專題七：三角形中的結(jié)構(gòu)不良題型(原卷版)

專題七三角形中的結(jié)構(gòu)不良題型結(jié)構(gòu)不良題型2020年新高考試卷中出現(xiàn)了結(jié)構(gòu)不良試題，所謂結(jié)構(gòu)不良，就是試題不是完整呈現(xiàn)，一般需要考生從給出的多個(gè)條件中選出一個(gè)或兩個(gè)補(bǔ)充完整進(jìn)行解答，試題具有一定的開(kāi)放性，不同的選擇可能導(dǎo)致不同的結(jié)論，難度與用時(shí)也會(huì)有所不同．此類(lèi)題型的設(shè)置一定程度上讓學(xué)生參與了命題，從傳統(tǒng)解題向解決問(wèn)題的思維轉(zhuǎn)變．【例題選講】[例1](2020·新全國(guó)Ⅰ)在①ac＝eq\r(3)，②csinA＝3，③c＝eq\r(3)b這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的三角形存在，求c的值；若問(wèn)題中的三角形不存在，說(shuō)明理由．問(wèn)題：是否存在△ABC，它的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且sinA＝eq\r(3)sinB，C＝eq\f(π,6)，________？注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．解析方案一：選條件①．由C＝eq\f(π,6)和余弦定理得eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(\r(3),2)．由sinA＝eq\r(3)sinB及正弦定理得a＝eq\r(3)b．于是eq\f(3b2＋b2－c2,2\r(3)b2)＝eq\f(\r(3),2)，由此可得b＝c．由①ac＝eq\r(3)，解得a＝eq\r(3)，b＝c＝1．因此，選條件①時(shí)問(wèn)題中的三角形存在，此時(shí)c＝1．方案二：選條件②．由C＝eq\f(π,6)和余弦定理得eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(\r(3),2)，由sinA＝eq\r(3)sinB及正弦定理得a＝eq\r(3)b．于是eq\f(3b2＋b2－c2,2\r(3)b2)＝eq\f(\r(3),2)，由此可得b＝c，B＝C＝eq\f(π,6)，A＝eq\f(2π,3)，由②csinA＝3，所以c＝b＝2eq\r(3)，a＝6．因此，選條件②時(shí)問(wèn)題中的三角形存在，此時(shí)c＝2eq\r(3)．方案三：選條件③．由C＝eq\f(π,6)和余弦定理得eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(\r(3),2)，由sinA＝eq\r(3)sinB及正弦定理得a＝eq\r(3)b．于是eq\f(3b2＋b2－c2,2\r(3)b2)＝eq\f(\r(3),2)，由此可得b＝c．由③c＝eq\r(3)b，與b＝c矛盾，因此，選條件③時(shí)問(wèn)題中的三角形不存在．[例2](2020·北京)在△ABC中，a＋b＝11，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：(1)a的值；(2)sinC和△ABC的面積．條件①：c＝7，cosA＝－eq\f(1,7)；條件②：cosA＝eq\f(1,8)，cosB＝eq\f(9,16)．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．解析(從條件①②中任選一個(gè)即可)選條件①：c＝7，cosA＝－eq\f(1,7)，且a＋b＝11．(1)在△ABC中，由余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(（11－a）2＋72－a2,2×（11－a）×7)＝－eq\f(1,7)，解得a＝8．(2)∵cosA＝－eq\f(1,7)，A∈(0，π)，∴sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\r(1－\f(1,49))＝eq\f(4\r(3),7)．在△ABC中，由正弦定理，得sinC＝eq\f(c·sinA,a)＝eq\f(7×\f(4\r(3),7),8)＝eq\f(\r(3),2)．∵a＋b＝11，a＝8，∴b＝3，∴S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×8×3×eq\f(\r(3),2)＝6eq\r(3)．選條件②：cosA＝eq\f(1,8)，cosB＝eq\f(9,16)，且a＋b＝11．(1)∵A∈(0，π)，B∈(0，π)，cosA＝eq\f(1,8)，cosB＝eq\f(9,16)，∴sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\r(1－\f(1,64))＝eq\f(3\r(7),8)，sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,16)))\s\up12(2))＝eq\f(5\r(7),16)．在△ABC中，由正弦定理，可得eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(\f(3\r(7),8),\f(5\r(7),16))＝eq\f(6,5)．又∵a＋b＝11，∴a＝6，b＝5．(2)sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(3\r(7),8)×eq\f(9,16)＋eq\f(1,8)×eq\f(5\r(7),16)＝eq\f(32\r(7),128)＝eq\f(\r(7),4)．∴S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×6×5×eq\f(\r(7),4)＝eq\f(15\r(7),4)．[例3]在：①a＝eq\r(3)csinA－acosC，②(2a－b)sinA＋(2b－a)sinB＝2csinC這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問(wèn)題中，并解答．已知△ABC的角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，c＝eq\r(3)，而且________．(1)求角C；(2)求△ABC周長(zhǎng)的最大值．解析(1)選①：因?yàn)閍＝eq\r(3)csinA－acosC，所以sinA＝eq\r(3)sinCsinA－sinAcosC，因?yàn)閟inA≠0，所以eq\r(3)sinC－cosC＝1，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C－\f(π,6)))＝eq\f(1,2)，因?yàn)?<C<π，所以－eq\f(π,6)<C－eq\f(π,6)<eq\f(5π,6)，所以C－eq\f(π,6)＝eq\f(π,6)，即C＝eq\f(π,3)．選②：因?yàn)?2a－b)sinA＋(2b－a)sinB＝2csinC，所以(2a－b)a＋(2b－a)b＝2c2，即a2＋b2－c2＝ab，所以cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，因?yàn)?<C<π，所以C＝eq\f(π,3)．(2)由(1)可知，C＝eq\f(π,3)，在△ABC中，由余弦定理得a2＋b2－2abcosC＝3，即a2＋b2－ab＝3，所以(a＋b)2－3＝3ab≤eq\f(3a＋b2,4)，所以a＋b≤2eq\r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立，所以a＋b＋c≤3eq\r(3)，即△ABC周長(zhǎng)的最大值為3eq\r(3)．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tanA)．(1)求角C；(2)若c＝2eq\r(10)，D為BC的中點(diǎn)，在下列兩個(gè)條件中任選一個(gè)，求AD的長(zhǎng)度．條件①：△ABC的面積S＝4且B>A，條件②：cosB＝eq\f(2\r(5),5)．2．在①3c2＝16S＋3(b2－a2)，②5bcosC＋4c＝5a，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面橫線處，然后解答問(wèn)題．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)△ABC的面積為S，已知________．(1)求tanB的值；(2)若S＝42，a＝10，求b的值．(注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分)3．在條件①(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，②asinB＝bcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))，③bsineq\f(B＋C,2)＝asinB中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問(wèn)題中，并給出解答．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，b＋c＝6，a＝2eq\r(6)，________，求△ABC的面積．4．從①B＝eq\f(π,3)，②a＝2，③bcosA＋acosB＝eq\r(3)＋1這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解決相應(yīng)問(wèn)題．已知在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S，若4S＝b2＋c2－a2，b＝eq\r(6)，且________，求△ABC的面積S的大