2025年新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練：直線與圓距離問題十一大題型（原卷版）

專題2-2直線與圓距離問題十一大題型匯總

。常考題型目錄

題型1兩點間的距離問題..........................................................2

題型2點到直線的距離問題........................................................2

題型3平行線中的距離問題........................................................3

題型4和差距離最值問題..........................................................4

題型5點到直線距離最值問題......................................................5

題型6曲線上的點到直線距離最值問題.............................................7

題型1圓上的點與點距離最值問題..................................................8

題型8圓上的點與直線距離最值問題................................................9

題型9圓上的點到直線距離為定值問題.............................................10

題型10兩圓上的點之間的距離最值問題...........................................11

題型11切線長相關(guān)最值問題......................................................12

但知識梳理

知識點一.兩點間的距離

/22

定義：點P1(X1,yi),P2(X2,加之間的距離|尸色|=J(x2-xr)+(y2-yr)

知識點二.點到直線的距離

1.點到直線的距離公式

\Axo+Byo+Cl

點Po(xo,yo)到直線/：Nx+By+C=。的距離,d=/一

yjA2+B2

2.點到特殊直線的距離公式

點Po(xo,刃)到x軸的距離d=\yo\,到平行于無軸的直線的距離d-MM倒了軸的距離

d=|謝,到平行于丁軸的直線彥=6的距離d=\x0-b\.

知識點三.兩條平行直線之間的距離

1.兩條平行線之間的距離

兩條平行線之間的距離，等于其中一條直線上任意一點到另一條直線的距離.

2.兩條平行線之間的距離公式

_|G-G|

兩條平行線Ax+By+G=0與Ax+By+G=0間的距離d=i

■\A2+F

Q題型分類

題型1兩點間的距離問題

【方法總結(jié)】

兩點601，%),2(工2,%)間的距離公式為：山區(qū)|=J(龍2-%)2+(%-%)2?

【例題1](2023秋?高二課時練習(xí))(1)求4(3,5),B(—3,3)兩點間的距離；

(2)已知點4(3,6),在x軸上的點P與點2的距離等于10,求點P的坐標(biāo).

【變式1-1】1.已知點4-3,4),8(2,小)，在x軸上找一點。，使|必1|=|冏,并求附|

的值；

【變式1-1]2.已知點例(箕-4)與點M2,3)間的距離為7^2,求x的值.

【變式1-1】3.到2(1,3),氏-5,1)的距離相等的動點。滿足的方程是()

A.3x-y-8=0B.3x+y+4=0

C.3x-y+6=0D.3%+y+2=0

題型2點到直線的距離問題

【方法總結(jié)】

點到直線的距離

已知直線，出+By+C=0,點P(x0,yo),貝小到直線/的距離為：d=

【例題2】(2023秋?高二課時練習(xí))在直線2久-y=0上求一點P，使它到點”(5,8)的距離

為5,并求直線PM的方程.

【變式2-1J1.(2022秋江蘇連云港?高二統(tǒng)考期中)已知點4(2,1)點B在直線x-y+3=

。上，則AB的最小值為（）

A.V5B.V26C.2V2D.4

【變式2-1]2.（2023秋?江蘇宿遷?高二泗陽縣實驗高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若點P（x,y）在

直線2x+y-5=0上，O是原點，則OP的最小值為（）

A.2V2B.2C.V5D.4

【變式2-1]3.（2023秋?高二課時練習(xí)）已知直線/平行于向量2=（1,2）,并且與原點的

距離為3,求直線Z的方程.

【變式2-1]4.（2023秋?高二課時練習(xí)）已知點P（l,l）到直線x+ay-2=0的距離為1,

求實數(shù)a的值.

【變式2-1]5.（2023秋?高二課時練習(xí)）已如圓/+y2—2x-8y+13=0的圓心到直線

ax+y-l=0的距離為1,求a的值.

【變式2-1]6.（2023秋?高二課時練習(xí)）已知點P是直線3x-4y+2=。上任意一點，求

點P與點4（3,-1）之間距離的最小值.

【變式2-1]7.（2022秋?廣東江門?高二江門市棠下中學(xué)校考期中）已知圓G:一+6x+y2-

4=。與圓。2：/+y2+8y_28=0相交.

（1）求交點所在直線方程；

（2）若點P是圓C：（x-3）2+V=1上任意一點，求P點到（1）中交點所在直線距離的

最大值和最小值.

題型3平行線中的距離問題

【方法總結(jié)】

兩條平彳丁直線，1：Ax+By+C[=。與％：+By+C=。的距昂是d=與：：!；

2

【例題3】（2023?全國?高二隨堂練習(xí)）已知兩條平行直線小3x-4y+6=。與勿3比-4y+

c=0間的距離為3,求C的值.

【變式3-1]1.(2023秋?高二課時練習(xí))求與直線x-y-l=0平行且距離為3的直線的

方程.

【變式3-1J2.(2023秋?江蘇鹽城?高二江蘇省射陽中學(xué)?？奸_學(xué)考試兩條平行直線x-

2y+1-0與%：2x+my+2m=0之間的距離為.

【變式3-1]3.(多選)(2022秋?全國?高二期中)若點P在直線3*+y-5=0上，且點P到

直線x-y-l=。的距離是a,則點P的坐標(biāo)為()

A.(1,2)B.(2,1)C.(2,-1)D.(-1,2)

【變式3-1]4.(2023秋?全國?高二隨堂練習(xí))若動點4(*1，%),耿叼,力)分別在直線4：%+

y-7=。和公無+y—5=0上移動，則AB的中點M到原點距離的最小值為()

A.3V2B.2C.V2D.4

【變式3-1]5.(2022秋?浙江臺州?高二校聯(lián)考期中)已知直線4：x+3y+l=0,l2-.x+

(a—2)y+a=0.

(1)若1]112,求實數(shù)a的值；

(2)當(dāng)I]||(時,求直線。與4之間的距離.

題型4和差距離最值問題

【方法總結(jié)】

利用三角形邊角關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差的絕對值小于等于第三邊。

【例題4】(2023秋?河北滄州?高二滄縣中學(xué)校考階段練習(xí))著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過："數(shù)

形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事體事實上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，

如：J(x-a)2+(y-6尸可以轉(zhuǎn)化為平面上點M(x,y)與點N(a,6)的距離.結(jié)合上述觀點,

可得y=Vx2+4%+8+7好一4x+8的最小值為()

A.4V2B.2V2C.V2+V10D.3+V5

【變式4-1]1.(2023秋?浙江杭州?高二浙江省臨安中學(xué)?？奸_學(xué)考試)已知eR+,

滿足2x+y=2,則x+，合+y2的最小值為()

A.-B,-C.1D.U

553

【變式4-1]2.(2023秋?江蘇揚(yáng)州?高二統(tǒng)考開學(xué)考試)已知x+y+l=0,則

yjx2+y2-2x-2y+2+J(x-2尸+*的最小值為()

A.V5B.2V2C.V10D.2V5

【變式4-1]3.(多選)(2022秋?黑龍江齊齊哈爾?高二齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校?？计谀?

下列結(jié)論錯誤的是()

A.過點4(1,3),B(—3,1)的直線的傾斜角為30°

B.若直線2x—3y+6=0與直線ax+y+2=。垂直，貝！]a=|

C.直線x+2y-4=0與直線2x+4y+1=。之間的距離是日

D.已知4(2,3),8(—1,1),點P在X軸上，則|P4|+|PB|的最小值是6

【變式4-1]4.(多選)(2023秋?江蘇?高二校聯(lián)考開學(xué)考試)已知點,N(2,l),

且點P在直線Z：久+y+2=。上，貝！]()

A.存在點P,使得PM1PNB.存在點P,使得21PMi=\PN\

C.\PM\+|PN|的最小值為舊D.||PM|-|PN||最大值為3

【變式4-1】5.(多選X2022秋?吉林長春?高二東北師大附中?？计谥?已知。為坐標(biāo)原點，

4(3,1),P為x軸上一動點，Q為直線2：y=久上一動點，貝")

A.△力PQ周長的最小值為4魚B.\AP\+|4Q|的最小值為1+V2

C.\AP\+|PQ|的最小值為2&D.V2|>1P|+|OP|的最小值為4

題型5點到直線距離最值問題

【例題5X2022秋?湖北黃岡?高二統(tǒng)考期中)點(1,0)到直線kx+y+1=0的最大距離為()

A.0B.1C.V2D.V3

【變式5-1]1.(2022秋?全國?高二期中)在直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線以?cos0+y.

sinff=1,當(dāng)。變化時，動直線始終沒有經(jīng)過點P.定點Q的坐標(biāo)(-2,0),則|PQ|的取值范圍為

()

A.[0,2]B.(0,2)C.[1,3]D.(1,3)

【變式5-1]2.(2023?全國?高二課堂例題)已知直線1：依+y+2-k=0過定點M，點

P(x,y)在直線2x-y+1=0上，則|MP|的最小值是()

A.5B.V5C.迪D.-

55

【變式5-1]3.(2022秋?吉林長春?高二東北師大附中?？计谥?已知點P(xo，y0)在直線

3x-4y-10-0.t,則J%。？+y02的最小值為()

A.1B.2C.3D.4

【變式5-1]4.(2023?全國?高二專題練習(xí))已知圓(x-1)2+(y-2)2=4關(guān)于直線ax+

by-2=。對稱，則，a2+」的最小值為()

A.-B.延C.-D.1

555

【變式5-1]5.(2023秋?高二課時練習(xí))已知點M(a,6)在直線3x+4y-15=0上，求

7噓+的最小值.

【變式5-1]6.(2023秋?山西?高二校聯(lián)考開學(xué)考試)已知直線Z:a久-y+2-a=。恒過

點P,且與X軸，y軸分別交于4,B兩點，。為坐標(biāo)原點.

(1)求點P的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)點。到直線/的距離最大時，求直線I的方程；

⑶當(dāng)[P*?|P8|取得最小值時，求AaOB的面積.

【變式5-1]7.（2023秋?高二課時練習(xí)）已知x,y滿足x+2y—5=0，則（x-I）2+（y-l）2

的最小值為

題型6曲線上的點到直線距離最值問題

【例題6]（2023春?陜西安康?高二統(tǒng)考期中）若點P是曲線y=Inx-/上任意一點，則點

P到直線/：x+y-4=。距離的最小值為（）

A.B.V2C.2D.2V2

【變式6-1]1.（2023春?江西吉安?高二統(tǒng)考期末）若動點P在曲線y=ex+x±,則動點

P到直線y=2x-4的距離的最小值為（）

A.V5B.e+1C.2V5D.2e

【變式6-1]2.（2023春?江蘇南京?高二南京航空航天大學(xué)附屬高級中學(xué)校考期中）若

費出=3二=1，貝人/一冷）2+（%—乃尸的最小值為

3yly23

【變式6-1]3.（2023秋?江蘇南通?高二海安高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）三角形ABC的頂點

8（0,2）,邊2B上的中線CD所在直線為7x+2y-19=0,A的平分線AE所在直線為x-y-

1=0.

（1）求A的坐標(biāo)和直線4c的方程；

⑵若P為直線力C上的動點，M（-l,0）,N（l,0）,求PM?+PW取得最小值時點P的坐標(biāo).

【變式6-1]4.（2023春?甘肅張掖?高二高臺縣第一中學(xué)?？计谥校┮阎cP為函婁好。）=

e2x的圖象上一點，則點P到直線/：y=2久的距離的最小值為（）

A.-B.-C.-D.i

5524

【變式6-1]5.（2023春?內(nèi)蒙古阿拉善盟?高二阿拉善盟第一中學(xué)?？计谥校┰O(shè)點A在直線

V3x-y+1=0上，點B在函數(shù)f（x）=In久的圖象上，則|AB|的最小值為

【變式6-1]6.（2023春?廣東佛山?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)f（%）=e，-3”,直線

l：2x+y+4=0.若A,B分別是曲線y=和直線I上的動點，則飲用的最小值是

【變式6-1]7.(2022秋?北京海淀?高二清華附中?？计谥?在平面直角坐標(biāo)系xOy中，

定點4(2,0),點B為曲線y=VI中上的動點.則線段AB長度的最小值是—；若第

一象限存在點C使得△ABC為等腰直角三角形且乙4=90。,則線段0C的最大值為.

題型7圓上的點與點距離最值問題

【方法總結(jié)】

圓上的點到直接距離最值:

(1)把圓化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(X-%)2+(y-%)2=戶找出圓心(5,%)和半徑r

(2)利用點到直線到距離公式求圓心到直線的距離d=

y/^+B2

dmax=d+r

d>/?相離,

d-=d—r

dm”=d+r=2r

(3)判斷位置關(guān)系<d=廠相切

d-=0

d=d+r

〃〈廠相交max

Wmin=0

【例題7】(2023秋?重慶?高二校聯(lián)考期末)已知圓心為c的圓經(jīng)過點2(1,1)和以2,-2),且

圓心C在直線I:比—y+1=。上.

(1)求圓心為C的圓的一般方程；

⑵已知P(2,l),Q為圓C上的點，求|PQ|的最大值和最小值.

【變式7-1]1.(2023?全國?高二課堂例題)已知P是圓C：(x-5)2+(y-5)2=r2(r>0)

上的一個動點，它關(guān)于點4(9,0)的對稱點為Q,0為原點，線段0P繞原點0逆時針方向

旋轉(zhuǎn)90。后，所得線段為OR,求|QR|的最小值與最大值.

【變式7-1]2.(2023秋?全國?高二隨堂練習(xí))已知點2(8,—6)與圓C：/+必=25,P是

圓C上任意一點，則|4P|的最小值是

【變式7-1]3.已知圓C:(x-2產(chǎn)+(y+6-4產(chǎn)=1,當(dāng)。變化時，圓C上的點與原點O

的最短距離是_______.

【變式7-1]4.(2023秋?高二單元測試)希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基

米德齊名.他發(fā)現(xiàn)："平面內(nèi)到兩個定點4B的距離之比為定值4(441)的點的軌跡是

圓”后來，人們將這個圓以他的名字命名稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知動點Pg,用

在圓0:/+y2=i上，若點4(一|,0)，點C(l,l),則21P川+|PC|的最小值為一.

題型8圓上的點與直線距離最值問題

【方法總結(jié)】

已知直線[與圓C,圓心c到直線，的距離為d,圓的半徑為r：

相離相切相交

d>rd=rd<r

【例題812023秋?高二課時練習(xí)圮知直線Lx-y+4=0與圓C：(久-I)2+(y-I)2=2,

求圓C上各點到直線用勺距離的最大值.

【變式(2021秋?江蘇南通?高二金沙中學(xué)校考階段練習(xí))已知兩點4(-l,0),B(0,2),

點C是圓/+必一2久=。上任意一點，則仆ABC面積的最小值是()

A.2+—B.2C.4-V5D.4+V5

22

【變式8-1]2.(2023春?山東青島?高二?？奸_學(xué)考試)阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，

與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個動點P到兩

個定點的距離之比為常數(shù)4（4>0,且4力1）,那么點P的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅

尼斯圓.若點C到4（-1,0）,B（l,0）的距離之比為g,則點C到直線x-2y+8=。的距離的

最小值為（）

A.2V5-V3B.V5-V3

C.2V5D.V3

【變式8-1]3.（多選）（2023秋?河北保定?高二河北省唐縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）圓

222

O1:x+y-2x=0和圓O2：/+y+2x-8y=0的交點為4B,則有（）

A.公共弦所在直線方程為x-2y=0

B.線段中垂線方程為2x+y-2=。

C.公共弦的長為當(dāng)

D.P為圓。1上一動點，則P到直線48距離的最大值為g+1

【變式8-1]4.（多選）（2023秋?江蘇鹽城?高二鹽城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知實數(shù)滿

足曲線C的方程/+y2—2%—2=0,則下列選項正確的是（）

A.x2+y2的最大值是百+1

B的最大值是2+逐

C.\x-y+31的最小值是2夜—V3

D.過點（0,a）作曲線C的切線，則切線方程為比-V2y+2=0

【變式8-1]5.（2022秋?浙江紹興?高二?？计谥校┮阎cP是圓C:/+f—2x=。上的

一個動點，點P到直線/：x-y+b=0。>0）的距離的最小值為3夜-1,圓M：x2+y2-

2mx=。與圓C外切,且與直線而切，則a的值為（）

A.-2B.5-5V2C.4D.-2V2

題型9圓上的點到直線距離為定值問題

【例題9】（多選）（2023秋?江蘇?高二南京市人民中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）若圓。：x2+y2=

r2（r>0）上恰有相異兩點到直線％-y-4=0的距離等于衣，則r的取值可以是（）

A.V2B.2C.2V2D.3V3

【變式9-1]1.（2022秋?廣東佛山?高二佛山市三水區(qū)三水中學(xué)校考階段練習(xí)）若圓

C:（x-IT+（y-6）2=9上恰有4個點到直線3x—4y=。的距離為2,貝帕的取值范圍

為

【變式9-1]2.（2023秋?高二單元測試）若圓C:x2+y2-4x-4y-10=。上至少有三

個不同的點到直線/：x-y+c=。的距離為2或，則c的取值不可能是（）

A.-2B.0

C.1D.3

【變式9-1J3.（多選I2022秋?貴州貴陽?高二清華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓/+外=16,

直線/：y=x+m,若圓上恰有四個點到直線的距離為2,則ni的值可能為（）

A.1B.2C.3D.4

【變式9-1]4.（2021秋?江蘇南通?高二金沙中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓C：/+y2一2%一

6y+t—0,直線Z:x+2y—2=0.

（1）若圓C上至少有3個點到直線/的距離為有，求實數(shù)珀勺取值范圍；

⑵若直線/與圓C相交于M,N兩點，。為原點且。M1ON,求珀勺值

題型10兩圓上的點之間的距離最值問題

【例題101（2023秋?安徽合肥?高二?？计谀┮阎獌啥c做-2,0）,B（1,0）,如果動點

P滿足|P*=2|PB|,點Q是圓（%-2）2+（y-3）2=3上的動點,則|PQ|的最大值

為.

【變式10-1】1.（2023秋?江蘇南通?高二海安高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知兩定點

力(—4,0),B(2,0),如果動點M滿足|M4|=21MBi，點N是圓比2+(y—3)2=9上的動點，則

|MN|的最大值為.

【變式10-1】2.(多選)(2022?全國?高二專題練習(xí))點P在圓+y2=1上，點Q在圓

。2：/+y2—6x+8y+2