例式成立的是（）

m7mnm6mn

A.——=—B.—=一C.—=—D.—=一

6n76n767

x2x—v

2.（2023?江蘇常州?模擬預(yù)測）已知一=、，則一-=____.

V5y

題型二黃金分割

☆技巧積累與運用

黃金分割

如圖，若線段相上一點C,把線段也分成兩條線段〃和，且使〃是和宛的

比例中項（即NC2=/5.8C）,則稱線段/斤被點C黃金分割，點C叫線段/斤的黃金分割點，其中

AC=-——AB^0.61SAB,BC=——AB?0.382^5,/C與48的比叫做黃金比.（注意：對于線段

22

而言，黃金分割點有兩個.）

?--------?-------?

ACB

例題：（24-25九年級上?湖南湘潭?階段練習(xí)）若四個數(shù)。，b,c,d成比例，即，=|■若。=3,b=6,

c=2,貝!|d為（）

A.3B.4C.5D.6

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25九年級上?湖南湘潭?階段練習(xí)）如圖，若等腰三角形底與腰的比等于1二1,則稱等腰三角形為

2

“黃金等腰三角形"，若一個黃金等腰三角形的腰長為2,則底為（）

底

A.V5-2B.V5+2C.V5-1D.遙+1

2.（24-25九年級上?福建寧德?期中）如圖是一種貝殼的俯視圖，點C分線段近似于黃金分割

（AC>BC）.已知/8=10cm,則8C的長為cm.（結(jié)果保留根號）

題型三相似圖形及性質(zhì)

☆技巧積累與運用

相似多邊形的性質(zhì)與判定

（1）相似多邊形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等。

（2）相似比：相似多邊形對應(yīng)邊的比稱為相似比。

（3）判斷兩個多邊形相似，必須同時具備：（1）邊數(shù)相同；（2）對應(yīng)角相等；（3）對應(yīng)邊的比相等。

例題：（24-25九年級上?山西晉中?期中）如圖，用放大鏡將平遙古城旅游圖標(biāo)放大，則放大前后兩個圖

形之間屬于圖形的（）

舍「a

A.平移B.軸對稱C.相似D.旋轉(zhuǎn)

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25九年級上?河南洛陽?期中）2024年10月1日，是偉大祖國75周年華誕，全國各地都升起了鮮艷

的五星紅旗一一國旗.國旗法規(guī)定：所有國旗均為相似矩形，在下列四面國旗中，其中只有一面不符合標(biāo)準(zhǔn)，

這面國旗是（）

l

u

o

o

B.z

A.一

240cm160cm

EoE

r9

J6D.己

144cm96cm

2.（24-25九年級上?河南?階段練習(xí)）如圖，將矩形各邊向外平移1個單位并適當(dāng)延長，得到矩形

EFGH,若矩形/BCD”矩形EFG/f,AB=a,BC=b,則巴=_____.

b

E,-----------------H

A.____________.D

81------r

F1---------G

題型四選擇或補充條件使兩個三角形相似

☆技巧積累與運用

相似三角形的判定

判定1:如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似。

判定2：如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。

判定3：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似。

例題：（24-25九年級上?河南焦作?期中）如圖，下列所添加條件不能使的是（）

A./B=/ADEB.NC=NADE

AB_AC

C.AB=ZAED

AE~AD

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25九年級上?安徽合肥?期中）如圖，△4DE的頂點E在的邊8C上，已知N1=N2,那么添

加下列一個條件后，仍無法判定的是（）

A./B=/DB.ZAED=/C

ADAEADDE

C-----=-----D.-----=-----

?ABACABBC

2.（24-25九年級上?山東荷澤?期中）如圖，點D,￡分別在△4BC的N2,4C邊上，增加下列條件中的一

個：（DZAED=ZB②皿=4,③晉噗,④翁巖，⑤"J-使"DE與

一定相似的有.

題型五證明兩個三角形相似

☆技巧積累與運用

相似三角形的判定

判定1:如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似。

判定2：如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。

判定3：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似。

例題：（2024九年級下?全國?專題練習(xí)）如圖，。是△/8C的邊8c上的一點，4B=2,BD=1,

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25九年級上?山西陽泉?期中）如圖，△N2C繞點8按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度得到ADBE,點。

在邊NC上，連接CE,求證：ABADs八BCE.

2.（24-25九年級下?全國,期末）如圖，四邊形ABCD是正方形，點G為邊CD上一點，連接/G并延長，交

8C的延長線于點尸，連接BD交4月于點E,連接EC.

求證：

⑴AADE經(jīng)八CDE；

(2)AEGCsAECF.

題型六利用相似三角形的性質(zhì)求解

☆技巧積累與運用

相似三角形的性質(zhì)

1、對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等；

2、拓展：對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比，對應(yīng)角平分線的比都等于相似比。

3、相似三角形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方。（相似多邊形周長比等于相似比，相

似多邊形的面積比等于相似比的平方。）

例題：（24-25九年級上?安徽池州?階段練習(xí)）若A4BC^ADEF,AB=2,DE=3,則AABC與力EF

的周長比是（）

A.1:2B.1:3C.2:3D.3:2

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25九年級上?浙江杭州?階段練習(xí)）若△/BCSADEV,若44=50。,48=60。，則/尸的度數(shù)是

（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

2.（24-25九年級上?寧夏銀川?階段練習(xí)）在ZUBC中，48=6,/C=4,。是AB的中點，過點。的直線

交/C于點￡,若以N,D,￡為頂點的三角形和以/,B,C為頂點的三角形相似，則/￡的長為.

題型七鄴學(xué)形的判定與性質(zhì)綜合

☆技巧積累與運用

例題：（2021?浙江金華?一模）如圖，在△45。中，DE//BC,且分別交么5/。于點。，E,若

AD7

益方則下列說法不正確的是（）

=4

c.S.ADEDE_2

S四邊形DBCE215C-3

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25九年級上?山西大同?階段練習(xí)）如圖，在口45CQ中，點￡,方分別在邊4。和對角線助上,

EF//AB,DE:EA=2:3,EF=4,則CD的長為.

2.（23-24九年級上?北京昌平?期中）如圖，在△48。中，/C=90。，點。在ZC上，DEJ.AB于點、E.

⑴求證：LADE?LABC；

(2)AC=4,AB=5MAD=3,求的長.

題型八圖形的位似

☆技巧積累與運用

位似的概念及性質(zhì)

1）兩個多邊形不僅相似，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行，象這樣的兩個圖形叫做位

似圖形，這個點叫做位似中心。這時的相似比又稱為位似比。

相似圖形與位似圖形的區(qū)別與聯(lián)系：1、區(qū)別：①位似圖形對應(yīng)點的連線交于一點，相似圖形沒有；②位

似圖形的對應(yīng)邊互相平行，相似圖形沒有。2、聯(lián)系：位似圖形是特殊的相似圖形。

2）相似圖形與位似圖形的區(qū)別與聯(lián)系：

區(qū)別：①位似圖形對應(yīng)點的連線交于一點，相似圖形沒有；

②位似圖形的對應(yīng)邊互相平行，相似圖形沒有。

聯(lián)系：位似圖形是特殊的相似圖形。

3）、位似圖形是特殊的相似圖形，故具有相似圖形的一切性質(zhì)。

4）、位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離比等于相似比。

例題：（24-25九年級上?浙江,期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC和AZ宏廠是位似三角形，且

CO=2FO,若點則點8的坐標(biāo)為（）

I▲

A.（4,-2）B.（4,2）C.（T2）D.（-4,-2）

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25九年級上?云南曲靖?期中）如圖，已知△NBC與ADE尸位似，位似中心為。，且△/BC的面積與

△DEF的面積之比是9:4,則/。：40=（）

A.9:5B.3:5C.4:3D.4:7

2.（24-25九年級上?全國?期末）如圖，四邊形48。與四邊形EFGH位似，其位似中心為點。，且

OE

=p則

~EA

題型九用相似三角形解決問題

☆技巧積累與運用

利用相似三角形測高

1）、利用相似三角形的性質(zhì)測量河的寬度，計算不能直接測量的物體的高度或深度。

2）、利用三角形的性質(zhì)來解決實際問題的核心是構(gòu)造相似三角形，在構(gòu)造的相似三角形中，被測物體必

須是其中一邊，注意要把握其余的對應(yīng)邊易測這一原則。

例題:（24-25九年級上?四川成都?期中）如圖是某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計用手電筒來測量某古城墻高度的示

意圖，在點尸處放一水平的平面鏡，光線從點/出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處，已

知CDLBD,且測得4B=6m,BP=8m,PD=18m,那么該古城墻CD的高度是（）m.

C.13.5或24D.13.5

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25九年級上?河北石家莊?期中）手影游戲利用的物理原理是：光是沿直線傳播的，圖1中小狗手影

就是我們小時候常玩的游戲.在一次游戲中，小明距離墻壁4米，爸爸拿著的光源與小明的距離為2米，如

圖2所示.若在光源不動的情況下，要使小狗手影的高度變?yōu)樵瓉淼?倍，則光源與小明的距離應(yīng)（）

A.增加0.5米B.增加1米C.增加2米D.減少1米

2.（24-25九年級上?陜西西安?階段練習(xí)）如圖，小麗家旁邊有兩棵樹，一棵高11米的和一棵高6米的

CD,它們都與地面垂直.某一時刻，在太陽光照射下，樹落在地面上的影子8尸的長為12米，落在小

麗家墻上影子￡尸的長為2米，另一棵樹C￡＞落在地面上的影子DH的長為4米，則落在小麗家墻上的影子

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一、單選題

1.（2024九年級上?安徽?專題練習(xí)）如圖，小明為了測量一涼亭的高度48（頂端A到水平地面8D的距

離），在涼亭的旁邊放置一個與涼亭臺階等高的臺階。E（OE=8C=0.5米，A,B,C三點共線），

把一面鏡子水平放置在平臺上的點G處，測得CG=15米，然后沿直線CG后退到點E處，這時恰好在鏡子

里看到?jīng)鐾さ捻敹薃,測得EG=3米，小明眼睛到地面的高度斯=1.6米，則涼亭的高度約為（）

A.8.5米B.9米C.9.5米D.10米

2.（23-24九年級上?安徽安慶?期末）如圖，把一張矩形紙片48co沿著/。和8c邊的中點連線EF對折,

要使矩形NE/7正好與原矩形相似，則原矩形長與寬的比為（）

A.2:1B.V2:2C.V2:lD.3:2

3.（2024九年級上?廣西?專題練習(xí)）如圖，已知N1=N2,那么添加下列一個條件后，不能判定

的是（）

4.（24-25九年級上?遼寧大連?階段練習(xí)）如圖，在中，NAEF=NB,—則下列結(jié)論正確的

nC4

5.（24-25九年級上?山西長治?階段練習(xí)）如圖，在中，AB=AC,ABAC=90°,。是邊8c上的

一點，連接將線段4D繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段NE,連接CE,DE,且。E交NC于點尸,

若4F=4,AB=1,則?！甑拈L為（）

二、填空題

6.（2023?四川廣元?模擬預(yù)測）如圖，A'B'〃AB,B'C//BC,且CM':H/=4:3,則△NBC與A/'B'C是

位似圖形，△4BC與A/'B'C'的位似比為.

7.（24-25九年級上?江蘇南京?階段練習(xí)）若力?=，則熱=—?

8.（24-25九年級上?陜西西安?階段練習(xí)）如圖，/il|/21/3，/8=6,DE=5,斯=15,則3c的長為.

9.（23-24九年級下?全國,期中）如圖，A/8C為邊長為7cm的等邊三角形，BD=6cm,CE=2cm,P為BC

邊上動點，以0.25~1/s的速度從8向C