第1章 數學與我們同行知識歸納與題型突破（7類題型清單）（解析版）

第1章數學與我們同行知識歸納與題型突破（題型清單）

01思維導圖

觀察和積累生活中常見的數學符號，了解他們表

生活中的數學

達的意義，比如：身份證號碼，郵政編碼.

生活中的圖形認識生活中的圖形，感知他們和數學知識的聯(lián)系

數學與我們同行

數形結合、從特殊到一般的思想方法、圖形規(guī)律、

活動與思考

數字規(guī)律

思想方法轉化思想、建模思想、歸納思想、從特殊到一般.

02知識速記

1.生活中的數學

觀察和積累生活中常見的數學符號，了解他們表達的意義，比如：身份證號碼，郵政編碼.....

2.生活中的圖形

認識生活中的圖形，感知他們和數學知識的聯(lián)系

3.活動與思考

數形結合、從特殊到一般的思想方法、圖形規(guī)律、數字規(guī)律。

4.思想方法

轉化思想、建模思想、歸納思想、從特殊到一般.....

03題型歸納

題型一生活常識

例1.小琳買了一雙鞋號為“35”的鞋，但她不知道“35”的意義，你認為鞋馬為“35”表示的意義是（）

A.鞋的寬度B.鞋的高度C.鞋的厚度D.鞋的長度

【答案】D

【解析】解：鞋碼為“35”表示的意義是鞋碼的長度.

第1頁共13頁

故選：D.

鞏固訓練

1.謎語：干活兩腿腳，一腿勤，一腿懶，一腳站”一腳轉.打一數學學習用具，謎底為（）

A.量角器B.直尺C.三角板D.圓規(guī)

【答案】D

【解析】試題分析：利用圓規(guī)的特點：圓規(guī)有兩只腳，一鐵腳固定，另一腳旋轉，可判斷.

故選D.

2、某人的身份證號碼是32072119980607xxxx,此人今年（2017年）的周歲是.

【答案】19

【解析】根據身份證號可得出生年月，根據今年年數減出生年月，可得歲數.

解:「身份證號碼為32072119980607xxxx,

,此人1998年出生，

???今年是2017年,

2017-1998=19（歲）

故答案為：19歲.

題型二生活中數學的估算

例2.標準足球場是一個長方形，其長為105m,寬為68m,它的面積的萬分之一大約有（）

A.一只手掌心大B.一本數學課本大

C.一個教室大D.一個教室講臺大

【答案】D

【解析】計算出足球場面積萬分之一，估計與哪一個選項匹配.

解：因為105x68=7140,7140-10000=0.714m2,

所以大約有一個教室講臺大.

故選D

鞏固訓練

1」掛是姆指和食指在平面上伸直時，兩者端點之間的距離.則以下估計正確的是（）

11

A.課本的寬度約為4掛B.課桌的高度約為4柞

第2頁共13頁

C.黑板的長度約為4拄D.字典的厚度約為4柞

【答案】B

【解析】1掛是姆指和食指在平面上伸直時，兩者端點之間的距離，正常人大約是20-30厘米.

解：1掛是姆指和食指在平面上伸直時，兩者端點之間的距離，正常人大約是20-30厘米，

所以課桌的高度約為4掛.

故選：B.

2.小彬從家里步行到學校需100步，他到學校的距離可能是（）

A.250mB.200mC.150mD.50m

【答案】D

【分析】結合實際可知我們通常一步的距離為0.5m,列乘法計算即可.

【詳解】0.5x100=50（m）.

故選D.

3.抽查了某校在六月份里5天的日用電量，結果如下：

400410395405390（單位；度）

根據以上數據，估算該校六月份的總用電量是（單位；度）（）

A.12400B.12000C.2000D.400

【答案】B

【解析】由題目可以看出，這些數都接近400,再用400去乘六月份的天數即可.

六月有30天，410p400,395處400,405處400,390-400,400X30=12000.

故選B.

4.35cm接近于（）

A.一張紙的厚度B.姚明的身高

C.三層樓的高度D.珠穆朗瑪峰的高度

【答案】B

【解析】解：35cm=243cm,

三層樓房的高度遠遠大于243cm,一張紙的厚度遠遠小于243cm,珠穆朗瑪峰的高度遠遠大于243cm,

最接近于35cm的是姚明的身高.

故選：B.

題型三基礎計算

第3頁共13頁

例3.某班學生參加課外興趣小組情況的統(tǒng)計圖如圖所示，則參加人數最多的課外興趣小組是（）

A.書法B.象棋C.體育D.美術

【答案】C

【解析】解：V18%<22%<28%<32%,

參加體育課外興趣小組的人數所占百分比最大，

故選：C

鞏固訓練

1.一輛自行車，前胎行駛6000km就不能繼續(xù)使用，后胎行駛4000km就不能繼續(xù)使用，若在行駛中合理

交換前后胎，則最多可以行駛km.

【答案】4800

【解析】???前胎行駛6000km就不能繼續(xù)使用，后胎行駛4000km就不能繼續(xù)使用，

???前輪位置每千米磨損二高，后輪位置每千米磨損―，

60004000

???若在行駛中合理交換前后胎，

盡量滿足前后輪同時損壞，即兩個輪胎在前后位置行駛的千米數完全一致，

.（-―2=上

"600040004800'

交換前后兩個車胎的平均磨損率為1/4800,即共行駛4800千米，兩個輪胎同時損壞，

???最多可以行駛4800千米.

故答案為4800.

2.三個連續(xù)奇數的和是21,它們的積為.

【答案】315

【解析】設中間的奇數為x,則前一個數為x-2,后一個數為x+2,由題意得

x+x-2+x+2=21

解得x=7

則這三個數分別為5、7、9

第4頁共13頁

它們的積為5x7x9=315.

故答案為:315

題型四平面圖形的認識

例4.一只小狗正在平面鏡前欣賞自己的全身像（如圖所示），此時，它所看到的全身像是（）

【答案】A

【解析】根據圖中所示，鏡面對稱后，應該為第一個圖象.

故選A.

鞏固訓練

1.如圖中長方形有個.

【答案】15

【解析】解：觀察圖形，可得單個長方形有5個，兩個長方形組合形成的長方形4個，三個長方形組合形

成的長方形3個，四個長方形組合形成的長方形2個，五個長方形組合形成的長方形有1個，

5+4+3+2+1=15,故有15個長方形.

故答案為：15.

2.如圖，將正方形圖案繞中心。旋轉180。后，得到的圖案是（）

第5頁共13頁

【答案】C

【分析】根據旋轉的定義進行分析即可解答

【詳解】解：根據旋轉的性質，旋轉前后，各點的相對位置不變，得到的圖形全等,

分析選項，可得正方形圖案繞中心。旋轉180。后，得到的圖案是C.

故選：C.

3.如圖，圖中的三角形共有（）

C.14個D.16個

【答案】B

【解析】解：如圖所示,

圖中的三角形有：4AFM,"FN,"FG,AAMN,AAMG,AANG,Z\ABD,"BE,"BC,NADE,

AADC,AAEC,共12個，

故選：B.

題型五數列、數字規(guī)律問題

例5.如圖，在此數字寶塔中，從上往下數，2013在層.

1+2=3

4+5+6=7+8

第6頁共13頁

9+10+11+12=13+14+15

16+17+18+19+20^21+22423424.......

【答案】44

【解析】觀察數字寶塔，每一層的第一個數為層數的平方，根據第44層的第一個數為4不=1936,第45層

的第一個數為452=2025,判斷出2013在第44層，即可解答.

解：觀察數字寶塔，可得：

第一層的第一個數為1=儼，

第二層的第一個數為4=22,

第三層的第一個數為9=32,

L

，第44層的第一個數字為44,=1936;第45層的第一個數字為45?=2025,

2013在第44層.

故答案為：44.

鞏固訓練

ab

1.下表是2002年12月份的日歷，現在用一個長方形在日歷中任意框出4個數，，請你用一個等式表示

cd

a、b、＜?、”之間的關系

日—二-四五六

1

2345678

9101112131415

16171819202122

23242526272829

30

【答案】d-c=b-a

【解析】解：d-c=b-a（答案不唯一）.

故答案為：d-c=b-a.

2.觀察下面的點陣圖和相應的等式，探究其中的規(guī)律:

（1）在④后面的橫線上寫出相應的等式:

第7頁共13頁

①1=12；②1+3=22；③1+3+5=32；④-⑤1+3+5+7+9=52；

⑵請寫出第〃個等式；

(3)利用(2)中的等式,計算：41+43+45+…+199.

【答案】(1)1+3+5+7=42

(2)1+3+...+(2n-1)=/

(3)9600

【解析】(1)由題意知，第四項為1+3+5+7=16=4?,故答案為4、

(2)由圖形知：

1=2X1-1=F；

1+3=1+(2x2-1)=22

第n個等式為1+3+5+...+(2n-l)=-----------xn=n2

2

故答案為1+3+5+...+(2n-l)=n2

(3)41+43+45+…+199

=(1+3+5+…+199)-(1+3+5+…+39)

=[1+3+5+...+(2x100-1)H1+3+5+...+(2x20-1)]

=1002-202

=9600

3.閱讀下列材料

Ix2=；x(lx2x3-Oxlx2)

2x3=gx(2x3x4-lx2x3)

3x4=-x(3x4x5-2x3x4)

由以上三個等式相加，可得1X2+2X3+3X4='X3X4X5=20.

3

讀完以上材料，請你計算下列各題：

(I)lx2+2x3+3x4+...+10x11；(寫出過程)

(2)lx2x3+2x3x4+3x4x5+...+7x8x9.(寫出過程)

【答案】(1)440

(2)1260

第8頁共13頁

【解析】(1)角碧Ix2=1(lx2x3-Oxlx2),2x3=1(2x3x4-Ix2x3),

3x4=；(3x4x5—2x3x4),...,10x11=1(10xl1x12-9x10x11)

等式左右兩邊分別相加，

lx2+2x3+3x4+---+10xll=—xl0xllxl2=440；

3

(2)觀察，發(fā)現規(guī)律：1x2x3=；(Ix2x3x4-Oxlx2x3),2x3x4=；(2x3x4x5-lx2x3x4),

3X4X5=；(3X4X5X6—2X3X4X5),…，

原式

=；(1X2X3X4—0X1X2X3)+；(2X3X4X5—1X2X3X4)+；(3X4X5X6—2X3X4X5)+3+；

(7x8x9x10-6x7x8x9),

=-x7x8x9xl0，

4

=1260.

故答案為：1260.

4.讀一讀：式子“1+2+3+4+5+...+100”表示從1開始的100個連續(xù)自然數的和.由于上述式子比較長，

100

書寫也不方便，為了簡便起見，我們可將“1+2+3+4+5+...+100”表示為￡〃，這里“X”是求和符號.例如：

n-1

50

“1+3+5+7+9+...+99”（即從1開始的100以內的連續(xù)奇數的和）可表示為￡（2〃-1）；又如

n—1

10

'T+23+3,+夕+53+63+7?+83+93+4”可表示為.同學們，通過對以上材料的閱讀，請解答下列問

n=l

題：

（1）2+4+6+8+10+...+100（即從2開始的100以內的連續(xù)偶數的和）用求和符號可表示為」

（2）計算：￡（層-1）=_（填寫最后的計算結果）.

n=l

20121

（3）計算2廠友.

50nnin

【答案】（1）22"；（2）50；（3）篝

〃=i2。13

【解析】（1）結合題意，2+4+6+8+10+...+100（即從2開始的100以內的連續(xù)偶數的和）用求和符號可

50

表示為；

n=l

（2）-1）=（12-l）+（22-l）+（32-l）+（42-l）+（52-1）=50；

n-\

第9頁共13頁

(3)￡^^」+J-+-L+…+i

占〃5+1)1x22x33x42012x2013

1111111

=1—I——i—

2233420122013

1

=1-

2013

2012

2013

題型六圖形規(guī)律問題

例6.在如圖所示的2x2方格圖案中有個正方形;

3x3方格圖案中有個正方形;

4x4方格圖案中有個正方形.

【答案】51430

【解析】在2x2方格圖案中有5個正方形，不要忽視最大的那一個正方形；

在3x3方格圖案中有9個小的正方形、4個由四個小正方形組成的大一點的正方形和一個最大的正方形，所

以共有9+4+1=14（個）正方形;

同理可知在4x4方格圖案中有16+9+4+1=30（個）正方形.

故答案為:5,14,30

鞏固訓練

1.現有黑色三角形“▲”和“△”共200個，按照一定規(guī)律排列如下：▲八八“▲▲八八…….則黑

色三角形有個.

【答案】100

【解析】解：觀察給定圖形，可知：三角形的排列以6個為一組，一組內有3個黑色三角形.

?.?200+6=33（組）余2（個），

黑色三角形有33x3+1=100（個）.

故答案為：100.

2.用3根火柴棒搭成1個三角形，接著用火柴棒按如圖所示的方式搭成2個三角形，再用火柴棒搭成3個三

角形、4個三角形...搭2020個三角形共需要根火柴棒

第10頁共13頁

【答案】4041

【解析】解：1個三角形需要3根火柴棒,

2個三角形需要5根火柴棒，

3個三角形需要7根火柴棒，

4個三角形需要9根火柴棒，

照此規(guī)律下去搭n個這樣的三角形需要2"+1個三角形，

當”=2020時，

2/1+1=2x2020+1=4041,

故答案為：4041.

3.春秋時代，人們用算籌擺放圖形，I||III||||"IIITTT來表示1、2、3、4、5、6、7,你認為他們會用圖

來表示“8"，用圖來表示“9”.

【答案】正w

【解析】解：由分析得：用]]T圖來表示“8”，用而圖來表示“9”.

故答案為：|||,||||；

4.下列圖形都是由同樣大小的棋子按一定規(guī)律組成，其中第1個圖形有1顆棋子，第2個圖形一共有6顆

棋子，第3個圖形一共有16顆棋子，....

圖1圖2圖3

(1)則第4個圖形中棋子的顆數為.第5個圖形中棋子的顆數為

(2)請?zhí)骄坎w納出第n個圖形中棋子的顆數.

⑶求第100個圖形中棋子的顆數.

【答案】⑴31,51

(2)1+1

(3)24751顆

【解析】解：(1)第四個圖形棋子的顆數為：1+3+5+7+6+5+4=31,

第11頁共13頁

第五個圖形棋子的顆數為：1+3+5+7+9+8+7+6+5=51,

故答案為31,51；

(2)觀察圖形得到第1個圖形中棋子的顆數為l=l+5xO；

第2個圖形中棋子的顆數為l+5xl=6；

第3個圖形中棋子的顆數為1+5+10=1+5(1+2)=16；

第4個圖形中棋子的顆數為1+5+10+15=1+5(1+2+3)=31；

第〃個圖形中棋子的顆數為1+5+10+15+…+5(〃-1)=1+5Q+2+3+?+〃-l)=1+,

所以第”個圖形中棋子的顆數為1+辿二D；

2

(3)當”=100時，1+5〃(〃-D=i+四?！?=24751,

22

所以第100個圖形中棋子的顆數是24751顆.

題型七推理與歸納

例7、兩條直線最多有1個交點，三條直線最多有3個交點，四條直線最多有6個交點……那么六條直線最多

有個交點.

【答案】15

【解析】如圖，3條直線相交最多有3個交點，4條直線相交最多有6個交點，5條直線相交最多有10個交

點.

而3=上口，6=1^1),10=^1)

222

〃條直線相交，最多有心(”D個交點.