2025年中考數(shù)學二輪復習：平行四邊形 練習題匯編（含答案解析）

2025年中考數(shù)學二輪復習：平行四邊形專題練習題匯編

一、解答題

1.如圖，矩形A3。中，點P是線段AD上一動點，。為的中點，P。的延長線交BC于

Q-

⑴求證：OP=OQ.

⑵若AE>=8厘米，AB=6厘米，尸從點A出發(fā)，以1厘米/秒的速度向D運動(不與。重合).

設點尸運動時間為/秒，求/為何值時，四邊形尸是菱形.

2.已知點。是正方形ABCD的兩條對角線的交點，歹是C。邊上的點(不與C、。重合),

連接。EOELO下交2c于點E,連接BRAE交于點尸.

(1)如圖1,當F是的中點時，求證：AE1.BF；

(2)如圖2,當尸不是CD的中點時，連接。尸.

①點尸在運動過程中/OPA的度數(shù)是否為定值，若為定值請求出NOPA的度數(shù)，若不是定

值請說明理由；

②求證：-AB2=OP-+AP.BP.

2

3.如圖，已知正方形ABCD,連接其對角線BO.在3C延長線上取一點E,使得BE=BD,

連接DE.過B作DE的垂線，交DE于點O,交AD延長線于點孔

第1頁共20頁

D

(1)求證四邊形班KD是菱形.

⑵求/DP3的度數(shù).

4.如圖1,在△ABC中，ZACB=90°,ZCAB=3Q°,△A3。是等邊三角形，E是A3的中點，

連接CE并延長交AD于尸.

(1)求證：AAEFGABEC；

(2)判斷四邊形BCED是何特殊四邊形，并說出理由；

(3)如圖2,將四邊形ACBD折疊，使。與C重合，HK為折痕,若2C=1,求AH的長.

5.如圖，在正方形ABCD中，射線AE與邊C。交于點￡,將射線AE繞點A順時針旋轉,

與CB的延長線交于點況且BF=DE.

⑴求證：AF=AE；

⑵若/ZME=30。，DE=2,求四邊形AFCE的面積.

6.如圖，BD是NASC的平分線，過點。作DE〃3c交A3于點E,DFAB交BC于點F.

第2頁共20頁

(1)求證：四邊形BED尸是菱形;

⑵若NABC=60。，BE=6,求3D的長.

7.如圖，在等邊VABC中，3C=6,點。是AB所在直線上一點，連接CD.

(2)如圖2,點。在線段AB上，點E是線段8C上一點，滿足5E=AD,連接AE交CD于點

尸.過。作于//,點M是“。延長線上一點，連接CM交AE于點N.若A￡=4"V,

求證：CN=MN；

(3)如圖3,過B作BGLCD交直線CD于G,連接AG,將AGC沿AC所在直線翻折至

一AGC所在平面內得到△AG'C,連接BG',當BG'取最小值時，請直接寫出ABG'的面積.

8.如圖，正方形ABCD中，=6,點E在CZ)上，且CD=3DE,將VADE沿AE對折至AAFE,

延長EP交2C于點G,連接AG、CF.

ABGg,AFG；

(2)求BG的長；

(3)求△k丸的面積.

9.如圖，點C、。均在線段AB上，且相＞=3C,分別過C、。作/C_LAB,ED±AB,

連接A￡\BF,連接跖交AB于點G,若AE=BF,求證：DG=CG.

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E

10.如圖，在四邊形ABCD中，點H是BC的中點，作射線AH,在線段AH及其延長線上

分別取點E,F,使EH=FH,連接BE,CF.

(1)求證：ABEH絲△CFH.

(2)當BH與EH滿足什么關系時，四邊形BFCE是矩形？

請說明理由.

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參考答案:

1.（1）見解析

7

⑵七

【分析】（1）由矩形ABCD中，。為3。的中點，易證得PDgQBO（ASA）,繼而證得

OP=OQ.

（2）由四邊形是菱形，可得PB=PD,即可得4^+^^二尸口?，繼而可得方程

62+t2=（8-t）2,解此方程即可求得答案.

【詳解】（1）解：：四邊形"8是矩形，

AD//BC,

：.ZPDO=ZQBO,

為的中點，

，DO=BO,

在△P￡>O和△Q80中，

ZPDO=ZQBO

<DO=B0,

APOD=ZQOB

：.PDgQBO（ASA）,

OP=OQ.

（2）由題意知：AD=8厘米，AP=t厘米，

/?PD=8-t（厘米），

?.?矩形ABCD,

/A=90°,

VOP=OQ,OB=OD,

???四邊形PBQD是平行四邊形，

當尸8=即時，四邊形是菱形，

:.PB=8-1（厘米）

AB2+AP2=PB2，

：.62+t2=（8-/）2,

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解得：f=j7

4

7

.?.當時，四邊形尸8QD是菱形.

4

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質、矩形的性質、菱形的判定、勾股定理等，熟記

基本性質與定理，靈活利用勾股定理計算是解題關鍵.

2.(1)證明過程見詳解

(2)①點尸在運動過程中/O尸A的度數(shù)是定值，理由見詳解；②見解析

【分析】(1)根據(jù)正方形的性質，尸是CD的中點可得。歹是中位線，可證四邊形OPCE是

正方形，由此可證R3ABE/RgBCR(SAS),可得NBAE=NCBF,根據(jù)

Z.CBF+ZABP=9Q0,/BAE+NABP=90。即可求解；

(2)①如圖所示，連接0Ao3,在AP上取AM=3P,根據(jù)正方形的性質可證

△BOE^ACOF(ASA),由此可證人40萬二八80廠(SAS),AA0M也ABO尸(SAS),從而得到

AMOP是等腰直角三角形，由此即可求解;②如圖所示，連接A。,BO,在釬上取AQ=8P,

連接OQ,3。，根據(jù)△PO。是等腰直角三角形可得尸。2=2。尸，再證明

ABOP(SAS)^QP=AP-BP,根據(jù)勾股定理，完全平方公式的運用即可求解.

【詳解】(1)證明：如圖所示，連接BD,

：四邊形ABC。是正方形，

AAB=BC=CD,ZABC=ZC=90°,

,??點。是對角線的交點，尸是CD的中點，

.?.在△3CD中，OP是中位線，

AOF//BC,OF^-BC,S.DF^FC^-CD,

22

OF=DF=CF,

"：ZC=90°,OF//BC,

ZOFC+ZC=180°,貝UZOFC=90°,

,/OELOF,

第2頁共20頁

/.ZEOF=90°,^OF=CF,

???四邊形。尸CE是正方形，

???OF=-CD=EC=-BC=BE,

22

:.BE=CF,

在RtAABE,RtABCF中，

AB=BC

<ZABC=ZC9

BE=CF

：.RtAABE^RtABCF(SAS),

:.NBAE=NCBF,

???NCB尸+ZAB尸=90。，

：.ZBAE+ZABP=90°,

：.ZAPB=90°,即

(2)解：①如圖所示，連接。4,05,在AP上取=3尸,

Akl\x----------------------\D

ABO.LCO,即N5OC=90。，

:?/BOE+/EOC=90°,

VOFLOE,即NEO/=90。，

：?/EOC+/COF=90。,

：.ZBOE=ZCOF,

???四邊形MCD是正方形，30,CO是對角線的一半,

AZOBE=ZOCF=45°,BO=CO,

在△BOE,Z\CO/中，

ZOBE=ZOCF

<BO=CO,

/BOE=ZCOF

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ABOE^ACOF(ASA),

，OF=OE,

?；49,80是正方形鉆0￡>對角線的一半，

AOLBO,即ZAO8=90°,

ZAOB+NBOE=ZBOE+NEOF,即ZAOE=ZBOF,

在"OE,ABO尸中，

AO=BO

-NAOE=ZBOF,

EO=FO

：.AAOE/△BO廠(SAS),

NOAE=ZOBF,

在△AOM,Z\BOP中，

AO=BO

<ZOAM=ZOBP,

AM=BP

：.AAOM經ABOP(SAS),

/?ZAOM=ZBOP,OM=OP,

,：ZAOM+NMOB=90°,

NBOP+ZMOB=90°,即NMOP=90°,

:OM=OP,

???AWOP是等腰直角三角形，

NOPM=ZOMP=45°,

???點F在運動過程中AOPA的度數(shù)是定值；

②證明：如圖所示，連接4。,3。，在AP上取4。=3尸，連接僅2,

由①可知，△OPQ是等腰直角三角形，即NPOQ=90。,

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，PQ2=OP2+OQ2=2OP2,

:四邊形ABCD是正方形，04,08是對角線，

AOLBO,即ZAO3=90°,

ZAOQ+ZQOB=90°,

NPOQ=90°,即ZQOB+NBOP=90°,

ZAOQ=ZBOP,

在△AOQjOP中，

AO=BO

-ZAOQ=ZBOP,

QO=PQ

：.AAOQ空△BOP(SAS),

AQ=BP,

?；QP=AP-AQ,

：.QP=AP-BP,

QP2=(AP-BP)2=20尸2,即AT?_2AP.BP+BP2=2OP2,

AP2+BP2=2OP2+2AP.BP,

由(1)可知，APYBP,

是直角三角形，

AP2+BP2^AB2，

AB2=2OP-+2AP^BP,

：.-AB2=OP2+AP-BP.

2

【點睛】本題主要考查正方形的性質，全等三角形的判定和性質，完全平方公式的運用等知

識的綜合，掌握以上知識，圖形結合分析是解題的關鍵.

3.⑴見解析

(2)112.5°

【分析】⑴由正方形的性質及已知條件可證△△R?r>(ASA),再根據(jù)對邊平行且相

等且鄰邊相等的四邊形是菱形即可得出結論；

(2)由正方形的性質及菱形的性質即可求解.

【詳解】(1)四邊形A2CD是正方形，

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,-AD//BC,

二.ZFDO=ZDEBf

BD=BE,

，/BDO=/DEB,

，ZFDO=ZBDO,

BF1DE,

，ZBOD=90°=ZFOD,

DO=DO,

?.△BOD=△FOD(ASA),

，DF=BD,

BD=BE,

，DF=BE,

AD//BC,BPDF//BE,

，四邊形3瓦D是平行四邊形，

而BD=BE,

，四邊形3瓦D是菱形；

(2)四邊形A5C。是正方形，

,\ZDBC=45°=ZBDC,

由(1)知四邊形3EED是菱形，

ZDBO=ZEBO=-Z03c=22.5。，

2

:.ZDPB=lSO°-ZDBO-ZDBC=m.5°.

【點睛】本題考查正方形性質及應用，涉及全等三角形的判定與性質，菱形的判定與性質,

熟練掌握知識點是解題的關鍵.

4.(1)(2)見解析；(3);

【分析】(1)在△ABC中，由已知可得/ABC=60。，從而推得/BAD=/ABC=60。.由E為

的中點，得到AE=BE.又因為所以AAE餐ABEC；

11

(2)在RtAABC中，￡為的中點，貝！］CE=jAB,BE=jAB,得至【JNBCE=NEBC=6O。.由

AAEF咨LBEC,得NAFE=/BCE=6。。.又/Q=60°,得/AFE=/O=60度.所以FC〃BD,

又因為/比1D=NABC=6O。，所以BPFD^BC,則四邊形BCFD是平行四邊形.

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(3)由N2AO=60。，ZCAB=3Q°,可得NCA"=90。；在RtAABC中，ZCAB=30°,BC=1,

根據(jù)30。角的直角三角形的性質可得AB=2BC=2,所以AD=4B=2.設AH=x,^ijHC=HD=AD

-AH^2-x,在RtAABC中，由勾股定理求得4?=3,在RtAACH中，根據(jù)勾股定理列出

方程N+3=(2-x)2,解方程即可求得AH的值.

【詳解】(1)證明：①在△ABC中，ZACB=90°,/CAB=30°,

：.ZABC=60°.

在等邊△AB。中，ZBAD=60°,

：.ZBAD=ZABC=60°.

為AB的中點，

：.AE^BE.

又,:NAEF=/BEC,

：.AAEF^/\BEC.

(2)在△ABC中，ZACB=90°,E為AB的中點，

：.CE=^-AB,BE=gAB.

22

???CE=AE,

：.ZEAC=ZECA=30°,

：.ZBCE=ZEBC=60°,

又丁LAEF咨LBEC,

：.ZAFE=ZBCE=60°.

XVZ￡>=60°,

???ZAFE=ZD=60°.

:.FC〃BD.

又???ZBAD=ZABC=60°,

：.AD//BC,即即〃BC.

???四邊形BCFD是平行四邊形

(3)VZBAD=60°,ZCAB=30°,

：.ZCAH=90°.

在R3ABC中，N043=30。，BC=1,

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：.AB=2BC=2.

：.AD=AB=2.

設AH=x,則HC=HD=AD-AH=2-x,

在RtAABC中，AC2=22-12=3,

在R3AC8中，AH2+AC2=HC2,

即N+3=（2-尤）2,

解得x=；,

BPAH=i.

【點睛】本題考查了：（1）折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱

的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等；（2）全等三角

形的判定和性質，等邊三角形的性質，勾股定理，平行四邊形的判定和性質.

5.⑴見解析

⑵12

【分析】（1）證明ADE冬AB尸即可得證；

（2）由一ADE2一.ABb,則這兩個三角形的面積相等，因此四邊形AFCE的面積等于正方形

ABCD的面積，由已知可求得AD的長，則可求得正方形的面積，從而求出四邊形AFCE的

面積.

【詳解】（1）證明：四邊形ABCD是正方形，

:.AD=AB,Z￡）=Z/4BC=90°,

:.ZABF=ZD=90°,

BF=DE,

ABF（SAS）,

.\AF=AE;

（2）解：,ADE^.ABF,

?Q—Q

…OADE-2ABF，

一S四邊形4FCE=SABF+S四邊形45C0

=SADE+S四邊形A5CE

=S正方形ABC。，

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ZZME=30°,DE=2,?D90?,

：.AE=2DE=4,

由勾股定理得：AD2=AE2-DE2=42-22=12，

S正方形ABCD==12,

二?四邊形AFCE的面積為12.

【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，30。角直角三角

形的性質等知識，其中三角形全等的判定與性質是解題的關鍵.

6.（1）見解析

⑵6-

【分析】本題考查了菱形的判定與性質、角平分線的定義、含30。角的直角三角形的性質、

勾股定理，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵.

（1）由DE〃3C,DFAB,得出四邊形3瓦爐是平行四邊形，由角平分線的定義結合平

行線的性質得出NED3=NEBD,從而推出=即可得證；

（2）連接族與相交于點。，由菱形的性質得出30=203,求出乙鉆。=30。,

再由含30。角的直角三角形的性質結合勾股定理計算即可得出答案.

【詳解】（1）證明：〃臺C,DFAB,

：.四邊形BEDF是平行四邊形，

,/是—ABC的平分線，

ZABD=NCBD,

'：DE//BC,

：.ZEDB=ZCBD,

，ZEDB=ZEBD,

：■BE=DE,

；?四邊形3瓦爐是菱形；

（2）解：如圖，連接取與3D相交于點0,

A

E/—\D

B

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二,四邊形BED尸是菱形，

/?EFLBD,BD=2OB,

,/BD是/ABC的平分線，ZABC=60°,

：.ZABD=30°,

'：BE=6,

,,OE=3,OB=BE~—OE2=3>/3，

/.BD=2OB=6A/3.

7.(1)277

(2)見解析

⑶9夜一成I

7

【分析】(1)過點。作于點E,根據(jù)含30度角的直角三角形的性質得出

BE=*BD=2,在中，勾股定理求得DE,在Rt^CDE中，勾股定理即可求解；

(2)過點N作TNLAE于點E,證明_ABE空CAD(SAS),得出ZBAE=ZACD,CD=AE,

則ZHDF=ZFTN=30°，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質得出FN=JFT,FH=^DF,

進而根據(jù)已知AE=4HN,CD=AE^^DT=^CD,過點M作MK〃CD交77V的延長線

于點K,則四邊形；WK7D是平行四邊形，NK=NNTC得出MK=DT,進而證明

MKN-C77V(AAS),根據(jù)全等三角形的性質，即可得證；

(3)作8關于AC的對稱點L,連接AL,CL,取3C,CL的中點K,T,連接KG,G'T,過點T

作"，交BC的延長線于點J,連接BT,則四邊形是菱形，根據(jù)題意將AGC沿

AC所在直線翻折至aAGC所在平面內得到△AG'C,貝U，BCG”JCG關于AC對稱，得出

2CG,二JCG'是直角三角形，當G'在上時，BG'取得最小值，勾股定理求得BG'的最小

恒為BT-TG=3&-3,過點A作AW_LBT于點W,連接AT,進而等面積法得出

AW=^~,然后根據(jù)三角形的面積公式，即可求解.

7

【詳解】(1)解：如圖所示，過點。作DE，3c于點E,

第10頁共20頁

A

D

B，~~E-------------C

???VA5C是等邊三角形，

???/3=60。

■:DE1BC,

：.ZBDE=30°

,:BD=4,則=2

2

在RL^BDE1中，DE=^BDr-BE1=\^42-22=2A/3,

VBC=6,則CE=3C—BE=6-2=4

在RtZkCDE中，CD=ylDE2+CE2=2A/7

(2)證明：如圖所示，過點N作刃V，AE于點E,

?.?VABC是等邊三角形，

AC=AB,ZABE=ZCAD=60°

XVBE=AD,

：.,ABE均CW(SAS)

/.ZBAE=ZACD,CD=AE

：.ZTFN=Z.FAC+ZACD=ZFAC+/BAE=ABAC=60°,

NDFH=60。

DH1AE,TNLAE

：.FT//MH,ZHDF=ZFTN=30°,

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.??FN=-FT,FH=-DF

22

FH+FN=HN=g(DF+FT)=3DT

VAE=4HN,CD=AE

：.DT=-CD,

2

即T是。。的中點，

過點M作“K〃C。交刀V的延長線于點K,

■:MD〃TN,MK〃CD

???四邊形是平行四邊形，ZK=ZNTC

：.MK=DT

又<DT=TC

：.MK=TC

在LMKN.CTN中,

/K=NNTC

<ZMNK=ZCNT

MK=TC

：.MKN^CTN(AAS)

：.MN=CN；

(3)解：如圖所示，作3關于AC的對稱點L,連接AL,CL,取BC,CL的中點K,T,連接

KG,G'T,過點了作交5c的延長線于點J,連接5T,

第12頁共20頁

貝|JA￡=AB=3C=CL,

；?四邊形ABCL是菱形,

：.AB//CL,

：.NBCL=180。-ZABC=120°,則NTC7=60。，

?；將一AGC沿AC所在直線翻折至&AGC所在平面內得到AAG'C,

CG,CG，關于AC對稱，

A.BCG,,JCG'關于AC對稱，

?；BGLCD

BCG,.JCG是直角三角形，

GK=GT=、BC=3

2

當G'在3T上時，BG'取得最小值，

：ZTCJ=ZABC=60°,

：.ZC77=30°,則CJ」CT=』，TJ=\CT-CJ2;地

222

在Rt.B"中，BT=dBJ、Tj2=J16+,j=3不

/?BG,的最小值為BT-TG=3幣-3

如圖所示，過點A作AWJ.3T于點W,連接AT,

是CL的中點，AC=AL=6,則ATLCL

:.CT==CL=3,AT±AB

2

；?AT=7AC2-CT2=373，

,/S=-ABxAT=-BTxAW

ARBT22

AB>A76x3?6用

AW=

BT-3s-7

第13頁共20頁

SABG，=；BGxAW=：（3a-3）x字=9五一空

.?.當BG'取最小值時，一ABG'的面積為94-外旦.

7

【點睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質，勾股定理，平行四邊形的性質與判定，

菱形的性質與判定，等邊三角形的性質與判定，勾股定理，全等三角形的性質與判定，直角

三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，三角形的外角的性質，軸對稱的性質，三角形三邊

關系的應用，熟練掌握以上知識是是解題的關鍵.

1O

8.（1）詳見解析；（2）3；（3）y.

【分析】⑴根據(jù)翻折變換的性質和正方形的性質可證RtA4BG2尺"AFG；

（2）在直角,ECG中，根據(jù)勾股定理即可得出結論；

⑶結合⑴和（2）求出一CEG的面積，最后用同高的兩三角形的面積的比等于底的比，即可

得出結論.

【詳解】（l）QVAFE是由VADE折疊得到，

:,AF=AD,ZAFE=ZAFG=ZD=90°,

又一，四邊形A2CD是正方形，

s.AB^AD,ZB=ZD,

:.AB=AF,ZB=ZAFG=90°,

[AG=AG

在RtZvlBG和RfAFG中，《

[AB=AF

Rt.ABGgRNAFG（HL）,

（2）?正方形ABC。中，A3