2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練：三角形中的重要模型之垂美四邊形與378、578模型解讀與提分訓(xùn)練（解析版）

專題09三角形中的重要模型之垂美四邊形與378、578模型

全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就對角互

補模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

大家在掌握幾何模型時，多數(shù)同學(xué)會注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒

置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣

才能做到對于所學(xué)知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識、方法

的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因

為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯點。當(dāng)然，以上三點均屬于基礎(chǔ)要求，因為題目的多變性，若想在幾

何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識幾何模型，認(rèn)真理解每

一個題型，做到活學(xué)活用！

例題講模型］

模型1.垂美四邊形模型

模型解讀

垂美四邊形的定義：對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形。

模型證明

圖1圖2

條件：如圖1,已知四邊形A8CZ）,對角線AC、BD交于點、O,S.AC1BD；

結(jié)論：①人"+”=入療+與。?；②“垂美”四邊形的面積等于對角線乘積的一半，即S四邊形-ACBD.

2

證明：'：AC±BD,：.ZAOD=ZAOB=ZBOC=ZCOD=90°,

由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,

：.AD2+BC2=AB2+CD2；；AC_LBD,：.SHABC=~ACBO,S^c=~AC-DO

22

**?S四邊形ABCO=SA4BC+SAADC=K4。8。+萬ACZ）O=5ACBZ）。

條件：如圖2,在矩形ABC。中，尸為CD邊上有一點，連接AP、BP；結(jié)論：DP2+BP2=AP2+PC2

證明：,四邊形48C。是矩形，.,.NADP=NBCP=90。，AD=BC,

由勾股定理得，AD-=AP2-DP2<BC2=BP--CP2,

，AP--DP-=BP2-CP2,，AP2+CP2=BP2+DP2。

條件：如圖3（或圖4）,在矩形ABC。中，尸為矩形內(nèi)部（外部）任意一點，連接AP、BP,CP,DP-,

結(jié)論：AP2+PC2=DP2+BP2

證明：過點P作AD的垂線，交A￡>于點E,交BC于點F,則四邊形和CDE尸為矩形，

圖3

:.AE=BF,DE=CF,由勾股定理得：貝ljA尸？=AE?+pE2,pc2=尸尸？十^??

BP2=BF2+PF2,PD2=DE2+PE2,PA2+PC2=AE2+PE2+PF'+CF2,

PB2+PD2=BF2+PF2+DE2+PE2，z.PA2+PC2=PB2+PD2.（圖4的證明和圖3證明相同）

用處：①對角線垂直的四邊形對邊的平方和相等；②已知三邊求一邊的四邊形，可以聯(lián)想到垂美四邊形。

模型運用

例1.（23-24八年級上.河北保定?期中）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美

四邊形ABCD,對角線AC,3。交于點0.若AD=1,BC=4,則等于（）

A.15B.16C.17D.20

【答案】C

【分析】根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)，勾股定理的運用即可求解，本題主要考查勾股定理的運用，掌握勾股定

理的計算是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：；四邊形ABCD是“垂美"四邊形，即AC1a）,

222222

在RtAAOB中，AB=OA+OB,在Rt.COD中，CD=OC+OD,

，AB2+CD2=OA2+OB2+OC-+OD1,

在RIAAOD中，AD2=1=O42+OD2,在RuBOC中，BC2=42=OB2+OC2,

/.AD2+BC2=OA2+OB2+OC2+OD2,/.AB2+CD2=AD2+BC2=l+42=17,故選：C.

例2.（23-24九年級上.天津.期末）如圖，四邊形兩條對角線AC、9互相垂直，且AC+BD=10.設(shè)

AC=x,（0<x<5）

b

⑴用含x的式子表示：S^?ABCD=;⑵當(dāng)ABCD四邊形的面積為8cm2時，求AC、3D的長;

【答案】（l）5x-；x2（2）Ac=2cm,BD=8cm

【分析】（1）根據(jù)S婕.88=549+5徵8=3瓦>4。進(jìn)行求解即可；

（2）根據(jù)（1）所求，代入/邊形ABCD=8進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)解：如圖所示，設(shè)AC、BD交于點O,

*/AC+BD=10,AC=x,：.BD=lO-x,二?四邊形ABC￡＞兩條對角線AC、助互相垂直，

22

，S四邊形ABCD=^\/ABD+SyBCD=3BD-OA+—BD-OC=—BD-AC=-x(10—x)=5x——x,故答案為；5x——x；

（2）解：由題意得5x—5必=8,/.X2—10x+16=0,解得x=2或x=8（舍去）

AC-2cm,B￡）=10-x=8cm.

【點睛】本題主要考查了三角形面積，一元二次方程的應(yīng)用，正確列出四邊形的面積關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

例3.（2023?江蘇鹽城?一模）如圖，四邊形ABCD的對角線AC和8?；ハ啻怪?，AC+2BD=10,則四邊形

25

【答案】v

4

【分析】本題考查了二次函數(shù)最值以及四邊形面積求法.直接利用對角線互相垂直的四邊形面積求法得出

S=^ACBD,再利用配方法求出二次函數(shù)最值.

【詳解】解：設(shè)BD=x,四邊形ABCD的面積為S,?.?AC+23D=1O,AC=10-2x,

?..四邊形ABCD的對角線AC和BD互相垂直，AS=1AC-B￡>=1^（10-2X）=-^-|^|+1，

...當(dāng)x-；5時，S取得最大值，最大值為2中5，即四邊形ABCD面積最大值為2號5.故答案為：25

2444

例4.（2024?陜西?一模）已知矩形ABC。中有一點P,滿足B4=l,PB=2,PC=3,則P。

AD

【答案】R

【分析】由ABC。是矩形，過P作GHIIBC交AB、CO于點G、H,過戶作EF//A8交A。、BC于點E、F,

在所形成的直角三角形中，由勾股定理得出A盾+CP2=g尸+￡＞產(chǎn)，從而求出OP.

【詳解】解：過點尸作GH//8C交A3、C。于點G、H,過點尸作EF//AB交A。、BC于點E、F,

設(shè)AE=BF=c,AG=DH=a,GB=HC=b,ED=FC=d

AP2=a2+c2,CP2^b2+d2,BP2^b2+c2,DP2=d2+a2

■■■B4=l,PB=2,PC=3,:.AP2+CP2=BP2+DP2

即1+9=4+￡＞產(chǎn).?.￡＞「=后（負(fù)值已舍去）故答案為：A/6.

【點睛】本題考查了四邊形的綜合題，矩形的性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是利用勾股定理列方程組.

例5.（23-24八年級下?浙江寧波?期中）定義：對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形.

了解性質(zhì)：如圖1：已知四邊形ABCD中，AC1BD.垂足為。，則有：AB2+CD2=AD2+BC2;

性質(zhì)應(yīng)用：（1）如圖1,四邊形ABCD是垂美四邊形，若A￡）=2,BC=4,CD=3則AB=_；

性質(zhì)變式：（2）如圖2,圖3,尸是矩形ABCD所在平面內(nèi)任意一點，則有以下重要結(jié)論:

AP2+CP2=BP2+DP2請以圖3為例將重要結(jié)論證明出來.

P42-kPC2

應(yīng)用變式：（3）①如圖4,在矩形ABCD中，。為對角線交點，尸為8。中點，則---------=10；（寫出證

PB2

明過程）；②如圖5,在VABC中，CA=4,CB=6,。是VABC內(nèi)一點，且6=2,ZADB=90°,則A3的

最小值是.

【答案】（1）而；（2）證明見解析；（3）①證明見解析；②4括-2

【分析】本題是四邊形綜合題，考查了新定義“垂美”四邊形、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識；

（1）由勾股定理可得出答案；（2）過P作于交。C的延長線于N,由（1）性質(zhì)可知：

BH2+CP2=BP2+CH2,由勾股定理可得出答案；（3）以AD、8。為邊作矩形AD跳;，連接CE、DE,

由矩形的性質(zhì)得出=由題意得CE>2+CE2=C42+CB2,求出CE=4VL當(dāng)C、D、E三點共線時，

DE最小，得出A3的最小值=DE的最小值=CE-C。=-2.

【詳解】（1）解：如圖1,四邊形ABCD是垂美四邊形，.?.AB2+C￡>2=A￡）2+BC2,

■.■AD=2,BC=4,CD=3,AB2=22+42-32=11,;.AB=>Ju故答案為：7TT：

（2）證明：過P作MN/AB于M,交DC的延長線于N,

由(1)性質(zhì)可知：BH1+CP2=BP2+CH2,

即：CP'-BP2=CH--BH2=(HD2+DC2)-(AH2+AB?)=HD2-AH2，

又由勾股定理可知：PD--PA2={HD2+PH2)-(AH2+PH2)^HD2-AH2，

CP2-BP2=PD2-PA?,BPAP2+CP2=BP2+DP2；

(3)解：①設(shè)PB=a,則尸D=3a,由(2)^AP2+CP2=BP2+DP2,

2_i_

AP2+CP2=a2+9a2=10a2，--------、=10；

PB2

②以AD、BD為邊作矩形AD3E,連接CE、DE,如圖所示：

貝ljAB=D￡,由題意得：CD2+CE2=C^+CB2,即2?+CH=4?+6?,解得：CE=473,

當(dāng)C、￡）、Er三點共線時，￡>E最小，的最小值=￡見的最小值=CE-CZ）=4后-2；故答案為：46-2.

例6.（23-24八年級下?江西贛州?期末）如圖1,對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

（1）概念理解：如圖2,在四邊形ABCD中，AB=AD,CB=CD,問四邊形ABC。是垂美四邊形嗎？請說

明理由；（2）性質(zhì)探究：如圖1,四邊形ABC。的對角線AC、8。交于點O,AC1BD.經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)垂美四

邊形ABC。的兩組對邊AB?,CD?和AD?,BC?有一定的數(shù)量關(guān)系，請你猜想有何種數(shù)量關(guān)系？并證明.

（3）解決問題：如圖3,分別以RtAACB的直角邊AC和斜邊為邊向外作正方形ACPG和正方形A2DE,

連結(jié)CE、BG、GE.已知AC=4,AB=5,求GE的長.

【答案】（1）四邊形是垂美四邊形，證明見解析；（2）AD2+BC2^AB2+CD2,證明見解析；（3）GE

【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的判定定理證明即可；（2）根據(jù)垂直的定義和勾股定理解答即可；

（3）根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)、勾股定理、結(jié)合（2）的結(jié)論計算.

【詳解】解：（1）四邊形A8C。是垂美四邊形.證明：連接BD、AC

.?.點A在線段BZ）的垂直平分線上,

?：CB=CD,/.點C在線段BD的垂直平分線上,

直線AC是線段80的垂直平分線，：.AC±BD,即四邊形ABC。是垂美四邊形；

(2)猜想：ArP+BC^AB^CD2

證明：\'AC±BD,：.ZAOD=ZAOB=ZBOC=ZCOD=90°,

由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,：.AD2+BC2=AB2+CD2；

(3)連接CG、BE,?：ZCAG=ZBAE^90°,：.ZCAG+ZBAC=ZBAE+ZBAC,即

AG=AC

在△GAB和ACAE中，＜NGAB=NCAE,：./\GAB^^\CAEQSAS),

AB=AE

：.ZABG=ZAEC,又/AEC+NAME=90°,AZABG+ZBMN=90°,即CE_LBG,

四邊形CGEB是垂美四邊形，由(2)得，CG+BE2=CB2+GE2,

'：AC=4,AB=5,：.BC=3,CG=4也，BE=56,

：.GE2=CG+BE?-CB2=73,：.GE=^73.

【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應(yīng)用，正確理解垂

美四邊形的定義、靈活運用勾股定理是解題關(guān)鍵.

例7.(2024?山東德州?一模)我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形例如圖1,圖2,圖3

中，AR3E是VABC的中線，AF±BE,垂足為P.則稱VABC為“中垂三角形”.設(shè)BC=“,AC=。,A3=c.

C

圖4

⑴①如圖1,當(dāng)NABE=45。，c=4四時，PF=______.BF=______.

②如圖2,當(dāng)NABE=30o,c=4時，求。和b的值.

⑵請猜想/、匕2和三者之間的數(shù)量關(guān)系，并結(jié)合圖3寫出證明過程.

(3)如圖4,在邊長為3的菱形ABCD中，。為對角線AC、3。的交點，E,尸分別為線段AO,。。的中點;，

連接BE,CF并延長交于點M,BM,CM分別交AD于點G,，，求環(huán)個+也?的值.

【答案】⑴①尸尸=2,BF=2后;②a=2瓜b=25⑵關(guān)系為:a2+b2=5c2,見解析證明(3)15

【分析】本題為四邊形綜合題，考查了三角形相似、中位線等知識，其中(3),直接利用(2)的結(jié)論是本

題的新穎點和突破點.(1)在圖1中，PB^ABcos45°^4=PA,即可求解；同理可得：a=2屈,b=2不；

(2)PB-ABcosa=ccoscir,PA=csina,PF=—PA=—csina,PE=—ccosa,則。？=(2AE)2+(2B尸產(chǎn)，即

222

9iii

可求解；(3)證明：MG=-ME=-MB,MH=-MC,則MG?+MH?=§(八①2+肱^),即可求解.

【詳解】(1)解：如圖1、2、3、4,連接斯,

c

c

BABAB

圖1圖2圖3

?.?A￡B石是VABC的中線，，所是V45C的中位線，

1pRDAAD

：.EF=-AB,EF//AB,.NEFPWBPA,A—=—=—=2,

2PEPFEF

AF±BE,則在圖1中，PB=ABcos45o=c.?=4&x?=4=PA,

22

由此得：PF=^PA=2,BF=y]PB2+PF2=275：

在圖2中，PB=ABcos30°=c—=4x-=2^/3,PA=ABsin30°=c--=4x-=2,

2222

由此得：PF=^PA=1,BF=y]PB2+PF2=V13,a=BC=2BF=2713>

PE=；PBf,AE=y]PE2+AP2=s/l,b=AC=2AE=2y/l>則a=2巫,8=2近；

(2)關(guān)系為：a2-^-b2=5c2>

證明：如圖3,設(shè)：ZEBA=a,貝ij：PB=ABcosa=ccosa,PA=csina,

由(1)得：尸產(chǎn)=，PA='csina,尸￡='ccosa,

222

AE2=PE2+AP2=c2(sina『+；(cosa『,BF2=PF2+BP2=c2^-(sincr)2+(cos6r)2

22

APBPAP2+BP2AB2

(sinaj+(cos1J

ABAB-AB7

22222222

貝lja+b=(2AE)+(2BF)=4cx-[(sina)+(cosa)~\=5c；

4」

(3)根據(jù)題意可得:.AAGEsACBE,：.AG=-BC=-AD,EG=-BE

3333f

VE,尸分別為線段A。。。的中點，，所是△。4。的中位線，

AEF=-AD,則斯=^5C=」A。，NMGH^NMBC,

222

FFGMMH1

??.——=—=——=-,：,EM=BE,MF=FC,:,GM=2EG,I.E,b分別是曲公中點，

BCBGMC2

QGH〃BC,EF〃BC,：.HG〃EF,.NMGHKMEF,

212121

MG=—ME=—MB,MH=—MF=—MC,HG=—EF=—AD,

333333

,?E,F分別是CM中點，CE,BF是BCM的中線，，ABCM是“中垂三角形”,

由（2）得合+62=502,即^32+同。2=8。2,貝UMG2+MH2=，（MB2+Mc2）=gx5xBC2=15.

模型2.378和578模型

模型解讀

378和578模型：邊長為3、7、8或5、7、8的三角形(如圖1)。

當(dāng)我們遇到兩個三角形的三邊長分別為3,7,8和5,1,8的時候，通常不會對它們進(jìn)行處理，實際是

因為我們對于這兩組數(shù)字不敏感，但如果將這兩個三角形拼在一起，你將驚喜地發(fā)現(xiàn)這是一個邊長為8的

等邊三角形。

模型證明

條件：當(dāng)兩個三角形的邊長分別為3,7,8和5,7,8時；

結(jié)論：①這兩個三角形的面積分別為6宕、10』；②3、8與5、8夾角都是60°；③將兩個三角形長為7

的邊拼在一起，恰好組成一個邊長為8的等邊三角形。

證明：如圖2,過點C作CM_LAB于點M,設(shè)8知=尤則AM=3+x,AZCMB=9Q°,

在血”CA1中：CM2=AC2-AM2,在R/A8C"中：

：.AC2-AM'=BCQ-BM~,即82-(3+x)2=72-/,解得x=l,ACM=4,:.CM=46,

.".S^ABC=-AB>CM=-，3?4退=6指，'：CM=4,AC=8,ZACM=30°,NCAM=60°。

22

如圖3,過點尸作FALLOE于點N,設(shè)。N=x則NE=5-x,:.NFND=90。,

在RtADNF中:NF2=DF2-DN2,在.RtAENF中:NF2=EF2-NE2,

：.DF2-DN2=EF2-NE2,即724=82-(5-x)2,解得x=l,NE=4,：.NF=，

：.SADEF=-'DE-NF=1?5*4A/3=10A^,,:NE=4,EF=8,/EFN=30°,NFEN=6Q0。

22

：.CM=NF=4A/3,ZCMB=ZFND=90°,,:CB=DF=1,:.RtABCM"RtADNF,：.ZCBM=ZFDN,

VZCBM+ZABC=180°,/.ZFDN+ZABC^80o,VAC=EF=80

.??將兩個三角形長為7的邊拼在一起，恰好組成一個邊長為8的等邊三角形(如圖4)。

模型運用

例1.（2023?浙江溫州?九年級校考期末）邊長為5,7,8的三角形的最大角和最小角的和是（）.

A.90°B.150°C.135°D.120°

【答案】D

【分析】法1：拼成一個邊長為8的等邊三角形，即可求解。法2：設(shè)"BC的三邊AB=5,AC=7,BC=8,

過點A作4D_LBC于點。，設(shè)分別在和MAADC中，利用勾股定理求得AD,從而可建立

方程，求得尤的值，可求得NB,因此可得最大角和最小角的和.

【詳解】法1：;△ABC的邊長為5,7,8,

...其可以和邊長為3,7,8的三角形拼成一個邊長為8的等邊三角形，

又由三角形中大邊對大角，可知邊長為7的邊所對的角為60°,

所以最大角和最小角的和是120。.故選D.

法2：設(shè)AABC的三邊AB=5,AC=7,BC=8,過點4作AOJ_3C于點。，如圖BD=x,則CD=8-x

在放AAOB中，由勾股定理得：AD1=AB1-BD1=25-^■,在我公人。。中，由勾股定理得：

AD2=AC2-CD2=49-(8-x)2則得方程：25-爐=49-(8-x>解得：x=|即

VBD=-AB,AD±BC：.ZBAD=300ZABD=90°-ZBAD=600AZBAC+ZC=180°-ZABZ)=120°

2

?.?BOAOA瓦故最大角與最小角的和為120。故選：D.

A

【點睛】本題考查了勾股定理，解一元一次方程，大角對大邊等知識，關(guān)鍵是作最大邊上的高，從而為勾

股定理的使用創(chuàng)造了條件.

例2.(2023?江蘇?八年級專題練習(xí))已知在AABC中，AB=8,AC=7,BC=3,則().

A.45°B.37°C.60°D.90°

【答案】C

【分析】法1：拼成一個邊長為8的等邊三角形，即可求解。法2：過點4作AD13C交延長線于點。，

設(shè)CZ)=x,貝|8C=3+x,在比AACD和甘AABD中，利用勾股定理求出AD?,可求出C。的長，從而得到3D

的長，然后利用直角三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】法1：;△ABC的邊長為3,7,8,

其可以和邊長為5,7,8的三角形拼成一個邊長為8的等邊三角形，

如圖，觀察圖形可知/B為等邊三角形的一個內(nèi)角，所以NB=60。.故選C.

法2：如圖，過點A作交8c延長線于點Q,

?.?在AABC中，AB=8,AC=7,BC=3,可設(shè)CD=x,則2C=3+x,

在R^ACD中，AD2=AC2-CD2=I2-x2，在Rf^ABD中,AD2=AB2-BD2=^-[x+3。

/.72-/=8?一(x+3)2,解得：x=],,\BC=3+x=4,

.?.在RMABD中，BD=；AB,ZBAD=30°./.AB=90°-ABAD=60".故選C.

【定睛】本題主要考查了勾股定理及直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形中若一條直角邊等于斜邊的

一半，則這條直角邊所對的銳角等于30°是解題的關(guān)鍵.

例3.（2023?綿陽市?八年級專題練習(xí)）如圖，A48C的邊AB=8,BC=5,AC=1.求8C邊上的高.

解：作AO_LBC于。,

由勾股定理得，AD2=AB2-BD1,AE^^AC2-CD2,

：.AB2-BD1=AC2-CD2,即82-(5-CD)2=72-CD1,解得，CD=1,

則BC邊上的高互市=4我.

另解：可以和三邊長為3,7,8的三角形拼成一個邊長為8的等邊三角形，從而求解。

例4.（2023八年級上?江蘇?專題練習(xí)）已知在VABC中，AB=7,AC=8,5c=5,則VA3C的面積為（）

A.17.5B.20C.10gD.28

【答案】C

【分析】設(shè)=在RtAlBD和R3ACD中根據(jù)勾股定理表示出切和AZ52=AC2—C￡）2,列

出方程求出無，代入求出AD的值，再根據(jù)三角形的面積公式求出面積即可.

【詳解】解：如圖，過A作AD13C,垂足為D.設(shè)BD=x,貝l|CD=5-x,

,/在RtAABD和RtAACD中，AD2=AB2-BD2=AC2-CD2,

,-.72-X2=82-（5-X）\解得尤=1,AD=ylAB2-BD2=473-

?'-5AABC=1BC-A￡>=|X5X4V3=10A/3.故選：C.

另解：可以和三邊長為3,7,8的三角形拼成一個邊長為8的等邊三角形，從而求解。

【點睛】本題考查了勾股定理以及三角形的面積公式，熟練掌握利用勾股定理表示相應(yīng)線段之間的關(guān)系是

解題的關(guān)鍵.

例5.（23-24九年級上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）在VA3C中，A3=8,/3=60。，AC=7,則3C的長為.

【答案】5或3

【分析】分當(dāng)VA3C是銳角三角形時，當(dāng)VABC是鈍角三角形時兩種情況，過點A作于。，利用

含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理分別求出CD的長即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，當(dāng)VABC是銳角三角形時，過點A作ADSBC于。，

VZB=60°,；.4AD=3O。，Z.BD^-AB=A,：.AD2=AB2-BD2=48,

2

-CD=^AC2-AD2=1>BC=BD+CD=5-.

如圖所示，當(dāng)VA3C是鈍角三角形時，過點A作3c于。，

VZB=60°,；.4AD=30。，ABD^-AB=A,

2

AAZ52-AB2-BD2=48,；.CD=』AC?-AD2=1，:.BC=BD—CD=3；

綜上所述，BC的長為5或3,故答案為：5或3.

【點睛】本題考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵.

習(xí)題練模型］

1.（2023?湖北武漢?九年級校考階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直，AC、8。是方程

x?—16x+60=0的兩個解，則四邊形ABCD的面積是（）

【答案】B

【分析】對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半，二次方程的兩根乘積可以利用韋達(dá)定理

快速求解即可.

【詳解】由題意可知：四邊形ABCD的面積S=gACxBD

VAC,8。是方程d-16x+60=0的兩個解，

；.ACxBD=xjX2=\=60,四邊形ABC。的面積S=gx60=30,故答案為：B.

【點睛】本題考查對角線互相垂直的四邊形的面積計算及二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，知道利用對角線的成

績計算面積是解題關(guān)鍵.

2.（23-24八年級下?安徽合肥?期末）點尸是矩形A8CD內(nèi)一點，且滿足%=2,PB=3,PC=4,則PD的

值為（）

【答案】D

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

過點P向矩形的四邊分別作垂線，垂直分別為E,G,EH,根據(jù)題意，設(shè)AG=a,/歸=>,G￡>=c,BE=〃，則

有勾股定理，分另1」求得4產(chǎn),282,~?2,2。2,根據(jù)已知數(shù)據(jù)以及4尸2+尸。2=3尸+92,進(jìn)而即可求得的

長.

【詳解】過點P向矩形的四邊分別作垂線，垂直分別為E,G,Q〃，如圖，?.?四邊形ABCD是矩形,

ZBAD=ZABC=ZBCD=ZADC=90°,.1四邊形AEPG,EPHB,GPFD,PHCF是矩形，

：.AE=PG=DF,AG=EP=BH,GD=PF=HC,EB=PH=FC,PF=GD=HC,

AG

I

上

H

設(shè)4G=a,AE=/?,GD=G3E=d,則AP2=a2+b2,BP2=a2+d2,PD2=c1+b2,PC2=d~+c2,

:.AP2+PC2=BP2+PD2,■-PA=2,PB=3,PC=4,22+42=32+PD2PD=>Ju.故選：D.

3.（2024?天津和平?二模）如圖，四邊形A3CD的兩條對角線AC,BD相交于點。，點。在線段AC上，且

AC±BD,AB=5,BC^3,若AC+BD=10.有下列結(jié)論：①AC的取值范圍是2<AC<8；②AC的長有兩

個不同的值滿足四邊形ABCD的面積為12；③四邊形ABCD面積最大值為125.其中，正確結(jié)論的個數(shù)有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】B

【分析】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，解一元二次方程，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點，利用三角形的

1975

三邊關(guān)系可判定①，先表示出S四邊形-5）+y,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可判定③，解

1°

-］（AC-5丫+奇=12的方程，可判定②，進(jìn)而可得答案，熟練掌握其性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵.

【詳解】'/在VABC中，AB-BC<AC<AB+BC,/.5-3<AC<5+3,2<AC<8,

當(dāng)AC=4時，AB2=BC2+AC2,此時AABC是直角三角形且點C在線段8。上，不符合題目ABCD是四邊

形，，2<AC<4或4<AC<8,故①錯誤，不符合題意；

=

/AC-LBD,S四邊形ABCDS&ACD+SAACB=_ACxOD+—ACxOB=—ACx（OB+OZ））=—ACxBD,

1125

*.*AC+BD=10,BD=10—ACfJS四邊形MS=5ACx（10—AC）=—5（人。—5）+-^-,

25

?,?當(dāng)AC=5時，四邊形ABC。面積有最大值為了，故③正確，符合題意；

1975

當(dāng)—］（AC—5）+耳=12時，解方程得：AC=4或AC=6,

??,當(dāng)AC=4時，不符合題目ABCD是四邊形,

，AC的長有1個值滿足四邊形ABCD的面積為12,故②錯誤，不符合題意；故選：B.

4.（2023?山東八年級課時練習(xí)）已知在AABC中，AB=1,AC=8,BC=5,則NC=（）.

A.45°B.37°C.60°D.90°

【答案】C

【分析】法1：拼成一個邊長為8的等邊三角形，即可求解。法2：過點A作于￡>,設(shè)CD=x,則

BD=BC-CD=5-x,由勾股定理得72-（5-無）2=82-N,得出C￡>=4,貝!再證NC4O=30。.

【詳解】法1：;△ABC的邊長為5,7,8,

.?.其可以和邊長為3,7,8的三角形拼成一個邊長為8的等邊三角形，

如圖，觀察圖形可知/C為等邊三角形的一個內(nèi)角，所以NC=60。.故選C.

法2：過點A作ADLBC于。，如圖所示:

設(shè)C￡）=x,則B￡）=2C-C￡）=5-無，在放中，由勾股定理得：ArP^AB^BD2,

在口△AC。中，由勾股定理得：AD2=AC2-CD2,

.'.AB-BL^^A^-CD2,即：72-（5-無）2=82-^,解得：尤=4,；.8=4,

J.CD^^AC,：.ZCAD^30°,；.NC=90°-30°=60°,故選：C.

【點睛】本題考查了勾股定理、含30。角的直角三角形的判定、三角形內(nèi)角和定理等知識；熟練掌握勾股定

理，證出NC4D=30。是解題的關(guān)鍵.

5.（2024?四川廣元?二模）如圖，在四邊形ABCD中，AO〃3C,對角線AC,8?；ハ啻怪?，AC=12,BD=8,

則AO+BC的值是

AD

【答案】4耳

【分析】本題考查了勾股定理運用，平行四邊形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造直角三角形、運用平行四邊

形性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵.過點A作/石〃3。交延長線于E,作API3c于尸，將AD+3c轉(zhuǎn)

化為EC,對RSACE運用勾股定理求解.

【詳解】解：如圖，過點A作AE〃瓦）交CB延長線于E,作AblBC于歹，

■.■AD\\BC,AC=12,9=8,.?.四邊形AttBE是平行四邊形，:.AE^BD=8,AD=BE

AC±BD,.\AE±AC,在Rt^ACE中，EC2=AE2+AC2,

EC=^AE2+AC2=A/82+122=4713,AAD+BC=4y/]3,故答案為：4而.

6.（2022?山東棗莊.模擬預(yù)測）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形

ABCD,對角線AC、BD交于點、O.若AO=3,BC=5,則.

【答案】34

【分析】在放ACOB和夫公4。8中，根據(jù)勾股定理得BO2+co2=cg2,OD^OA^AD2,進(jìn)一步得

BO2+CO2+OD2+OA2=9+15,再根據(jù)482=8。2+4。2,CD2=OC2+OD2,最后求得A82+C￡)2=34.

【詳解】解：'：BD±AC,：.ZCOB=ZAOB=ZAOD=ZCOD=90°,

在R/ACOB和WAAOB中，卞艮據(jù)勾股定理得，BO2+CO2=CB2,OD^OA^AD2,：.BO2+CO2+OD2+OA2=9+25,

'：AB2=BO2+AO2,CD2=OC2+OD2,：.AB2+CD2=3^故答案為：34.

【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理在實際問題中的應(yīng)用，從題中抽象出勾股定理這一

數(shù)學(xué)模型是解題關(guān)鍵.

7.（23-24九年級上?廣東梅州?期中）四邊形的對角線互相垂直且長分別為8和12,則面積為.

【答案】48

【分析】本題考查四邊形面積問題，畫出圖形，四邊形ABC。，AC工于。，AC=8,BD=12,利用

三角形面積公式可得S四邊揚甌。=g2。?A。+；2。?CO=：助（A。+CO）=g?AC,從而可以得到答案.解

題的關(guān)鍵是掌握“對角線互相垂直的四邊形，面積等于對角線乘積的一半”.

【詳解】解：四邊形ABC。，于。，AC=8,80=12,如圖：

VACJ.BD,：.SAABD=-BDAO,S^CBD=^-BDCO,

22

*'*S四邊形Me。二~皿AO+mDC。毛叫AO+C。）［皿AC

VAC=8,9=12,；.S四邊作8=48.故答案為：48.

8.（23-24八年級?浙江?期末）當(dāng)兩個三角形的邊長分別為3,7,8和5,7,8時，則這兩個三角形的面積

之和是.

解：???邊長為3,7,8的三角形，可以和邊長為5,7,8的三角形拼成一個邊長為8的等邊三角形，

如圖，.?.拼成的等邊三角形的高為4U，.?.這兩個三角形的面積之和為?8x4g=16值.

9.（23-24八年級下.河北石家莊.階段練習(xí)）已知對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所

示的“垂美"四邊形ABC。，對角線AC,BD交于點0.

B

D

(1)若AB=5,OA=3,0C=4,則3C=；(2)若AD=也,BC=亞,貝+；

(3)若AB=根，BC—n,CD—c,AD—d,貝”w,n,c,d之間的數(shù)量關(guān)系是.

【答案】4血77772+c2=M2+d1

【分析】(1)根據(jù)題意和勾股定理即可求出.(2)利用勾股定理，進(jìn)行等量代換，可以得到4?2+°2的值.(3)

由(2)得求解過程可以得到AB2+Cr>2=BC2+A?,進(jìn)行替換即可.

【詳解】(1)ACA.BD,ZBOC=ACOD=ZDOA=ZAOB=90°,

:.OB=dAB2-OA2='52—32=4,CB=ylOB2+OC2=742+42=472.故答案為4日

(2)由(1)得：;.OB2+OC2=BC2,+OD-=AD2,OB2+O^=AB2,OC2+OD2=CD2,

AB2+CD2=OB2+OA2+OC2+OD2=BC2+AD1,

?:AD=^，BC=45,.'.AB2+CD2=(V2)2+(^)2=7.故答案為7.

(3)由(2)得：AB2+CD2=BC2+AD2,.-.m2+C1-=rr+d2.故答案為蘇+c?+/.

【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用問題，熟練利用勾股定理和等量代換是解題的關(guān)鍵.

10.(23-24八年級下.廣東廣州?期末)已知三角形一邊上的中線，與三角形三邊有如下數(shù)量關(guān)系：三角形兩

邊的平方和等于第三邊一半的平方與第三邊中線平方之和的2倍.即：如圖，在VABC中，AD是3C邊上

的中線，貝IJ有452+472=2(^2+92).請運用上述結(jié)論，解答下面問題.如圖，點p為矩形"8外部

一點，已知上4=PC=3,若PD=1,則AC的取值范圍為.

【答案】V17-l<AC<2A/6

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，勾股定理，理解新定義，并運用是本題的關(guān)鍵.連

接交AC于。，連接PO,由矩形的性質(zhì)可得AC=3D,AO=CO=BO=DO,由三角形中線與三角形

三邊關(guān)系，可求PB的長，由三角形的三邊關(guān)系可以求出，萬-1<8。<JT7+1,BPA/17-1<AC<717+1,

再根據(jù)當(dāng)點P在矩形ABCD的邊A￡>上時，求出AC='心+5="+(2應(yīng)J=2府然后根據(jù)點P在

矩形ABCD外部，求出AC<2"即可.

【詳解】解：如圖，連接交AC于。，連接尸。，

:四邊形ABC。是矩形，AAC=BD,AO=CO=BO=DO,

：P0是△ACP的中線，也是△P3D的中線，AB42+PC2=2（AO2+PO2）,PB2+PD1=2（PO2+OD1）,

PA1+PC2=PB2+PD2,：.9+9=l+PB2,：.PB=-jY7,

在△PBD中,y/i7-l<BD<y/17+l,AC<V17+1,

當(dāng)點尸在矩形ABCD的邊仞上時，如圖所示：

?；在矩形ABCD中，？。90?,PD=1,PA=PC=3,：.CD=PC2-PD2=732-12=272>

'：AD=AP+PD^4,：.AC=+CD?=,+（2可=2底,

丁點尸在矩形ABCD外，2#<后<后+1，，JF7-1<AC<2#.故答案為：A/17-1<AC<2A/6.

11.（2022?湖北?一模）如圖，尸是矩形ABC。外一點，有以下結(jié)論：?SAPAB+SAPCD=|S^ABCD@

222

SAPBC=SAPAC+SAPCD@PA+PC=PB-+PD^④若PO_LP8,則P、A、B、C、。在同一個圓上其中正確的

序號是________

尸

【答案】①②③④

【分析】過點尸作PELAB交延長線于點E,交C。延長線于點F,根據(jù)矩形的性質(zhì)可得四邊形BCFE

是矩形，從而得至IjAr>=BC=ER再由可叩+5/8=!4"尸石+：8-尸尸=；4/4￡>=；5矩蟲8,可得①正

確；再根據(jù)S/AC+S/C?=S矩形BCFE-S"PE-S/“-S，ABC,可得②SZP8C=S/B4C+S〃PC￡),故②正確；再根據(jù)

勾股定理可得③正確；然后根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得④正確，即可求解.

【詳解】解：如圖，過點P作交A2延長線于點E,交C。延長線于點E

在矩形ABC。中，AB=CD,AB//CD,ZABC=9Q°,

C.PELCD,

：.ZE=ZF^ZABC=90°,

四邊形BCFE是矩形，

：.AD=BC=EF,

???邑皿+5/8=；".尸石+；8.尸尸=；4小￡尸=；4"4。=：5矩形.8,故①正確;

乙乙乙乙乙

S&PAC+S&PCD=S矩形5CFE—S&APE~^PDF~^ABC

=BEEF--PEAE--PFDF--ABBC