2025年新高考數(shù)學(xué)重難點專項復(fù)習(xí)：空間向量中的易錯題型（六種）（原卷版）

重難點05空間向量中的易錯題型（六種）匯總

題型解讀

好量滿分技巧/

易錯一.向量概念的問題，忽略了零向量的特殊性.

易錯二.五方的夾角問題，注意去掉共線的問題.

易錯三.混淆異面直線的夾角與向量的夾角

1.兩異面直線所成角的范圍是ee（0,自，兩向量的夾角a的范圍是［0,捫，所以要注意二者的區(qū)別與聯(lián)系，

應(yīng)有cose=|cosa\.

易錯四.易混淆直線與平面所成角與向量角

用向量法求直線OP與a成的角時一般有兩種途徑:一是直接求線面角；二是通過求＜萬麗〉進(jìn)而轉(zhuǎn)化求解,

其中元為平面a的法向量，此時應(yīng)特別注意OP與平面a所成角8與＜元麗〉的關(guān)系，它們互為余角，注意最

后轉(zhuǎn)化.

易錯五.二面角的求解注意判斷鈍角與銳角

1.二面角注意區(qū)分銳角與鈍角

2.兩個平面所成角為,不需要判斷銳角與鈍角.

卻*題型提分練

題型1忽視零向量

【例題1]（2023秋?高二單元測試）給出下列命題：

①空間向量就是空間中的一條有向線段；

②在正方體力BCD-&B1C1D1中，必有照=不互；

③⑷=同是向量五=B的必要不充分條件；

④若空間向量而無力滿足而〃元元〃力，則下〃戶.

其中正確的命題的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.0

【變式1-1]1.（2020秋?北京平谷?高二?？茧A段練習(xí)）給出下列命題：

①空間向量就是空間中的一條有向線段；

②在正方體ABC。-A/iC/i中，必有芯=不B；

③㈤=⑸是向量a=b的必要不充分條件；

④若空間向量m,n,p滿足mIIn,n||p,則mIIp.

其中正確的命題的個數(shù)是

A.1B.2

C.3D.0

【變式1-1]2.（多選）（2022秋?廣東陽江?高二校聯(lián)考期中）以下關(guān)于向量的說法正確的有（）

A.若a=b,則|五|=|&|

B.若將所有空間單位向量的起點放在同一點，則終點圍成一個圓

C.若五=-3且B=-c,貝！]五=3

D.若a與b共線,。與洪線,則冶3共線

【變式1-1]3.（2022?全國?高二專題練習(xí)）下列命題正確的是（）

A.若之與3共線，另與乙共線，貝必與^共線

B.向量匕上0共面就是它們所在的直線共面

C.零向量沒有確定的方向

D.若明",則存在唯一的實數(shù)4使得2=看

題型2忽略向量夾角定義

【例題2]（2023春?河南南陽?高二?？茧A段練習(xí)）如圖，四面體ABCD中，M,N分別為AB和CD的中點,

AD=2,BC=4,且向量而與向量近的夾角為120。，則線段MN長為（）

A.V3B.V7C.V3ngV7D.3或3b

->—>

【變式2-1]1.（2022?全國高二專題練習(xí)）已知空間中四個不共面的點0、A、B、C,若|OB|=\OC\,且

—>—>—>—>—>—>

COS<0A,OB>=COS<0A,OC>,貝!]sin<0A,BC>的值為（）

A.1B.C.-D.-

222

【變式2-1]2.（2021?高二課時練習(xí)）如圖所示，在正三棱柱yWC-&B1G中，若胸i|=V3IBBJ,則

向量]瓦與向量麗的夾角為（）.

B.60°

C.90°

D.120°

【變式2-1]3.（多選）（2023秋?四川成都?高二校考階段練習(xí)）如圖，在平行六面體4BCD-4/?劣中，

其中以頂點A為端點的三條棱長均為6,且彼此夾角都是60°,下列說法中不正確的是（）

A.AC±=6A/6

B.ACrIBD

C.向量瓦1與左石夾角是60。

D.向量砧與前所成角的余弦值為日

【變式2-1J4.（2023秋?重慶石柱?高二?？茧A段練習(xí)）如圖左間四邊形。4BC的各邊及對角線長都為2,

E是AB的中點，尸在。C上,且標(biāo)=2FC,則向量屈與向量而所成角的余弦值為

F

【變式2-1]5.（2023?全國?高二專題練習(xí)）如圖，在平行六面體ABC。-a/iGA中,以頂點4為端點的

三條邊的長度都為1,且兩兩夾角為60。.求西與北所成角的余弦值.

題型3忽略異面直線所成角的范圍

【例題3]（2023秋?寧夏銀川?高二?？茧A段練習(xí)）已知直平行六面體4BCD-2/?必中，AA.=AB=

BC=2,乙BAD=60°,則直線BC1與B也所成角的余弦值為（）

A-TB-ic.[D.o

【變式3-1]1.（2023秋?江蘇常州.高三常州高級中學(xué)校考開學(xué)考試）在空間直角坐標(biāo)系。-xyz中，已知

異面直線匕,與的方向向量分別為d=（1,-1,-2）,b=（1,1,2）,則%4所成角的余弦值為（）

A.|B,fC,-|D.-f

【變式3-1]2.（2023秋?河南商丘?高二校考階段練習(xí)）如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱

柱4BCD-中，AAi=2AB=2,則異面直線與4劣所成角的余弦值為（）

【變式3-1]3.（2023秋?江西撫州?高三黎川縣第二中學(xué)校考開學(xué)考試）在正方體4BCD-a/iC/i中，E

是棱4D上一點,DE=24E,F是棱AC上一點，F(xiàn)C=3。/,則異面直線4E與BF所成角的余弦值為（）

AA/85BV85c765口V65

34683468

【變式3-1J4.（多選）（2023秋?寧夏銀川?高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行六面體4BCD-A/iQA中，

以頂點A為端點的三條棱長都為1,且AD4B=^DAA,=4員44=60°,則下列說法中正確的有（）

A.異面直線B4與CG所成的角為120。

B.~BDI=BA+~BBI+~BC

C.BO】=2

D.直線OB與CG所成角的余弦值為0

題型4忽略五是的夾角為（銳）鈍角的條件中共線部分

【例題4】（2023秋?山東德州?高二?？茧A段練習(xí)）已知向量N=（1,1,0）5=（-1,0,2）.

（1）若（a+fcb）II（2a+b）,求實數(shù)k;

（2）若向量2+無與23+3所成角為銳角，求實數(shù)k的范圍.

【變式4-1】1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）下列命題不正確的是（）

①空間中任意三個不共面的向量都可以作為基底.

②直線的方向向量是唯一確定的.

③若直線a的方向向量和平面a的法向量平行,則alia.

④在空間直角坐標(biāo)系中，在Oyz平面上的點的坐標(biāo)一定是（0,b,c）.

⑤若ab<o,則值3）是鈍角.

A.①③④B.②③⑤C.③④⑤D.①②④

【變式4-1】2.（2023秋?湖北武漢?高二華中師大一附中?？茧A段練習(xí)段動點P在棱長為1的正方體4BCD-

a/?%的對角線8必上,記段=上當(dāng)乙4PC為鈍角時，貝M的取值范圍是

【變式4-1]3.（2023秋?高二課時練習(xí)）如圖，設(shè)4BCD-a/iC/i為正方體，動點P在對角線8%上,

⑴證明：AP_L；

（2）若異面直線4P與D/i所成角為;,求4的值；

⑶當(dāng)乙4PC為鈍角時，求4的取值范圍.

【變式4-1]4.（2023春?江蘇淮安?高二統(tǒng)考期末）如圖，正方體4BCD-人出好名的棱長為1，點P是對

角線8A上異于8,%的點，記襄=A.

AB

（1）當(dāng)乙4PC為銳角時，求實數(shù)成勺取值范圍；

（2）當(dāng)二面角P-AC-B的大小為34時，求點/到平面P4C的距離.

【變式4-1]5.（2023春?四川綿陽?高二統(tǒng)考期中）在三棱錐4-BCD中,滿足4D14B,4D1AC,給出

下列結(jié)論：

①礪-DC=DA2-AB-AC；②若NB4C是銳角，則礪■XC>0；

③若N82C是鈍角，貝此BDC是鈍角；④若[4C|<\AD\^\AB\<\AD\,貝tf/BDC是銳角.

其中正確結(jié)論的序號為（）

A.①②④B.①④C.②③D.②④

題型5線面角與向量角的轉(zhuǎn)化不清楚

【例題5]（2023春?河南周口?高二統(tǒng)考期中）如圖，在三棱柱ABC-a/】G中，AA.=AC2,AB=

2V3.BC=4,且AC[1乙414c為銳角.

(1)證明：AB1AAr；

（2）若二面角公-4B-C的大小為三，求直線4Q與平面所成角的正弦值.

【變式5-1]1.（2023秋廣東深圳?高二深圳大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┤鐖D，在四棱錐P-ABCD中，底面

4BCD邊長為2百是菱形/DAB=60°，。是對角線4c和BD的交點，4B=4P,NB4P為銳角,S*BP=券，

點M為線段P。上一動點，且始終有AM1BD.

⑴求三棱錐。-4BP的體積；

(2)若二面角M-AB-。為三,求此時直線BM與平面MCD所成角的正弦值.

【變式5-1]2.(2023秋?河南新鄉(xiāng)?高二統(tǒng)考期末)如圖，正三棱錐P-ABC的所有側(cè)面都是直角三角形，

過點P作PD,平面ABC,垂足為。,過點。作DE1平面PAB,垂足為E,連接PE并延長交AB于點F.

(1)證明：F是的中點.

(2)求直線DE與平面BCE夾角的正弦值.

【變式5-1J3.(2023春?四川成都?高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末)如圖，在四棱錐Q-2BCD中，

底面力BCD是矩形，若2。=QD=Q2=2,CD=1,QC=小.

(1)證明：平面QAD1平面ABC。；

⑵若E,尸分別是QC,QD的中點，動點P在線段EF上移動，設(shè)8為直線BP與平面ABCD所成角，求sin。

的取值范圍.

Q

【變式5-1]4.(2023秋?新疆烏魯木齊?高二烏魯木齊101中學(xué)校考期末)吳老師發(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》有"芻

V這個五面體，于是她仿照該模型設(shè)計了一個學(xué)探究題，如圖：E,F,G分別是正方形的三邊AB、CD、

AD的中點，先沿著虛線段FG將等腰直角三角形FDG裁掉，再將剩下的五邊形ABCFG沿著線段EF折起,

連接AB、CG就得到一個"芻曹".

圖2

⑴若。是四邊形EBCF對角線的交點，求證：4011平面6。尸；

(2)若二面角A-EF-B的大小為|n,求直線AB與平面GCF所成角的正弦值.

題型6二面角為鈍角或銳角區(qū)分不清

【例題6](2023春?江蘇揚州?高二統(tǒng)考期末)如圖，在直三棱柱XBC-中,△4BC是以BC為斜邊的等

腰直角三角形，AA,=AB=3,D,E分別為上的點，且鬟=^=t(0<t<1).

DC

⑴若土=求證：4?！ㄆ矫?/E;

⑵若t>直線&C與平面&BE所成角的正弦值為專求二面角G-AD-C的余弦值.

【變式6-1J1.(2023春?江蘇蘇州?高一統(tǒng)考期末)已知直角梯形BQPC中/CBQ=90°,BQ//CP,BC=1,

BQ=2,CP=3,4為BQ的中點，CD=《CP,如圖，將四邊形2BCD沿力。向上翻折，使得平面ABCD，平

面4DPQ.

(1)在PD上是否存在一點”，使得CH〃平面BDQ?

(2)求二面角B-PQ-C的余弦值.

【變式6-1]2.(2023春?江蘇鹽城?高二統(tǒng)考期末)已知正方形4BCD的邊長為&，