福建省寧德市博雅培文學(xué)校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題卷（原卷版+解析版）

寧德市博雅培文學(xué)校2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高一數(shù)學(xué)試題卷考試范圍：第五章三角函數(shù)5.4—5.6；考試時間：120分鐘；命題人：高一數(shù)學(xué)組一、單選題（本題共8個小題，每小題5分，共40分，在每一題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）A. B.C. D.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件3.在中，，則為（）A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.無法判定4.函數(shù)的大致圖象為A. B.C. D.5.已知函數(shù)的定義域為，且，當(dāng)時，，則（）A. B. C. D.6，則（）A. B.C D.7.公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割約為0.618，這一數(shù)值也可以表示為m＝2sin18°，若m2＋n＝4，則＝（）A8 B.4C.2 D.18.已知，記（）．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）A.3 B. C. D.二、多選題（本題共3小題，每一題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.）9.下列選項中，值為的是（）A. B.C. D.10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.圖象一條對稱軸是直線C.圖象的一個對稱中心是點D.函數(shù)是偶函數(shù)11.已知函數(shù)滿足：，都有成立，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.函數(shù)是偶函數(shù)C.函數(shù)是周期函數(shù)D.，若，則三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.函數(shù)的周期為___________.13.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的值為______．14.已知函數(shù)，則______；若在上恒成立，則整數(shù)的最小值為______．四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知函數(shù)．（1）求的定義域；（2）求證：16.已知（1）說明該函數(shù)圖象可由的圖象經(jīng)過怎樣平移和伸縮變換得到.（2）填寫下表并用五點法畫出在上簡圖；

17.在平面直角坐標(biāo)系中，以軸為始邊的銳角和鈍角的終邊分別交單位圓于，兩點.已知點的橫坐標(biāo)為，點的縱坐標(biāo)為.（1）求；（2）求的值.18.已知函數(shù).（1）求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，求函數(shù)的值域；（3）若方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，，求的值.19.對于定義在上的函數(shù)，如果存在一組常數(shù)，，…，（為正整數(shù)，且），使得，，則稱函數(shù)為“階零和函數(shù)”.（1）若函數(shù)，，請直接寫出，是否為“2階零和函數(shù)”；（2）判斷“為2階零和函數(shù)”是“為周期函數(shù)”的什么條件（用“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”或“既不充分也不必要”回答），并證明你的結(jié)論；（3）判斷下列函數(shù)是否為“3階零和函數(shù)”，并說明理由.，.

寧德市博雅培文學(xué)校2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高一數(shù)學(xué)試題卷考試范圍：第五章三角函數(shù)5.4—5.6；考試時間：120分鐘；命題人：高一數(shù)學(xué)組一、單選題（本題共8個小題，每小題5分，共40分，在每一題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】直接根據(jù)各個函數(shù)的奇偶性逐個判斷即可.【詳解】均是奇函數(shù)，是偶函數(shù)．故選：B.2.“”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】時，成立，是充分的，但時，，不滿足，必要性不滿足，因此是充分不必要條件．故選：A．3.在中，，則為（）A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.無法判定【答案】C【解析】【分析】利用兩角和的余弦公式以及誘導(dǎo)公式可得出，結(jié)合角的取值范圍可得出結(jié)論.【詳解】因為，則，所以，，因為，故為鈍角，故為鈍角三角形.故選：C.4.函數(shù)的大致圖象為A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】判斷函數(shù)的奇偶性和圖象的對稱性，利用特殊值進(jìn)行排除即可．【詳解】函數(shù)，則函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，排除C，D，，排除B，故選A．【點睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，利用函數(shù)奇偶性和對稱性的關(guān)系以及特殊值，結(jié)合排除法是解決本題的關(guān)鍵．5.已知函數(shù)的定義域為，且，當(dāng)時，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意得到的周期為1，從而，代入求解即可.【詳解】因為，所以，函數(shù)的周期為1，所以．故選：B．6.，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可得的大小，根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)可得的大小.【詳解】因為，且在區(qū)間上為增函數(shù)，所以，即；又，故．故選：C.7.公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割約為0.618，這一數(shù)值也可以表示為m＝2sin18°，若m2＋n＝4，則＝（）A.8 B.4C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求n＝4cos218°，利用降冪公式，誘導(dǎo)公式和二倍角的正弦函數(shù)公式化簡求解即可．【詳解】因為m＝2sin18°，m2＋n＝4，所以n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°.所以故選：C.【點睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，降冪公式，誘導(dǎo)公式，二倍角的正弦函數(shù)公式應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．8.已知，記（）．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分段寫出函數(shù)的解析式，并確定其單調(diào)減區(qū)間，再結(jié)合集合的包含關(guān)系求解作答即可.【詳解】由題意知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，則或，由，解得，而，故需滿足，即，此時不存在；由，解得，則需滿足，即，即，故，即，故選：C【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是理解的含義，結(jié)合其解析式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為集合間的包含關(guān)系，列不等式求解即可.二、多選題（本題共3小題，每一題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.）9.下列選項中，值為的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】選項A利用二倍角余弦公式結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式求解判斷；選項B利用兩角和的正弦公式求解判斷；選項C利用誘導(dǎo)公式和二倍角的正弦公式求解判斷；選項D利用二倍角的正切公式求解判斷.【詳解】選項A：，故選項A不符合題意；選項B：，故選項B符合題意；選項C：，故選項C符合題意；選項D：，故選項C符合題意.故選：BCD.10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.圖象的一條對稱軸是直線C.圖象的一個對稱中心是點D.函數(shù)是偶函數(shù)【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)周期可得根據(jù)最低點可求解，即可判斷A，代入即可求解BC，化簡，即可求解D.【詳解】由函數(shù)的部分圖象知，，即，解得過點，解得，，選項A錯誤；當(dāng)時，的一條對稱軸是直線，選項B正確；令，解得的對稱中心是，選項C錯誤；，是定義域上偶函數(shù)，選項D正確.故選:BD.11.已知函數(shù)滿足：，都有成立，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.函數(shù)是偶函數(shù)C.函數(shù)是周期函數(shù)D.，若，則【答案】ACD【解析】【分析】利用賦值法及函數(shù)奇偶性、周期性的定義、單調(diào)性一一判斷選項即可．【詳解】令，則，所以，故A正確；令，則，所以，故是奇函數(shù)，故B錯誤；令，則，所以，由B知是奇函數(shù)，所以，所以是周期函數(shù)，故C正確；當(dāng)時，得，則，所以，即，即，故D正確．故選：ACD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.函數(shù)的周期為___________.【答案】【解析】【分析】由公式直接計算即可.【詳解】函數(shù)周期為.故答案為：13.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的值為______．【答案】0【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象對稱得，代入解析式得，即可計算的值.【詳解】∵函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，∴對任意的，有，則，即，∴，即，∴，∴．故答案為：0．14.已知函數(shù)，則______；若在上恒成立，則整數(shù)的最小值為______．【答案】①.##②.【解析】【分析】利用分段函數(shù)性質(zhì)計算即可得空一；由題意畫出函數(shù)圖象，并可得函數(shù)滿足，可得當(dāng)時，有或，使得，即可得時，恒成立，從而可得空二.【詳解】因為，所以，因為，所以，圖象如圖：則，當(dāng)時，；當(dāng)時，或，當(dāng)時，，所以時，恒成立，整數(shù)的最小值為．故答案為：；.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知函數(shù)．（1）求的定義域；（2）求證：【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）直接根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)求定義域；（2）利用三角函數(shù)公式變形證明即可.【小問1詳解】令，得，即的定義域為；【小問2詳解】因為左邊，且，，且，所以.16.已知（1）說明該函數(shù)圖象可由的圖象經(jīng)過怎樣平移和伸縮變換得到.（2）填寫下表并用五點法畫出在上簡圖；

【答案】（1）答案見解析；（2）作圖見解析.【解析】【分析】（1）方法一：直接利用函數(shù)圖象變換：先平移變換，后伸縮變換即可；方法二：根據(jù)函數(shù)圖象變換先伸縮變換，后平移變換即可；（2）令，利用的五點法即可求出，即可完成表，在直角坐標(biāo)系中畫圖即可.【小問1詳解】法一：①向右平移個單位，②所得各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，③所得各點的縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍；法二：①各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，②向右平移個單位，③所得各點的縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍.【小問2詳解】令，利用的圖象取點法畫圖；列表如下

作在上的圖如下：17.在平面直角坐標(biāo)系中，以軸為始邊的銳角和鈍角的終邊分別交單位圓于，兩點.已知點的橫坐標(biāo)為，點的縱坐標(biāo)為.（1）求；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件求得，，再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，以及兩角和的正弦公式，即可求解；（2）首先利用角的變換求，即可求解.【小問1詳解】由題意可知，，，，，所以，，；【小問2詳解】，，，由，得，，則，所以.18.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，求函數(shù)的值域；（3）若方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，，求的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)二倍角公式和輔助角公式，把函數(shù)整理為正弦型函數(shù)，利用周期公式，求周期，利用正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）根據(jù)題中所給，求得的取值范圍，利用正弦函數(shù)的圖像，求出函數(shù)值域；（3）根據(jù)題中所給范圍，求得的取值范圍，轉(zhuǎn)化為解方程，借助正弦函數(shù)的對稱性，求得，的關(guān)系，代入求解.【小問1詳解】，令，，解得，，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問2詳解】由，得，則，所以在區(qū)間上的值域為.【小問3詳解】由，得，又，即的兩個解為，且，則，即，即，則，所以.19.對于定義在上的函數(shù)，如果存在一組常數(shù)，，…，（為正整數(shù)，且），使得，，則稱函數(shù)為“階零和函數(shù)”.（1）若函數(shù)，，請直接寫出，是否為“2階零和函數(shù)”；（2）判斷“為2階零和函數(shù)”是“為周期函數(shù)”的什么條件（用“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”或“既不充分也不必要”回答），并證明你的結(jié)論；（3）判斷下列函數(shù)是否為“3階零和函數(shù)”，并說明理由.，.【答案】（1）不是，是；（2）充分不必要條件，證明見解析；（3）是，不是，理由見解析.【解析】【分析】（1）利用恒等式判斷，取計算，結(jié)合定義判斷.（2）利用定義求出周期說明充分性，舉例說明必要性不成立推理即得.（3）取計算，結(jié)合定義判斷；利用反證法推理導(dǎo)出矛盾判斷.【小問1詳解】函數(shù)，對一切實數(shù)不成立，所以函數(shù)不是“2階零和函數(shù)”；取，，，所以是“2階零和函數(shù)”.【小問2詳解】“為2階零和函數(shù)”是“為周期函數(shù)”的充分不必要條件.證明如下：若為2階零和函數(shù)，則存在常數(shù)，使得，，即，因此，即函數(shù)為周期函數(shù)；反之函數(shù)為周期函數(shù)，如，對，，為周期函數(shù)，對任意正常數(shù)，，因此函數(shù)不是2階零和函數(shù)