高考備考資料之?dāng)?shù)學(xué)人教B版全國用課件第一章集合與常用邏輯用語13

§1.3

充分條件、必要條件與命題的四種形式第一章

集合與常用邏輯用語基礎(chǔ)知識

自主學(xué)習(xí)課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)1.充分條件、必要條件與充要條件(1)“如果p，則q”形式的命題為真時，記作p?q，稱p是q的

條件，q是p的

條件.(2)如果既有

，又有

，記作

，則p是q的

條件，q也是p的

條件.p是q的充要條件又常說成q

p，或p與q

.知識梳理充分必要充要充要當(dāng)且僅當(dāng)?shù)葍rp?qq?pp?q互為逆否的兩個命題

(同真或同假)；互逆或互否的兩個命題

.2.命題的四種形式及真假關(guān)系不等價等價如果q,則p如果非p,則非q如果非q,則非p從集合的角度理解充分條件與必要條件若p以集合A的形式出現(xiàn)，q以集合B的形式出現(xiàn)，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則關(guān)于充分條件、必要條件又可以敘述為：(1)若A?B，則p是q的充分條件；(2)若A?B，則p是q的必要條件；(3)若A＝B，則p是q的充要條件；(4)若A

B，則p是q的充分不必要條件；(5)若A

B，則p是q的必要不充分條件；(6)若A

B且A?B，則p是q的既不充分也不必要條件.【知識拓展】題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)命題“若p，則q”的否命題是“若p，則綈q”.(

)(2)當(dāng)q是p的必要條件時，p是q的充分條件.(

)(3)當(dāng)p是q的充要條件時，也可說成q成立當(dāng)且僅當(dāng)p成立.(

)(4)若p是q的充分不必要條件，則綈p是綈q的必要不充分條件.(

)基礎(chǔ)自測×√√√123456題組二教材改編2.下列命題是真命題的是A.矩形的對角線相等B.若a＞b，c＞d，則ac＞bdC.若整數(shù)a是素數(shù)，則a是奇數(shù)D.命題“若x2＞0，則x＞1”的逆否命題3.“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的___________條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)123456答案√充分不必要題組三易錯自糾4.命題“若x2>y2，則x>y”的逆否命題是A.若x<y，則x2<y2

B.若x≤y，則x2≤y2C.若x>y，則x2>y2

D.若x≥y，則x2≥y2解析

根據(jù)原命題和其逆否命題的條件和結(jié)論的關(guān)系，得命題“若x2>y2，則x>y”的逆否命題是“若x≤y，則x2≤y2”.解析答案√1234565.“sinα>0”是“α是第一象限角”的A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件解析

由sinα>0，可得α是第一或第二象限角及終邊在y軸正半軸上；若α是第一象限角，則sinα>0，所以“sinα>0”是“α是第一象限角”的必要不充分條件.故選B.解析123456答案√6.已知集合A＝

，B＝{x|－1<x<m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一個充分不必要條件是x∈A，則實數(shù)m的取值范圍是__________.解析123456(2，＋∞)答案∵x∈B成立的一個充分不必要條件是x∈A，∴A

B，∴m＋1>3，即m>2.題型分類深度剖析題型一命題及其關(guān)系自主演練1.某食品的廣告詞為“幸福的人們都擁有”，這句話的等價命題是A.不擁有的人們會幸福 B.幸福的人們不都擁有C.擁有的人們不幸福

D.不擁有的人們不幸福答案√2.(2018·青島調(diào)研)下列命題：①“若a2<b2，則a<b”的否命題；②“全等三角形的面積相等”的逆命題；③“若a>1，則ax2－2ax＋a＋3>0的解集為R”的逆否命題；④“若

x(x≠0)為有理數(shù)，則x為無理數(shù)”的逆否命題.其中正確的命題是A.③④

B.①③

C.①②

D.②④答案√解析解析對于①，否命題為“若a2≥b2，則a≥b”，為假命題；對于②，逆命題為“面積相等的三角形是全等三角形”，為假命題；對于③，當(dāng)a>1時，Δ＝－12a<0，原命題正確，從而其逆否命題正確，故③正確；對于④，原命題正確，從而其逆否命題正確，故④正確.故選A.3.設(shè)m∈R，命題“若m＞0，則方程x2＋x－m＝0有實根”的逆否命題是____________________________________.若方程x2＋x－m＝0沒有實根，則m≤0答案(1)寫一個命題的其他三種命題時，需注意：①對于不是“若p，則q”形式的命題，需先改寫；②若命題有大前提，寫其他三種命題時需保留大前提.(2)判斷一個命題為真命題，要給出推理證明；判斷一個命題是假命題，只需舉出反例即可.(3)根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當(dāng)一個命題直接判斷不易進(jìn)行時，可轉(zhuǎn)化為判斷其等價命題的真假.思維升華典例

(1)已知等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，則“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件解析答案√題型二充分必要條件的判定師生共研解析方法一∵數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，∴S4＝4a1＋6d，S5＝5a1＋10d，S6＝6a1＋15d，∴S4＋S6＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d.若d＞0，則21d＞20d,10a1＋21d＞10a1＋20d，即S4＋S6＞2S5.若S4＋S6＞2S5，則10a1＋21d＞10a1＋20d，即21d＞20d，∴d＞0.∴“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要條件.故選C.方法二∵S4＋S6＞2S5?S4＋S4＋a5＋a6＞2(S4＋a5)?a6＞a5?a5＋d＞a5?d＞0，∴“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要條件.故選C.(2)已知條件p：x>1或x<－3，條件q：5x－6>x2，則綈p是綈q的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析由5x－6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.所以q?p，p?q，所以綈p?綈q，綈q?綈p，所以綈p是綈q的充分不必要條件，故選A.解析答案√充分條件、必要條件的三種判定方法(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進(jìn)行判斷，適用于定義、定理判斷性問題.(2)集合法：根據(jù)p，q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷，多適用于命題中涉及字母范圍的推斷問題.(3)等價轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性，進(jìn)行判斷，適用于條件和結(jié)論帶有否定性詞語的命題.思維升華跟蹤訓(xùn)練

(1)(2017·

贛中南五校聯(lián)考)已知α，β均為第一象限角，那么“α＞β”是“sinα＞sinβ”的A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件解析答案√∴充分性不成立；故“α＞β”是“sinα＞sinβ”的既不充分也不必要條件.(2)設(shè)向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，則“a∥b”是“tanθ＝

成立”的____________條件.(選填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)解析必要不充分答案典例

已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要條件，求m的取值范圍.解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}.由x∈P是x∈S的必要條件，知S?P.解答題型三充分必要條件的應(yīng)用師生共研∴當(dāng)0≤m≤3時，x∈P是x∈S的必要條件，即所求m的取值范圍是[0,3].若本例條件不變，問是否存在實數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件.引申探究解若x∈P是x∈S的充要條件，則P＝S，解答即不存在實數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件.充分條件、必要條件的應(yīng)用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上.解題時需注意：(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解.(2)要注意區(qū)間端點值的檢驗.思維升華跟蹤訓(xùn)練

(1)設(shè)p：|2x＋1|<m(m>0)；q：

>0.若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍為______.解析解析由|2x＋1|<m(m>0)，得－m<2x＋1<m，∵p是q的充分不必要條件，又m>0，(0,2]答案(2)設(shè)n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整數(shù)根的充要條件是n＝________.3或4答案解析解析由Δ＝16－4n≥0，得n≤4，又n∈N＋，則n＝1,2,3,4.當(dāng)n＝1,2時，方程沒有整數(shù)根；當(dāng)n＝3時，方程有整數(shù)根1,3，當(dāng)n＝4時，方程有整數(shù)根2.綜上可知，n＝3或4.典例

已知p：

≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，綈p是綈q的必要不充分條件，則實數(shù)m的取值范圍為__________.解析答案等價轉(zhuǎn)化思想在充要條件中的應(yīng)用思想方法思想方法指導(dǎo)思想方法指導(dǎo)等價轉(zhuǎn)化思想是指在解題中將一些復(fù)雜的、生疏的問題轉(zhuǎn)化成簡單的、熟悉的問題.本題中既有對題目中條件的化簡，又有充分必要條件和集合間關(guān)系的轉(zhuǎn)化.[9，＋∞)解析∵綈p是綈q的必要不充分條件，∴q是p的必要不充分條件.即p是q的充分不必要條件，由x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，得1－m≤x≤1＋m(m＞0).∴q對應(yīng)的集合為{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}.設(shè)M＝{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}.∴p對應(yīng)的集合為{x|－2≤x≤10}.設(shè)N＝{x|－2≤x≤10}.由p是q的充分不必要條件知，N

M，解得m≥9.∴實數(shù)m的取值范圍為[9，＋∞).課時作業(yè)1.命題“若函數(shù)f(x)＝ex－mx在[0，＋∞)上是減函數(shù)，則m>1”的否命題是A.若函數(shù)f(x)＝ex－mx在[0，＋∞)上不是減函數(shù)，則m≤1B.若函數(shù)f(x)＝ex－mx在[0，＋∞)上是減函數(shù)，則m≤1C.若m>1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在[0，＋∞)上是減函數(shù)D.若m≤1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在[0，＋∞)上不是減函數(shù)基礎(chǔ)保分練12345678910111213141516解析“若p，則q”形式的命題的否命題是對條件和結(jié)論同時否定，故選A.解析答案√2.命題“若a＞－3，則a＞－6”以及它的逆命題、否命題、逆否命題中假命題的個數(shù)為A.1 B.2 C.3 D.4解析原命題正確，從而其逆否命題也正確；其逆命題為“若a＞－6，則a＞－3”是假命題，從而其否命題也是假命題.因此4個命題中有2個假命題.解析答案√123456789101112131415163.“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案√123456789101112131415164.已知命題p：若a<1，則a2<1，則下列說法正確的是A.命題p是真命題B.命題p的逆命題是真命題C.命題p的否命題是“若a<1，則a2≥1”D.命題p的逆否命題是“若a2≥1，則a<1”解析答案√12345678910111213141516解析若a＝－2，則(－2)2>1，∴命題p為假命題，∴A不正確；命題p的逆命題是“若a2<1，則a<1”，為真命題，∴B正確；命題p的否命題是“若a≥1，則a2≥1”，∴C不正確；命題p的逆否命題是“若a2≥1，則a≥1”，∴D不正確.故選B.123456789101112131415165.“x＞1”是“

”的A.充要條件

B.充分不必要條件C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件解析由x＞1，得x＋2＞3，即

，

，即x＋2＞1，得x＞－1，故“x＞1”是“

”成立的充分不必要條件.故選B.解析答案√123456789101112131415166.(2017·北京海淀區(qū)一模)若實數(shù)a，b滿足a>0，b>0，則“a>b”是“a＋lna>b＋lnb”的A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件解析設(shè)f(x)＝x＋lnx，顯然f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∵a>b，∴f(a)>f(b)，∴a＋lna>b＋lnb，故充分性成立；∵a＋lna>b＋lnb，∴f(a)>f(b)，∴a>b，故必要性成立，故“a>b”是“a＋lna>b＋lnb”的充要條件，故選C.解析答案√123456789101112131415167.已知直線a，b分別在兩個不同的平面α，β內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件解析若直線a和直線b相交，則平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直線a和直線b可能平行或異面或相交，故選A.解析答案√123456789101112131415168.(2017·江西紅色七校二模)在△ABC中，角A，B均為銳角，則“cosA>sinB”是“△ABC為鈍角三角形”的A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件答案√12345678910111213141516解析又因為余弦函數(shù)y＝cosx在(0，π)上單調(diào)遞減，所以△ABC為鈍角三角形；12345678910111213141516即cosA>sinB.故“cosA>sinB”是“△ABC為鈍角三角形”的充要條件.若△ABC為鈍角三角形，角A，B均為銳角，123456789101112131415169.“若a≤b，則ac2≤bc2”，則原命題及命題的逆命題、否命題和逆否命題中真命題的個數(shù)是_____.解析其中原命題和逆否命題為真命題，逆命題和否命題為假命題.解析2答案1234567891011121314151610.設(shè)p：實數(shù)x，y滿足x>1且y>1，q：實數(shù)x，y滿足x＋y>2，則p是q的___________條件.(選填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)解析當(dāng)x>1，y>1時，x＋y>2一定成立，即p?q，當(dāng)x＋y>2時，可令x＝－1，y＝4，即q?p，故p是q的充分不必要條件.解析12345678910111213141516充分不必要答案11.已知命題p：a≤x≤a＋1，命題q：x2－4x＜0，若p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍是________.解析令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x＜0}＝{x|0＜x＜4}.∵p是q的充分不必要條件，∴M

N，解析(0,3)答案1234567891011121314151612.有下列幾個命題：①“若a＞b，則a2＞b2”的否命題；②“若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題；③“若x2＜4，則－2＜x＜2”的逆否命題.其中真命題的序號是________.解析①原命題的否命題為“若a≤b，則a2≤b2”，錯誤；②原命題的逆命題為“若x，y互為相反數(shù)，則x＋y＝0”，正確；③原命題的逆否命題為“若x≥2或x≤－2，則x2≥4”，正確.解析②③答案1234567891011121314151613.已知p：函數(shù)f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是單調(diào)函數(shù)，q：函數(shù)g(x)＝loga(x＋1)(a＞0，且a≠1)在(－1，＋∞)上是增函數(shù)，則綈p是q的A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件技能提升練答案√1234567891011121314