2023九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第二章 二次函數(shù)3 確定二次函數(shù)的表達(dá)式第2課時(shí) 由三點(diǎn)確定二次函數(shù)的表達(dá)式教學(xué)實(shí)錄 （新版）北師大版

2023九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第二章二次函數(shù)3確定二次函數(shù)的表達(dá)式第2課時(shí)由三點(diǎn)確定二次函數(shù)的表達(dá)式教學(xué)實(shí)錄（新版）北師大版學(xué)校授課教師課時(shí)授課班級(jí)授課地點(diǎn)教具教材分析2023九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第二章二次函數(shù)3“由三點(diǎn)確定二次函數(shù)的表達(dá)式”第2課時(shí)，本節(jié)課以北師大版教材為基礎(chǔ)，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用待定系數(shù)法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，確定二次函數(shù)的表達(dá)式。課程內(nèi)容與課本緊密相連，旨在幫助學(xué)生掌握二次函數(shù)表達(dá)式的基本求解方法，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力、邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。學(xué)生通過(guò)解決由三點(diǎn)確定二次函數(shù)表達(dá)式的問(wèn)題，學(xué)會(huì)運(yùn)用待定系數(shù)法建立數(shù)學(xué)模型，鍛煉邏輯推理過(guò)程，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算的精確度和效率。同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用素養(yǎng)。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識(shí)：

學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，已掌握了一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，能夠根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)確定一次函數(shù)的表達(dá)式。此外，學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的概念和圖像也有初步的了解，能夠識(shí)別二次函數(shù)的一般形式。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：

九年級(jí)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科普遍抱有較高的學(xué)習(xí)興趣，他們好奇心強(qiáng)，喜歡通過(guò)解決問(wèn)題來(lái)探索知識(shí)。在能力方面，學(xué)生的抽象思維能力逐漸增強(qiáng)，能夠理解并運(yùn)用代數(shù)方法解決問(wèn)題。學(xué)習(xí)風(fēng)格上，學(xué)生表現(xiàn)出多樣化的特點(diǎn)，有的學(xué)生更偏向于直觀學(xué)習(xí)，有的則偏好邏輯推理。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：

學(xué)生在學(xué)習(xí)由三點(diǎn)確定二次函數(shù)的表達(dá)式時(shí)，可能會(huì)遇到以下困難和挑戰(zhàn)：一是對(duì)二次函數(shù)性質(zhì)的深入理解不足，導(dǎo)致在應(yīng)用待定系數(shù)法時(shí)難以準(zhǔn)確建立方程組；二是數(shù)學(xué)運(yùn)算能力不足，可能在求解方程組時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤；三是缺乏解決實(shí)際問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，難以將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用到具體的情境中。針對(duì)這些困難，教師需要通過(guò)適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)和練習(xí)幫助學(xué)生克服。教學(xué)方法與手段教學(xué)方法：

1.講授法：通過(guò)系統(tǒng)講解二次函數(shù)的基本性質(zhì)和待定系數(shù)法，幫助學(xué)生建立清晰的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

2.討論法：組織學(xué)生圍繞具體問(wèn)題進(jìn)行小組討論，鼓勵(lì)學(xué)生表達(dá)自己的觀點(diǎn)，培養(yǎng)合作學(xué)習(xí)的能力。

3.實(shí)踐法：布置實(shí)際操作練習(xí)，讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作加深對(duì)二次函數(shù)表達(dá)式的理解。

教學(xué)手段：

1.多媒體演示：利用PPT展示二次函數(shù)圖像的變換規(guī)律，直觀展示二次函數(shù)的幾何意義。

2.互動(dòng)軟件：使用數(shù)學(xué)教學(xué)軟件，讓學(xué)生通過(guò)軟件操作，直觀感受二次函數(shù)圖像與系數(shù)之間的關(guān)系。

3.練習(xí)題庫(kù)：提供多樣化的練習(xí)題，幫助學(xué)生鞏固知識(shí)，提高解題技能。教學(xué)過(guò)程1.導(dǎo)入（約5分鐘）

-激發(fā)興趣：展示生活中常見(jiàn)的拋物線形狀，如滑梯、拋物線橋等，提問(wèn)學(xué)生這些形狀與數(shù)學(xué)中的二次函數(shù)有何關(guān)聯(lián)，引起學(xué)生的興趣。

-回顧舊知：簡(jiǎn)要回顧一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生思考二次函數(shù)圖像的特點(diǎn)，為引入新知識(shí)做好鋪墊。

2.新課呈現(xiàn)（約20分鐘）

-講解新知：

a.二次函數(shù)的定義：通過(guò)定義和性質(zhì)的講解，讓學(xué)生明確二次函數(shù)的一般形式和圖像特點(diǎn)。

b.待定系數(shù)法：詳細(xì)講解待定系數(shù)法的原理和步驟，強(qiáng)調(diào)系數(shù)a、b、c的確定方法。

-舉例說(shuō)明：

a.以具體實(shí)例展示如何根據(jù)三個(gè)點(diǎn)確定二次函數(shù)的表達(dá)式，讓學(xué)生理解待定系數(shù)法的應(yīng)用。

b.通過(guò)變化點(diǎn)的坐標(biāo)，展示不同情況下二次函數(shù)圖像的變化，加深學(xué)生對(duì)二次函數(shù)性質(zhì)的認(rèn)識(shí)。

-互動(dòng)探究：

a.引導(dǎo)學(xué)生分組討論，根據(jù)給出的三個(gè)點(diǎn)，嘗試確定二次函數(shù)的表達(dá)式。

b.鼓勵(lì)學(xué)生提出問(wèn)題，教師針對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解答，幫助學(xué)生深入理解知識(shí)。

3.鞏固練習(xí)（約30分鐘）

-學(xué)生活動(dòng)：

a.學(xué)生獨(dú)立完成課堂練習(xí)題，包括根據(jù)三個(gè)點(diǎn)確定二次函數(shù)表達(dá)式、判斷二次函數(shù)圖像的性質(zhì)等。

b.學(xué)生展示自己的解題過(guò)程，分享解題思路和方法。

-教師指導(dǎo)：

a.教師巡視課堂，觀察學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，及時(shí)給予指導(dǎo)和幫助。

b.針對(duì)學(xué)生在解題過(guò)程中遇到的問(wèn)題，進(jìn)行個(gè)別輔導(dǎo)，確保學(xué)生掌握相關(guān)知識(shí)。

4.拓展延伸（約10分鐘）

-提出與二次函數(shù)相關(guān)的生活實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決。

-學(xué)生分組討論，提出解決方案，展示小組合作成果。

5.總結(jié)與反思（約5分鐘）

-教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，總結(jié)二次函數(shù)表達(dá)式的確定方法。

-學(xué)生分享自己的學(xué)習(xí)心得，提出疑問(wèn)和改進(jìn)建議。

6.課后作業(yè)（約20分鐘）

-布置與二次函數(shù)相關(guān)的課后作業(yè)，包括理論題和實(shí)踐題，鞏固所學(xué)知識(shí)。

-布置作業(yè)時(shí)，注意題目難度的梯度，滿足不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。

教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和問(wèn)題解決能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)效果。同時(shí)，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)差異，給予個(gè)別輔導(dǎo)，確保每個(gè)學(xué)生都能掌握所學(xué)知識(shí)。教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

-二次函數(shù)的應(yīng)用：介紹二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，如物理學(xué)中的拋體運(yùn)動(dòng)、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的成本分析等，讓學(xué)生了解二次函數(shù)的實(shí)用性。

-二次函數(shù)圖像的性質(zhì)：探討二次函數(shù)圖像的對(duì)稱性、頂點(diǎn)坐標(biāo)、開(kāi)口方向等性質(zhì)，幫助學(xué)生更全面地理解二次函數(shù)。

-二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：分析二次函數(shù)與一元二次方程之間的聯(lián)系，如二次函數(shù)的圖像與一元二次方程的根的關(guān)系。

-二次函數(shù)的圖像變換：研究二次函數(shù)圖像的平移、伸縮、旋轉(zhuǎn)等變換，讓學(xué)生掌握二次函數(shù)圖像的變換規(guī)律。

2.拓展建議：

-閱讀相關(guān)書(shū)籍：推薦學(xué)生閱讀《數(shù)學(xué)之美》、《數(shù)學(xué)與生活》等書(shū)籍，了解數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用。

-觀看教學(xué)視頻：推薦學(xué)生觀看“二次函數(shù)圖像與性質(zhì)”等教學(xué)視頻，加深對(duì)二次函數(shù)圖像性質(zhì)的理解。

-完成拓展練習(xí)：布置一些與二次函數(shù)相關(guān)的拓展練習(xí)，如證明二次函數(shù)圖像的對(duì)稱性、求二次函數(shù)圖像的交點(diǎn)等，提高學(xué)生的解題能力。

-參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽：鼓勵(lì)學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，如全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽等，通過(guò)競(jìng)賽提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

-小組合作研究：組織學(xué)生進(jìn)行小組合作，研究二次函數(shù)在特定領(lǐng)域的應(yīng)用，如物理學(xué)中的拋體運(yùn)動(dòng)、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的成本分析等，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力和研究能力。

-制作二次函數(shù)圖像：利用計(jì)算機(jī)軟件或手繪的方式，制作二次函數(shù)圖像，觀察圖像的變化規(guī)律，提高學(xué)生的動(dòng)手能力和觀察力。

-設(shè)計(jì)實(shí)際問(wèn)題：讓學(xué)生設(shè)計(jì)一些與二次函數(shù)相關(guān)的生活實(shí)際問(wèn)題，如計(jì)算拋物線滑梯的最小高度、分析商品成本與銷(xiāo)售量的關(guān)系等，提高學(xué)生的應(yīng)用能力。

-撰寫(xiě)數(shù)學(xué)小論文：鼓勵(lì)學(xué)生撰寫(xiě)關(guān)于二次函數(shù)的數(shù)學(xué)小論文，如探討二次函數(shù)圖像的對(duì)稱性、研究二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用等，培養(yǎng)學(xué)生的寫(xiě)作能力和思考能力。重點(diǎn)題型整理1.題型一：已知二次函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)，求二次函數(shù)的表達(dá)式。

-例題：已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,-1)和(3,2)，且其對(duì)稱軸為x=2，求該二次函數(shù)的表達(dá)式。

-答案：由對(duì)稱軸x=2，可知頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2。因?yàn)閷?duì)稱軸是兩個(gè)點(diǎn)的中點(diǎn)，所以頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)可以通過(guò)計(jì)算兩個(gè)給定點(diǎn)的縱坐標(biāo)的平均值得到，即(2+(-1))/2=0.5。所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0.5)。設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為y=a(x-2)^2+0.5，將點(diǎn)(2,-1)代入得到a*(-0+0.5)^2+0.5=-1，解得a=-4。因此，二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-4(x-2)^2+0.5。

2.題型二：已知二次函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)，求函數(shù)的最值。

-例題：已知二次函數(shù)的圖像與x軸交于點(diǎn)(-1,0)和(3,0)，求函數(shù)的最小值。

-答案：由題意可知，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x=(3-1)/2=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,f(1))。因?yàn)楹瘮?shù)在x=-1和x=3時(shí)取值為0，且函數(shù)圖像開(kāi)口向上，所以頂點(diǎn)是函數(shù)的最小值點(diǎn)。計(jì)算f(1)=-a(1-1)^2+b，由頂點(diǎn)公式f(x)=a(x-h)^2+k，得到k=f(1)=0，因此函數(shù)的最小值為0。

3.題型三：已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)和與x軸的一個(gè)交點(diǎn)，求函數(shù)的另一交點(diǎn)。

-例題：已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)為(2,-3)且與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(0,0)，求函數(shù)的另一交點(diǎn)。

-答案：設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a(x-2)^2-3，將點(diǎn)(0,0)代入得到0=a(0-2)^2-3，解得a=3/4。因此，函數(shù)表達(dá)式為y=(3/4)(x-2)^2-3。函數(shù)的對(duì)稱軸為x=2，所以與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在對(duì)稱軸的另一側(cè)，橫坐標(biāo)為4（2的對(duì)稱點(diǎn)），代入函數(shù)表達(dá)式得到y(tǒng)=(3/4)(4-2)^2-3=3/4*4-3=3/4*4-3/4*4=-3/4，所以另一個(gè)交點(diǎn)為(4,-3/4)。

4.題型四：已知二次函數(shù)的表達(dá)式，求其圖像與直線y=k的交點(diǎn)。

-例題：已知二次函數(shù)的表達(dá)式為y=2x^2-4x+3，求其圖像與直線y=1的交點(diǎn)。

-答案：將y=1代入二次函數(shù)的表達(dá)式中得到2x^2-4x+3=1，化簡(jiǎn)得2x^2-4x+2=0，進(jìn)一步化簡(jiǎn)得x^2-2x+1=0，即(x-1)^2=0，解得x=1。因此，二次函數(shù)的圖像與直線y=1的交點(diǎn)為(1,1)。

5.題型五：已知二次函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)，求函數(shù)的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。

-例題：已知二次函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)為(0,3)，且頂點(diǎn)在x軸上，求函數(shù)的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。

-答案：因?yàn)轫旤c(diǎn)在x軸上，所以頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0。設(shè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,0)，由于與y軸的交點(diǎn)為(0,3)，所以函數(shù)表達(dá)式可以設(shè)為y=a(x-h)^2+3。由于頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,0)，代入得到0=a(h-h)^2+3，解得a=-3。因此，函數(shù)的表達(dá)式為y=-3(x-h)^2+3。對(duì)稱軸為x=h，由于頂點(diǎn)在x軸上，h的值為0，所以函數(shù)的對(duì)稱軸為x=0，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3)。板書(shū)設(shè)計(jì)①知識(shí)點(diǎn)：

-二次函數(shù)的定義：一般形式為y=ax^2+bx+c，其中a≠0。

-二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)：(h,k)，其中h=-b/2a，k=c-b^2/4a。

-二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸：x=-b/2a。

②關(guān)鍵詞：

-待定系數(shù)法

-頂點(diǎn)式

-標(biāo)準(zhǔn)式

-對(duì)稱軸

-頂點(diǎn)坐標(biāo)

③重點(diǎn)句子：

-二次函數(shù)的表達(dá)式可以通過(guò)待定系數(shù)法確定。

-二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸可以通過(guò)公式計(jì)算得到。

-二次函數(shù)圖像的開(kāi)口方向由系數(shù)a決定，a>0時(shí)開(kāi)口向上，a<0時(shí)開(kāi)口向下。教學(xué)評(píng)價(jià)與反饋1.課堂表現(xiàn)：

-學(xué)生課堂參與度：觀察學(xué)生在課堂上的提問(wèn)、回答問(wèn)題、參與討論的情況，評(píng)價(jià)學(xué)生的參與度和積極性。

-學(xué)生注意力集中度：通過(guò)學(xué)生的眼神交流、坐姿和筆記情況，評(píng)估學(xué)生是否能夠集中注意力聽(tīng)講。

-學(xué)生互動(dòng)情況：記錄學(xué)生與同學(xué)、教師之間的互動(dòng)，包括合作討論、提問(wèn)解答等，評(píng)價(jià)學(xué)生的溝通能力和團(tuán)隊(duì)合作精神。

2.小組討論成果展示：

-學(xué)生討論質(zhì)量：評(píng)估學(xué)生在小組討論中提出的問(wèn)題、解決方案和觀點(diǎn)的深度和廣度。

-學(xué)生表達(dá)能力：觀察學(xué)生在展示討論成果時(shí)的清晰度和邏輯性，評(píng)價(jià)學(xué)生的表達(dá)能力。

-學(xué)生傾聽(tīng)能力：評(píng)估學(xué)生在小組討論中是否認(rèn)真傾聽(tīng)他人意見(jiàn)，并能夠尊重和接受不同觀點(diǎn)。

3.隨堂測(cè)試：

-學(xué)生掌握程度：通過(guò)隨堂測(cè)試，評(píng)估學(xué)生對(duì)二次函數(shù)表達(dá)式確定方法的掌握程度，包括待定系數(shù)法的應(yīng)用和二次函數(shù)圖像性質(zhì)的理解。

-學(xué)生解題能力：觀察學(xué)生在測(cè)試中的解題過(guò)程，評(píng)估學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和問(wèn)題解決能力。

-學(xué)生錯(cuò)誤分析：分析學(xué)生在測(cè)試中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，了解學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解誤區(qū)，為后續(xù)教學(xué)提供改進(jìn)方向。

4.學(xué)生自評(píng)與互評(píng)：

-學(xué)生自評(píng)：鼓勵(lì)學(xué)生在課后進(jìn)行自我評(píng)價(jià)，反思自己在課堂上的表現(xiàn)和學(xué)習(xí)效果，提出改進(jìn)措施。

-學(xué)生互評(píng)：組織學(xué)生之間進(jìn)行互評(píng)，讓學(xué)生互相指出優(yōu)點(diǎn)和不足，促進(jìn)學(xué)生的共同進(jìn)步。

5.教師評(píng)價(jià)與反饋：

-針對(duì)性評(píng)價(jià)：根據(jù)學(xué)生的課堂表現(xiàn)、小組討論成果和隨堂測(cè)試情況，進(jìn)行有針對(duì)性的評(píng)價(jià)，指出學(xué)生的優(yōu)點(diǎn)和需要改進(jìn)的地方。

-改進(jìn)措施建議：針對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇到的問(wèn)題，提出具體的改進(jìn)措施和建議，如加強(qiáng)練習(xí)、調(diào)整學(xué)習(xí)方法等。

-個(gè)性化指導(dǎo)：針對(duì)不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，提供個(gè)性化的輔導(dǎo)和指導(dǎo)，幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)困難，提高學(xué)習(xí)效果。

-教學(xué)反思：教師應(yīng)定期進(jìn)行教學(xué)反思，總結(jié)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，不斷優(yōu)化教學(xué)方法和策略，提高教學(xué)質(zhì)量。教學(xué)反思教學(xué)反思

這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的表達(dá)式，通過(guò)由三點(diǎn)確定二次函數(shù)的方法，讓學(xué)生們感受到了數(shù)學(xué)的實(shí)用性和魅力。在回顧和總結(jié)這節(jié)課的教學(xué)過(guò)程時(shí)，我有一些想法和反思。

首先，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生們對(duì)于二次函數(shù)的概念和圖像已經(jīng)有了初步的了解，但他們對(duì)二次函數(shù)表達(dá)式確定的方法理解還不夠深入。在課堂上，我通過(guò)實(shí)例和講解，盡力讓學(xué)生明白待定系數(shù)法的原理和步驟。但我也注意到，有些學(xué)生對(duì)于公式的推導(dǎo)過(guò)程感到困惑，這說(shuō)明我在教學(xué)過(guò)程中需要更加注重對(duì)公式的解釋和推導(dǎo)過(guò)程的演示。

其次，課堂上的互動(dòng)探究環(huán)節(jié)讓我看到了學(xué)生們積極的一面。他們能夠主動(dòng)提出問(wèn)題，并且在小組討論中能夠分享自己的觀點(diǎn)和思路。這讓我感到欣慰，但也意識(shí)到需要進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和表達(dá)能力。在未來(lái)的教學(xué)中，我計(jì)劃設(shè)計(jì)更多類(lèi)似的小組討論活動(dòng)，讓學(xué)生們?cè)诤献髦袑W(xué)習(xí)和成長(zhǎng)。

再次，我在布置隨堂測(cè)試時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一些學(xué)生在數(shù)學(xué)運(yùn)算方面的不足。這讓我意識(shí)到，在教授新知識(shí)的同時(shí)，不能忽視基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固。在接下來(lái)的教學(xué)中，我會(huì)更加注重