2025版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)11空間幾何體理

PAGE1-課時(shí)作業(yè)11空間幾何體1.[2024·貴州七校聯(lián)考]如圖，四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)是長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)(長(zhǎng)方體是虛擬圖形，起協(xié)助作用)，則四面體ABCD的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是(用①②③④⑤⑥代表圖形)()A．①②⑥B．①②③C．④⑤⑥D(zhuǎn)．③④⑤解析：正視圖是邊長(zhǎng)為3和4的矩形，其對(duì)角線左下到右上是實(shí)線，左上到右下是虛線，因此正視圖是①；側(cè)視圖是邊長(zhǎng)為5和4的矩形，其對(duì)角線左上到右下是實(shí)線，左下到右上是虛線，因此側(cè)視圖是②；俯視圖是邊長(zhǎng)為3和5的矩形，其對(duì)角線左上到右下是實(shí)線，左下到右上是虛線，因此俯視圖是③.故選B.答案：B2．[2024·山東德州聯(lián)考]圓錐被一個(gè)平面截去一部分后與半球組成一個(gè)幾何體，如圖所示是該幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A．5π＋4eq\r(3)B．10π＋4eq\r(3)C．14π＋4eq\r(3)D．18π＋4eq\r(3)解析：由三視圖可知該幾何體是由半個(gè)圓錐和半個(gè)球構(gòu)成的，所以幾何體的表面積為eq\f(1,2)×4×2eq\r(3)＋eq\f(1,2)×π×22＋eq\f(1,2)×4×π×22＋eq\f(1,2)×2π×eq\r(22＋2\r(3)2)＝14π＋4eq\r(3).故選C.答案：C3．某圓錐的側(cè)面綻開圖是面積為3π且圓心角為eq\f(2π,3)的扇形，此圓錐的體積為()A．πB.eq\f(2\r(2)π,3)C．2πD．2eq\r(2)π解析：設(shè)圓錐的母線為R，底面圓的半徑為r，扇形的圓心角為α，則S＝eq\f(1,2)αR2＝eq\f(1,2)×eq\f(2π,3)×R2＝3π，解得R＝3，底面圓的半徑r滿意eq\f(r,R)＝eq\f(\f(2π,3),2π)，解得r＝1，所以這個(gè)圓錐的高h(yuǎn)＝eq\r(32－12)＝2eq\r(2)，故圓錐的體積V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(2\r(2)π,3)，故選B.答案：B4．[2024·河南鄭州一中摸底]某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為()A．2eq\r(6)B．2eq\r(5)C．4D．2eq\r(2)解析：由三視圖知，該幾何體是如圖所示的四棱錐A－CDEF和三棱錐F－ABC的組合體，由圖知該幾何體最長(zhǎng)的一條棱為AF，AF＝eq\r(42＋22＋22)＝2eq\r(6)，故選A.答案：A5．[2024·安徽安師大附中摸底]某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．12B．18C．24D．30解析：由三視圖知，該幾何體是一個(gè)底面為直角三角形的直三棱柱截去一個(gè)三棱錐后得到的，如圖，該幾何體的體積V＝eq\f(1,2)×4×3×5－eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×4×3×(5－2)＝24，故選C.答案：C6．[2024·開封高三定位考試]某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為()A．4πB．2πC.eq\f(4π,3)D．π解析：由題意知該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體為圓柱的一部分，設(shè)底面扇形的圓心角為α，由tanα＝eq\f(\r(3),1)＝eq\r(3)，得α＝eq\f(π,3)，故底面面積為eq\f(1,2)×eq\f(π,3)×22＝eq\f(2π,3)，則該幾何體的體積為eq\f(2π,3)×3＝2π.答案：B7．[2024·山東、湖北省質(zhì)量檢測(cè)]已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，E為棱BB1的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱DD1上靠近D1的四等分點(diǎn)，平面A1EF交棱CC1于點(diǎn)G，則截面A1A．2eq\r(65)B．10eq\r(3)C．4eq\r(21)D．2eq\r(21)解析：∵平面A1ADD1∥平面B1BCC1，∴A1F∥EG.同理，A1E∥GF，∴四邊形A1EGF為平行四邊形．如圖，連接EF，取棱DD1的中點(diǎn)K，連接EK，則EK＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2)，F(xiàn)K＝1，在Rt△FKE中，EF＝eq\r(32＋1)＝eq\r(33)，在Rt△A1B1E中，A1E＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，在Rt△A1D1F中，A1F＝eq\r(42＋12)＝eq\r(17)，在△A1EF中，cos∠EA1F＝eq\f(20＋17－33,2×2\r(5)×\r(17))＝eq\f(1,\r(85))，故sin∠EA1F＝eq\f(2\r(21),\r(85))，故截面A1EGF的面積為2×eq\f(1,2)×2eq\r(5)×eq\r(17)×eq\f(2\r(21),\r(85))＝4eq\r(21)，故選C.答案：C8．[2024·湖南六校聯(lián)考]如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，且這個(gè)幾何體的體積為8，則x等于()A．1B．2C．3D．4解析：由三視圖可知，該幾何體為一個(gè)底面是直角梯形的四棱錐(如圖)，體積V＝eq\f(\f(1,2)×2＋4×2,3)·x＝8，∴x＝4.故選D.答案：D9．[2024·安徽合肥調(diào)研]已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖都由半圓及矩形組成，俯視圖由正方形及其內(nèi)切圓組成，則該幾何體的表面積為()A．48＋8πB．48＋4πC．64＋8πD．64＋4π解析：由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)半球和一個(gè)直四棱柱的組合體，依據(jù)圖中數(shù)據(jù)可知，表面積為4×4×2－π×22＋4×2×4＋eq\f(1,2)×4π×22＝64＋4π，故選D.答案：D10．[2024·湖南東部六校聯(lián)考]某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的四個(gè)面中，最大面的面積是()A．4eq\r(3)B．8eq\r(3)C．4eq\r(7)D．8解析：如圖，設(shè)該三棱錐為P－ABC，其中PA⊥底面ABC，PA＝4，△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，故PB＝PC＝4eq\r(2)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×4×2eq\r(3)＝4eq\r(3)，S△PAB＝S△PAC＝eq\f(1,2)×4×4＝8，S△PBC＝eq\f(1,2)×4×eq\r(4\r(2)2－22)＝4eq\r(7)，故四個(gè)面中最大面的面積為S△PBC＝4eq\r(7)，故選C.答案：C11．[2024·廣東深圳調(diào)研]如圖，在平面四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD，將其沿對(duì)角線BD折成四面體ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面體ABCD的全部頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的體積為()A.eq\f(\r(3)π,2)B．3πC.eq\f(\r(2)π,3)D．2π解析：如圖，取BD的中點(diǎn)E，BC的中點(diǎn)O，連接AE，OD，EO，AO.因?yàn)锳B＝AD，所以AE⊥BD.由于平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以AE⊥平面BCD.因?yàn)锳B＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，所以AE＝eq\f(\r(2),2)，EO＝eq\f(1,2)，所以O(shè)A＝eq\f(\r(3),2).在Rt△BDC中，OB＝OC＝OD＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(\r(3),2)，所以四面體ABCD的外接球的球心為O，半徑為eq\f(\r(3),2)，所以該球的體積V＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))3＝eq\f(\r(3)π,2).答案：A12．[2024·河北九校聯(lián)考]已知三棱柱ABC－A1B1C1的全部頂點(diǎn)都在球O的球面上，該三棱柱的五個(gè)面所在的平面截球面所得的圓大小相同，若球O的表面積為20πA．6eq\r(3)B．12C．12eq\r(3)D．18解析：設(shè)球O的半徑為R，則由4πR2＝20π，得R2＝5.由題意知，此三棱柱為正三棱柱，故設(shè)三棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，高為h，如圖，取三角形ABC的中心O1，四邊形BCC1B1的中心O2，連接OO1，OA，O2B，O1A，由題意可知，在Rt△AOO1中，OOeq\o\al(2,1)＋AOeq\o\al(2,1)＝AO2＝R2，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)a,3)))2＝R2＝5①，又AO1＝BO2，所以AOeq\o\al(2,1)＝BOeq\o\al(2,2)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)a,3)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2②，由①②可得a2＝12，h＝2，所以三棱柱的體積V＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)a2))h＝6eq\r(3).故選A.答案：A13．[2024·廣東廣州調(diào)研]已知圓錐的底面半徑為1，高為2eq\r(2)，點(diǎn)P是圓錐的底面圓周上一點(diǎn)，若一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)P動(dòng)身，繞圓錐側(cè)面一圈之后回到點(diǎn)P，則繞行的最短距離是________．解析：易知圓錐的側(cè)面綻開圖是扇形，如圖，設(shè)綻開的扇形AOA′的圓心角為α，易得半徑OA＝3，因?yàn)閳A錐的底面半徑r＝1，所以依據(jù)弧長(zhǎng)公式可得2π＝3α，即扇形的圓心角α＝eq\f(2π,3).連接AA′，作OH⊥AA′，交AA′于點(diǎn)H，則易得∠AOH＝eq\f(π,3)，所以動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)P動(dòng)身在圓錐側(cè)面上繞一圈之后回到點(diǎn)P的最短距離為所對(duì)的弦長(zhǎng)，即AA′＝2AH＝2×OA×sin∠AOH＝2×3×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3).答案：3eq\r(3)14．[2024·陜西寶雞質(zhì)檢]已知A，B，C三點(diǎn)都在以O(shè)為球心的球面上，OA，OB，OC兩兩垂直，三棱錐O－ABC的體積為eq\f(4,3)，則球O的表面積為________．解析：設(shè)球O的半徑為R，以球心O為頂點(diǎn)的三棱錐O－ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直且都等于球的半徑R，△ABC是邊長(zhǎng)為eq\r(2)R的等邊三角形，因此依據(jù)三棱錐的體積公式，得eq\f(1,3)×eq\f(1,2)R2×R＝eq\f(4,3)，∴R＝2，∴S球＝4π×22＝16π.答案：16π15．[2024·河北滄州質(zhì)檢]已知∠ACB＝90°，P為平面ABC外一點(diǎn)，PC＝2，點(diǎn)P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為eq\r(3)，那么P到平面ABC的距離為________．解析：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PO⊥平面ABC于O.則PO為P到平面ABC的距離．再過(guò)O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，連接PC，PE，PF，則PE⊥AC，PF⊥BC.又PE＝PF＝eq\r(3)，所以O(shè)E＝OF，所以CO為∠ACB的平分線，即∠ACO＝45°.在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝eq\r(3)，所以CE＝1，所以O(shè)E＝1，所以PO＝eq\r(PE2－OE2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)))2－12)＝eq\r(2).答案：eq\r(2)16．[2024·廣東省七校聯(lián)考]在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2a，若在這個(gè)四棱錐內(nèi)放一個(gè)球，則該球半徑的最大值為________．解析：通解由題意知，球內(nèi)切于四棱錐P－ABCD時(shí)半徑最大．設(shè)該四棱錐的內(nèi)切球的球心為O，半徑為r，連接OA，OB，OC，OD，OP，則VP－ABCD＝VO－ABCD＋VO－PAD＋VO－PAB＋VO－PBC＋VO－PCD，即eq\f(1,3)×2a×2a×2a＝eq\f(