2025年新高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專項復(fù)習(xí)：空間向量中的易錯題型（六種）（解析版）

重難點(diǎn)05空間向量中的易錯題型（六種）匯總

題型解讀

好量滿分技巧/

易錯一.向量概念的問題，忽略了零向量的特殊性.

易錯二.五方的夾角問題，注意去掉共線的問題.

易錯三.混淆異面直線的夾角與向量的夾角

1.兩異面直線所成角的范圍是ee（0,自，兩向量的夾角a的范圍是［0,捫，所以要注意二者的區(qū)別與聯(lián)系，

應(yīng)有cose=|cosa\.

易錯四.易混淆直線與平面所成角與向量角

用向量法求直線OP與a成的角時一般有兩種途徑:一是直接求線面角；二是通過求＜萬麗〉進(jìn)而轉(zhuǎn)化求解,

其中元為平面a的法向量，此時應(yīng)特別注意OP與平面a所成角8與＜元麗〉的關(guān)系，它們互為余角，注意最

后轉(zhuǎn)化.

易錯五.二面角的求解注意判斷鈍角與銳角

1.二面角注意區(qū)分銳角與鈍角

2.兩個平面所成角為,不需要判斷銳角與鈍角.

卻*題型提分練

題型1忽視零向量

【例題1]（2023秋?高二單元測試）給出下列命題：

①空間向量就是空間中的一條有向線段；

②在正方體力BCD-4/1的。1中，必有芯=不互；

③⑷=同是向量五=B的必要不充分條件；

④若空間向量而無力滿足而〃元元〃力，則下〃戶.

其中正確的命題的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.0

【答案】B

【分析】對于①，有向線段不是向量，只是可以表示向量；對于②，根據(jù)向量相等的定義可知命題正確；

對于③，若向量相等，則模一定相等，但若模相等，則方向不一定相同；對于④，當(dāng)元=6時，成萬不一定

平行.

【詳解】對于①，有向線段可以表示向量，但不是向量，故①不正確；

對于②，根據(jù)正方體4BCD-4/聲心中，向量尼與咫的方向相同，模也相等，則衣=，故②正確；

對于③,因為五=3可以推出同=同，⑷=同推不出2=b,故③正確；

對于④，向量的平行不具有傳遞性，比如當(dāng)元為零向量時，零向量與任何向量都平行，則而萬不一定平行.故

④不正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了命題真假的判斷，考查了必要不充分條件，考查了空間向量的有關(guān)概念，屬于基礎(chǔ)題.

【變式1-1]1.（2020秋?北京平谷?高二校考階段練習(xí)）給出下列命題:

①空間向量就是空間中的一條有向線段；

②在正方體ABC。-A%G5中，必有前=兀石；

③⑷=網(wǎng)是向量a=b的必要不充分條件；

④若空間向量m,n,p滿足7n\\n,n\\p,則mIIp.

其中正確的命題的個數(shù)是

A.1B.2

C.3D.0

【答案】B

【分析】①有向線段起點(diǎn)和終點(diǎn)是固定的，而空間向量是可以平移的；②前和az,大小一樣方向相同，

二者相等；③⑷=網(wǎng)不能推出a=b；④n為零向量時，這一特殊情況要注意，就不成立.

【詳解】有向線段可以表示向量，但不是向量，故①不正確；根據(jù)正方體4BCD-&%的5中，向量而與砧:

的方向相同，模也相等,則尼=砧T，故②正確；命題③顯然正確；命題④不正確，向量的平行不具有傳

遞性，比如當(dāng)"為零向量時，零向量與任何向量都平行，則巾,n不一定平行.故選B.

【點(diǎn)睛】向量是既有大小又有方向的量；零向量與任何向量都是平行向量

【變式1-1]2.（多選）（2022秋?廣東陽江?高二校聯(lián)考期中）以下關(guān)于向量的說法正確的有（）

A.若五=b,則|五|=同

B.若將所有空間單位向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)，則終點(diǎn)圍成一個圓

C.若五=-bS.b--c,貝!]五

D.若五與3共線，B與，共線，貝皈與3共線

【答案】AC

【分析】根據(jù)向量的基本概念和性質(zhì)即可逐項判斷.

【詳解】若五=石，則蒲麗的大小相等，方向相同，故A正確；

將所有空間單位向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)，則終點(diǎn)圍成一個球，故B錯誤；

若五=-b,b--c,貝!]五=-（-c）=c,故C正確；

若匯與旗線，B與洪線，則當(dāng)B=。時，無法判斷五與汨勺關(guān)系，故D錯誤.

故選：AC.

【變式1-1]3.（2022?全國?高二專題練習(xí)）下列命題正確的是（）

A.若d與另共線,另與0共線，貝心與0共線

B.向量房共面就是它們所在的直線共面

C.零向量沒有確定的方向

D.若明/另，則存在唯一的實(shí)數(shù)4使得3=Ab

【答案】C

【分析】根據(jù)向量共線、共面、零向量等知識確定正確選項.

【詳解】若2與3共線，B與0共線，則五與0共線，如果3=0,2與0不共線，4不正確.

向量a3,共面就是它們所在的直線共面，這是不正確的，三個向量所在直線可以互為異面直線.B錯誤.

零向量沒有確定的方向，滿足零向量的定義C正確.

若附加，則存在唯一的實(shí)數(shù)4使得。=焉,不正確，因為另=0,時不成立.D錯誤.

故選：C.

題型2忽略向量夾角定義

【例題2]（2023春?河南南陽?高二?？茧A段練習(xí)）如圖，四面體ABCD中，M,N分別為AB和CD的中點(diǎn),

AD=2,BC=4,且向量而與向量近的夾角為120。，則線段MN長為（）

A.V3B.V7C.W或板D.3或3百

【答案】A

【分析】取AC的中點(diǎn)E,可得標(biāo)=ME+EN,然后利用模長公式即得.

【詳解】取AC的中點(diǎn)E,連接ME、EN,又M,N分別為和CD的中點(diǎn)，

.-.MEllBC,且ME==2,ENIIAD,且EN=1,

一.向量而與向量前的夾角為120。，

，向量前與向量麗的夾角為120。,

又而=流+麗，

二|麗?=(而+麗『=砒2+2M￡,EN+EN2=22+2x2xlx(-|)+l2=3,

=V3,即線段MN長為禽.

故選：A.

—>—>

【變式2-1]1.(2022?全國?高二專題練習(xí))已知空間中四個不共面的點(diǎn)0、A、B、C,若|。8|=\OC\,且

—>—>—>—>—>—>

cos<0A,OB>=cos<0A,OC>,貝!]sin<0A,BC>的值為()

A.1B.-C.-D.-

222

【答案】A

【分析】根據(jù)cos<0A,OB>=COS<0A,OC>和|赤I=I而I可得正?礪=OA-OC.故而就?麗=瓦??

{OC-OB)=0,彳導(dǎo)出1BC.

【詳解】.COS<OA,OB>=COS<0A.,OC>,

.OAOB_OAOC

,'\OA\-\OB\=\OA\-\OC\'

?I畫二|南,

.\OA?OB=OA^OC,

.<OA-BC=OA^OC-OB)=0,

：^0A1BC.

.-.sin<01,BC>=sin^=l.

故選：A

【變式2-1]2.（2021?高二課時練習(xí)）如圖所示，在正三棱柱TWC-&B1G中，若[4即=V3I5BJ,則

向量福與向量畫的夾角為（）.

A.45°

B.60°

C.90°

D.120°

【答案】C

【解析】先建立建直角坐標(biāo)系，設(shè)=V3,根據(jù)關(guān)系寫點(diǎn)和向量畫，跖,計算向量夾角余弦值，求角

即可.

【詳解】以4為原點(diǎn)，4C為y軸，44為Z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)|4Bi|=V3IBBJ=V3,故底面等邊三角形的邊長MB|=V2,

則4（0,0,0）,8（苧凈0）,Bi（y,-y,l）,^（0,72,1）,

則福.跖號X（—?）+梟￥+1*1=0,

二福1跖，二（福，跖）=90".

故選：C.

【變式2-1]3.（多選）（2023秋?四川成都?高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行六面體力BCD

其中以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長均為6,且彼此夾角都是60。,下列說法中不正確的是（)

A.ACr=6V6

8.ACrlBD

C.向量瓦1與河夾角是60。

D.向量西與前所成角的余弦值為彳

【答案】CD

【分析】根據(jù)題意，利用空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，對選項中的命題進(jìn)行分析判斷，能求出結(jié)果.

【詳解卜在平行六面體4BCD-4/165中其中以頂點(diǎn)力為端點(diǎn)的三條棱長均為6目彼此夾角都是60。，

AA1-AB=AAj^-AD=AD-AB=6x6xcos60°=18.

對于A,（AAl+AB+AD）2=AA[+AB2+AD2+2標(biāo)-AB+2AB-AD+2標(biāo)?AD

=36+36+36+3x2x18=216,\ACr\=\AA1+AB+AD\—V216=6V6,A正確；

對于B,宿.麗=（近+AB+ADy（AB-AD）

=AA1-AB-AAl-AD+AB2-AB-AD+AB-AD-AD=0,

.■.ACllBD,即AC11BD,B正確；

對于C,連接，由題意可知△是等邊三角形，則乙=60°,

???瓦Z=初，且向量初與五二的夾角是120。，

向量瓦下與西夾角是120。,C錯誤；

對于D,???西=AD+AAI-~AB,AC=AB+AD,

：.~BDI.尼=（詬+磯-硝?（樂+砌

=AD-AB+AD2+AA^-AB+磯-AD-AB2-AB-AD=36,

|西|+AA^-AB）2=6V2,\AC\=J（AB+AD）2=6A/3,

cos<BD1，AC>=溫氤=6日陋=弓'D錯誤，

故選：CD

【變式2-1J4.（2023秋?重慶石柱?高二?？茧A段練習(xí)）如圖，空間四邊形04BC的各邊及對角線長都為2,

E是48的中點(diǎn)，尸在。C上,且赤=2FC,則向量屈與向量方所成角的余弦值為

【答案】-鬻

【分析】由題設(shè)。-ABC是棱長為2的正四面體，數(shù)形結(jié)合可得加=^AO+^AC-AB.OE=^AB-AO,

利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及向量夾角公式求向量麗與向量不所成角的余弦值.

【詳解】由題意，。-4BC是棱長為2的正四面體,

_------?------>------>------>1--->--->--->7--->1--->7--->---?

而BFnBE+EO+OF'Ba+M+AO+iOC'AO+pCfB,

---?--->---?1---?--->

OE=OA+AE=-AB-AOl

所以|函=J(|Z04-|ZC-Z5)2=J而2+［前2+荏2+(而.尼_|而.荏前.荏

(4,16,4,848277

=-H------F4H-------------=-----,

7999333

\OE\=J(|AB-Zo)2=IAB2-AO-AB+AO2=V1-2+4=V3,

?~BF=AB-ZO)?(-ZO+-AC-AB)=-AB-AO+-AB-AC--AB2--AO2--AO-AC+AO-

、27k33763233

AB

445

=-+--2--+2=-

33333

所以3西明=京=e=-管

故答案為：-限

【變式2-1】5.（2023?全國?高二專題練習(xí)）如圖，在平行六面體4BCD-4當(dāng)6。1中，以頂點(diǎn)4為端點(diǎn)的

三條邊的長度都為1,且兩兩夾角為60。.求西與前所成角的余弦值.

【分析】設(shè)出基向量，然后根據(jù)圖形，結(jié)合幾何關(guān)系用基向量表示出袍=-a+b+c,AC=a+1進(jìn)而

根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出向量的模以及數(shù)量積，即可根據(jù)數(shù)量積的定義公式得出西以及就夾角的余弦值.

【詳解】設(shè)48=a,AD=b,AAt=c,

由已知可得五-b=d-C=b-c=lxlxcos60°=

因為BO】=BA+BC+BBi=—AB+AD+AA-1=—CL+b+3,

AC=AB+AD=a+bt

所以，麗2=(一/+3+。2=^2+p+-2_2-,g+2g,-_2-,-=1+1+1_2xl+2x|-2xi=

2,

AC2=(a+b)2=a2+b2+2a-b=1+1+2x(=3,

BD],AC—(—CL+b+c)?(a+b)———a,b+a?b+b2+a?c+b?3——1——4--+1+—+—=1,

所以網(wǎng)二魚，國二百，

所以，cos(BD；就)=竺?=-廠1廠=—,

八八'\L'忸D/|AC|V2XV36，

故國與北所成角的余弦值為言

6

題型3忽略異面直線所成角的范圍

【例題3]（2023秋?寧夏銀川?高二?？茧A段練習(xí)）已知直平行六面體ABCD-2/心必中，AA.=AB

BC=2,乙BAD=60°,則直線8&與3也所成角的余弦值為（）

A.-B.C.-D.0

424

【答案】A

【分析】以｛而，而，高｝為一組基底，利用向量法求解.

【詳解】解：如圖所示：

以｛屈，而，麗]為一組基底，

則友7=AD+AA1,B]D；=AD-AB,

則跖-B]D；=(AD+AA^)■(AD-AB},

=AD2-AD-AB-AAl-AB+磯-AD,

=AD2-\AD\-\AB\■cos60°-\AA^\■\AB\?cos90"+\AA^\■\AD\■cos90°,

=4-2-2?|-22。+22。=2,

2----->>>------>>2>—

+240.初+|皿=2近，

-2AD-AB+\AB\2=2,

以cos(BC；,B[D；)=BC],B’D]2_V2

甌H旃I2V2-2-4'

故選：A

【變式3-1]1.（2023秋?江蘇常州?高三常州高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在空間直角坐標(biāo)系。-孫z中,已知

異面直線4,%的方向向量分別為a=（1，-1,-2）,b=（1,1,2），則4,%所成角的余弦值為（）

A.|B.*C.-|D..f

【答案】A

【分析】根據(jù)向量的夾角公式結(jié)合已知條件直接求解即可

【詳解】設(shè)異面直線人，G所成角為。，

因為異面直線4,%的方向向量分別為之=（1,-1,-2）,b=（1,1,2）,

所以cos。=|cos(a,h)|=Iab|1-1-4|_2

I㈤同V1+1+4XV1+1+4—3

故選：A

【變式3-1]2.（2023秋?河南商丘?高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱

^lABCD-a/iGA中，A4i=2AB=2,則異面直線4/與4必所成角的余弦值為（）

【答案】D

【分析】以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，04DC、所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量

法可求得異面直線&B與力久所成角的余弦值.

【詳解】在直四棱柱4BCD-48停1。1中，四邊形ABC。為正方形，

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC、DA所在直線分別為％、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

貝1M(1,0,0)、8(1,1,0)、4式1,0,2)、M0,0,2),

所以，幣=(0,1,-2),M=(-1,0,2),

所以,cos(4B,4Di)=篇.篙=而泉=—1

因此，異面直線&B與2么所成角的余弦值為，

故選：D.

【變式3-1]3.(2023秋?江西撫州?高三黎J11縣第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試)在正方體4BCD-4/道1劣中，E

是棱4。上一點(diǎn),DE=24E,F是棱上一點(diǎn)，F(xiàn)C=3。/,則異面直線&E與BF所成角的余弦值為()

AV85B叵c—D—

34683468

【答案】A

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】不妨設(shè)4B=1,

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DADGDDi所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

貝必E(|,0,0),￡>1(0,0,1),5(1,1,0),C(0,l,0),

所以硬=(一：,0,-1),珂==(0,1,-1),

所以方=西+印=西+]9=(-1,一滂),

所以COS(麗硒==_迤，

所以異面直線&E與BF所成角的余弦值為萼.

故選：A

【變式3-1J4.（多選）（2023秋?寧夏銀川?高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行六面體4BCD-2/164中,

以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都為1,且=功力4=ABAAr=60°,則下列說法中正確的有（）

A.異面直線B4與CQ所成的角為120。

B.西=~BA+JB^+JC

C.BD1=2

D.直線DB與CG所成角的余弦值為0

【答案】BD

【分析】A選項，由異面直線夾角范圍可判斷選項正誤；B選項，由向量首尾相連法則結(jié)合圖形可判斷選項

正誤；C選項，由B選項結(jié)合向量模長公式可判斷選項正誤；D選項，注意到礪=AB-AD,后由向量夾

角余弦公式可判斷選項正誤.

【詳解】A選項，因異面直線夾角范圍為（0,5,故A錯誤；

B選項，由圖可知西=^A+AD+西,又說=就，西=西,則西=瓦？+兩+阮，故B正確.

C選項，由題可得，|朗=\AD\=|西I=1,(BA,AD)=~,(BA,AD)=g,(福西)=|,

貝!|畫|=J?+AD+

-------->--->2-->-->-->>>>

22

BA+AD+DD1+2BA■AD+2AD-DDr+2BA-DDr

=3-2xlxlxi+2xlxlxi-2xlxlx-=V2,KC錯誤;

Y222

D選項，施=屈_而，因I屈I=|AD|=1,（AB,AD）=]n\DB\=1.

又殖=說,則cos（屈-AD.AAi）=黨=AB-AA^-AD-AAl=

lxlx|-lxlx|=O,S^D正確.

故選:BD

題型4忽略五是的夾角為（銳）鈍角的條件中共線部分

【例題4】(2023秋?山東德州?高二校考階段練習(xí))已知向量N=(1,1,0)5=(-1,0,2).

(1)若(a+fch)II(2a+h),求實(shí)數(shù)k；

⑵若向量N+癌與22+防斤成角為銳角，求實(shí)數(shù)k的范圍.

【答案】(疇

(2)(-1,i)ug,+00)

【分析】(1)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量平行的坐標(biāo)表示即可求解；

(2)根據(jù)已知條件及(1)的結(jié)論，利用數(shù)量積為正求出k的范圍，再去掉兩向量共線的情形即可.

【詳解】(1)因為江=(1,1,0),b=(-1,0,2),

所以d+kb=(1—k,1,2k),2a+b=(1,2,2),

因為(d+)||(2五+3),

所以—=；與，解得々，

(2)由(1)矢口，a+kB=(1—k,1,2k),2a+b=(1,2,2),

因為向量2+k另與2N+而斤成角為銳角，

以(a+kb),(2a+b)=(1—fc)X1+1X2+2X2k=1—k+2+4k>0，角單彳導(dǎo)k>—1,

又當(dāng)k=1時，(N+小)||(2a+b),

所以實(shí)數(shù)k的范圍為(—I,1)U6,+8)

【變式4-1】L(2023?全國?高三專題練習(xí))下列命題不正確的是()

①空間中任意三個不共面的向量都可以作為基底.

②直線的方向向量是唯一確定的.

③若直線a的方向向量和平面a的法向量平行，則alia.

④在空間直角坐標(biāo)系中,在Oyz平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)一定是(0,b,c).

⑤若日?石<0,則值研是鈍角.

A.①③④B.②③⑤C.③④⑤D.①②④

【答案】B

【分析】利用基底向量的定義、空間向量的坐標(biāo)特征以及向量的夾角以及直線的方向向量的定義逐一判斷

五個選項的正誤即可求解.

【詳解】對于①：空間中任意一個向量都可以用三個不共面的向量作為基底來表示，選項正確；

對于②：由直線的方向向量定義知，直線的方向向量有無數(shù)多個，故選項錯誤；

對于③：直線a的方向向量和平面a的法向量平行，則a1a,選項錯誤；

對于④：Oyz平面上的點(diǎn)的久坐標(biāo)一定是0,選項正確；

對于⑤：若2不<0,則何研是鈍角或者夾角為n,選項錯誤；

故選：B.

【變式4-1】2.(2023秋?湖北武漢?高二華中師大一附中?？茧A段練習(xí)股動點(diǎn)P在棱長為1的正方體力BCD-

的對角線BDi上,記若=上當(dāng)乙4PC為鈍角時，貝IU的取值范圍是

【答案】0,1)

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得刀，而，根據(jù)可?同<0求得力的取值范圍.

【詳解】由題設(shè)可知，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以瓦I比，西的方向為X軸、y軸、Z軸的正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-xyz,

則有4(1,0,0),5(1,1,0),C(0,l,0),(0,0,1),

則取=(1,1,-1)，得取=4點(diǎn)=(A,A,-A),

所以PAPD]+D^A=(—A,—A,A)+(1,0,—1)=(1—A,—A,A—1),

PC=PD]+D[C—(—A,—A,A)+(0,1,—1)=(-A,1—X,A—1),

顯然乙4PC不是平角，所以乙4PC為鈍角等價于方-PC<0,

即—4(1—A)—2(1—2)+(2—1)2<0,即(2-1)(32-1)<0,

解得?<A<1,因此4的取值范圍是G，1).

X

【變式4-1]3.（2023秋?高二課時練習(xí)）如圖，設(shè)4BCD-4/傳也為正方體，動點(diǎn)P在對角線8%上,

⑴證明：4P1BiC；

(2)若異面直線4P與D/i所成角為；,求4的值；

(3)當(dāng)乙4PC為鈍角時，求義的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析

(2)4=1

(3)1<A<1

【分析】(1)建立坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積為0,證明線線垂直；

(2)寫出向量坐標(biāo)，利用夾角公式可得答案；

(3)利用鈍角可得數(shù)量積小于零且不等于-1,求解即可.

【詳解】(1)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。4。&。。1所在直線分別為招力2軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體的棱長為1,則,Di(0,0,1),4(1,0,0),C(0,l,0)；

取=(1,1,-1),即=(-1,0,-1),

因為需=4,所以取=2用，

所以標(biāo)=河+印=河+W^B=(-1,0,1)+2(1,1,-1)=(A-1,2,1-A),

因為存?BZC=1-/L+A-1=O,所以4P1SjC.

(2)瓦瓦=(1,1,0),AP(A-1,A,1-A)；

因為直線4P與AB1所成角為，，

而、J麗麗=以-1|==叱.

所以向H瓦瓦廠V2x^+2(A-iy—C°S4—2，

解得％=±i,因為動點(diǎn)P在對角線BA上,所以a=1.

(3)PC——PB+BC——(1—+BC=(—A,1—A,A—1),PX=(1—A,—A.,A—1),

因為“PC為鈍角，所以而?PC=322-4A+1<0,解得2<A<1.

又因為"2—奴+1K—1在R上恒成立，所以:<A<1.

【變式4-1]4.(2023春?江蘇淮安?高二統(tǒng)考期末)如圖，正方體4BCD-A/1G5的棱長為1，點(diǎn)P是對

角線8%上異于B,%的點(diǎn)，記黑=A.

(1)當(dāng)NAPC為銳角時，求實(shí)數(shù)4的取值范圍；

(2)當(dāng)二面角P-4C-B的大小為患寸，求點(diǎn)當(dāng)?shù)狡矫鍼4C的距離.

【答案】(1)|<A<1；

⑵手

【分析】(1)利用坐標(biāo)法，表示出向量方，刀,然后結(jié)合條件列出不等式，進(jìn)而即得；

(2)利用面面角的向量求法可得力=等，然后利用點(diǎn)到平面的距離的向量求法即得.

【詳解】(1)以胸，比，兩｝為單位正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系。-％".

貝必(1,0,0),5(1,1,0),C(0,l,0)血(0,0,1).

因為生=2,0<A<1.則品=ABDl=(-A,-A,A).

則對=BA-BP=(A,A-1,-A),PC=BC-BP=(A-1,A,-A).

z

由乙4PC為銳角，貝Ucos乙4PC=贏贏>0且COSNAPC力1.

則P7?元=3萬—24>0.又0<2<1,

所以|<2<1；

(2)設(shè)平面4PC的法向量4=(x,y,z),則演-(=0且葉五=0,又同=GU-1,-4),

AC=(-1,1,0),所以+(4—l)y—Az=0,—x+y=0.

令x=1,則y=1,z=2—.

A

故平面P4C的一個法向量蘇=（1,1,2-Q.

易知平面4BC的一個法向量底=（0,0,1）.因為二面角P-AC-B為？,則|cos（可矽|=日,

彳，解得4=等

因為o<%<1,則％=

則平面4PC的一■個法向量4=（1,1,-或），又向量函=（0,1,1）,

所以點(diǎn)當(dāng)?shù)狡矫?4c的距離d=嚕守=符.

【變式4-1]5.（2023春?四川綿陽?高二統(tǒng)考期中）在三棱錐4-BCD中，滿足AD1AB,AD1AC,給出

下列結(jié)論：

①麗-DC=DA2-AB-AC；②若NB4C是銳角，則麗-XC>0；

③若NB4C是鈍角,貝LkBDC是鈍角；④若|AC|<\AD\^\AB\<\AD\,貝IkBDC是銳角.

其中正確結(jié)論的序號為（）

A.①②④B.①④C.②③D.②④

【答案】D

【分析】易得礪=DA+AB,DC=DA+AC,再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可判斷①；由NB4C是銳角，得荏■

AC>0,再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可判斷②；舉出反例即可判斷③，如="=4。=1./.BAC=120°；

由|4C|<\AD\S.\AB\<\AD\,可得|而『>\AC\\AB\,再結(jié)合①即可判斷④.

【詳解】因為4。1AB,AD1AC,所以而-AB=0,AD-AC=0l

對于①，礪=瓦？+南，反=瓦？+近，

則笳.反=(瓦？+屈).畫+硝

=DA2+DA-AB+DA-AC+AB-AC=DA2+AB-AC,故①錯誤；

對于②，若NB4C是銳角,則屈-AC>0,

DB-AC=(DA+AB)-AC=DA-AC+AB-AC=AB-AC>0,故②正確；

對于③，若NB4C是鈍角,則四AC<0,

若AB=AC=AD=l.^LBAC=120°,

則笳-DC=DA2+AB-XC=l-|^|>0,

此時NBDC是銳角，故③錯誤；

對于④,若MCI<\AD\S.\AB\<\AD\,

DB-DC=DA2+AB-AC=[DA^+|AB|■何cosNB"

>|AB||XC|+|AB|?\AC\cos/-BAC=\AB\■|xc|(l+cos^BAC),

因為NBACe(O,TT),\AB\■|Ic|(l+cos/B力C)>0,

所以麗DC>0,所以NBOC是銳角,故④正確.

故選：D.

題型5線面角與向量角的轉(zhuǎn)化不清楚

【例題5]（2023春?河南周口?高二統(tǒng)考期中）如圖，在三棱柱ABC-2/iG中，A4]="=2,AB=

243,BC=4,且的1BiC,N&AC為銳角.

證明：

（1）AB1AAr；

（2）若二面角4-AB-C的大小為],求直線AC】與平面力BiC所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵R

【分析】（1）利用線線垂直證明線面垂直，從而證明線線垂直，再利用勾股定理證明線線垂直，進(jìn)而利用

線面垂直的判定定理證明線面垂直，即可證明線線垂直；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面A/C的法向量，利用線面角的向量公式求解即可.

【詳解】（1）連接&C,如圖所示.

因為44i=AC,所以四邊形力&QC是菱形，所以1ACr,

又aq1BrC,ArCnBtC=C,又C,B1Cu平面4/停,所以4G_L平面A/C,

又A/】u平面4/iC,所以AR14久,又AB||4%,所以4的1AB.

在小ABC中，AC=2,ZB=2V3,BC=4,所以AC?+人爐=BC2,所以AC±AB,

又4cHAC1=A,AC,ACru平面力力1CiC,所以4B1平面44i&C,

又A4iu平面44?。,所以AB1AAt；

(2)因為4B1AAVAC1AB,所以二面角力i-4B-C的大小為乙生4C,即乙％力C=熱

以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，ABAC所在的直線分別為無軸，y軸，垂直于4B,4C所在的直線為z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

所以1(0,0,0),41(0,1,⑹,G(0,3,⑹,)(0,2,0),B(2心0,0),

所以尼=(0,2,0),福=屈+西=屈+標(biāo)=(2V3,0,0)+(0,1,V3)=(2V3,1,V3),

'TT

設(shè)平面44C的一個法向量為元=(x,y,z),所以__nAC=2y=°

n-ABr=2V5%+y+V3z=0

令％=1,解得y=0,z=-2,所以平面//C的一個法向量為元=(1,0,-2),

又溫=（0,3,V3）,設(shè)直線4cl與平面所成角為8,

所以sin。=|cos（n，M）|=母=7g=f，

所以直線4G與平面2B]C所成角的正弦值為

【變式5-1]1.（2023秋?廣東深圳?高二深圳大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┤鐖D，在四棱錐P-ABC。中，底面

4BCD邊長為2舊是菱形/DAB=60。，0是對角線AC和BD的交點(diǎn),AB=4P/B4P為銳角,SAABP=子，

點(diǎn)M為線段P。上一動點(diǎn)，且始終有AM1BD.

⑴求三棱錐。-4BP的體積；

（2）若二面角M-AB-。為:,求此時直線BM與平面MCD所成角的正弦值.

【答案】⑴|

⑵牛

【分析】（1）由小4BP面積為斗，求得sin/BAP=g，解三角形力8P得8P=V6，證明BD1平面P"得8。1

PO,得PO=V3,證明PO1AC，得P。，平面力BCD,利用等體積法求。—ABP的體積；

（2）由二面角M-AB-。為:，解得M。=|,建立空間直角坐標(biāo)系，計算直線BM與平面MCD所成角的

正弦值.

【詳解】（1）在小月BP中，48=4P=，SAABP=[x4BxBPxsin^BAP=",

則sin/BAP=-,且NB4P為銳角，cos^BAP=Vl-sin2zB4P=-,

44

由余弦定理,BP2=AB2+AP2-2AB-AP?cos/BAP=6,即BP=V6,

由于四邊形ABC。為菱形，貝帕。1AC,且8。1AM,

ACAM=A,AC,AMu平面P4C,貝!]BD1平面PAC,

因為P。u平面JMC,所以8。1PO,

因為△48。為正三角形,BO=6，AO=3,貝[]P。=y/PB2-BO2=V3,

因為「。2+AO2=AP2,所以P。1AC,由于ACCBD=0,AC,BDu平面4BC0,

所以P。，平面ABCD,

如圖，過點(diǎn)。作?！?AB,連接M”，

由(1),PO_L平面力BCD,SABu平面4BCD,貝！]P。1AB,

所以NMH。=-,則M。=OH=三，

42

由于OP,OB,OC兩兩垂直，如圖建系，

M(0,0,|),B(V3,0,0),BM=(-V3,0,|),C(0,3,0),D(-V3,0,0),

則說=(-V3,-3,0),CM=(0,-3,1),

設(shè)元=(x,y,z)是平面PCD的一個法向量，

—yj3x—3y=0z-、

BP.3，W=l，W=(V3,-l,-2),

＜：g：o3y+z=0

設(shè)所求角為。，那么sine=*=半

則所求角正弦值為華.

【變式5-1]2.(2023秋?河南新鄉(xiāng)?高二統(tǒng)考期末)如圖，正三棱錐P-ABC的所有側(cè)面都是直角三角形，

過點(diǎn)P作PD,平面ABC,垂足為。,過點(diǎn)。作DE1平面248,垂足為E,連接PE并延長交4B于點(diǎn)F.

(1)證明：F是AB的中點(diǎn).

(2)求直線DE與平面BCE夾角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

(2)^.

【分析】(1)連接DF,根據(jù)題意證得4B1平面PDF,得到4B1PF,結(jié)合P4=PB,即可得到F是的中

占.

八、、/

(2)以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，把直線DE與平面8CE的夾角即直線PC與平面8CE的夾角，求

得平面E8C的一個法向量為沆=(2,1,1),結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.

【詳解】(1)證明：連接。尸,因為1平面ABC,ABu平面4BC,所以P。1AB,

因為DE1平面P4B,4Bu平面P4B,所以DE1AB,

因為DECPD=D,S.DE.PDu平面PDF,所以48_L平面POF,

又因為PFu平面POF,所以AB1PF,

因為P4=PB,所以F是2B的中點(diǎn).

(2)解：因為正三棱錐P-力BC的所有側(cè)面都是直角三角形，可得P4PSPC兩兩垂直，

以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，P4PB,PC所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

p

不妨設(shè)P4=2,則4(2,0,0),8(0,2,0),C(0,0,2)/(1,1,0),

由PC1PA,PCLPB,S.PAr\PB=P,PA,PBu平面P48,

所以PC1平面P4B,因為DE1平面24B,所以PC〃DE,

直線DE與平面BCE的夾角即直線PC與平面BCE的夾角，且麗=(0,0,2),

連接CF,由正三棱錐性質(zhì)可知，點(diǎn)。是△4BC的重心，所以*=2,故魯=2,

則E(|,|,0),麗=(一|彳,0),麗=(0.-2.2),

(24

設(shè)平面EBC的法向量為記=(x,y,z),貝［］一十孑丫一U,

1―2y+2z=0

令y=1可得尤=2,z=1,所以沅=(2,1,1).

因為cos(而,m)=藤=磊=彳，

所以直線DE與平面BCE夾角的正弦值為萼.

O

【變式5-1J3.(2023春?四川成都?高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末)如圖，在四棱錐Q-4BCD中,

底面48CD是矩形，若2。=QD=Q2=2,CD=1,QC=V5.

⑴證明：平面QAD1平面4BCD；

(2)若E,F分別是QC,QD的中點(diǎn)，動點(diǎn)P在線段EF上移動，設(shè)。為直線BP與平面ABCD所成角，求sin。

的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析

(2)殍，哥

【分析】(1)由QC2=QD2+,得到CD±QD,再由CD±AD,利用線面垂直的判定定理，證得CD1平

面Q4D,進(jìn)而證彳導(dǎo)平面Q4D1平面4BCD；

(2)根據(jù)題意得到直線。Q,。7,。。兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，求出對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合題

意設(shè)齊=4而(0<A<1),分別求出直線BP的方向向量和平面4BCD的法向量，利用向量的夾角公式得

【詳解】(1)在小QC。中,QC，CD=\,QD=2'：.QC2=QD2+CD2,

QC。為直角三角形且CD1QD,

又底面4BCD是矢巨形,貝!]CD1AD,

???QDQADD,且均含于面QAD內(nèi)二CO1平面Q40,

又；CDu平面力BCD,.??平面QAD_L平面4BCD；

(2)在平面48CD內(nèi)，取40中點(diǎn)為。，過點(diǎn)。作。TIICD,交8C于點(diǎn)T,CD1AD,0T1AD,

由題意可得Q01平面ABCD,S.0T,ADu平面ABCD,

貝[|0QLAD,0Q10T,.-.^,0Q,0T,。。兩兩互相垂直，

???以。為坐標(biāo)原點(diǎn),0T,0D,0Q所在直線分別為x,y,z軸建如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則。(0,1,0),Q(0,0,V3),,C(l,l,0),,

,?,CP=(-1,0,0),BF=(-|,|,y),

設(shè)前=A￡T(0<A<1),

貝回=（麗=（-pO,o），前=屁+而=（_:3|,亨）,

又麗=(0,0,V3),

\BPOQ\_V3

貝。=

Hsin西麗=9+1)2+12

■■■Ae[0,1],苧<sine<唱,

...BP與平面4BCD所成角的正弦值的取值范圍為諄，等]

413

【變式5-1]4.（2023秋?新疆烏魯木齊?高二烏魯木齊101中學(xué)?？计谀﹨抢蠋煱l(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》有"芻

V這個五面體，于是她仿照該模型設(shè)計了一個學(xué)探究題，如圖：E,F,G分別是正方形的三邊AB、CD、

AD的中點(diǎn)，先沿著虛線段FG將等腰直角三角形FDG裁掉，再將剩下的五邊形ABCFG沿著線段EF折起,

連接AB、CG就得到一個"芻普".

圖1圖2

⑴若。是四邊形EBCF對角線的交點(diǎn)，求證：AOWW-^GCF；

（2）若二面角A-EF-B的大小為我，求直線4B與平面GCF所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵當(dāng)

【分析】（1瞰線段CF中點(diǎn)H，連接。乩GH，則根據(jù)已知條件可證得四邊形40HG是平行四邊形，則40IIHG,

再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；

(2)由題意可得Z4E8即為二面角A-EF-8的平面角，則乙4E8=|n,以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EB,而分別為x

軸和y軸正向建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz如圖所示，然后利用空間向量求解即可.

【詳解】(1)取線段CF中點(diǎn)H,連接OH.GH,

由圖1可知，四邊形EBCF是矩形，且CB=2EB,

0是線段BF與CE的中點(diǎn),

-1

???OHWBCS.OH=^BC,

在圖1中AGIIBC且4G=；BC,EF\\BC^.EF=BC.

所以在圖2中，4GIIBCS.AG=^BC,

???AGIIOHSAG=OH

???四邊形40HG是平行四邊形，則40I1HG

由于4。，平面GCF,HGu平面GCF,

AOWW^GCF.

(2)由圖1,EF14E,EF1BE,折起后在圖2中仍有EF1AE,EF1BE,

NAEB即為二面角A-EF-B的平面角.

?2

??Z-AEB=3-n',

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EB,而分別為x軸和y軸正向建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz如圖，

且設(shè)=2EB=2E4=4,

貝！|B(2,0,0),尸(0,4,0),4(—1,0,⑹,

.-.FG=TE+EA+AG=VE+EA+|EF=(-1,-2,V3),

BA=(-3,0,V3),FC=~EB=(2,0,0),

設(shè)平面GCF的一^個法向量完=(x,y,z),

由/If二;，得=取尸百，贓=2,

于是平面GCF的一個法向量元=(O,V3,2),

/-?n八n-BA2^3y/7

???cos｛nfBA)=面前=尿■=~，

，直線4B與平面GCF所成角的正弦值為今

題型6二面角為鈍角或銳角區(qū)分不清

【例題6](2023春?江蘇揚(yáng)州?高二統(tǒng)考期末)如圖，在直三棱桓4BC-2/iG中,△4BC是以BC為斜邊的等

腰直角三角形，AAr=AB=3,。*分別為8。,當(dāng)6上的點(diǎn),且兼=^=t(0<t<1).

⑴若土=/求證平面//E；

⑵若t>直線&C與平面&BE所成角的正弦值為當(dāng)求二面角G-4。-C的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵更

'79

【分析】(1)當(dāng)1=決寸可得點(diǎn)，E分別