山東省菏澤市鄄城縣第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

2024—2025學(xué)年高二開年大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考試時間為120分鐘，滿分150分1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考場號?座位號?推考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知是直線方向向量，是平面的法向量.若，則（）A.7 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由線面位置關(guān)系和空間直線方向向量與平面法向量的定義可解.【詳解】由題意，若，則，所以，即，解得.故選：B.2.在四棱錐中，底面是平行四邊形，是對角線的交點(diǎn).用基底表示，正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量基本定理表示并判斷即可.【詳解】如圖，由題意，得.故選：C3.已知直線的方程為，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用直線斜率與傾斜角的正切函數(shù)關(guān)系，結(jié)合斜率的范圍可求傾斜角的范圍.【詳解】由題意假設(shè)直線傾斜角為得：.又因?yàn)?，所以，?再由正切函數(shù)的性質(zhì)與直線傾斜角的取值范圍，可得的取值范圍是.故選：A.4.在等差數(shù)列中，是其前項(xiàng)和.若，則（）A.480 B.120 C.160 D.240【答案】D【解析】【分析】應(yīng)用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式結(jié)合等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由題意得.故選:D.5.已知拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線的右頂點(diǎn)，則雙曲線的離心率是（）A.4 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線焦點(diǎn)是雙曲線的右頂點(diǎn)，可求得，進(jìn)而可求得，代入離心率公式即可求解.【詳解】由題意，得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，則在雙曲線中，.又因?yàn)樵陔p曲線中，，所以，所以雙曲線的離心率.故選：A.6.過點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn).若，則直線的斜率為（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)直線的方程及點(diǎn)，聯(lián)立直線方程與拋物線的方程消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得，由拋物線的定義可知，即，進(jìn)而解方程即可.【詳解】由題意，得拋物線焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為.由題意知直線的斜率存在且不為0.因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以設(shè)直線的方程為.聯(lián)立直線方程與拋物線方程，消去，整理得，設(shè)，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得.因?yàn)?4，所以由拋物線的定義得，即.所以，解得.故選：C.7.如圖，在棱長為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則直線到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空間向量法來求平行線與平行平面間的距離即可.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，即平面平面平面直線到平面的距離為點(diǎn)到平面的距離.設(shè)平面的法向量為，則即令，則點(diǎn)到平面距離為.故選：D.8.已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，且，設(shè)數(shù)列中不在數(shù)列中的項(xiàng)按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為（）A.11449 B.11195 C.11209 D.11202【答案】D【解析】【分析】利用累加法，結(jié)合等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求出，進(jìn)而求出，再判斷數(shù)列的前100中含有數(shù)列的項(xiàng)，然后利用公式法求和.【詳解】數(shù)列的首項(xiàng)為1，且，當(dāng)時，，，而滿足上式，因此，，而，因此數(shù)列的前100項(xiàng)和為數(shù)列的前107項(xiàng)的和減去數(shù)列的前7項(xiàng)的和，所以數(shù)列的前100項(xiàng)和為.故選：D二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知直線，圓，則（）A.當(dāng)時，直線與圓相離B.當(dāng)直線與圓相切時，的值為C.圓心到直線的距離的最大值是5D.圓與圓外切【答案】BD【解析】【分析】求出圓心到直線的距離與半徑比較可判斷A；根據(jù)相切結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式運(yùn)算判斷B；求出圓心到動直線的最大距離即可判斷C；根據(jù)兩圓位置關(guān)系判斷D.【詳解】直線的方程可化為，所以直線過定點(diǎn)；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心，半徑.對于A，當(dāng)時，直線的方程為，圓心到直線的距離，所以直線與圓相交，故A錯誤.對于B，當(dāng)直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于半徑，即，解得，故B正確.對于C，當(dāng)過點(diǎn)的直線與直線垂直時，圓心到該直線的距離有最大值5，此時因?yàn)橹本€的斜率為0，所以過點(diǎn)的直線的斜率不存在.因?yàn)橹本€的斜率為，所以圓心到直線的距離的取值范圍為，即圓心到直線的距離不存在最大值，故C錯誤.對于D，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心，半徑.因?yàn)?，所以圓與圓外切.故D正確.故選：BD.10.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)A在橢圓上.若（是坐標(biāo)原點(diǎn)）是等腰直角三角形，則的離心率可能是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由為等腰直角三角形，根據(jù)三個頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)分類討論，利用幾何關(guān)系以及橢圓定義，和點(diǎn)A在橢圓上的條件得到的等量關(guān)系，即可求得離心率.【詳解】由題意，得.由橢圓的對稱性，不妨設(shè)點(diǎn)A在軸上方，若點(diǎn)是的直角頂點(diǎn)，則，點(diǎn)A是橢圓的上頂點(diǎn)，此時，所以橢圓的離心率，故A對；若點(diǎn)是的直角頂點(diǎn)，則，此時.由點(diǎn)A在橢圓上，得，結(jié)合，化簡得.兩邊同乘，結(jié)合，得，解得（負(fù)值舍去），故B對；若點(diǎn)A是的直角頂點(diǎn)，則，此時.由點(diǎn)A在橢圓上，得，結(jié)合，化簡得.兩邊同乘，結(jié)合，得，結(jié)合，解得，故C錯；因?yàn)?，所以，故D對.故選：ABD.11.已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則下列結(jié)論中正確的有（）A.B.數(shù)列是等比數(shù)列C.D.數(shù)列的前項(xiàng)和為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)代入得，再代入求得，即可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)與可得數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，即可判斷選項(xiàng)B；由選項(xiàng)B可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)與即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而判斷選項(xiàng)C；根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式可得數(shù)列是首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時，；當(dāng)時，.故選項(xiàng)A正確.因?yàn)?，即，所?因?yàn)椋詳?shù)列是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列.故選項(xiàng)B正確.由選項(xiàng)B知，，所以，即當(dāng)時，.當(dāng)時，不滿足上式，所以，故選項(xiàng)C錯誤.由知，所以數(shù)列是首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.過點(diǎn)，且與直線垂直的直線的一般式方程為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)垂直關(guān)系求出直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得直線的方程，化為一般式方程即可.【詳解】直線的斜率為，由題意得直線的斜率為.又因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以直線的方程為，化為一般式，得.故答案為：.13.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則__________.【答案】【解析】【分析】先應(yīng)用，計(jì)算得出公比，最后應(yīng)用等比數(shù)列通項(xiàng)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所?兩式相減，得，即，所以等比數(shù)列的公比.當(dāng)時，由，得，解得，所以.故答案為：14.如圖，二面角的大小為是棱上兩點(diǎn)，，且，，則__________.【答案】【解析】【分析】依題意，可得，，及，再由空間向量的數(shù)量積公式與模長計(jì)算公式，代入求解即可.【詳解】由二面角的平面角的定義知，所以.由，得.因?yàn)?，所以，所?故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知在中，邊上的高所在的直線方程為邊上的高所在的直線方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.求：（1）邊所在的直線方程；（2）的面積.【答案】（1）（2）7【解析】【分析】（1）先分別求出兩條直線的交點(diǎn)，再應(yīng)用兩點(diǎn)求斜率，最后根據(jù)斜率及點(diǎn)得出直線方程；（2）先求兩點(diǎn)間距離及點(diǎn)到直線距離，最后應(yīng)用面積公式計(jì)算即可.【小問1詳解】由題意得設(shè)邊上的高的斜率為1，邊上的高的斜率為，所以直線的斜率分別為.因?yàn)?，所以直線的方程分別為.由解得即；由解得即.所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即得.小問2詳解】由（1）知，，直線的方程為，所以.因?yàn)?，所以點(diǎn)到直線的距離.所以的面積.16.如圖，在三棱錐中，平面是等邊三角形，，為的中點(diǎn).（1）用向量法證明：；（2）用向量法求直線與所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用空間向量基本定理將用基底表示，然后計(jì)算即可得結(jié)論；（2）求出和，然后利用向量的夾角公式可求得結(jié)果.【小問1詳解】證明：因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.所以.因?yàn)?，所?因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，所?又因?yàn)?，所以，所以，?【小問2詳解】解：由（1）知，，所以.由（1）知，；因?yàn)槭堑冗吶切?，，所以；又因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所以，即直線與所成角的余弦值為.17.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知.（1）證明：是等差數(shù)列；（2）若，證明：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用變形，再利用等差數(shù)列定義推理得證.（2）由（1）求出及，再利用裂項(xiàng)相消法求和即得.【小問1詳解】在數(shù)列中，，當(dāng)時，，兩式相減得，即，因此，所以是等差數(shù)列.【小問2詳解】由（1）知，等差數(shù)列的公差，，，，所以.18.意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一個數(shù)列：其中從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”．（1）某學(xué)生發(fā)現(xiàn)以下特征：由此可歸納出一個結(jié)論？能否給出證明？（2）證明：【答案】（1），證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意中的規(guī)律可得到，然后用數(shù)學(xué)歸納法的過程進(jìn)行求證即可；（2）用數(shù)學(xué)歸納法的過程進(jìn)行求證即可【小問1詳解】證明如下：①當(dāng)時，顯然成立；②假設(shè)當(dāng)時，即成立，則當(dāng)時，故當(dāng)時等式也成立．根據(jù)①和②，可知等式對任意正整數(shù)都成立;【小問2詳解】③當(dāng)時，左右顯然成立．④假設(shè)當(dāng)時，即則當(dāng)時，故當(dāng)時等式成立．根據(jù)③和④，可知等式對任意正整數(shù)都成立19.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，的面積為，求直線的斜率之積的值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率，焦點(diǎn)坐標(biāo)及關(guān)系列方程組求得，得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線斜率不存在時直接求得斜率之積，斜率存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè)，直線方程代入橢圓方程應(yīng)用韋達(dá)定理得，由弦長公式求得，計(jì)算原點(diǎn)在的距離，得三角形面積，從而得出關(guān)系，此關(guān)系式代入斜率之積的表達(dá)