2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)函數(shù)綜合壓軸題練習(xí)（含答案解析）

2025年數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)函數(shù)綜合壓軸題練習(xí)

一、單選題

1.（2024?四川廣元?中考真題）如圖，已知拋物線好辦2+/+C過(guò)點(diǎn)C（0,-2）與無(wú)軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為

%,x2,且-1<為<0,2<x2<3,則下列結(jié)論：

①a-6+c<0；

②方程ox?+6x+c+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

③a+6>0；

三2

④

⑤"4ac>4".其中正確的結(jié)論有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵；由當(dāng)x=-1時(shí)，

y=a-b+c>Q,可判斷①，由函數(shù)的最小值><-2,可判斷②，由拋物線的對(duì)稱軸為直線￥=-二，且

2a

11o

-<---<-,可判斷③，由％=1時(shí)，y=a-b+c>0,當(dāng)％=3時(shí)，y=9a+3b+c>0,可判斷④，由根

22a2--

與系數(shù)的關(guān)系可判斷⑤；

【詳解】解：①二.拋物線開(kāi)口向上，一2<X2<3,

?,?當(dāng)x=—l時(shí)，y=a-b+c>0f故①不符合題意；

②,?,拋物線>=a—+樂(lè)+°過(guò)點(diǎn)C（0,-2）,

???函數(shù)的最小值歹<-2,

*'-ax2++c=-2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

???方程ax2+bx+c+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；故②符合題意;

1

③???一1<再<0,2</<3,

???拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-3,且!<一3<=,

2a22a2

<3,而Q>0,

a

???-3a<b<—a,

???Q+6V0,故③不符合題意；

④,?,拋物線》="2+fox+c過(guò)點(diǎn)。（0,-2）,

???c=-2,

???x=l時(shí)，y=a-b+c>0,

即3a-3b+3c>0,

當(dāng)％=3時(shí)，y=9a+3b+c>0f

???12。+4c>0,

12Q>8,

故④符合題意；

⑤???一1<%<0,2<x2<3,

???/一再〉2,

bc

由根與系數(shù)的關(guān)系可得：石+%=-一，%/二—，

aa

.b2-4ac_1(Z)yc

4/4XtaJa

=；（再+%）2一工科2

2

=|[（^+^2）-4^2]

=:（X「X2）2>：X4=1

b2-^ac,

------—>1,

4/

■■b2-4ac>4a2,故⑤符合題意;

故選：C.

2.(2024?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題)如圖,正方形/BCD的頂點(diǎn)A,C在拋物線>=-/+4上，點(diǎn)。在V軸

上.若4C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為加，n(m>?>0),下列結(jié)論正確的是()

2

y/

箕

m

A.m+n=lB.m—n=lC.mn=1D.一=1

n

【答案】B

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解題時(shí)要熟

練掌握并能靈活運(yùn)用是關(guān)鍵.依據(jù)題意，連接NC、BD交于點(diǎn)、E,過(guò)點(diǎn)A作軸于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)3

作3N1九W于點(diǎn)N,先證明AMVB包的頌AAS).可得AM=NB,DM=AN.點(diǎn)、A、C的橫坐標(biāo)分別為

22mw+82

加、"，可得/(機(jī)，-機(jī)+4),C(M,-M+4).；~~)；M(0,-m+4),設(shè)。(0,6),貝|

B(m+n,-m2-n2+8—b),N(m+n,-m2+4),BN=-n2+4-Z?,AM=m，AN=n,DM=病一4+6.再由AM=NB,

DM=4N進(jìn)而可以求解判斷即可.

【詳解】解：如圖，連接BD交于點(diǎn)、E,過(guò)點(diǎn)A作軸于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)、B作BN1MN于點(diǎn)、N,

四邊形/5C。是正方形,

「?/C、5?；ハ嗥椒郑珹B=AD,ABAD=90°,

ZBAN+ZDAM=90°,ADAM+ZADM=90°,

/BAN=ZADM.

ABNA=ZAMD=90°,BA=AD,

.△ANB均DMA(AAS).

/.AM=NB,DM=AN.

??,點(diǎn)A、。的橫坐標(biāo)分別為加、n,

一加2+4),C(〃，—/+4).

+w-m2-n2+8,一八八

..￡(2，--------------)9M(0,—m2+4),

3

設(shè)￡)(0,6),貝5(冽+%一"一〃?+8—6),N(m+n,-m2+4),

：.BN=-n2+4-Z),AM-m,AN=n,DM=m2-4+b.

又AM=NB,DM=AN,

.?.一〃2+4—6=加,n-n^-4+b.

/.b=—n2-m+4.

/.n=m2-4一〃2-m+4.

/.(m+n)(m-ri)=m+n.

???點(diǎn)A、。在V軸的同側(cè)，且點(diǎn)A在點(diǎn)C的右側(cè)，

:.m+n^0,

：.m—n=\.

故選：B.

3.(2024?山東濟(jì)南?中考真題)如圖1,△4BC是等邊三角形，點(diǎn)。在邊上，BD=2,動(dòng)點(diǎn)尸以每秒1

個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)8出發(fā)，沿折線3C-C4勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后停止，連接。尸.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)

間為[s),DP?為丫.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P沿3c勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，了與/的函數(shù)圖象如圖2所示.有以下四個(gè)結(jié)論:

①48=3；

②當(dāng)/=5時(shí)，y=l；

③當(dāng)4W"6時(shí)，1"43；

④動(dòng)點(diǎn)P沿8C-C4勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩個(gè)時(shí)刻4，(2((!<4)分另U對(duì)應(yīng)必和%，若4+/2=6,貝!].%>%.其中

正確結(jié)論的序號(hào)是()

D.①②④

【答案】D

【分析】由圖知當(dāng)動(dòng)點(diǎn)尸沿3c勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，DP2=7,作。于點(diǎn)￡,利用解直角三角形和

勾股定理，即可得到BC,即可判斷①，當(dāng)"5時(shí),證明△的是等邊三角形，即可判斷②，當(dāng)4VAV6

4

時(shí)，且小，/C時(shí)，公六最小，求出最小值即可判斷③，利用勾股定理分別表示出必和力進(jìn)行比較，即可

判斷④.

【詳解】解：由圖知當(dāng)動(dòng)點(diǎn)尸沿3c勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，DP2=1,

作DELBC于點(diǎn)E,

.-.￡)￡,=sin60°=A/3,BE=BD-cos60°=1,

EP=yiDP--DE-=2，

AB=BC=BE+EP=3,

故①正確；

當(dāng)，=5時(shí)，PC=5-3=2,AP=\=AD,

.1△AD尸是等邊二角形，

DP=AP=AD=1,

：.y=DP2=1,

故②正確；

當(dāng)4V/V6時(shí)，且。尸_L/C時(shí)，八？2最小,

5

A

1,N/=60。，

:.DP=AD-sm60°=—

2

33

“產(chǎn)最小為"即能取到“

故③錯(cuò)誤;

動(dòng)點(diǎn)、P沿BC-CA勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，

vtx+t2=6,tx<t29

4<3,%2>3,t2=6—11,

當(dāng)OWaWl時(shí)，5<Z2<6,

%=

53

當(dāng)。尸J_4C時(shí)，CP=—,DP=一,

24

2

1i+2=i2

%=I+一一4

21I161116

1351

/.V,-v=44-----=—>0M,

121616

同理，當(dāng)1<4<3時(shí)，3<4<5,

乂二I="2_4+4,

22

6-39213

%=I+H......-t,—t,H-----,

161116

,1351

y,~-4-----二—〉0,

121616

故④正確；

綜上所述，正確的有①②④,

6

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，等邊三角形性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，涉及到動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、讀懂

函數(shù)圖象、正確理解題意，利用數(shù)形結(jié)合求解是解本題的關(guān)鍵.

二、填空題

4.（2024?湖北武漢?中考真題）拋物線y="2+6x+c（a,b,c是常數(shù)，a<0）經(jīng)過(guò)（-覃），（私1）兩點(diǎn),

且0<a<1.下列四個(gè)結(jié)論：

①6>0;

②若0<%<1,貝！］a（x-l）"+6（x-l）+c>1；

③若。=-1,則關(guān)于x的一元二次方程辦2+瓜+0=2無(wú)實(shí)數(shù)解；

④點(diǎn)4（項(xiàng)，M），3（工2，%）在拋物線上，若%>馬，總有%<%,則。<加4）.

其中正確的是（填寫序號(hào)）.

【答案】②③④

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意可得拋物線對(duì)稱軸-15<—11+3yyi<0,即可判斷①，根據(jù)

（—1,1）,（%,1）兩點(diǎn)之間的距離大于1,即可判斷②，根據(jù)拋物線經(jīng)過(guò)（一1,1）得出c=b+2,代入頂點(diǎn)縱坐

標(biāo)，求得縱坐標(biāo)的最大值即可判斷③，根據(jù)④可得拋物線的對(duì)稱軸-5<一解不等式，即可求

解.

【詳解】解：:了=ox?+6x+c（a,b,c是常數(shù)，a<0）經(jīng)過(guò)（一1,1）,（加/）兩點(diǎn)，_@.O<m<1.

4工4戶,生土〃4b—1+m1—1+加

???對(duì)稱軸為直線x=—=—-—，――<--—<0,

2a222

,*'x-----<0,a<0

2a

.?.Z?<0,故①錯(cuò)誤，

0<m<1

即（一1,1）,（九1）兩點(diǎn)之間的距離大于1

又4<0

???x二加一1時(shí)，V>1

???若0cxe1,貝!|〃（%-1）2+6（%-1）+0〉1,故②正確；

7

③由①可得一；<苫^<0,

—<—<0,即一1<6<0,

22

當(dāng)。=-1時(shí)，拋物線解析式為y=-%2+樂(lè)+。

設(shè)頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為t=4"°一〃=-4c

4。-4

,??拋物線》=一一+bx+c（Q,b,。是常數(shù)，a<0）經(jīng)過(guò)（—1,1）,

???一1-6+。=1

：,c=b+2

—4?！猙?/J?+4。1-2127c1/,_\21

t---------------=-b+c——h7+6+2=—（b+2）+1

-44444V7

v-I<Z><0,!〉0,對(duì)稱軸為直線b=-2,

4

.?.當(dāng)6=0時(shí)，，取得最大值為2,而6<0,

???關(guān)于x的一元二次方程"+bx+c=2無(wú)解，故③正確；

④??,”（），拋物線開(kāi)口向下，點(diǎn)8（%2）2）在拋物線上，演+工2>-；，%>%2，總有為<%，

V7石+工2I

又1=_4"^>一:，

24

?,?點(diǎn)離X=-;較遠(yuǎn)，

.占1—1+加1

???對(duì)稱軸_1<-T—<--

224

解得：o<加工J,故④正確.

故答案為：②③④.

5.（2024?江蘇宿遷?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/在直線〉上，且點(diǎn)4的橫坐標(biāo)為4,

直角三角板的直角頂點(diǎn)。落在x軸上，一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)4另一條直角邊與直線04交于點(diǎn)5,當(dāng)點(diǎn)C

在入軸上移動(dòng)時(shí)，線段43的最小值為.

8

【分析】利用一次函數(shù)求出點(diǎn)/的坐標(biāo)，利用勾股定理求出04,當(dāng)點(diǎn)C在x軸上移動(dòng)時(shí)，作與關(guān)

于NC對(duì)稱，且/夕交x軸于點(diǎn)。，由對(duì)稱性質(zhì)可知，AB'=AB,ABAC=ADAC,當(dāng)NQ_Lx軸于點(diǎn)。

時(shí)，AB=AB'=AD+B'D^,記此時(shí)點(diǎn)C所在位置為C',作C'EL/2于點(diǎn)E,有DC'=EC',設(shè)

DC'=EC'=m,則。C'=0O-DC'=4-加，利用銳角三角函數(shù)sin//。。=/方'建立等式求出

m,證明AC'DB'SAADC',再利用相似三角形性質(zhì)求出夕。，最后根據(jù)AB=力夕=AD+8N＞求解，即可解

題.

3

【詳解】解：???點(diǎn)4在直線上，且點(diǎn)4的橫坐標(biāo)為4,

4

，點(diǎn)/的坐標(biāo)為（4,3）,

0A=5,

當(dāng)點(diǎn)。在x軸上移動(dòng)時(shí)，作45與Z9關(guān)于4。對(duì)稱，且交工軸于點(diǎn)。,

由對(duì)稱性質(zhì)可知，AB'=AB,

當(dāng)軸于點(diǎn)。時(shí)，AB=4B'=AD+B'D最短,記此時(shí)點(diǎn)。所在位置為C',

由對(duì)稱性質(zhì)可知，ABAC=ADAC,

作于點(diǎn)￡,有DC'=EC',

設(shè)DC=EC'=m,則0C'=。。一。。'=4—加，

FC1'AD_3

sinZAOD=-

OCOA~5

m3

/.------=:

4-m5

3

解得W7=萬(wàn)，

3

經(jīng)檢驗(yàn)機(jī)=5是方程的解,

■1-ZAC'D+NDCB'=90°,ADAC+ZAC'D=90°,

ZDC'B'=ZDAC,

■：ZC'DB'=ZADC=90°,

:.AC'DB'SAADC',

9

5

。

3

-

獨(dú)2

-

3-3

2-

3

解得=

4

315

AB=AB'=3H—=—.

44

故答案為：—.

4

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，相似三角形性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)，垂

線段最短，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)和垂線段最短找出最短的情況.

6.（2024?黑龍江大慶?中考真題）定義：若一個(gè)函數(shù)圖象上存在縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)2倍的點(diǎn)，則把該函數(shù)稱

為“倍值函數(shù)”，該點(diǎn)稱為“倍值點(diǎn)”.例如：“倍值函數(shù)”＞=3尤+1,其“倍值點(diǎn)”為（-1，-2）.下列說(shuō)法不正

確的序號(hào)為.

①函數(shù)V=2x+4是“倍值函數(shù)”；

Q

②函數(shù)V=：的圖象上的“倍值點(diǎn)”是（2,4）和（-2,-4）；

14

③若關(guān)于x的函數(shù)＞=（冽-1）%2+mx+-m的圖象上有兩個(gè)“倍值點(diǎn)”，則m的取值范圍是加＜§；

④若關(guān)于尤的函數(shù)了=/+（優(yōu)-4+2卜+；-：的圖象上存在唯一的“倍值點(diǎn)”，且當(dāng)-1W機(jī)W3時(shí)，”的最

小值為左，則左的值為上5.

2

【答案】①③④

【分析】本題考查了新定義問(wèn)題，二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函

數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問(wèn)題.根據(jù)“倍值函數(shù)”的定義，逐一判斷即可.

【詳解】解：①函數(shù)y=2x+4中，令y=2x,貝l]2x=2x+4,無(wú)解，故函數(shù)y=2x+4不是“倍值函數(shù)”，故①

說(shuō)法錯(cuò)誤；

OQ

②函數(shù)y=—中，令了=2x,則2x=—，

解得x=2或％=-2,

經(jīng)檢驗(yàn)X=2或X=-2都是原方程的解，

故函數(shù)＞的圖象上的“倍值點(diǎn)”是（2,4）和（-2,-4）,故②說(shuō)法正確；

10

③在y=（〃?T）x2+mx+-m中，

4

令y=2x,貝12x=（加一I）/+機(jī)x+［加，

整理得（加一1），+（加一2）%+；冽=0,

???關(guān)于x的函數(shù)》=（冽-1）/+加x+；次的圖象上有兩個(gè)“倍值點(diǎn)”,

21

△=（m-2）-4（加一1）X］加>0且加一1w0,

4

解得加<1且加71,故③說(shuō)法錯(cuò)誤;

/7Hk,

④在y=x2+（加-左+2）］+1一'中，

=

y2x;貝”2%=12+（加一+2^x+~一~

nk

整理得f+（加-左）x-\-----=0,

42

,??該函數(shù)的圖象上存在唯一的“倍值點(diǎn)”,

nk

△:=（加一女）2-4x=0,

4-2

整理得〃=（加一左『+2左，

???對(duì)稱軸為冽=k,此時(shí)n的最小值為2k,

根據(jù)題意分類討論，

-1<A;<3

解得k=0；

"min=2k=k

k>3

無(wú)解;

"mm=（3H+2A=上

k<-l

2解得k二（舍去）,

n=（-l-后）+2后=后三

1m0u"

綜上」的值為°或￥'故④說(shuō)法錯(cuò)誤;

故答案為：①③④.

7.（2024?四川巴中?中考真題）若二次函數(shù)歹="2+瓜+。（〃〉（））的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于歹軸

對(duì)稱.則下列說(shuō)法正確的序號(hào)為.（少選得1分，錯(cuò)選得0分，選全得滿分）

①2=2

a

11

35

②當(dāng)］WaV；時(shí)，代數(shù)式力+/一56+8的最小值為3

③對(duì)于任意實(shí)數(shù)加，不等式a加2+Zw?-a+b20一定成立

④PQ：i,yi),QQ：2,y2)為該二次函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)，且再<龍2.當(dāng)西+尤2+2>。時(shí)，一定有必<為

【答案】①③④

【分析】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，拋物線的平移，拋物線的增減性的應(yīng)用，利用的應(yīng)用二次

函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

由二次函數(shù)了=ax2+6x+c(a>0)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于y軸對(duì)稱.可得-3+1=0,可得①

2a-

35

符合題意；由6=2a,可得/+/_5方+8=5(。-1r9+3,^-<a<-,可得②不符合題意；由對(duì)稱軸為

直線x=_l,結(jié)合。>0,可得③符合題意；分三種情況分析④當(dāng)為<-1<%時(shí)，當(dāng)-1<再<工2時(shí)，滿足

Xj+x2+2>0,當(dāng)再<乙<-1時(shí)，不滿足占+工2+2>0,不符合題意，舍去，可得④符合題意；

【詳解】解：???二次函數(shù)了="2+6x+c(a>0)的圖象的對(duì)稱軸為直線x=-《，

而二次函數(shù)V=ax1+6x+c(a>0)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于了軸對(duì)稱.

--—+1=0,

2a

??--=2,故①符合題意；

a

?*,b—2cl,

???a2+b2-56+8

=5。2_10。+8,

=5(a-l)2+3,

22

???當(dāng)。3、時(shí)，17q2+b2_5b+8取最小值?，故②不符合題意；

■,---+1=0,

2a

???對(duì)稱軸為直線x=-l,

<2>0,

當(dāng)x=—l時(shí)，函數(shù)取最小值。一6+。,

當(dāng)％=加時(shí)，函數(shù)值為Q加2+6加+。，

???am2+bm+c>a—b+c，

12

???對(duì)于任意實(shí)數(shù)加，不等式a/+6加一a+620一定成立，故③符合題意；

當(dāng)再<一1<%2時(shí)，

v%1+x2+2>0,

%2+1〉—1一再，

???%<%，

當(dāng)_]<再<%時(shí)，滿足%+%+2〉0,

Xj+1<x2+1,

?,?%<%,

當(dāng)王</<-1時(shí)，不滿足國(guó)+了2+2>0,不符合題意，舍去，故④符合題意;

綜上：符合題意的有①③④；

故答案為：①③④.

三、解答題

8.(2024?江蘇常州?中考真題)將邊長(zhǎng)均為6cm的等邊三角形紙片48C、DE尸疊放在一起，使點(diǎn)￡、8分

別在邊/C、。尸上(端點(diǎn)除外)，MB、E尸相交于點(diǎn)G,邊BC、相交于點(diǎn)

(1)如圖1,當(dāng)E是邊NC的中點(diǎn)時(shí)，兩張紙片重疊部分的形狀是；

(2)如圖2,若EF〃:BC,求兩張紙片重疊部分的面積的最大值；

(3)如圖3,當(dāng)AE>EC,時(shí)，4E與必有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試說(shuō)明理由.

【答案】⑴菱形

力班2

(2)-----cm

2

⑶AE=BF,理由見(jiàn)解析

13

【分析】（1）連接BE,CD,由等邊三角形的性質(zhì)可得//C5=/EDE=60。，則3、D、C、E四點(diǎn)共圓,

由三線合一定理得到/8EC=90。，則2C為過(guò)反D、C、E的圓的直徑，再由?！?8C=6cm,得到OE

為過(guò)5、D、C、E的圓的直徑，則點(diǎn)H為圓心，據(jù)此可證明NG￡5=NE8"=NG2E=N8E//=3O。，推

出四邊形3HEG是平行四邊形，進(jìn)而可證明四邊形8HEG是菱形，即兩張紙片重疊部分的形狀是菱形；

（2）由等邊三角形的性質(zhì)得到N4BC=/D跖=/C=60。，AC=BC=6cm,則由平行線的性質(zhì)可推出

ZABC=ZCHE,進(jìn)而可證明四邊形5HEG是平行四邊形，再證明△￡〃（？是等邊三角形，則可設(shè)

EH=CH=2xcm,貝i]8〃=（6-2x）cm,HT=^CH=xcm,由勾股定理得到

22

ET=VEH—HT=VSxcm>可得S重疊=S四邊形H■—>則當(dāng)》=萬(wàn)■時(shí)，StA

有最大值，最大值為生8cm°；

2

（3）過(guò)點(diǎn)3作于過(guò)點(diǎn)￡作及V_L。尸于N,連接BE,則4W=FN=尸=工/C=3cm,

22

EF=AB=6cm,BE=BE,證明EN=8Af,進(jìn)而可證明電RtA〃E2（HL）,得至=則

FN+BN=AM+ME,BPAE=BF.

【詳解】（1）解：如圖所示，連接BE,CD

■:AABC,△￡）￡「都是等邊三角形，

ZACB=NEDF=60°,

：.B、D、C、E四點(diǎn)共圓，

?點(diǎn)￡是NC的中點(diǎn)，

："BEC=90°,

??.BC為過(guò)B、D、C、￡的圓的直徑，

又DE=BC=6cm,

??.DE為過(guò)B、D、。、E的圓的直徑，

???點(diǎn)H為圓心，

??.EH=BH,

??.NHBE=ZHEB=30°,

:?NGEB=ZEBH=/GBE=NBEH=30°,

：.BG//EH,BH//EG,

???四邊形BHEG是平行四邊形，

又?:EH=BH,

14

???四邊形是菱形，

???兩張紙片重疊部分的形狀是菱形;

圖1

(2)解：???△/8C,ADE尸都是等邊三角形，

NABC=ZDEF=ZC=60°,AC=BC=6cm,

???EF//BC,

ACHE=ZDEF=60°,

:./ABC=NCHE,

BG//EH,

???四邊形BHEG是平行四邊形，

■：ZC=ZCHE=60°,

??.△EHC是等邊三角形，

過(guò)點(diǎn)E作ET1HC,

.,.設(shè)￡7/=CH=2xcm,則3〃=(6-2x)cm,HT==xcm,

ET=ylEH2-HT2=V3xcm，

S重疊=S*形BHEG=BH-ET=6x(6-2x)

-2>/3<0,

二當(dāng)x時(shí)，S重疊有最大值，最大值為蛀c/;

22

15

A

圖2

(3)解：AE=BF,理由如下：

如圖所示，過(guò)點(diǎn)8作8Ml4c于M,過(guò)點(diǎn)￡作EN_LDF于N,連接BE,

???△48C,ADEF都是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，

AM=FN=-DF=-AC=3cm,EF=AB=6cm,BE=BE

22

由勾股定理可得NE=y)EF2-FN2=36cm，BM=AB2-AM1=36cm，

EN=BM,

又：BE=BE,

之RtAAffiB(HL),

：.NB=ME,

:.FN+BN=AM+ME,AE=BF.

圖3

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，等邊三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三

角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，四點(diǎn)共圓，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

9.(2024?四川資陽(yáng)?中考真題)已知二次函數(shù)與一反的圖像均過(guò)點(diǎn)4(4,0)和坐標(biāo)原

點(diǎn)。，這兩個(gè)函數(shù)在04x44時(shí)形成的封閉圖像如圖所示，P為線段。/的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸且與x軸不重合的

直線與封閉圖像交于8,C兩點(diǎn).給出下列結(jié)論：

16

①6=2；

@PB=PC；

③以0,A,B,C為頂點(diǎn)的四邊形可以為正方形；

④若點(diǎn)5的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)。在V軸上（。，B,C三點(diǎn)不共線），則△BC。周長(zhǎng)的最小值為5+JW.

其中，所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可得兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱軸均為直線x=2,根據(jù)對(duì)稱軸公式即可求出6,可判斷①正確；

過(guò)點(diǎn)8作ADLx交x軸于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)C作CE,尤交x軸于點(diǎn)E,證明也可得PB=PC,可

判斷②正確；當(dāng)點(diǎn)3、C分別在兩個(gè)函數(shù)的頂點(diǎn)上時(shí)，BCL0A,點(diǎn)、B、C的橫坐標(biāo)均為2,求出8c的

長(zhǎng)度，得到3c=04,可判斷③正確；作點(diǎn)8關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)夕，連接be交了軸于點(diǎn)。，此時(shí)△BC。

周長(zhǎng)的最小，小值為夕C+5C,即可判斷④.

【詳解】解：①???二次函數(shù)y=-gx2+樂(lè)與了二3/一樂(lè)的圖像均過(guò)點(diǎn)/（4,0）和坐標(biāo)原點(diǎn)。，p為線段04

的中點(diǎn)，

P（2,0）,兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱軸均為直線x=2,

解得：b=2,故①正確；

②如圖，過(guò)點(diǎn)3作班），x交無(wú)軸于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)C作CELx交無(wú)軸于點(diǎn)E,

17

NCEP=NBDP=9G0,

由函數(shù)的對(duì)稱性可知尸E=DP,

在和△BOP中,

NCEP=NBDP

<EP=DP

/EPC=ZDPB

ACE尸父ABO尸(ASA),

：.PB=PC,故正確②；

③當(dāng)點(diǎn)8、C分別在兩個(gè)函數(shù)的頂點(diǎn)上時(shí)，BC1OA,點(diǎn)、B、C的橫坐標(biāo)均為2,

由①可知兩個(gè)函數(shù)的解析式分別為V=-：/+2x,y=^x2-2x,

.?.8(2,2),C(2-2),

5C=2-(-2)=4,

???點(diǎn)1(4,0),

1.OA=4,

BC=OA,

由???BC10Af

.,.此時(shí)以O(shè),A,B,C為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，故③正確；

④作點(diǎn)3關(guān)于V軸的對(duì)稱點(diǎn)夕，連接EC交V軸于點(diǎn)。，此時(shí)△5C0周長(zhǎng)的最小，最小值為

BQ+CQ+BC=B,Q+CQ+BC=B,C+BC,

點(diǎn)3的橫坐標(biāo)為1,

2

33

=V13,fi'C=(-1-3)2+—+—=5，

22

△BC。周長(zhǎng)的最小值為3'C+3C=5+Vn,故正確④；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，涉及二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的判

定，對(duì)稱中的最值問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí).

10.（2024?江蘇常州?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系芯帆中，二次函數(shù)了=-2+加+3的圖像與x軸相交

于點(diǎn)/、B,與y軸相交于點(diǎn)C

備用國(guó)

（1）OC=；

（2）如圖，已知點(diǎn)/的坐標(biāo)是（T,。）.

①當(dāng)IWXWM,且加＞1時(shí)，y的最大值和最小值分別是s、t,s-t=2,求m的值;

②連接NC,尸是該二次函數(shù)的圖像上位于y軸右側(cè)的一點(diǎn)（點(diǎn)3除外），過(guò)點(diǎn)尸作軸，垂足為

D.作/DPQ=/4C0,射線PQ交y軸于點(diǎn)0,連接。0、PC.若DQ=PC,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

19

【答案】（1）3

⑵①亞+1;②1或支產(chǎn)

【分析】（1）當(dāng)％=0時(shí)，V=3,即。。=3；

（2）①先求出解析式為、=-爐+2%+3,可知對(duì)稱軸為直線：x=l,當(dāng)14x0加，且加＞1時(shí)，y隨著x的

增大而減小，故當(dāng)x=l,s=4,當(dāng)工=機(jī)時(shí)，t=-m2+2m+3,由s-/=2得，4+m2-2m-3=2,解得

_AC）1

m=l+V2;②在RM4C。中，可求tan/ZCO=而=§,由題意得，DP//CQ,DQ=PC,四邊形。尸C。

為平行四邊形或等腰梯形，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方，四邊形。P。。為平行四邊形時(shí)，則尸。=。。，則

tanZ.DPQ-tanZ.ACO=tanZ1=,設(shè)FD=k,OF=n,貝|PZ）=3左,00=3〃，貝！J3左=3+3〃，故〃二女+1,

則尸（2k+1,3左），將點(diǎn)尸（2左+1,3左）代入y=--+2%+3,得一（2左+1）2+2（2左+1）+3=3左，解得左=；,故

13

4=1*2+1=；；當(dāng)四邊形。PC。為等腰梯形時(shí)，則PC=。。，過(guò)點(diǎn)。作尸￡，y軸于點(diǎn)E,則C￡=0O,

PE1

由QC+C￡=℃+QO,得0￡=OC=3,則后=彳，設(shè)PE=p,則QE=3p,故3p=3,解得〃=1,即

QE3

Xp=l；當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方拋物線上時(shí)，此時(shí)四邊形。PC。為平行四邊形，則黑=第=；，設(shè)

OG=e,DG=g,則OQ=3e,DP=3g=QC,而O0-OC=CQ,故3e-3=3g,即g=e-l,可得

P（2e-1,3-3e）,將點(diǎn)尸代入尸+2x+3,^-（2e-l）2+2（2e-l）+3=3-3e,解得e="+"或

8

e="一后（舍），因此「=2e-l=7+4,綜上：點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為1或;或2±運(yùn).

【詳解】（1）解：當(dāng)x=0時(shí)，y=3,即0c=3；

（2）解：①將點(diǎn)A代入y=—x2+Z）x+3

得，-1-6+3=0,

解得：b=2,

???解析式為：y=-x2+2x+3,

而y——+2x+3=—（%—1）~+4,

???對(duì)稱軸為直線：％=1,

當(dāng)14x4加，且加＞1時(shí)，

.,少隨著%的增大而減小，

二當(dāng)％=1,s=—l+2+3=4,當(dāng)％=用時(shí),t=—m2+2m+3,

由s—%=2得，4+機(jī)2—2加一3=2,

zu

解得：加=1+a或加=1-血（舍）

???加=1+V2;

A01

②在RM4C0中，tanZACO=-=-f

由題意得，DP//CQ,DQ=PC,

???四邊形DPCQ為平行四邊形或等腰梯形，

當(dāng)點(diǎn)尸在工軸上方，四邊形。尸。。為平行四邊形時(shí)，則尸。二。。,

??.Nl=ZDPQ,

v/DPQ=/ACO,

：.tanZDPQ=tan/ACO=tanZ1=j,

?O?-F...F.D.—1

?O0PD3'

.,.設(shè)FZ）=k,OF=n,則PD=3k,OQ=3n,

*'-3左=3+3〃,

???〃=女+1,

.?.尸（2無(wú)+1,3無(wú)）,

將點(diǎn)P（2上+1,3后）代入.V=T2+2X+3,

得：一（2左+17+2（2左+1）+3=3左，

解得：k=;或k=—l（舍），

1.3

x=-x2+1——；

尸p42

當(dāng)四邊形。尸。。為等腰梯形時(shí)，則PC=8,過(guò)點(diǎn)尸作尸軸于點(diǎn)￡,

21

PE=DO,

???Rt△尸CE之RtZS。。。，

；.CE=QO,

：.QC+CE=QC+QO9

:.QE=OC=3,

八

???tanZ1=—1,

3

PE

：，QE=39

.?.設(shè)PE=p,則。E=3p,

：.3p=3,

???p=1,

即馬=1；

當(dāng)點(diǎn)。在X軸下方拋物線上時(shí)，此時(shí)四邊形。尸。。為平行四邊形，則。P=OC,

22

??麗一記一§,

設(shè)OG=e,DG=g,

.-.OQ=3e,DP=3g=QCf

OQ-OC=CQf

3e—3=3g,

.??g=e-l,

???P(2e-1,3-3e),

將點(diǎn)P代入y=--+2x+3,

得：-(2e-lY+2(2e-l)+3=3-3e,

解得：e=或e=3,

88

而當(dāng)e="一4時(shí),g=e-l<0,故舍，

8

,,7+773

,,Xp—2e-1=----------,

「4

綜上：點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為1或I■或

24

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，圖像與坐

23

標(biāo)軸的交點(diǎn)，平行四邊形的性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)等，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

11.（2024?北京?中考真題）小云有一個(gè)圓柱形水杯（記為1號(hào)杯），在科技活動(dòng)中，小云用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)

和人工智能軟件設(shè)計(jì)了一個(gè)新水杯，并將其制作出來(lái)，新水杯（記為2號(hào)杯）示意圖如下，

當(dāng)1號(hào)杯和2號(hào)杯中都有，mL水時(shí)，小云分別記錄了1號(hào)杯的水面高度4（單位：cm）和2號(hào)杯的水面

高度飽（單位：cm）,部分?jǐn)?shù)據(jù)如下:

K/mL040100200300400500

4/cm02.55.07.510.012.5

力2/cm02.84.87.28.910.511.8

（1）補(bǔ)全表格（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）;

（2）通過(guò)分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)可以用函數(shù)刻畫用與修，色與廠之間的關(guān)系.在給出的平面直角坐標(biāo)系中，畫出這

兩個(gè)函數(shù)的圖象;

Ah/cm

13—廣丁

1-2—4

MT

10-

9-

6---r--T

—!—t

⑹-1

—T-T

；4—!——：

：2—

:]---!--t

OLWOJ3Q0L400J5QO：FTmL

（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)與函數(shù)圖象，解決下列問(wèn)題：

①當(dāng)1號(hào)杯和2號(hào)杯中都有320mL水時(shí)，2號(hào)杯的水面高度與1號(hào)杯的水面高度的差約為cm

（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；

24

②在①的條件下，將2號(hào)杯中的一都分水倒入1號(hào)杯中，當(dāng)兩個(gè)水杯的水面高度相同時(shí)，其水面高度約

為cm(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位).

【答案】(1)1.0

(2)見(jiàn)詳解

(3)1.2,8.5

【分析】本題考查了函數(shù)的圖像與性質(zhì)，描點(diǎn)法畫函數(shù)圖像，求一次函數(shù)解析式，已知函數(shù)值求自變量,

正確理解題意，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

(1)設(shè)憶與用的函數(shù)關(guān)系式為：廠=協(xié)(左*0),由表格數(shù)據(jù)得：100=2.5左，則可求憶=40%,代入憶=40

即可求解；

(2)畫色與廠之間的關(guān)系圖象時(shí)，描點(diǎn)，連線即可，畫用與，的關(guān)系圖像時(shí)，由于廠=40%是正比例函

數(shù)，故只需描出兩點(diǎn)即可；

320

(3)①當(dāng)/=320ml時(shí)，hx=—=8cm,由圖象可知高度差CDa1.2cm；②在憶=320ml左右兩側(cè)找到等

距的體積所對(duì)應(yīng)的高度相同，大致為8.5cm.

【詳解】⑴解：由題意得，設(shè)廠與4的函數(shù)關(guān)系式為：/=俏(入0),

由表格數(shù)據(jù)得：100=2.54，

解得：上=40,

展40%,

.?.當(dāng)憶=40時(shí)，404=40,

hi=1.0cm；

(2)解：如圖所示，即為所畫圖像，

25

(3)解：①當(dāng)V=320ml時(shí)，h}=—=8cm,由圖象可知高度差CDa1.2cm,

故答案為：1.2；

②由圖象可知當(dāng)兩個(gè)水杯的水面高度相同時(shí)，估算高度約為8.5cm,

故答案為：8.5.

12.(2024?吉林?中考真題)小明利用一次函數(shù)和二次函數(shù)知識(shí)，設(shè)計(jì)了一個(gè)計(jì)算程序，其程序框圖如圖

(1)所示，輸入x的值為-2時(shí)，輸出y的值為1；輸入x的值為2時(shí)，輸出了的值為3；輸入x的值為3

時(shí)，輸出y的值為6.

26

開(kāi)始

(ffil)(圖2)

(1)直接寫出左，a,b的值.

⑵小明在平面直角坐標(biāo)系中畫出了關(guān)于x的函數(shù)圖像，如圖(2).

I.當(dāng)y隨尤的增大而增大時(shí)，求x的取值范圍.

H.若關(guān)于x的方程g?+6