2025中考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)：全等模型（含解析）

幾何壓軸題一全等模型

（16種模型題型匯總+專(zhuān)題訓(xùn)練+13種模型解析）

【題型匯總】

倍長(zhǎng)中線(xiàn)

類(lèi)型一構(gòu)造輔助線(xiàn)

題型01倍長(zhǎng)中線(xiàn)法

模型倍長(zhǎng)中線(xiàn)模型倍長(zhǎng)類(lèi)中線(xiàn)模型

條件延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E,使AD=DE,連接BE在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)

圖示A4

B。/C

%

E

方法延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E,使AD=DE,連接BE延長(zhǎng)FD至點(diǎn)E,使FD=DE,連接CE

結(jié)論AADC^AEDB,AC=BE且AC〃BEABDFmACDE,BF=CE且BF〃CE

【總結(jié)】

1）口決：見(jiàn)中線(xiàn)（或中點(diǎn)），可倍長(zhǎng)，得全等，轉(zhuǎn)邊、角；

2）倍長(zhǎng)中線(xiàn)后，具體連接哪兩點(diǎn)，可根據(jù)需要轉(zhuǎn)化的邊、角來(lái)判斷；

3）倍長(zhǎng)中線(xiàn)后，將兩邊都連接可構(gòu)成平行四邊形，可將三角形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平行四邊形問(wèn)題，再借助平行四

邊形的相關(guān)性質(zhì)解題.

1.（2024.重慶渝北?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在ATIBC中，乙ACB=90°,若C4=6,CB=8,CD為△ABC的中線(xiàn)，

點(diǎn)E在邊力C上(不與端點(diǎn)重合)，BE與CD交于點(diǎn)凡若EC=EF,貝|DF=

【答案】y

【分析】如圖，倍長(zhǎng)CD至G,使CD=DG,連接BG,易證8F=BG=AC=6,設(shè)EC=EF=x,在Rt△BCE

222

中，BE=BC+CE,貝！|(X+6)2=/+82,x=|,利用勾股定理求出BC=10,證明A4C8三AGBC,

得到CG=4B=10,設(shè)CF=y,由相似三角形，得*=從而可得答案.

'10-y6

【詳解】解：如圖，倍長(zhǎng)CO至G,使CO=OG,連接BG,

???CD為△ABC的中線(xiàn)，

'-BD=AD,而=ZJBDG,

*,?AADC=△BDG,

；.BG=AC,Z,ACD=Z.G,

.'.ACWBG,

??,EC=EF,

??Z-ACD=Z.CFE,而NfFE=乙BFG,

??Z.G=Z.BFG,

??BF=BG,

???BF=BG=AC=6,設(shè)CE=EF=x,

在由△BCE中，BE2=BC2+CE2,

則(％+6)2=/+82,

解得：X=\,

■：ABCA=90°,BC=8,AC=6,4。為4ABC的中線(xiàn),

-，-AB=V62+82=10,AD=-AB=5,

2

???Z-ACD=Z.G,

???AC\\BGf

??.Z,CBG=180°-/,ACB=90°,

???AC=BGfBC=BC,

*'.△ACB=△GBC,

?-CG—AB—10,

設(shè)CF=y,

-ACWBG,

???△CEFGBF,

.CF_CE_

,,—,

FGBG

7

...----y----—一—§,

10-y6

解得y=g經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；

???CD=-CG=5,

2

11

DF=CD-CF=—

故答案為：y.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形的中線(xiàn)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題

的關(guān)鍵是構(gòu)建全等三角形與相似三角形.

2.（2024.山東荷澤.二模）【方法回顧】

如圖1,在ATIBC中，D,￡分別是邊48,AC的中點(diǎn)，小明在證明“三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，且等于

第三邊的一半”時(shí)，通過(guò)延長(zhǎng)。E到點(diǎn)F使EF=DE,連接CF,證明AADEmACFE,再證四邊形。BCF是

平行四邊形即得證.

圖1圖2圖3

(1)上述證明過(guò)程中：

①證明△4DE三小CFE的依據(jù)是()

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

②證明四邊形D8CT是平行四邊形的依據(jù)是；

【類(lèi)比遷移】

(2)如圖2,4D是AABC的中線(xiàn)，BE交4c于點(diǎn)E,交4D于點(diǎn)F,且AE=EF,求證：4C=BF.小明發(fā)現(xiàn)

可以類(lèi)比材料中的思路進(jìn)行證明.

證明：如圖2,延長(zhǎng)4。至點(diǎn)G,使GD=FD,連接GC,請(qǐng)根據(jù)小明的思路完成證明過(guò)程；

【理解運(yùn)用】

(3)如圖3,四邊形ABCD與四邊形CEFG均為正方形，連接DE、BG,點(diǎn)P是BG的中點(diǎn)，連接CP.請(qǐng)判斷

線(xiàn)段CP與DE的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系.(不要求證明)

【答案】(1)①A；②一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；(2)見(jiàn)解析；(3)CP=1DE,CPIDE

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，正確作出輔助線(xiàn)是解

題的關(guān)鍵.

(1)①根據(jù)判斷全等三角形的方法，證明A4DE三ACFE(SAS),即可解答；

②利用全等三角形的性質(zhì)，得至此力=NECF,AD=CF,可得4BIICF,AB=CF,即可解答；

(2)證明AFOB三△GDC(SAS),即可解答；

(3)延長(zhǎng)CP交DE于點(diǎn)N,延長(zhǎng)CP使得PM=PC,證明ZiBCP三AGMP(SAS),再利用全等三角形的性質(zhì)和

正方形的性質(zhì)，證明ADCE三AMGCCAS),利用角度轉(zhuǎn)換即可得到CPCP1DE.

【詳解】(1)①解：?.?。，E分別是邊2B,4C的中點(diǎn)，

???EA=EC,

在△%0￡與4CFE中,

'EA=EC

AAED=乙CEF，

、ED=EF

???△/DE三△CFE(SAS),

故選：A；

②???△ADECFE(SAS),

Z.A=Z.ECF,AD=CF,

???ABWCF,

???點(diǎn)。是ZB的中點(diǎn)，

DB=AD=CF,

???四邊形DBCF是平行四邊形，

故答案為：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；

(2)證明：在△FOB和△GDC中，

'BD=CD

乙BDF=乙CDG,

、FD=GD

/.△FDB三△GDC(SAS),

???BF—CG,Z-G—Z-BFD,

AE=EF,

??.Z.EAF=Z.EFA=乙BFD=Z.G,

??.AC=GC=BF；

(3)如圖，延長(zhǎng)CP交DE于點(diǎn)N,延長(zhǎng)CP使得PM=PC,

根據(jù)(2)中原理，可得△8CPwaGMP(SAS),

BC=GM,乙BCP=乙PMG,

???四邊形ZBCD與四邊形CEFG均為正方形,

.?.CD=CB=GM,CE=CG,乙BCD=(GCE=90°,

???乙DCE=360°一乙BCD-乙GCE-乙BCP-乙MCG=180°-zM-乙MCG=NMGC,

.-.ADCE=AM(7C(SAS),

???CP=-MC=-DE,乙EDC=乙M,

22

???乙DCN+乙BCM=90°,

???Z-M+乙DCN=2EDC+乙DCN=90°,

.-.乙DNC=90°

圖3

3.(2024.四川達(dá)州.模擬預(yù)測(cè))［問(wèn)題背景］在AABC中,AB=8,AC=4,求BC邊上的中線(xiàn)4D的取值范圍,

小組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法(如圖1)：延長(zhǎng)4。到E,使得=再連接BE,把

AB,AC,24。集中在△ABE中.

(1)利用上述方法求出4D的取值范圍是；

(2)［探究］如圖2,在△ABC中，CE為4B邊上的中線(xiàn)，點(diǎn)。在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且BC=2BD,4□與CE相交于

點(diǎn)。，若四邊形。DBE的面積為20,求ATIBC的面積；

(3)［拓展］如圖3,在四邊形4BCD中，乙4=105。，ND=120。，E為4D的中點(diǎn)，G、尸分別為AB、CD邊上的

點(diǎn)，若力G=4,DF=2V2,AGEF=90°,求GF的長(zhǎng).

【答案】(1)2<40<6

⑵50

(3)2710

【分析】(1)證明ADaC三ADEB得4C=EB,再根據(jù)三角形三邊關(guān)系求得4E的取值范圍，進(jìn)而完成解答；

(2)連接。B.過(guò)點(diǎn)A作4TIICD交C。的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)T.證明△4E7三△BEC(AAS)得出“=BC,證出*=半=

|,設(shè)A48C的面積為尤，由四邊形面積列出方程求解即可；

(3)延長(zhǎng)GE至點(diǎn)使得EM=EG,連接MD,MF,過(guò)點(diǎn)M作MN1CD,交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N,證明△

AEGmADEM,得至吐EDM=N￡；4G=105°,MD=AG=4,求出NMDF=135°,則NMDN=45。，繼而

證明ZiMDN為等腰直角三角形，得到MN=DN=2&,則NF=4近，利用勾股定理求出MF=2內(nèi)，同

理可得GF=2V10.

【詳解】（1）解：根據(jù)題意：延長(zhǎng)4。到點(diǎn)E,使0E=4D,再連接BE,

■■.AD=-2AE,

必。是BC邊上的中線(xiàn)，

??.CO=BD,

乙

在^DAC^^DEB中，4。=EDfZ.ADC=EDB,CD=BD,

???△□4c三△DEB(SAS),

.'.AC=EB=4,

-AB-BE<AE<AB+BE,AB=8,

.??4<AE<12,

???2<AD<6f

故答案為：2<AD<6.

(2)解：如圖：連接。8.過(guò)點(diǎn)A作/T||CD交C。的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)T.

???乙7=乙ECB,乙EBC=/-EAT,

???CE為48邊上的中線(xiàn)，

''AE—BE,

.-.△^ET=ABEC(AAS),

'.AT=BC,

,；CB=2BD,

??.CD：AT=3：2,

?MTHCD,

OD_CD_3

''AO~~AT~2J

設(shè)△ZBC的面積為X,

-BC=2BD,

.?.△力。8的面積為：》,

,-'OD：OA=3：2,

OBD的面積為QcaoB的面積為"，

,-'AE=EB,

.??△40E的面積=△BOE的面積三%,

???四邊形。DBE的面積=△ODB的面積+△OBE的面積=—x+—x^20,

1010

**?x—50.

??.△4BC的面積為50.

(3)解：如圖，延長(zhǎng)GE至點(diǎn)使得EM=EG,連接MD,MF,過(guò)點(diǎn)M作MNJ.CO,交CO的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)

N,

?.出為40中點(diǎn)，

?-EA—ED,

在^AEG^^OEM中，AE=DEf^AEG=乙DEM,EG=EM

???△/EG4OEM(SAS),

.ZEDM=Z.EAG=105°,MD=AG=4,

“EDF=120°,

.ZMDF=135°,

；/MDN=45°,

??.△MDN為等腰直角三角形，

■.MN=DN=—DM=2V2,

2

■■.NF=ND+FD=242+242=4VL

MF=yjNF2+MN2=A/32+8=2V10,

■■■GE=EM,乙GEF=90°,

.?.EF垂直平分GH,

■■■MF=GF,

:.GF=2V10.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形三邊的關(guān)系、全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定

理等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

4.(2024.貴州遵義?模擬預(yù)測(cè))輔助線(xiàn)是解決幾何圖形問(wèn)題的利劍，合理添加輔助線(xiàn)，會(huì)使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單,

下表給出了三角形中幾個(gè)常見(jiàn)利用中點(diǎn)添加輔助線(xiàn)的模型，請(qǐng)根據(jù)要求解決問(wèn)題.

2.等腰三角形+底邊中3.直角三角形+斜邊中

題眼1.普通三角形+中點(diǎn)4.兩個(gè)中點(diǎn)

點(diǎn)點(diǎn)

AEA

A3A

大致圖形

CA

BCBDC

輔助線(xiàn)名

倍長(zhǎng)中線(xiàn)三線(xiàn)合一斜邊中線(xiàn)中位線(xiàn)

稱(chēng)

延長(zhǎng)BD到點(diǎn)E,

具體做法連接AD連接CD連接DE

使DE=BD,連接力E

△AEDCBDAE||AD1BC4BAD=

產(chǎn)生效果①②

BC/.CAD

(1)請(qǐng)?jiān)冖?，②中任選擇一個(gè)填空：

你選擇的是,產(chǎn)生效果是.(產(chǎn)生效果寫(xiě)一個(gè)或兩個(gè))

(2)如圖①，在三角形中，力。是AHBC的一條中線(xiàn)，AB=AC=3,AD=2,求BC的長(zhǎng).

(3)如圖②，在AABC中，N4=30。,4c=90。,48=4,點(diǎn)M,N是邊4C上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，以MN為邊在△

ABC內(nèi)部(包括邊界)作等邊三角形APMN,點(diǎn)E,尸分別是4M,PM的中點(diǎn)，當(dāng)△PMN的周長(zhǎng)取最大值時(shí),

求線(xiàn)段EF的長(zhǎng).

【答案】(1)①，CD=^AB或②，DE||BC,DE=^BC

(2)BC=2V13

(3)EF=I

【分析】(1)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)性質(zhì)以及三角形的中位線(xiàn)定理即可求解；

(2)延長(zhǎng)至點(diǎn)E,使得DE=AD=2,可得ABDE=△CDA,則BE=AC=3,可證明AE?+BE2=432,

則乙4EB=90。，在RtABDE中，BD=V13,故由BC=2BD即可求解；

(3)當(dāng)點(diǎn)尸落在邊48上時(shí)，等邊三角形的邊長(zhǎng)最大，即周長(zhǎng)最大，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及三角形的

中位線(xiàn)定理即可求解.

【詳解】(1)解：選擇①，CD=1AB,

選擇②，DE||BC,DE=加；

(2)解：延長(zhǎng)4。至點(diǎn)E,使得DE=40=2,

在ABDE和ACEM中，

'DE=AD

乙BDE=ACDA,

.BD=CD

???ABDESACDA,

■■BE—AC—3,

"AB2=52=25,AE2+BE2=(2+2)2+32=25,

即:AE2+BE2=AB2,

.-.AAEB=90°,

在Rt△8DE中，BD=y/DE2+BE2=V22+32=V13,

：.BC=2BD=2V13；

(3)解：平移△PMN,使得點(diǎn)N與點(diǎn)C重合，過(guò)點(diǎn)C作CD于點(diǎn)D,

B

???△PMN是等邊三角形，

???UNP=60°,

?24=30。，CDLAB,

.'.^ACD=60°,

???當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)C重合時(shí)，NP與CO重合，

，當(dāng)點(diǎn)尸落在邊43上時(shí)，等邊三角形的邊長(zhǎng)最大，即周長(zhǎng)最大，如圖:

??24=30°,/-ACB=90°,

1

=60°BC=-AB=2,

f2

?.ZPNM=60°,

,ZBPN=90°,乙BNP=30°,

??.BP=-BN=1,

2

??AP=AB-BP=4-1=3f

又,：E,尸分別為ZM,PM的中點(diǎn),

???EF為AAPM的中位線(xiàn)，

13

:?EF=-AP=

22

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形的中位線(xiàn)定理，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角

形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

題型02截長(zhǎng)補(bǔ)短法

方法截長(zhǎng)法補(bǔ)短法

條件在4ABC中AD平分/BAC,ZC=2ZB,求證：AB=AC+CD

圖示A

BDCB上

7

E

方法在AB上截取AE=AC,連接DE延長(zhǎng)AC到點(diǎn)E,使CD=CE,連接DE

結(jié)論AACD^AAED

△DEB是等腰三角形ACDE是等腰三角形

【總結(jié)】

1)“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”是初中幾何題中一種添加輔助線(xiàn)的方法，也是把幾何題化難為易的一種靠略，截長(zhǎng)就是

在長(zhǎng)邊上截取一條線(xiàn)段與某一短邊相等，補(bǔ)短就是通過(guò)延長(zhǎng)或旋轉(zhuǎn)等方式使兩條短邊拼合到一起，從而解

決問(wèn)題.

2)截長(zhǎng)或補(bǔ)短后，如果出現(xiàn)的全等三角形或特殊三角形能推動(dòng)證明，那么輔助線(xiàn)是成功的，否則，就應(yīng)該

換一個(gè)截長(zhǎng)或補(bǔ)短的方式，甚至換一種解題思路.

1.(2020?安徽?中考真題)如圖1.已知四邊形2BCD是矩形.點(diǎn)E在B4的延長(zhǎng)線(xiàn)上.4E=EC與BD相交

于點(diǎn)G,與2D相交于點(diǎn)F,AF=4B.

(1)求證：BD1EC；

(2)若4B=1,求力E的長(zhǎng)；

(3)如圖2,連接4G,求證：EG-DG=42AG.

圖1圖2

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)詈；(3)見(jiàn)解析

【分析】(1)由矩形的形及已知證得AEAF三ADAB,則有NE=NADB,進(jìn)而證得NEGB=90。即可證得結(jié)論；

(2)設(shè)AE=x,利用矩形性質(zhì)知AFIIBC,則有詈=會(huì)，進(jìn)而得到x的方程，解之即可；

EBBC

(3)在EF上截取EH=DG,進(jìn)而證明^EHA三4DGA,得至!kEAH=ZDAG,AH=AG,貝！J證得^HAG為等腰

直角三角形，即可得證結(jié)論.

【詳解】(1)???四邊形ABCD是矩形，

/.ZBAD=Z.EAD=9O°,AO=BC,AD||BC,

在4EAF和ADAB,

AE=AD

Z.EAF=Z.DAB,

、AF=AB

.-.△EAF=ADAB(SAS),

.,.Z.E=ZBDA,

vzBDA+zABD=90°,

.,.zE+zABD=90°,

.-.ZEGB=9O°,

.-.BG1EC；

(2)設(shè)AE=x,貝!)EB=l+x,BC=AD=AE=x,

vAFHBC,ZE=ZE,

???△EAF?△EBC,

EA_AF

又

EB~BC9AF=AB=1,

X

-HP%2—x—1=0,

1+xX

解得：”=萼，尢=1(舍去)

即AE=竽

(3)在EG上截取EH=DG,連接AH,

在AEAH和ADAG,

AE=AD

Z.HEA=Z.GDA，

.EH=DG

??.△EAH三△DAG(SAS),

.?.ZEAH=ZDAG,AH=AG,

???ZEAH+ZDAH=9O°,

.-.ZDAG+ZDAH=9O°,

.-.ZHAG=9O0,

.?.△GAH是等腰直角三角形，

■■.AH2+AG2=G“2即24G2=GH2,

.?.GH=V2AG,

???GH=EG-EH=EG-DG,

■■.EG-DG=>/2AG.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角定義、

相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程等知識(shí)，涉及知識(shí)面廣，解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，提取相關(guān)信

息，利用截長(zhǎng)補(bǔ)短等解題方法確定解題思路，進(jìn)而推理、探究、發(fā)現(xiàn)和計(jì)算.

2.（2020九年級(jí).全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）在菱形28CD中，射線(xiàn)從對(duì)角線(xiàn)8。所在的位置開(kāi)始繞著點(diǎn)8逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a（0。<a<180。），點(diǎn)E在射線(xiàn)BM上，Z.DEB=Z.DAB.

（1）當(dāng)NDAB=6。。時(shí)，旋轉(zhuǎn)到圖①的位置，線(xiàn)段BE,DE,2E之間的數(shù)量關(guān)系是；

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，當(dāng)BM旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)，探究線(xiàn)段BE,DE,4E之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（3）將圖②中的ND4B=60。改為=90。，如圖③，其他條件不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段BE,DE,AE之

間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)BE=DE+4E；(2)BE=DE-AE,證明見(jiàn)解析；(3)BE=DE-近AE

【分析】(1)在射線(xiàn)上截取BF=DE,連接2F,首先利用菱形的性質(zhì)證明△4DE三△ABF,然后利用全

等三角形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)得出EF=AE,從而可得出結(jié)論BE=DE+AE；

(2)在DE上截取DG=8E,連接2G,首先利用菱形的性質(zhì)證明△4DG三A48E,然后利用全等三角形的

性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)得出EG=AE,從而可得出結(jié)論BE=DE-AE；

(3)在。E上截取=連接2H,首先利用正方形的性質(zhì)證明△40H三△48E,然后利用全等三角形

的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)得出EH=y[2AE,從而可得出結(jié)論BE=DE-五AE.

【詳解】(1)解：BE=DE+AE；

如圖①，在射線(xiàn)上截取BF=DE,連接4F,

???Z-DEB=Z-DAB=60°,

???Z-EDA=Z.ABE.

???四邊形4BCD是菱形，

AB=AD,

ADE三△4BF(S4S),

???AE=AF,Z,EAD=Z-BAF.

??.Z.DAB=Z.DAF+乙BAF=Z.DAF+Z.EAD=Z.EAF=60°.

??.△ZEF是等邊三角形，

???EF=AE.

???BE=BF+EF,

BE=DE+AE.

圖①

(2)BE=DE-AE.

證明：如圖②，在DE上截取DG=BE,連接4G,

???乙DEB=乙DAB=60°,

???Z.EDA=Z.ABE.

???四邊形4BCD是菱形，

AB=AD.

??.△ZOG=LABEKAS).

:.AE=AG,Z.DAG=Z-BAE.

???/-DAB=^DAG+Z.BAG=4BAE+Z.BAG=乙EAG=60°.

??.△AEG是等邊三角形.

EG=AE.

?：DG=DE—EG,

??.BE=DE-AE；

M

(3)BE=DE-42AE.

如圖③，在DE上截取CH=BE,連接力H,

(DEB=乙DAB=90°,

Z.EDA=乙ABE.

???四邊形4BCD是正方形，

???AB—AD.

ADH=AABEKAS).

AE=AH,AHAD=/-BAE.

Z.DAB="AH+乙BAH=Z.BAE+乙BAH=^EAH=90°.

.?.△4EH是等腰直角三角形.

???EH=&AE.

???DH=DE—EH,

???BE=DE-42AE.

w

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)，正方形和菱形的

性質(zhì)，合理的作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵.

3.(2024.黑龍江牡丹江.中考真題)數(shù)學(xué)老師在課堂上給出了一個(gè)問(wèn)題，讓同學(xué)們探究.在RtA48C中,

△ACB=90。,ABAC=30。,點(diǎn)。在直線(xiàn)BC上,將線(xiàn)段40繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線(xiàn)段AE,過(guò)點(diǎn)E作EFIIBC,

圖②圖③

(1)當(dāng)點(diǎn)。在線(xiàn)段BC上時(shí)，如圖①，求證：BD+EF=AB；

分析問(wèn)題：某同學(xué)在思考這道題時(shí)，想利用4D=4E構(gòu)造全等三角形，便嘗試著在4B上截取AM=EF,連

接DM,通過(guò)證明兩個(gè)三角形全等，最終證出結(jié)論：

推理證明：寫(xiě)出圖①的證明過(guò)程：

探究問(wèn)題：

(2)當(dāng)點(diǎn)。在線(xiàn)段8c的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖②：當(dāng)點(diǎn)。在線(xiàn)段CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖③，請(qǐng)判斷并直接寫(xiě)

出線(xiàn)段BD,EF,AB之間的數(shù)量關(guān)系；

拓展思考：

(3)在(1)(2)的條件下，若力C=6百，CD=2BD,貝口F=.

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)圖②：AB=BD-EF,圖③：AB=EF-BD-,(3)10或18

【分析】(1)在邊上截取AM=EF,連接DM,根據(jù)題意證明出△三AZEF(SAS),得到力F=DM,

然后證明出△BMC是等邊三角形，得到BD=BM=DM,進(jìn)而求解即可；

(2)圖②：在BD上取點(diǎn)”，使=AB,連接4"并延長(zhǎng)到點(diǎn)G使4G=4F,連接DG,首先證明出AABH是

等邊三角形，得到N84H=60。,然后求出MAH=然后證明出△凡4E=△GAD(SAS),得到EF=DG,

AAFE=ZG,然后證明出ADHG是等邊三角形，得到DH=DG=EF,進(jìn)而求解即可；

圖③：在EF上取點(diǎn)H使4H=4F,同理證明出AE4H三AADB(AAS),得到BD=4H,AB=EH,進(jìn)而求

解即可；

(3)根據(jù)勾股定理和含30。角直角三角形的性質(zhì)求出BC=6,AB=12,然后結(jié)合CD=2BD,分別(1)(2)

的條件下求出BD的長(zhǎng)度，進(jìn)而求解即可.

【詳解】(1)證明：在42邊上截取AM=EF,連接。M.

在Rt△4BC中，4B=90°-ABAC=90°-30°=60°.

EF||BC,

.-.乙EFB=NB=60°.

又A.EAD=60°,

Z-EFB=Z.EAD.

乙乙

又???BAD=AEAD-Z.EAF,Z.AEF=EFB-^EAFf

???乙BAD=Z.AEF.

XvAD=AE,AM=EF,

DAM=△/IFF(SAS).

??.AF=DM.

??.Z.AMD=Z.EFA=180°-乙EFB=180°-60°=120°.

???Z-BMD=180°-/.AMD=180°-120°=60°.

???乙B=60°,

???乙BMD=Z.B=乙BDM.

.?.△BMD是等邊三角形.

BD=BM=DM,

??,AB=AM+BM,

:.AB=EF+BD；

(2)圖②：當(dāng)點(diǎn)。在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，AB=BD-EF,證明如下：

如圖所示，在BD上取點(diǎn)使BH=48,連接AH并延長(zhǎng)到點(diǎn)G使4G=4/，連接。G,

-Z.ABC=60°,

??.△ZB”是等邊三角形，

“BAH=60°,

???線(xiàn)段繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線(xiàn)段“凡

??."/￡*=60。，AE=AD,

"AH=/LDAE,

：./-BAH-Z.EAH=/-DAE-乙EAH,即NB/E=乙HAD,

又以G=AF,

??.△FAEGAD(SAS),

-'-EF=DG,Z-AFE-zG,

??,BD||EF,

??/.ABC=Z.F=Z.G=60°,

-Z-DHG=乙AHB=60°,

??.△DHG是等邊三角形，

：.DH=DG=EF,

'.AB=BH=BD-DH=BD-EF；

圖③：當(dāng)點(diǎn)。在線(xiàn)段CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，AB=EF-BD,證明如下:

如圖所示，在EF上取點(diǎn)H使/”=

-EF||BC,

???4尸=Z.ABC=60°,

-AH=AF,

???△/HF是等邊三角形，

=Z-HAF=60°,

.?ZAHE=120°,

???將線(xiàn)段繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線(xiàn)段ZE,

.'.AD=AE,/.DAE=60°,

：^DAB+Z.EAH=180°-Z,EAD-^HAF=60°,

vzD+Z,DAB=(ABC=60°,

"D=Z-EAHf

“DBA=180°―/.ABC=120°=4EH/,

又??弘。=AE,

.*.△EAH三△4DB(AAS),

；,BD=AH,AB=EH,

-AH=FH,

：.BD=HF,

.'.AB=EH=EF-FH=EF-BD；

(3)如圖所示，

MB=2BC,AB2=BC2+AC2,

2

???(2BC)2=BC2+(6V3),

-9-BC=6,

'.AB=2BC=12,

,：CD=2BD,BC=BD+CD,

■.CD=-BC=2,

3

由(1)可知，BD+EF^AB,

：.EF=4S-S￡>=12-2=10；

如圖所示，當(dāng)點(diǎn)。在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),

■：CD<BD,與CD=2BD矛盾，

二不符合題意；

如圖所示，當(dāng)點(diǎn)。在線(xiàn)段CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),

■■■CD=2BD=BD+BC,BC=6,

??BD=BC=6,

由（2）可知，AB=EF-BD,

■：AB=2BC=12,

：.EF=AB+BD=12+6=18.

綜上所述，EF=10或18.

【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定，含30。角直角三角形

的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn).

題型03作平行線(xiàn)法

1.（2023貴州黔西模擬）如圖，AABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)尸在上，過(guò)點(diǎn)尸作PE1AC,垂足

為E,延長(zhǎng)2C至點(diǎn)0,使CQ=B4,連接PQ交AC于點(diǎn)D,則DE的長(zhǎng)為（）

【答案】C

【分析】過(guò)P作的平行線(xiàn)交4C于尸，通過(guò)44s證明APF。三AQC。，得FD=CD,再由AAP尸是等邊三角

形，即可得出。E=^AC.

【詳解】解：過(guò)P作BC的平行線(xiàn)交4c于F,

???△4BC是等邊三角形，

???^APF=NB=60°,^AFP=AACB=60°,

.?.△APF是等邊三角形，

AP=PF,

：CQ=PA,

■.PF=CQ

在APF。中和△QCD中，

Z.FPD=Z-Q

乙PDF=(QDC,

PF=CQ

.-.△PFZ)=AQCOQ44S),

??.FD=CD,

???PE1ZC于E,△ZPF是等邊三角形，

??.AE=EF,

AE+DC=EF+FD=ED,

i

???DE=-AC,

2

???AC=4,

???DE—2,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形

是解題的關(guān)鍵.

2.（2024齊齊哈爾模擬）如圖，在等邊4ABC中，點(diǎn)E為邊48上任意一點(diǎn)，點(diǎn)。在邊C8的延長(zhǎng)線(xiàn)上,且ED=EC.

⑴當(dāng)點(diǎn)E為4B的中點(diǎn)時(shí)（如圖1）,貝！I有AEDB（填“>”“〈”或“=”）；

（2）猜想如圖2,AE與DB的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

【答案】（1）=

（2）AE=DB,證明見(jiàn)解析

【分析】（1）由A4BC是等邊三角形，得到乙4BC=乙4cB=60°,AB=AC=BC,由三線(xiàn)合一得到力E=BE,

乙BCE=|乙4cB=30°,由ED=EC,得ND=乙BCE=30°,由外角的性質(zhì)得到/BED=30°,得到AD=

乙BED,貝=BE,證得AE=DB；

（2）過(guò)E作EF||BC交2C于F,先證明△4EF是等邊三角形，得到4E=EF=4F,再用AAS證明△DEB三小

ECF,得到BO=EF=2E,進(jìn)而證得猜想

【詳解】（1）???△48C是等邊三角形，

■■.AABC=乙4cB=60°,AB=AC=BC.

為4B的中點(diǎn)，

：.AE=BE,4BCE=-乙ACB=30°,

2

-ED=EC,

COE是等腰三角形，

：.Z.D=乙BCE=30°,

,：Z-ABC=乙D+乙BED,

“BED=30°,

??.ZD=乙BED,

:?BD=BE,

??AE=DB.

故答案為：=

（2）解：AE=DB.理由如下：

過(guò)E作EF||8c交4c于F,

???△ABC是等邊三角形，

-■/.ABC=Z.ACB=NA=60°,AB=AC=BC.

：.AAEF=4ABe=60°,AAFE=AACB=60°,即NAEF=^AFE=44=60°.

???△4EF是等邊三角形.

■■■AE—EF=AF.

■■■AABC=AACB=AAFE=60°,

：/DBE=乙EFC=120°,4。+乙BED=乙FCE+乙ECD=60°.

■■■DE=EC,

:.乙D=乙ECD.

-'-/.BED=Z.ECF.

ZDEB=Z.ECF,

在八DEB^WLECF中，l^DBE=/.EFC,

,DE=EC,

DEB三AECF(AAS).

；.BD=EF=AE,即力E=BD.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)

等知識(shí)，在等邊三角形中通過(guò)作平行線(xiàn)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

3.（2024?山西?模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐

【問(wèn)題探究】（1）如圖①，在正方形4BCD中，AB=6,點(diǎn)E為DC上的點(diǎn)，DE=2CE,連接BE,點(diǎn)、O為BE

上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作MN1BE交2。于點(diǎn)M,交于點(diǎn)N,求MN的長(zhǎng)度.

【類(lèi)比遷移】（2）如圖②，在矩形2BCD中，AB=6,BC=8,連接BD,過(guò)BD的中點(diǎn)。作MN_LBD交4。于

點(diǎn)、M,交BC于點(diǎn)N,求MN的長(zhǎng)度.

【拓展應(yīng)用】（3）如圖③，李大爺家有一塊平行四邊形的菜地，記作平行四邊形4BCD.測(cè)得4B=7/米，

BC=17米，^ABC=45°.為了管理方便，李大爺沿著對(duì)角線(xiàn)8。開(kāi)一條小路，過(guò)這條小路的正中間，開(kāi)了

另一條垂直于它的小路MN（小路面積忽略不計(jì)）.直接寫(xiě)出新開(kāi)出的小路的長(zhǎng)度.

【答案】【問(wèn)題探究】MN=2m；【類(lèi)比遷移】至；【拓展應(yīng)用】—

224

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)M作MG1BC于G,交8E于證明△MGN三△BCE（AAS）,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得MN=

BE,再利用勾股定理求解即可；

（2）過(guò)點(diǎn)M作MK1BC于K,交BD于L,證明AMAWSABCD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得答=聽(tīng)=；,

BDBC8

再利用勾股定理求解即可；

（3）過(guò)點(diǎn)M作MP1BC于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)。作OQ18C交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q,解直角三角形DQC求得DQ,CQ,

進(jìn)而求得BQ,再根據(jù)勾股定理求得再證明△OBQ-△NMP,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)M作MG_L8C于G,交BE于H,

???MN1BE,

??.Z.MOH=90°,

???乙HMO+乙MHO=90。,Z.HBG+^BHG=90°,乙BHG=LMHO,

???(HBG=(HMO,

???四邊形48CD是正方形，

AB=BC=CD,乙BCE=90°,

???AB=MG,

??.MG=BC,

在AMGN和△BCE中,

2HBG=乙HMO

乙MGN=乙BCE，

、MG=BC

??.△MGN且BCE(AAS),

MN=BE,

???AB=6,DE=2CE,

CE=-CD=-AB=2,

33

在BCE中，BE=yjBC2+CE2=2V10,

MN=2V10；

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)M作MK18C于K,交BD于L,

???MN1BD,

???4MOL=90°,

???Z.LMO+Z.MLO=90°,乙LBK+乙BLK=90°,Z.BLG乙MLO,

???乙LBK=Z.LMO,

?.?四邊形4BCD是矩形，

AB=CD=6,BC=AD=8,乙BCD=90°,

???AB=MG.

??.MG=BC,

在△MKN和△BCO中，

(^.LBK=AMO

t乙MKN=乙BCD'

???△MKN八BCD,

.MN_MK_6

"BD-BC-8’

???在Rt△BCO中，BD=VBC2+CD2=V82+62=10,

???MN=-BD=-x10=—；

882

(3)如圖，過(guò)點(diǎn)M作MPIBC于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)。作DQIBC交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q,

CD=48=7V2,乙DCQ=4ABC=45°,

???DP=CD-sinzDCQ=7或Xsin450=7V2Xy=7,

CQ=DQ=7,

vBC=17,

???BQ=24,

???BD=J8Q2+DQ2=,242+72=25,

vMN1BD,MP1BQ,

???乙DBQ+乙MNP=90°,乙MNP+乙NMP=90°,

???乙DBQ=乙NMP,

???△DBQNMP,

.MP_MN目口7_MN

,,BQ-BD24-25'

解得：MN=—.

24

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三

角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，正確構(gòu)造輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵.

題型04作垂線(xiàn)法

1.（2024?山東青島?中考真題）如圖，將正方形4BCD先向右平移，使點(diǎn)B與原點(diǎn)。重合，再將所得正方形

繞原點(diǎn)。順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。，得到四邊形490,則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4的坐標(biāo)是（）

A.(―1,—2)B.(—2,—1)C.(2,1)D.(1,2)

【答案】A

【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化一旋轉(zhuǎn)和平移，全等三角形的性質(zhì)與判定，先根據(jù)題意得到平移

方式為向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，則可得平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1)；如圖所示，設(shè)E(2,-1)繞原點(diǎn)0

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F,分別過(guò)￡工作x軸的垂線(xiàn)，垂足分別為G、H,證明△HFOSAGOE(AAS),

得到OH=GE=1,HF=0G=2,貝|/(一1,一2),即點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)力'的坐標(biāo)是(一1，一2).

【詳解】解：由題意得，平移前8(—3,0),

,?,將正方形ABC。先向右平移，使點(diǎn)8與原點(diǎn)。重合，

???平移方式為向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，

二平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1),

如圖所示，設(shè)E(2,-l)繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為尸，分別過(guò)￡、尸作x軸的垂線(xiàn)，垂足分別為

G、H,

-.Z.OHF=Z.OGE=90°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得NEOF=90。，0E=OF,

:/HOF+乙HFO=NGOE+乙HOF,

:/HFO=4GOE,

???△HFOGOF(AAS),

■■■OH=GE,HF=OG,

■.OH=GE=1,HF=0G=2,

1,-2),

二點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4的坐標(biāo)是(-1,一2),

2.(2024.內(nèi)蒙古赤峰中考真題)如圖，正方形力BCD的頂點(diǎn)4,。在拋物線(xiàn)y=-/+4上，點(diǎn)。在y軸上.若

A,C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為n(m>n>0),下列結(jié)論正確的是()

%

/q\

A.m+n=1B.m—n=lC.mn=1D.-=1

n

【答案】B

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解題時(shí)要熟

練掌握并能靈活運(yùn)用是關(guān)鍵.依據(jù)題意，連接ZC、BD交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)/作MN1y軸于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)8作BN1MN

于點(diǎn)N,先證明△ANBNZkOMA(AAS).可得AM=NB,DM=4N.點(diǎn)/、。的橫坐標(biāo)分別為zn、n,可得

A(m,—m2+4),C(n,—n2+4).E+8),M(0,—m2+4),設(shè)。(0,b),則B(T?I+n,—m2—n2+8—b),

N(m+n,—m2+4),BN=-n2+4—b,AM=m,AN=n,DM=m2—4+fo.再由ZM=NB,DM=AN

進(jìn)而可以求解判斷即可.

【詳解】解：如圖，連接8。交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)/作MN_Ly軸于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)B作BN工MN于點(diǎn)N,

???乙BAN+Z.DAM=90°,/.DAM+Z.ADM=90°,

???乙BAN=乙40M.

???乙BNA=/.AMD=90°,BA=AD,

ANB三△DMZ(AAS).

AM=NB,DM=AN.

??,點(diǎn)/、C的橫坐標(biāo)分別為瓶、幾，

:.A(m,—m2+4),C(n,—n2+4).

?,m+n-m2-n2+8.

???-----------x),M(0,-m2+4),

設(shè)。(0,b),則+n,—m2—n2+8—b),N(m+n,—m2+4),

BN=-n2+4—b,AM=m,AN=n,DM=m2—4+b.

又=NB,DM=AN,

???—n2+4—b=m,n=m2—4+b.

b=—n2—m+4.

n=m2—4—n2—m+4.

???(m+n)(m—n)=m+n.

???點(diǎn)/、。在y軸的同側(cè)，且點(diǎn)a在點(diǎn)。的右側(cè)，

???771+71H0.

???m—n=1.

故選：B.

3.（2024.重慶?中考真題）如圖，在正方形48CD的邊CD上有一點(diǎn)E,連接/E,把AE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,

得到FE,連接CF并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)G.則二的值為（）

A后nWc3V2n3V3

A.V2B.V3C.—D.—

22

【答案】A

【分析】過(guò)點(diǎn)尸作DC延長(zhǎng)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)H,貝亞"=90。，證明A/IDE三AEHF,則4。=EH=1,

設(shè)OE=HF=x,得到HF=CH=K,貝Ij/HCF=45°,故CF=岳,同理可求CG=近BC=&，貝l]FG=

CG-CF=V2（l-x）,因此竺=■（—"）=

CE1-x

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)P作DC延長(zhǎng)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)"貝吐”=90。，

由旋轉(zhuǎn)得瓦4=EF,Z.AEF=90°,

???四邊形4BCD是正方形，

:.乙D=90°,DC||AB,DA=DC=BC,設(shè)=DC=BC=1,

??.Z.D=(H,

-Z.AEH=41+Z.AEF=z2+ZD,

???Zl=z2,

ADE=△EHF,

???DE=HF,AD=EH=1,設(shè)DE=HF=x,

則CE=DC-DE=1-x,

?,CH=EH-EC=1-(1-%)=%,

.'-HF=CH=x,而4"=90°,

.ZHCF=45°,

.??0/=蕊=‘乃

??,DC||AB,

：.Z-HCF=Z-G=45°,

同理可求CG=yj2BC=V2,

??FG=CG-CF=V2—y[2x=V2(l—x),

.?.空=氏1)=注,

CE1-x

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確添加輔

助線(xiàn)，構(gòu)造“一線(xiàn)三等角全等”是解題的關(guān)鍵.

4.（2023?江蘇南通?中考真題）正方形4