單輝祖材料力學(xué)答案附錄A

附錄A截面幾何性質(zhì)

題A-1圖

(a)解：坐標(biāo)及微面積示如圖A-la。

cL4=pdgp

由此得

叱id?J2咫i政

(b)解：坐標(biāo)及微面積示如圖A-lb。

cL4=h(y)dy=ay"dy

由此得

L辿』：)⑷處'=s+1)8

AJ：av"dyn+^

A-2試計算圖示截面對水平形心軸z的慣性矩。

(a)解:取微面積如圖A-2a所示。

由于

z=acosa

y=bs\na

dy=bcosada

故有

/=J),2dL4=J~(/?sina)2-2?cosa/?cosada

nab'

;(l-cos4aXla

~1~

(b)解：取微面積如圖A-2b所示。

旦夕在Q與-a之間變化，而

Sik"

由此可得

2

Iz=小羽=「(冬山。)?-CQS(/X\(P

乙乙

d411.2c—d“fa,、4d4sin4a,

=--sm28do(1-cos4^)d^=—(z?-----—)

8J-?464324

A-4試計算圖示截面對水平形心軸z的慣性矩。

題A-4圖

解：顯然,

4

/汕3兀/a兀R'

1264124

A-5試計尊圖a所示正六邊形截面對水平形心軸z的慣性矩。

所以，A4Q/3對z軸的慣性矩為

中部矩形截面對z軸的的慣性矩為

A-6試計算圖示被面對水平形心軸Z的慣性矩。

題A-6圖

解：由截面關(guān)于z軸的對稱性可得

I.=—[4Z4—(a?，]

2121212

A-7試計算圖a所示截面對坐標(biāo)軸)，的慣性矩。

題A-7圖

解：如圖b所示，在橫坐標(biāo)），處，取寬為d），、高為z的狹長矩形為微面積，它對坐標(biāo)軸），

的慣性矩為

..z3.(ay")3.a3yin

dI=—dy=^—^-dy=^—

yJJJ

由此得

/《廣),32二”二

'3Jo-3(3〃+l)

A-8圖示曲邊三角形E尸G,z軸為平行于?石尸邊的形心軸，試計算該截面對z軸的慣

性矩。

題A-8圖

解：曲邊三角形的面積A,可視為為正方形面積A與工圓面積A2之差（見圖A-8）,即

4一

由圖可知，4及&的形心位置（豎向）依次為

4比］=4{+4%2

可得4的形心位置為

一、，。鵬心―2

y=-------------=-------/<

?cr43(4-7：)

曲邊三角形截面對zo軸的慣性矩為

人=/⑴一/量=",及4=1^/

“"z。31648

于是得

L=Z.-Ayl=^—^R4-(—/?2/?)2

z/八48412-37T

"?4

=3(16-3^)(4-^)-16/?4%7.55X10/?

144(4一期)

A-9試計算圖示截面對水平形心軸Z的慣性矩。

題A-9圖

(a)解：1.確定形心位置(到頂邊之距為yc)

_0350x0.100x0.050+2x(0.4(X)x0.050x().3(X))

)'cm=().1833m

0.350x0.100+2x(0.40()x0.050)

2.計算慣性矩

0.350xO.1003

1i0.350x0.100x(0.1833O.O5O)2

12

24

+2x[0.050x0.400+0Q50*040Gx(0.300-0.1833)])m

-34

=1.729xl0m=1.729x109mm"

(b)解：根據(jù)教材附錄C第4行的公式，可直接計算慣性矩,

22322

h\a+4ab+b)0.250x(0.100+4x0.100x0.300+0.300)4

——------------=-----------------------------------------IY1

36(。+/?)36x(0.100+0.300)

=2.39x10Tm4=2.39x108mm4

(c)解：1.確定形心位置(到大圓水平直徑之距為

-------=----------m=-0.0333m

4(0.6002-0.3002)

結(jié)果為負值，表示形心C在大圓水平直徑上方。

2.計算慣性矩

,x0,^KX0.600-*『0叫對當(dāng)

+——■——xO0.0333--x0.13332]m

=5.02xl0-3jn4=5.02xl09mm4

A-10試證明下列截面的形心軸均為主形心軸，且截面對這些主形心軸的慣性矩均

相同。

題A/0圖

(a)與(b)解：1.用解析法證明

沿水平與鉛垂方位建立直角坐標(biāo)系C”，顯然有

*=0

將坐標(biāo)轉(zhuǎn)任意角得坐標(biāo)系a”，由于

1-1.

Iuv=----sin2a+/v.cos2a=()

士一-----cos2a+/...sin2a

2?

考慮到式(a),從而有

由此得出結(jié)論，截面的形心軸均為主形心軸，且截面對■這些主形心軸的慣性矩均相同。

2.用幾何法證明

以/,為橫坐標(biāo)，以加為縱坐標(biāo)，畫慣性圓，是一個落在橫坐標(biāo)軸上的點圓。欲證的結(jié)論

一目了然。

（c）解：設(shè)等邊三角形的邊寬為小高為人則

JUJ0為

由此得,

還可知，

/”二。

可見，情況與題（a）及（b）相同，故結(jié)論亦同。

A-l1試計算圖a所示矩形截面對A4軸的慣性矩.

2a

題A?U圖

解：選坐標(biāo)系如圖b所示，得

/尸鄴誓=8/

/,二2"3。)'=]8/

3

/弁=。+(24.34)幻(―加一斯

23

sin^=—=,cos^=—7=

V13V13

從而有

5p

cos26>=—,sin2<9=—

1313

根據(jù)轉(zhuǎn)軸公式,

=———-+———-cos2a-/sin2a

22”

/、.+/.I-I.

=-^------------------cos2^+/sin2^

22a

將相關(guān)表達式代入上式，得

8/+18/8/-18。4336a4

(-9a4)—=

+~2—?5+IT

A-12圖示矩形截面，試確定A點的主軸方位及截面對該主軸的慣性矩。

題A-I2圖

解：坐標(biāo)取如圖A-I2,并設(shè)邊長/?二20mm,h=30mm,于是有

23244

Iv=-+bh(-)=(—xO.O3OxO.O2O+0.020x0.030x0.010)m=8.00x10^m

12212

32474

I產(chǎn)普+bh§)2=(_Lx0.020x0.030+0.020x0.030x0.015)m=I.800xl0-m

224-84

7vi=(hA)(1)(-^)=-^-=-jX(O.O2O)x(O.OVi)ni=-9.(X)x1Om

圖A-12

依據(jù)主軸方位與主慣性矩公式，得

2x(-0.900x10-8)

2a=arctan=-60.945°,a=-30.47°

1.800x10-7—8.00x10-8

,「8.00x10-8_1800x1078.00x10-8-1.800x107,4八八,,「\

人=[----------------------+----------------------cos(-60.945)-

22

(-9.00xl0-8)sin(-60.945°)]m4=2.70xlO^m4=2.70x104mm4

,8.00xl08+1.800xl078.00x108-1.800X107/“八3、

/z=[r-----------------------------------------------------cos(-60.945)+

-22

(-9.00xl0-8)sin(-60.945l>)]m4=2.33xl0-7m4=2.33xl05mm4

A-13試求圖示各截面的主形心軸位置及主形心慣性矩。

題A-I3圖

⑸解：坐標(biāo)示如圖A-13a,。為截面形心。

圖A-13a

,80x10x40+50x10x5

)xl0-3m=26.54xl0-3m

,(80x10+50x1(y)c=(-------------------------

,7()xl()x5+60xl()x30-33

二!’)xlOm=16.54xlO-m

70x10+60x10

10x80亞9+50x6

+80x10x(40—26.54)2+

1212

(26.54-5)2]xl0-,2m4=8.078xl0-7m4

10x60270X1

+60X10X(30-16.5^)+°+70x1Ox

1212

(16.54-5/岡0-%nd=3.878x10°nd

/X:=[80X10X(26.54-40)(5-16.54)+50X10X(26.54-5)

x(10+y-16.54)]xl0-,2m4=3.23IxlO*7m4

rti

t32x3.23⑶CT，539

(8.078-3.878)x10-7

得

2a=56.98',瓦=28.49°=28.5°

最后得到

(3.878+8.078)x10-7±0.878遇。78區(qū)02cos56.98。

I.22

+3.231xlO-7sin56.98']m4

=2.13xl()-7m4=2.13x105mm4,Z.=9.83xl0-7m4=9.83x105mm4

(b)解：坐標(biāo)示如圖A-13b,有

圖A-l3b

二0030x004()3

m4=1.600x107m4

12

3

,f0.C40x0.01r0.040x0.0201nninnnon