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文檔簡介
單元提升卷02不等式
(考試時間:120分鐘試卷滿分:150分)
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要
求的。
1.若a>0,6>0,則下列不等式中不成立的是()
A.a2+b2>2abB.a+b>l4ab
°°1°111
C.a2+b2>—(a+b)2D.—+—<------(aw6)
2aba-b
【答案】D
【分析】利用不等式的性質(zhì)及基本不等式化簡判斷即可.
【詳解】因為顯然有力+b222a6,故A正確;
而a>0,6>0,所以.+622,^,故B正確;
又/+〃-<(0+6)2=;/+3〃-ab=;(a-b>20,所以1+〃2;(4+6了,故C正確;
1131
不妨令。=2/=1,則上+[=:>」^=1(g6),故D錯誤.
ab2a—b
故選:D.
2.關(guān)于x的不等式一一辦一6/<0(。<0)的角舉集為()
A.(-8,2a)D(—3a,+8)
B.(2a,-3a)
C.(一8,3〃)D(2a,+8)
D.(3a,-2a)
【答案】D
【分析】直接解一元二次不等式即可得到答案.
【詳解】不等式一—方一6/<0(。<0)可化為(%-3。)(%+2。)<0.
*.*a<0,3a<x<-2a.
原不等式的解集為(3a,-2a).
故選:D
3.不等式3£-7x+2>0的解集是()
A.],2)B.1一2,-:C.U(2,+oo)D.(-oo,-2)U^-1,+1?
【答案】C
[分析]由因式分解結(jié)合一元二次不等式的解的特征即可求解.
【詳解】由31—7龍+2>0得(無一2)(3無一1)>0,解得x<;或x>2,
故不等式的解為「s,£|U(2,+W,
故選:C
4.不等式(2)(1)>o的解集為()
2x+l
A.-I,-—U[3,+co)B.一L—,1U(3,+8)
C.一1,一g[u[3,+co)D.
【答案】C
【分析】寫出不等式的等價形式,再利用數(shù)軸標根法求出不等式的解集.
【詳解】不等式―嘰。等價于]「"-3代+1”°,
2x+l[2x+l片0
利用數(shù)軸標根法可得或x23,所以不等式解集為-l,-^U[3,+?).
故選:C
5.已知。,b,c為不全相等的實數(shù),P=a2+b2+c2+3,Q=2(a+b+c),那么尸與。的大小關(guān)系是()
A.P>QB.P>Q
C.P<QD.P<Q
【答案】A
【分析】利用作差法判斷即可.
【詳解】因為P=/+〃+C2+3,0=2(a+6+c)
所以P-Q=/+b2+c2+3-2(a+b+c)=(a-l)2+(b-l)2+(c-l)2>0,
當且僅當a=b=c=l時取等號,
b,。為不全相等的實數(shù),因此等號不成立,即尸-。>0,
.■.P>Q.
故選:A
6.已知4-3"'=3-2'=1,貝!I()
A.m>n>-lB.n>m>—l
C.m<n<-1D.n<m<—l
【答案】D
【分析】利用指數(shù)式和對數(shù)式的互換得到加,“,然后利用作差法和基本不等式比較大小即可.
【詳解】由已知得加=-log34<T,n=-log23<-l,
11logs2+logs4
又1-logs2.logs4所以〃<加〈一1.
m—n=log23-log34=>0
岷2logs2log32
故選:D.
.x—cix+4W0
7.設(shè)集合/={x|lW3},集合B為關(guān)于x的不等式組2(一,、/2一八的解集,若則6
x-(26+3)x+b+3b40
的最小值為()
,1613
A.6B.—C.5D.—
33
【答案】C
>%?—ctx+4V0
【分析】由己知可得22、/在1,3上恒成立,由此可求。力的范圍,再求的最小值.
x-[2b+3)x+b+3b<0L」
X2-6ZX+4<0一、
【詳解】因為不等式組、,的解集={x1<x<3},AuB,
%?2_z(26+3)1+62+36<0用11'一
所以不等式x2-ax+440在[L3]上恒成立,
且不等式x2-(2b+3)x+b2+3b<Q的解集包含集合A,
又不等式/-(26+3)x+62+3640可化為(x-6)(x-6-3)40,
所以不等式/-(26+3b+62+3抬0的解集為也6+3],
所以[1,3仁[6,6+3],所以6+323,且641,所以0441.
不等式x+3Wa在[1,3]上恒成立,故(x+fMa,其中xe[l,3],
XIX/max
設(shè)/(x)=x+3,xe[l,3],
則/(x)=X+:在[1,2)上單調(diào)遞減,在(2,3]上單調(diào)遞增,
又/⑴=5,八3)=3+g=T,
所以當x=l時,函數(shù)/(x)=x+g,xe[l,3]取最大值,最大值為5,
所以。25,
所以當。=5,6=0時,〃+6取最小值,最小值為5.
故選:C.
8.已知正數(shù)a,6滿足a+b=l,則竺”把最小值為()
B.19+2指D.19
【答案】A
【分析】先進行化簡得空?+3=^+2,再利用乘“1”法即可得到答案.
abba
【詳解】因為正數(shù)a,b滿足。+6=1,
(2+66+3a+6b+3。+3b4a+9649
--------=-------------=-------==——+I——(a+b)
abba
=13+——=25,當且僅當一=—,聯(lián)立〃+6=1,
ab
即。=13/=《2時等號成立,
故選:A.
二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分。在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求。全部
選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得。分。
9.若機,〃wR+,2一優(yōu)一22〃一1=3"一2",則()
A.m>nB.0<mn<-C.—+—>4D.2m+l+2n>3
【答案】BC
【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可得見〃關(guān)系,特值法判斷A,D選項,基本不等式求出B,C選項.
[詳角牟]...2f-22n-l=3m-3"〃,2-m-3m=221_31-2〃,
,.?y=2~x-3X單調(diào)遞減,/.m=l-2n,m+2n=l,
當m=L=幾時滿足加+2〃=1,A選項錯誤;
3
vm+2H=1>2>j2mn,1>0<mn<—,B正確;
8
,/加,〃ER+—I(m+2H)=l+—+—+l>2/—x—+2=4
C正確;
m2n2n)m2n\m2n
...2"'+i+2"23,2?-2"+2"=22-2"+土+土N3#22-2"+"+"TT=3,
22
當根=T,"=1時取等號,與己知加,"eR*矛盾,D選項錯誤.
故選:BC.
10.已知函數(shù)/(力=爐+wx+"(m,;JeR),關(guān)于x的不等式》<〃無)的解集為(-co,l)u(l,+8),則下列
說法正確的是()
A.m=-l,n=1
B.設(shè)g(x)=W,則g(x)的最小值為g⑴=1
C.不等式的解集為(一,0)30,1)31,+。)
3J
D.若"x)=-2且"X)<M2X+2),貝產(chǎn)的取值范圍為一3,+s
〃x),無I
、乙
【答案】AC
【分析】由題意可得,x=l是—+(加一1)工+〃=0的唯一解,可求得加=-1,n=l,從而求出/(x)解析式.再
逐一檢驗各個選項是否正確,從而得到結(jié)論.
【詳解】對于A選項:f(x)=x2+mx+n(加,〃sR),關(guān)于%的不等式x</(x),
即Y+(加一1)工+〃〉0,它的解集為(一8,1)u(l,+oo),
二.x=l是/+(加一1)%+〃=。的唯一角軋
A=(m—I)2—4/7=0m=-\
所以?,故A選項正確;
l+(m-l)+?=On=1
由以上可得:/(X)=X2-X+L
對于B選項:g(x)=,則g(%)=x+J?一i(xwO),當工<0時,g(x)<0,故B選項錯誤;
XX
對于C項:不等式/(X)</(/(%)),BPX2-X+1<(X2-X+1)2-(X2-X+1)+1,
即卜2+〉0,gpx2-(x-l)2>0,角星得X<0或O<X<1或X〉1,
所以解集為(-*0)u(0J)u(1,+8),故C選項正確;
31[31
—9^——,一—,
對于D選項:若分3=42]即”x)=42]
—,x2—X+1,X>一,
1-9Q
所以Ma<M2x+2)得:-<x<2x+2^2,解得%“
22x+2>-4
I2
則X的取值范圍為,j+故D選項錯誤;
故選:AC.
11.已知尤>0,y>o,且x+y+盯一3=0,則下列結(jié)論正確的是()
A.刈的取值范圍是(0,9]B.》+了的取值范圍是[2,3)
C.x+2y的最小值是4亞一3D.x+4了的最小值是3
【答案】BC
【分析】根據(jù)基本不等式可求得0<xyWl,判斷A,將x+y+孫-3=0變形為3-(x+y)=xyV[亨J結(jié)合
4
基本不等式,判斷B,由x+V+盯-3=0整理得到x=-1+—;結(jié)合基本不等式可判斷CD.
【詳解】對于A,因為x>0,>>0,
所以x+y22A,當且僅當%?時取等號,
由x+y+盯一3=0=>3—盯=%+>,
即3—盯2,解得0<y[xy<1,
即OvxyWl,A錯誤;
對于B,由x>0,y>0,3-(x+y)=xy<
當且僅當x=V時取等號,
得(x+y)~+4(x+y)-12>0,
所以x+>22,
又3-卜+y)=孫>0,
所以x+y<3,即2Vx+y<3,
故B正確;
對C選項,因為x>0,y>0,x+y+xy-3=Q,
.—y+34
得x=-^-=T+—
y+1y+1
44l
所以x+2y=-ld-------H2y=-------i-2(j+l)-3>4J2-3,
y+\y+1
4
當且僅當Q=2Q+1),即》=8-1時等號成立,C正確,
—V+34
對于D,C選項知:X=K=-1+R,
44
則x+4y=_ld--------l-4y=-------l~4(y+l)-5>2
y+1j+1
4
當且僅當Q=4(N+1),即y=0時等號成立,但y>。,
所以x+4y>3.(等號取不到),故D錯誤;
故選:BC.
12.已知正實數(shù)。、6、。滿足logs。=logs6,logs6=logsc,其中。>1,貝!]()
2aCb+1
A.logab=log35B.a>b>cC.ac>bD.2+2>2
【答案】ACD
【分析】利用換底公式可判斷A選項;^log3?=log56=m>0,log5c=log3Z)=/7>0,利用對數(shù)與指數(shù)的
互化,以及幕函數(shù)的單調(diào)性可判斷B選項;比較“、〃的大小,利用作商法結(jié)合幕函數(shù)的單調(diào)性可判斷C
選項:利用基本不等式可判斷D選項.
【詳解】對于A選項,因為。>1,所以logs?!怠?,
,,i7—In<7In6nJnbIn5”八—,,一
由logsa=logsb,可得丁;=:二,則>>_=—,所以bg“67=logs5,故A對;
m3In5Inam3
對于B選項,log3a=log5b=m>0,則0=3"‘,b=5"',
因為幕函數(shù)y=V"在(0,+“)上為增函數(shù),所以3”<5加,即。<6,
設(shè)log5c=log3b=">0,則6=3",c=5",
因為幕函數(shù)丁=x"在(0,+功上為增函數(shù),
所以3"<5",即6<c,則”6<c,故B錯;
對于C選項,因為6=5"'=3",且機>0,">0,
所以加In5=〃In3,所以"=也?>1,則機<”,故"?-〃<0,
mIn3
Q\m~n
所以與=±>1,即*>凡故C對;
b25*3"UJ
對于D選項,由基本不等式,可得a+c>2癡>26,
所以,2"+2。>2萬1>2,萍=2"|,故D對.
故選:ACD.
三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
13.如圖,一份印刷品的排版面積(矩形)為400cm2,它的兩邊都留有寬為acm的空白,頂部和底部都留
有寬為6cm的空白,若”=1,6=4,則紙張的用紙面積最少為cnA
Or
【答案】576
【分析】設(shè)矩形的長和寬分別為x,J,得到紙張面積為S=(x+2a)(y+23=k+2阮+2即+4而,結(jié)合基本
不等式,即可求解.
【詳解】由題意,設(shè)排版矩形的長和寬分別為X/且孫=400,且a=1,6=4
貝11紙張的面積為S=(x+2axy+2b)=盯+2bx+lay+4ab
>xy+2yj2bx-2ay+4ab=(-\[xy+2y[aby=(20+2A/4)2=576
當且僅當如x=2即時,即>=4x,即x=10/=40時,等號成立,
所以紙張的用紙面積最少為576cm2.
▲1+26>y1+-2,則。+6的最小值為
abba
【答案】273
33
【分析】由已知可得〃+62巳+;,結(jié)合基本不等式求(〃+6)2的最小值,再求6的最小值.
ab
1?12
【詳解】因為。之一+不,&>-+-,
abba
~33
所以〃+62—I—,又Q>0,b>0,
ab
所以(0+6)2#+1[3+6)=6+皿+乎212,當且僅當°=6=6時取等號.
\abJab
所以a+當且僅當a=6=G時取等號.
所以a+6的最小值為2G.
故答案為:2G.
15.若不等式/-5x+6<0的解集也滿足關(guān)于x的不等式2/一9x+a<0,則。的取值范圍是.
【答案】58,9]
【分析】解得不等式無2-5x+6<0的解集,令/(無)=2尤2-9x+a,根據(jù)不等式x?-5x+6<0的解集也滿足
關(guān)于x的不等式2/-9x+a<0,列出不等式組,即可求得答案.
【詳解】解不等式/一5》+6<0可得2<x<3,即不等式/一5》+6<0的解集為(2,3)
因為不等式一一5x+6<0的解集也滿足關(guān)于%的不等式2r-9x+a<0,
但-
故令〃x)=2x,-9-則[[〃/(23))<?00吊8-1827++aWaVOO'
解得。49,
即a的取值范圍是(一叫9],
故答案為:(-8,9]
16.若14x42,不等式/+/HX+加20恒成立,則實數(shù)加的最小值為.
【答案】-g/-0$
2
【分析】構(gòu)造新函數(shù)為(x)=--」(14x42),利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得〃(x)最大值,進而求得實數(shù)加的最
X+1
小值.
【詳解】1WXV2時,不等式f+%x+%N0恒成立,即機2--匚恒成立,
X+1
1
令3)=-占1""r5——(1<X<2)
——?—
2
XX~4
故答案為:
四、解答題:本題共6小題,共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。
17.證明下列不等式:
(1)已知。>兒e>f,c>0,求證/—acve—bc
(2)已知a>b>0,c<d<0,求證:
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】(1)(2)利用不等式的基本性質(zhì)即可證明.
【詳解】(1)證明:':a>b,c>0,
/.ac>bc,-ac<-be,
又因為e>/,即/<e,
所以7-acve-bj
(2)證明:c<d<0,—<—<0,—>—>0;
dcdc
l,abab
又a>b>0,—->—
ac
18.求下列不等式的解集:
(1)-3X2-2X+8>0;
2x+l
【答案】
⑵
【分析】(i)利用二次不等式的解法求解即可;
(2)利用分式不等式的解法求解即可.
【詳解】⑴因為-3/一2尤+820,
4
所以3/+2X一840,則(3x-4)(x+2)W0,解得-24x41
所以-3x?-2X+820的解集為1x|-2wg1.
3x
(2)因為^—-<1,
2x4-1
所以盧則372;1<0,即gwo,
2x+l2x+l2x+l
(x-l)(2x+l)<0解得一
故g<x41,
2x+lw0
所以之力的解集為4-
2x+lI2
19.已知關(guān)于x的不等式亦2一3x+2>0的解集為{無忖<1或x>6}(6>l).
⑴求。力的值;
(2)當x>0,y>0,且滿足q+2=1時,有2x+y2/+左+2恒成立,求左的取值范圍.
xy
[(7=1
【答案】⑴-C
⑵[-3,2]
【分析】(1)根據(jù)一元二次不等式和對應(yīng)方程的關(guān)系,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系,即可求出。、b的值;
12
(2)由題可得一+—=1,結(jié)合基本不等式,求出2x+y的最小值,得到關(guān)于上的不等式,解出即可.
xy
【詳解】(1)因為不等式辦J3x+2>0的解集為卜卜<1或x>b}(b>l),
所以1和b是方程〃尤2-3尤+2=0的兩個實數(shù)根且。>0,
a—3+2=0ci—\a=1
所以,解得6=2或(舍).
-36+2-0b=l
I(2=112
(2)由(1)知,…于是有一+一=1,
[b=2xy
故2x+y=(2]+>)[,+2]=4+2+如》4+2^^=8
y)xy\xy
y4x12[x=2
當且僅當」=一,一+—=1時,即,時,等號成立.
XyXy[y=4
2
依題意有(2x+j)min>k+k+2,即82/+左+2,
得上2+左一64On-34左42,所以發(fā)的取值范圍為[-3,2].
20.“硬科技”是以人工智能,航空航天,生物技術(shù),光電芯片,信息技術(shù),新材料,新能源,智能制造等為
代表的高精尖技術(shù),屬于由科技創(chuàng)新構(gòu)成的物理世界,是需長期投入,持續(xù)積累才能形成的原創(chuàng)技術(shù),具
有極高技術(shù)門檻和技術(shù)壁壘,難以被復(fù)制和模仿.最近十年,我國的一大批自主創(chuàng)新的企業(yè)都在打造自己的
科技品牌,某高科技企業(yè)自主研發(fā)了一款具有自主知識產(chǎn)權(quán)的高級設(shè)備,并從2024年起全面發(fā)售,假設(shè)該
高級設(shè)備的年產(chǎn)量為x百臺,經(jīng)測算,生產(chǎn)該高級設(shè)備每年需投入固完成本1500萬元,最多能夠生產(chǎn)80
3x2+20x,0<x<40,xeN
百臺,每生產(chǎn)一百臺臺高級設(shè)備需要另投成本G(x)萬元,且G(x)=18000s、T
205尤+------3350,40<x<o8n0,xeN
、x
每臺高級設(shè)備售價為2萬元,假設(shè)每年生產(chǎn)的高級設(shè)備能夠全部售出.
(1)求企業(yè)獲得年利潤P(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(百臺)的函數(shù)關(guān)系式(利潤=銷售收入一成本);
(2)當該產(chǎn)品年產(chǎn)量為多少時,企業(yè)所獲年利潤最大?并求最大年利潤.
-3X2+180X-1500,0<X<40
【答案】(l)P(x)=18000
-JX----------F1850,40<x<80
(2)當年產(chǎn)量為60百臺時,公司獲利最大,且最大利潤為1250萬元
【分析】(1)由條件根據(jù)利潤和銷售收入,成本之間的關(guān)系求出年利潤與年產(chǎn)量之間的關(guān)系;
(2)分區(qū)間,結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)和基本不等式求年利潤的最大值.
3x2+20x,0<x<40,xeN
【詳解】(1)???G(x)=<205x+^^-3350,40<x<80,xeN'
X
...當04xW40時,
p(x)=200x-(3x2+20x)-1500=-3x2+180x-1500.
當40<xV80時,
P(x)=200x-205x-^^+3350-1500=-5x-^^+1850.
XX
-3x2+180x-1500,0<x<40
綜上所述,尸(x)=[18000
'7-5x----------+1850,40<x<80
'-3X2+180X-1500,0<X<40
(2)由(1)得P(x)=118000
'7-5x----------+1850,40<x<80
、x
???當0WxK40時,尸(%)=-3x2+180x-l500=—3(x—30)2+1200
???當%=30時,P(x)max=1200(萬元)
當40<xW80時,
z、「18000/3600、「cI3600一、
P(x)=-5
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