北師大版八年級數(shù)學(xué)常見題型專練：勾股定理之“出水芙蓉”模型（原卷版+解析）

重難點05勾股定理之“出水芙蓉”模型

【知識梳理】

出水芙蓉類題和風(fēng)吹樹折類題一樣，數(shù)學(xué)知識本身其實很簡單，考查的就是句股定理，正確設(shè)出未知數(shù)列

方程就能求解，但是對很多同學(xué)來說，它的難點也是語言文字如何轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型。

?【考點剖析】

一、單選題

1.（2021.福建?校聯(lián)考模擬預(yù)測）（數(shù)學(xué)文化）我國古代著作《九章算術(shù)》中有一"引葭赴岸"問題："今有池

方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深、葭長各幾何."其大意為：有一水池一丈

見方，池中間生有一顆類似蘆葦?shù)闹参铮冻鏊嬉怀?，若把它引向岸邊，正好與岸邊平齊（如圖），問

水有多深，該植物有多長？其中一丈為十尺，設(shè)水深為x尺，則可列方程為（）

B.(x-l)2+52=x2

C.（%+1）2+52=X2D.（A:+1）2=X2+52

2.（2022秋?全國?八年級專題練習(xí)）如圖是一圓柱形玻璃杯，從內(nèi)部測得底面直徑為12cm,高為16cm,

現(xiàn)有一根長為25cm的吸管任意放入杯中，則吸管露在杯口外的長度最少是（）

A.6cmB.5cmC.9cmD.25-2A/75cm

3.（2022秋?八年級單元測試）如圖，八年級一班的同學(xué)準(zhǔn)備測量校園人工湖的深度，他們把一根竹竿A2

豎直插到水底，此時竹竿離岸邊點C處的距離CD=0.8米.竹竿高出水面的部分AD長0.2米，如果把

竹竿的頂端A拉向岸邊點C處，竿頂和岸邊的水面剛好相齊，則人工湖的深度8。為（）

A.1.5米B.1.7米C.1.8米D.0.6米

4.（2022秋?江蘇?八年級專題練習(xí)）如圖在平靜的湖面上，有一支紅蓮54,高出水面的部分AC為1米，

一陣風(fēng)吹來，紅蓮被吹到一邊，花朵齊及水面（即AB=DB）,已知紅蓮移動的水平距離。為3米，則湖

水深CB為（）

A.百米B.3米C.4米D.12米

5.（2022春?河南三門峽?八年級?？茧A段練習(xí)）將一根長24cm的筷子，置于底面直徑為5cm,高為12cm

的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露出在杯子外面長為/?cm,則的取值范圍是（）

A.0</?<12B.12</?<13C.11</?<12D.12</?<24

6.（2023春?河南三門峽?八年級統(tǒng)考期中）如圖是一個飲料罐，下底面半徑是5,上底面半徑是8,高是

12,上底面蓋子的中心有一個小圓孔，則一條到達(dá)底部的直吸管在罐內(nèi)部分a的長度（罐壁的厚度和小圓

孔的大小忽略不計）的取值范圍是（）

A.12<fl<13B.12<a<15C.5<a<12D.5<fl<13

7.（2020秋?河南新鄉(xiāng)?八年級校考期中）如圖，是一種飲料的包裝盒，長、寬、高分別為4刖、3cm、

12cm,現(xiàn)有一長為16cm的吸管插入盒的底部，則吸管漏在盒外面的部分力（加）的取值范圍為（）

3

A.3<h<4B.C.2</z<4D./?=4

8.（2022春?湖南長沙?八年級?？茧A段練習(xí)）如圖所示，將一根長為24c機的筷子，置于底面直徑為5cm,

高為12c機的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在外面的長為/low,則/?的取值范圍是（）

A.0</?<11B.11</?<12C.h>12D.0c任12

二、填空題

9.（2022春?廣西梧州?八年級校考期中）《九章算術(shù)》卷九"勾股"中記載：今有戶不知高廣，竿不知長短，

橫之不出四尺，縱之不出二尺，斜之適出，問戶斜幾何，意思是：一根竿子橫放，竿比門寬長出四尺；豎

放，竿比門高長出二尺，斜放恰好能出去，則竿長是尺.

10.（2021,江蘇宿遷,統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》中一道“引葭赴岸"問題："今有池一丈，葭生其中央，出

水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深，葭長各幾何？"題意是：有一個池塘，其地面是邊長為10尺的正

方形，一棵蘆葦AC生長在它的中央，高出水面部分為1尺，如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉

向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緾恰好碰到岸邊的。處（如圖），水深和蘆葦長各多少尺？則該問題的水深是

1L（2022秋?四川達(dá)州?八年級?？计谀┈F(xiàn)將一支長20。%的金屬筷子（粗細(xì)忽略不計）放入一個長和寬

分別為8CTW,652的長方體水槽中，要使水完全淹沒筷子，則水槽中的水深至少為cm.

三、解答題

12.（2021?全國?八年級專題練習(xí)）讀詩求解"出水3尺一紅蓮，風(fēng)吹花朵齊水面，水面移動有6尺，求

水深幾何請你算”.

13.（2023春?湖北武漢?八年級武漢一初慧泉中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，一個直徑為12cm的杯子，在它的

正中間豎直放一根筷子，筷子漏出杯子外2cm當(dāng)筷子倒向杯壁時（筷子底端不動），筷子頂端正好觸到杯

口，求筷子長度.

14.（2022秋?江蘇?八年級專題練習(xí)）一株荷葉高出水面1米，一陣風(fēng)吹來，荷葉被吹得貼著水面，這時它

偏離原來的位置有2米遠(yuǎn)，如圖所示，求荷葉的高度和水面的深度.

15.（2022秋?江蘇?八年級專題練習(xí)）如圖，一個直徑為12c7〃（即BC=12c機）的圓柱形杯子，在杯子底面

的正中間點￡處豎直放一根筷子，筷子露出杯子外20機（即FG=2aw）,當(dāng)筷子GE倒向杯壁時（筷子底

端不動），筷子頂端正好觸到杯。，求筷子GE的長度.

【過關(guān)檢測】

選擇題（共2小題）

1.（2021秋?常寧市期末）如圖，在水池的正中央有一根蘆葦，池底長10尺，它高出水面1尺，如果把這

根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面則這根蘆葦?shù)拈L度是（

A.10尺B.B尺C.12尺D.13尺

2.（2021秋?朝陽區(qū)期末）如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是9c7加內(nèi)壁高12cm.若

這支鉛筆長為18cm,則這只鉛筆在筆筒外面部分長度不可能的是（）

B.5cmC.6cmD.8cm

二.填空題（共4小題）

3.（2021秋?未央?yún)^(qū)校級期末）如圖，一架梯子長10米，底端離墻的距離為6米，當(dāng)梯子下滑到。E

4.（2021秋?晉州市期末）如圖，淇淇在離水面高度為5優(yōu)的岸邊C處，用繩子拉船靠岸，開始時繩子8c

的長為13m.

（1）開始時，船距岸A的距離是m；

（2）若淇淇收繩5機后，船到達(dá)。處，則船向岸A移動m.

5.（2021秋?寬城區(qū)期末）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個問題：“今有池方一丈，葭（jia）

生其中，出水一尺.引葭赴岸，適與岸齊.問水深幾何？"（丈、尺是長度單位，1丈10尺）其大意為:

有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦AB,它高出水面1尺（即8c

=1尺）.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端8恰好到達(dá)池邊的水面。處.問水的深度是多

少？則水深OE為尺.

6.（2021秋?滕州市校級月考）印度數(shù)學(xué)家什迦羅（1141年-1225年）曾提出過“荷花問題”：

平平湖水清可鑒，面上半尺生紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強風(fēng)吹一邊；

漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠(yuǎn)；能算諸君請解題，湖水如何知深淺？

如圖所示：荷花莖與湖面的交點為。，點。距荷花的底端A的距離為0.5尺；被強風(fēng)吹一邊后，荷花底

端與湖面交于點8,點B到點。的距離為2尺，則湖水深度OC的長是尺.

三.解答題（共4小題）

7.（2022秋?二道區(qū)校級期末）如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時，踏板離地的垂直高度。E=1相，將它往前

推送4機（水平距離8C=4加）時，秋千的踏板離地的垂直高度8尸=2根，秋千的繩索始終拉得很直，求

繩索的長度.

8.（2021春?漢陽區(qū)期中）“引葭赴岸”是《九章算術(shù)》中的一道題：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，

引葭赴岸，適與岸齊.問水深，葭長各幾何？”題意是：有一個邊長為10尺的正方形池塘，一棵蘆葦A8

生長在它的中央，高出水面為1尺.如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻?/p>

部8恰好碰到岸邊的8（如圖）.問水深和蘆葦長各多少？（畫出幾何圖形并解答）

9.（2021秋?棲霞區(qū)校級月考）水池中有水，水面是一個邊長為10尺的正方形，水池正中央有一根蘆葦，

它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的終點，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面.水的深度和這

根蘆葦?shù)拈L度分別是多少？

10.（2021秋?南山區(qū)校級期末）在我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問題，這個問題的

意思是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面

1尺.如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面.請問這個水池的深度和這根蘆葦?shù)?/p>

長度各為多少？

重難點05勾股定理之“出水芙蓉”模型

【知識梳理】

出水芙蓉類題和風(fēng)吹樹折類題一樣，數(shù)學(xué)知識本身其實很簡單，考查的就是句股定理，正確

設(shè)出未知數(shù)列方程就能求解，但是對很多同學(xué)來說，它的難點也是語言文字如何轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)

一【考點剖析】

一、單選題

L（2021?福建?校聯(lián)考模擬預(yù)測）（數(shù)學(xué)文化）我國古代著作《九章算術(shù)》中有一"引葭赴

岸"問題："今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深、葭長

各幾何."其大意為：有一水池一丈見方，池中間生有一顆類似蘆葦?shù)闹参铮冻鏊嬉?/p>

尺，若把它引向岸邊，正好與岸邊平齊（如圖），問水有多深，該植物有多長？其中一丈為

十尺，設(shè)水深為x尺，則可列方程為（）

222

C.（尤+1了+52=尤2D.（x+1）=X+5

【答案】D

【分析】利用勾股定理建立方程即可得.

【詳解】解：如圖，由題意得：AC=x尺，BC=（BE=5尺,=1尺,

2

AB=AD=(x+l)f^,AD1BC,

則在RtAABC中，由勾股定理得：AB2=AC2+BC2,即（元+1）2=f+52,

故選：D.

【點睛】本題考查了勾股定理、列一元一次方程，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵.

2.（2022秋?全國?八年級專題練習(xí)）如圖是一圓柱形玻璃杯，從內(nèi)部測得底面直徑為

12cm,高為16cm,現(xiàn)有一根長為25cm的吸管任意放入杯中，則吸管露在杯口外的長度最

少是（）

A.6cmB.5cmC.9cmD.25-2J75cm

【答案】B

【分析】吸管露出杯口外的長度最小，則在杯內(nèi)的長度最長，此時若沿杯子的底面直徑縱

向切開，則當(dāng)吸管在矩形的對角線所在直線上時，杯內(nèi)吸管最長，然后用勾股定理即可解

決.

【詳解】如圖，沿杯子的底面直徑縱向切開，則當(dāng)吸管在矩形的對角線所在直線上時，杯

內(nèi)吸管最長，則吸管露出杯口的長度最小，由勾股定理得：杯內(nèi)吸管的長度為：

A/122+162=20（cm）

所以吸管露出杯口外的長度最少為25-20=5（cm）

【點睛】本題考查了勾股定理在實際生活中的應(yīng)用，關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用勾股定

理解答.

3.（2022秋,八年級單元測試）如圖，八年級一班的同學(xué)準(zhǔn)備測量校園人工湖的深度，他們

把一根竹竿A3豎直插到水底，此時竹竿A3離岸邊點C處的距離CD=Q8米.竹竿高出水

面的部分AD長0.2米，如果把竹竿的頂端A拉向岸邊點C處，竿頂和岸邊的水面剛好相

齊，則人工湖的深度3。為（）

A.1.5米B.1.7米C.L8米D.0.6米

【答案】A

【分析】設(shè)8。的長度為初7,則A8=BC=（x+0,2）m,根據(jù)勾股定理構(gòu)建方程即可解決問

題.

【詳解】解:設(shè)8。的長度為笛"，則AB=8C=（x+0.2）m,

在R/0CD2中，0.82+/=（x+0.2）2,

解得尤=1.5.

故選:A.

【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決

問題.

4.（2022秋,江蘇?八年級專題練習(xí)）如圖在平靜的湖面上，有一支紅蓮54,高出水面的部

分AC為1米，一陣風(fēng)吹來，紅蓮被吹到一邊，花朵齊及水面（即AB=DB）,已知紅蓮移

動的水平距離C。為3米，則湖水深CB為（）

A.百米B.3米C.4米D.12米

【答案】C

【分析】根據(jù)題意得出水深、紅蓮移動的水平距離及紅蓮的高度構(gòu)成一直角三角形，然后

設(shè)出BC的長度為h,分別表示出8。和CD的長度，根據(jù)由勾股定理列方程求解即可.

【詳解】解：在MSBC。中，設(shè)BC=/7,BD=AB=h+l,DC=3,

回由勾股定理得：BD-=BC-+CD1,即（6+1）2+3?,

團(tuán)解得：h=4.

故選：C.

【點睛】此題考查了勾股定理的實際應(yīng)用，能夠從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型是解決此題

的關(guān)鍵.

5.（2022春?河南三門峽?八年級?？茧A段練習(xí)）將一根長24cm的筷子，置于底面直徑為

5cm,高為12cm的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露出在杯子外面長為/icm,則//的取值范圍是

（）

A.0</?<12B.12</?<13C.11</?<12D.12</?<24

【答案】C

【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)勾股定理解答即可.

【詳解】當(dāng)筷子與杯底垂直時〃最大，/?最大=24-12=12（cm）.

當(dāng)筷子與杯底及杯高構(gòu)成直角三角形時最小，

如圖所示：此時，A8=‘AC?+BC?=J/+5之=13（cm）,

故7z=24-13=11（cm）.

故h的取值范圍是：llcm</?<12cm.

故選：C.

【點睛】本題考查了勾股定理在實生活中的應(yīng)用，把問題轉(zhuǎn)化為直角三角形模型是關(guān)鍵.

6.（2023春?河南三門峽?八年級統(tǒng)考期中）如圖是一個飲料罐，下底面半徑是5,上底面半

徑是8,高是12,上底面蓋子的中心有一個小圓孔，則一條到達(dá)底部的直吸管在罐內(nèi)部分

a的長度（罐壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計）的取值范圍是（）

A.12<o<13B.12<?<15C.5<a<12D.5<a<13

【答案】A

【分析】最短距離就是飲料罐的高度，最大距離可根據(jù)勾股定理解答.

【詳解】解：由題意可得：

a的最小長度為飲料罐的高，即為12,

當(dāng)吸管斜放時，如圖，此時。的長度最大，即為A3,

回下底面半徑是5,

048=+12?=13,

加的取值范圍是12<a<13,

故選：A.

【點睛】本題考查正確運用勾股定理.主要是運用勾股定理求得a的最大值，此題比較常

見，難度不大.

7.（2020秋?河南新鄉(xiāng)?八年級校考期中）如圖，是一種飲料的包裝盒，長、寬、高分別為

4cm、3cm、12cm,現(xiàn)有一長為16m的吸管插入盒的底部，則吸管漏在盒外面的部分

〃（C〃2）的取值范圍為（）

A.3</i<4B.3W/z<4C.2MhM4D.h=4

【答案】B

【分析】根據(jù)題中已知條件，首先要考慮吸管放進(jìn)杯里垂直于底面時露在杯口外的最長長

度；最短時與底面對角線和高正好組成直角三角形，用勾股定理解答，進(jìn)而求出露在杯口

外的最短長度.

【詳解】①當(dāng)吸管放進(jìn)杯里垂直于底面時露在杯口外的長度最長，最長為16-12=4

（cm）；

②露出部分最短時與底面對角線和高正好組成直角三角形，

底面對角線長=+4?=5cm,高為12cm,

由勾股定理可得：杯里面管長=斤宏=13cm,則露在杯口外的長度最短為16-13=3

（cm）,

133W/Q

故選：B.

【點睛】本題考查了矩形中勾股定理的運用，解答此題的關(guān)鍵是要找出露在杯外面吸管最

長和最短時，吸管在杯中所處的位置.

8.（2022春?湖南長沙?八年級校考階段練習(xí)）如圖所示，將一根長為24。"的筷子，置于底

面直徑為5cM7,高為的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在外面的長為ZlCTM,則的取值范圍

是（）

A.0</i<llB.11<//<12C./z>12D.0</?<12

【答案】B

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，先找出/?的值為最大和最小時筷子的位置，再根據(jù)勾股定理

解答即可.

【詳解】解：當(dāng)筷子與杯底垂直時場最大，//最大=24-12=12c:w.

當(dāng)筷子與杯底及杯高構(gòu)成直角三角形時h最小，

如圖所示：

h

此時，AB=VAC2+BC2=A/122+52=13cm,

M=24-13-11cm.

0/z的取值范圍是llcm<h<12cm.

故選：B.

【點睛】本題考查了勾股定理的實際應(yīng)用問題，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形找出

何時h有最大及最小值，同時注意勾股定理的靈活運用，有一定難度.

二、填空題

9.（2022春?廣西梧州?八年級?？计谥校毒耪滤阈g(shù)》卷九"勾股”中記載：今有戶不知高

廣，竿不知長短，橫之不出四尺，縱之不出二尺，斜之適出，問戶斜幾何，意思是：一根

竿子橫放，竿比門寬長出四尺；豎放，竿比門高長出二尺，斜放恰好能出去，則竿長是

______尺.

【答案】10

【分析】根據(jù)題中所給的條件可知，竿斜放就恰好等于門的對角線長，可與門的寬和高構(gòu)

成直角三角形，運用勾股定理可求出門對角線長.

【詳解】解：設(shè)竹竿》尺，則圖中8。=心

田BC=BE-CE=x-4（x>4）,CD=CF-DF=x-2（尤>2）,

在直角三角形BC。中，0BCD=9O°,

由勾股定理得：BC2+CD2=BD2,

所以（尤-4）2+（x-2）2=/,

整理，得X2；2X+20=0,

因式分解，得（x-10）（x-2）=0,

解得無尸10,無2=2,

取〉4,

0x=lO.

答：竹竿為10尺.

故答案為：10.

【點睛】本題考查勾股定理的運用，正確運用勾股定理，將數(shù)學(xué)思想運用到實際問題中是

解答本題的關(guān)鍵.

10.(2021?江蘇宿遷,統(tǒng)考中考真題)《九章算術(shù)》中一道“引葭赴岸"問題："今有池一丈，

葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深，葭長各幾何？”題意是：有一個池

塘，其地面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦AC生長在它的中央，高出水面部分BC為

1尺，如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緾恰好碰到岸邊的

。處(如圖)，水深和蘆葦長各多少尺？則該問題的水深是尺.

【答案】12

【分析】我們可將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)幾何圖形，如圖所示，根據(jù)題意，可知EC'的長為10尺,

則C3=5尺，設(shè)蘆葦長AC=AC'=x尺，表示出水深A(yù)8,根據(jù)勾股定理建立方程，求出

的方程的解即可得到蘆葦?shù)拈L和水深.

【詳解】解：依題意畫出圖形，

設(shè)蘆葦長AC=AC=x尺，

則水深A(yù)8=(x-1)尺，

EIC'E=10尺，

EIC3=5尺，

在RtAAC'B中，

52+(X-1)2=X2,

解得x=13,

即蘆葦長13尺，水深為12尺,

故答案為：12.

【點評】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合.

11.（2022秋?四川達(dá)州?八年級校考期末）現(xiàn)將一支長20cm的金屬筷子（粗細(xì)忽略不計）

放入一個長和寬分別為8c777,6c機的長方體水槽中，要使水完全淹沒筷子，則水槽中的水

深至少為cm.

【答案】106

【分析】如圖，由題意可得，跖=6,歹"=8,a=20,利用勾股定理可以求解然后再

根據(jù)勾股定理，即可求得從而可得答案.

【詳解】解：如圖，由題意可得，EF=6,FH=8,EL=20,

EH=782+62=10,（cm）,

故水槽中的水深至少為：LH=yjEl3-EH2=V202-102=V300=1073（cm）,

故答案為：10函.

【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，二次根式的化簡，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用

勾股定理的知識解答.

三、解答題

12.（2021?全國?八年級專題練習(xí)）讀詩求解"出水3尺一紅蓮，風(fēng)吹花朵齊水面，水面移

動有6尺，求水深幾何請你算

【答案】4.5尺

【分析】設(shè)出水深A(yù)P的高，PB=PC=（x+3）,根據(jù)勾股定理解答即可.

【詳解】設(shè)水深A(yù)P=無尺，PB=PC=（x+3）尺，

根據(jù)勾股定理得：B42+AC2=Pr,K+62=（X+3）2.

解得：x=4.5,

答El水深4.5尺.

【點睛】本題比較簡單，考查的是勾股定理在實際生活中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是設(shè)出AP

的長，再根據(jù)勾股定理求出AP的值.

13.（2023春?湖北武漢?八年級武漢一初慧泉中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，一個直徑為12°相

的杯子，在它的正中間豎直放一根筷子，筷子漏出杯子外當(dāng)筷子倒向杯壁時（筷子

底端不動），筷子頂端正好觸到杯口，求筷子長度.

【答案】10cm

【分析】設(shè)杯子的高度是xcm,那么筷子的高度是（x+2）cm,可求杯子半徑為6cm,根

據(jù)勾股定理構(gòu)造方程x2+62=（x+2）2,解方程即可.

【詳解】解：設(shè)杯子的高度是xcm,那么筷子的高度是（x+2）cm,

團(tuán)杯子的直徑為12cm,

團(tuán)杯子半徑為6cm,

13x2+62=（x+2）2,

0x2+36=x2+4x+4,

0x=8,

08+2=lOcm.

答：筷子長度為10cm.

【點睛】本題考查了勾股定理的運用，解題的關(guān)鍵是看到構(gòu)成的直角三角形，利用勾股定

理構(gòu)造方程.

14.（2022秋?江蘇?八年級專題練習(xí)）一株荷葉高出水面1米，一陣風(fēng)吹來，荷葉被吹得貼

著水面，這時它偏離原來的位置有2米遠(yuǎn)，如圖所示，求荷葉的高度和水面的深度.

【答案】荷葉的高度為|■5米，水面的深度為39米.

22

【分析】設(shè)。4=OB=x米，則OC=（x-1）米，在Rtl3O8C中，利用勾股定理得：（x-

1）2+22=尤2,解方程即可.

【詳解】解：設(shè)。4=03=x米，則0C=（x-1）米，BC=2米，

在RtElOBC中，由勾股定理得：

Ofy+BC^OB2,

0（尤-1）2+22=N,

解得X=g,

53

回。4=—（米），OC—x-1——（米），

22

答：荷葉的高度為15?米，水面的深度為3:米.

22

【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意建立方程是解題的關(guān)鍵.

15.（2022秋?江蘇?八年級專題練習(xí)）如圖，一個直徑為12c根（即BC=12a〃）的圓柱形杯

子，在杯子底面的正中間點E處豎直放一根筷子，筷子露出杯子外（即EG=2c"z）,

當(dāng)筷子GE倒向杯壁時（筷子底端不動），筷子頂端正好觸到杯求筷子GE的長度.

【答案】筷子GE的長度是10cm.

【分析】根據(jù)題意可得。樂GE,EF=GE-2,在R/fflDEE中，根據(jù)勾股定理列出方程，解方

程即可求解.

【詳解】解：設(shè)筷子GE的長度是那么杯子的高度EP是（尤-2）cm,

團(tuán)杯子的直徑為12cm,

回杯子半徑DF為6cm,

在R龍］。FE中，（尤-2）2+62=x2,

即x2-4x+4+36-x2,

解得：x=10,

答：筷子GE的長度是10?！?

【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解

決問題.

【過關(guān)檢測】

選擇題（共2小題）

1.（2021秋?常寧市期末）如圖，在水池的正中央有一根蘆葦，池底長10尺，它高出水面1

尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面則這根蘆葦?shù)拈L度是

A.10尺B.11尺C.12尺D.13尺

【分析】找到題中的直角三角形，設(shè)水深為x尺，根據(jù)勾股定理解答.

【解答】解：設(shè)水深為尤尺，則蘆葦長為（x+1）尺，

根據(jù)勾股定理得：X2+（也■）2=（X+1）2,

2

解得：x=12,

蘆葦?shù)拈L度=龍+1=12+1=13（尺），

故選：D.

【點評】本題考查正確運用勾股定理.善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.

2.（2021秋?朝陽區(qū)期末）如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是9cm,

內(nèi)壁高12cm.若這支鉛筆長為18c則這只鉛筆在筆筒外面部分長度不可能的是（）

A.3cmB.5cmC.6cmD.8cm

【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，利用勾股定理計算出AC的長度.然后求其差.

【解答】解：根據(jù)題意可得圖形：AB=ncm,BC=9cm,

在中：22=15

Rt^ABCAC=^AB2+BC2=I/12+9

所以18-15=3（cm）,18-12=6（cm）.

則這只鉛筆在筆筒外面部分長度在3cm?6cm之間.

觀察選項，只有選項。符合題意.

故選：D.

【點評】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確得出筆筒內(nèi)鉛筆的最短長度是解決問題

的關(guān)鍵.

二.填空題（共4小題）

3.（2021秋?未央?yún)^(qū)校級期末）如圖，一架梯子45長10米，底端離墻的距離為6米,

當(dāng)梯子下滑到DE時，AO=2米，則8E=2米.

【分析】在Rt^ABC中，根據(jù)勾股定理得出AC,進(jìn)而得出。C,利用勾股定理得出CE,

進(jìn)而解答即可.

【解答】解：在RtaABC中，根據(jù)勾股定理，可得：AC=7AB2-BC2=V102-62=

8（米），

：.DC=AC-AD=8-2=6（米），

在RtZkDCE中，CE=VDE2-DC2=V102-62=8（米），

：.BE=CE-BC=S-6=2（米），

故答案為：2.

【點評】本題考查了勾股定理在實際生活中的運用，考查了直角三角形中勾股定理的運

用，本題中正確的使用勾股定理求CE的長度是解題的關(guān)鍵.

4.（2021秋?晉州市期末）如圖，淇淇在離水面高度為5機的岸邊C處，用繩子拉船靠岸,

開始時繩子BC的長為13m.

（1）開始時，船距岸A的距離是12m；

（2）若淇淇收繩5機后，船到達(dá)。處，則船向岸A移動（12」阿）m.

【分析】（1）在Rt^ABC中，利用勾股定理計算出AB長；

（2）根據(jù)題意可得CZ）長，然后再次利用勾股定理計算出AD長，再利用

可得3。長.

【解答】解：（1）在中，ZCAB=9Q°,BC=13m,AC=5m,

AB=7132-52=12（m）＞

故答案為：12；

（2）?.?淇淇收繩5，〃后，船到達(dá)。處，

：.CD=8（機），

?'-A￡）=VCD2-AC2=VS2-52=V39（m）,

；.BD=AB-A￡）=（12-\/39）m.

故答案為：（12-J麗）.

【點評】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)

模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖.領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用.

5.（2021秋?寬城區(qū)期末）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個問題：“今有池方一

丈，葭（jia）生其中，出水一尺.引葭赴岸，適與岸齊.問水深幾何？"（丈、尺是長度

單位，1丈10尺）其大意為：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正

中央有一根蘆葦A8,它高出水面1尺（即BC=1尺）.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的

中點，它的頂端B恰好到達(dá)池邊的水面D處.問水的深度是多少？則水深DE為J2

【分析】設(shè)水深為/?尺，則蘆葦長為（/7+1）尺，根據(jù)勾股定理列方程，解出a即可.

【解答】解：設(shè)水深為場尺，則蘆葦長為。7+1）尺，

根據(jù)勾股定理，得31）2-層=（104-2）2,

解得/?=12,

水深為12尺，

故答案是：12.

【點評】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，熟練根據(jù)勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵.

6.（2021秋?滕州市校級月考）印度數(shù)學(xué)家什迦羅（1141年-1225年）曾提出過“荷花問

題”：

平平湖水清可鑒，面上半尺生紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強風(fēng)吹一邊；

漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠(yuǎn)；能算諸君請解題，湖水如何知深淺？

如圖所示：荷花莖與湖面的交點為。，點。距荷花的底端A的距離為0.5尺；被強風(fēng)吹

一邊后，荷花底端與湖面交于點2,點B到點。的距離為2尺，則湖水深度OC的長是

3.75尺.

【分析】先根據(jù)題意構(gòu)造出直角三角形（即荷花的折斷與不斷時恰好構(gòu)成直角三角形），

再根據(jù)已知條件求解.

【解答】解：設(shè)水深x尺，則荷花莖的長度為x+0.5,

根據(jù)勾股定理得：（x+0.5）2=7+4

解得:尤=3.75.

答：湖水深3.75尺.

故答案為：3.75.

【點評】本題考點：勾股定理的應(yīng)用.根據(jù)已知條件得出直角三角形各邊的長度，然后應(yīng)

用勾股定理即可求出湖水的深度.

三.解答題（共4小題）

7.（2022秋?二道區(qū)校級期末）如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時，踏板離地的垂直高度

=1加，將它往前推送4〃?（水平距離BC=4〃z）時，秋千的踏板離地的垂直高度2尸=2根，

秋千的繩索始終拉得很直，求繩索AD的長度.

【分析】設(shè)秋千的繩索長為mi,