動(dòng)能和動(dòng)能定理 （人教版必修二冊(cè)）（解析版）

專題8.3動(dòng)能和動(dòng)能定理

【人教版】

嶺四叔

【題型1恒力作用下動(dòng)能定理的應(yīng)用】

【題型2圓周運(yùn)動(dòng)中動(dòng)能定理的應(yīng)用】

【題型3多過程問題中動(dòng)能定理的應(yīng)用】

【題型4涉及彈簧問題中動(dòng)能定理的應(yīng)用】

【題型5對(duì)比問題】

【題型6聯(lián)系實(shí)際】

【題型7與圖像綜合】

【題型8臨界問題】

【題型1恒力作用下動(dòng)能定理的應(yīng)用】

【例1】某幼兒園要在空地上做一個(gè)滑梯，由于空地大小限制，滑梯的水平跨度確定為尤=6

mo設(shè)計(jì)時(shí)，考慮兒童褲料與滑板間的動(dòng)摩擦因數(shù)〃=0.4,為使兒童在滑梯上恰能滑下，重

力加速度g=10m/s2o

(1)求滑梯的高度加

⑵若小明褲料與滑板間的動(dòng)摩擦因數(shù)〃i=；,求他從滑梯上由靜止滑到底端的瞬時(shí)速度大

??；

⑶若體重比小明重、穿相同褲料的小華，從滑梯上由靜止滑到底端，有人認(rèn)為小華滑行的

時(shí)間比小明長(zhǎng)。這種說法是否正確？簡(jiǎn)要說明理由。

[解析](1)兒童恰能滑下，重力的下滑分力等于摩擦力，設(shè)滑梯與水平面的夾角為夕,

則mgsin加geos3

h

根據(jù)幾何關(guān)系：tan9=~

聯(lián)立解得：h=0Ax=2Amo

(2)設(shè)滑板長(zhǎng)為"由動(dòng)能定理得：

1

mgh—jLi[mgLcos8=嚴(yán)。9，x=Lcos0

聯(lián)立解得：0=2y[2m/s?

(3)這種說法不正確，小華下滑的時(shí)間與小明相等。

根據(jù)位移時(shí)間關(guān)系：L-^at2

根據(jù)牛頓第二定律，下滑的加速度

q=g(sin//icos9)

聯(lián)立解得：t='l

\1g(sin”產(chǎn)一〃——icosU)

可見，下滑時(shí)間與體重?zé)o關(guān)。

［答案］⑴2.4m(2)2小m/s⑶見解析

【變式1-1］(多選)如圖所示，質(zhì)量為加的木塊靜止在光滑的水平面上，質(zhì)量為小的子彈以

速度。。沿水平方向射入木塊，并最終留在木塊中與木塊一起以速度。運(yùn)動(dòng)。己知當(dāng)子彈相

對(duì)木塊靜止時(shí)，木塊前進(jìn)的距離為L(zhǎng)子彈進(jìn)入木塊的深度為s。若木塊對(duì)子彈的阻力尸視

為恒定，則下列關(guān)系式中正確的是()

A.FL^Mv2

B.Fs=^mv2

C.Fs=^mvo,—^(M+rri)v2

D.F(L+s)=^mvo1-^mv2

解析：選ACD根據(jù)動(dòng)能定理，對(duì)子彈，有一尸(Z+s)=3加2一m”如2,D正確；對(duì)木塊，有

FL=-^Mv2,A正確；由以上二式可得尸產(chǎn)品加一3(知+%)。2,C正確，B錯(cuò)誤。

【變式1-2］如圖所示，用長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩把一個(gè)小鐵球掛在離水平地面高為3乙的。點(diǎn)，小

鐵球以。為圓心在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)且恰好能到達(dá)最高點(diǎn)A處，不計(jì)空氣阻力，重力加

速度為g,若運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)輕繩被切斷，則小鐵球落到地面時(shí)速度的大小為()

A.yj3gLB.q6gL

C.4版D.3而

答案D

解析小球剛好能在豎直平面做圓周運(yùn)動(dòng)且恰好到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，繩的拉力為零，只有重力提

2

供向心力，有書，在最高點(diǎn)剪斷繩后，小球做平拋運(yùn)動(dòng)落地，對(duì)這一過程由動(dòng)能定理

mg-4L,聯(lián)立可得落地速度=故A、B、C錯(cuò)誤，D正確。

【變式1-3］(多選)如圖所示，一塊長(zhǎng)木板2放在光滑的水平面上，在B上放一物體A,4

B間接觸面不光滑?，F(xiàn)以恒定的外力拉8,A在8上發(fā)生了滑動(dòng)，以地面為參考系，A、B

都向前移動(dòng)了一段距離。在此過程中()

A.外力產(chǎn)做的功等于A和8動(dòng)能的增量

B.8對(duì)A的摩擦力所做的功等于A的動(dòng)能的增量

C.A對(duì)B的摩擦力所做的功等于2對(duì)A的摩擦力所做的功

D.外力廠對(duì)B做的功等于B的動(dòng)能的增量與B克服摩擦力所做的功之和

答案BD

解析A物體所受的合力等于8對(duì)A的摩擦力，根據(jù)動(dòng)能定理，有8對(duì)A的摩擦力所做的

功等于A的動(dòng)能的增量，B正確；A對(duì)8的摩擦力與8對(duì)A的摩擦力是一對(duì)作用力與反作

用力，大小相等，方向相反，但是由于4在8上滑動(dòng)，4、8相對(duì)地的位移不相等，故二者

做功不相等，C錯(cuò)誤；對(duì)8應(yīng)用動(dòng)能定理，有WF—%=AEkB,解得WF=AEKB+陟即外力

產(chǎn)對(duì)8做的功等于8的動(dòng)能的增量與8克服摩擦力所做的功之和，D正確；根據(jù)功能關(guān)系

可知，外力F做的功等于A和2動(dòng)能的增量與產(chǎn)生的內(nèi)能之和，故A錯(cuò)誤。

【題型2圓周運(yùn)動(dòng)中動(dòng)能定理的應(yīng)用】

【例2】如圖所示，粗糙程度處處相同的水平桌面上有一長(zhǎng)為工的輕質(zhì)細(xì)桿，一端可繞豎直

光滑軸。轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端與質(zhì)量為根的小木塊相連。木塊以水平初速度比出發(fā)，恰好能完成

一個(gè)完整的圓周運(yùn)動(dòng)。在運(yùn)動(dòng)過程中，木塊所受摩擦力的大小為（）

A-2^TB-4^L

:woo?

08MD，i6兀心

YYW^x"

解析：選B對(duì)木塊由動(dòng)能定理得：一居2立=0—］解得摩擦力大小為：K=初，

故B正確，A、C、D錯(cuò)誤。

【變式2-1］（多選）如圖所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)=0.4m的輕桿一端連著質(zhì)量為機(jī)=lkg的小球，另一

端用錢鏈固接于水平地面上的。點(diǎn)，初始時(shí)小球靜止于地面上?，F(xiàn)在桿中點(diǎn)處施加一大小

不變、方向始終垂直于桿的力凡輕桿轉(zhuǎn)動(dòng)30。時(shí)撤去凡則小球恰好能到達(dá)最高點(diǎn)。忽略

一切摩擦，重力加速度g=10m/sZ,7i^3o下列說法正確的是（）

A.力F所做的功為4J

B.力廠的大小約為40N

C.小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，輕桿對(duì)小球的作用力大小為5N

D.撤去斤瞬間，小球的速度大小為2m/s

［解析］小球恰好能到達(dá)最高點(diǎn)，小球到達(dá)最高點(diǎn)的速度為0,在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，根據(jù)動(dòng)能

TTT

定理得WF-mgL=Q-0,解得WF=mgL=^J,A正確；施加的力始終垂直于桿，則WF=F-^,

解得尸=7f=40N,B正確；小球恰好能到達(dá)最高點(diǎn)，小球到達(dá)最高點(diǎn)的速度為0,根據(jù)平

12

衡條件得輕桿對(duì)小球的作用力為PN=：咫=10N,C錯(cuò)誤；在力/作用過程中，根據(jù)動(dòng)能定

mf1o左〃。/2WF—2mgLsin30°.

理仔Wp—mgLsin30°=力廬，角牛仔v=\-------m-------=1m/s,D正確。

［答案］ABD

【變式2-2】在學(xué)校組織的趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)上，某科技小組為大家提供了一個(gè)游戲。如圖所示，

將一質(zhì)量為01kg的鋼球放在。點(diǎn)，用彈射裝置將其彈出，鋼球沿著光滑的半圓形軌道OX

和AB運(yùn)動(dòng)。8C段為一段長(zhǎng)為L(zhǎng)=2.0m的粗糙平面，OE/G為接球槽。半圓形軌道OA和

的半徑分別為r=0.2m、R=0.4m,小球與BC段的動(dòng)摩擦因數(shù)為〃=0.7,C點(diǎn)離接球槽

的高度為〃=1.25m,水平距離為x=0.5m,接球槽足夠大，g取lOm/s?。求：

(1)要使鋼球恰好不脫離半圓形軌道，鋼球在4點(diǎn)的速度大??；

(2)鋼球恰好不脫離軌道時(shí)，在B位置對(duì)半圓形軌道的壓力大小；

(3)要使鋼球最終能落入槽中，彈射速度?！阒辽俣啻?。

“2

解析：(1)要使鋼球恰好不脫離半圓形軌道，鋼球在最高點(diǎn)A時(shí)，對(duì)鋼球分析有7咫=/葉丁，

解得0A=2m/So

(2)鋼球從A到B的過程由動(dòng)能定理得mg-2R=^mvB1—^mv^,在B點(diǎn)有F^—mg=nr^-,解

得/N=6N,根據(jù)牛頓第三定律，知鋼球在B位置對(duì)半圓形軌道的壓力大小為6N。

(3)從C到D鋼球做平拋運(yùn)動(dòng),要使鋼球恰好能落入槽中,則/?=%匕解得vc=1m/s,

假設(shè)鋼球在A點(diǎn)的速度恰為⑸=2m/s時(shí)，鋼球可運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，且速度為vc1,從A至IC

由動(dòng)能定理得=2一品0A2,解得oc'2<0,故當(dāng)鋼球在A點(diǎn)的速度恰為

0A=2m/s時(shí)，鋼球不可能到達(dá)C點(diǎn)，更不可能入槽，要使鋼球最終能落入槽中，需要更大

的彈射速度，才能使鋼球既不脫離軌道，又能落入槽中。當(dāng)鋼球到達(dá)C點(diǎn)速度為。c時(shí)，Vo

有最小值，從。到C由動(dòng)能定理得mgR—1.imgL=^mvc1—~^invo,解得Vo=y[21m/s。

答案：(l)2m/s(2)6N(3)V^m/s

【變式2-3](多選)如圖所示，半徑為R的光滑四分之一圓弧軌道A8固定在豎直面內(nèi)，軌

道最低點(diǎn)2與水平面平滑連接，圓心。與A在同一水平面內(nèi)，質(zhì)量為根的物塊從A點(diǎn)由靜

止釋放，物塊沿圓弧軌道下滑，最終靜止在水平面上的C點(diǎn)，B,C間的距離為2R,重力

加速度為g。若物塊滑到8C的中點(diǎn)時(shí)，給物塊施加一個(gè)水平向左的恒力R當(dāng)物塊再次運(yùn)

動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，撤去力P,結(jié)果物塊恰好能運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，則()

A.物塊與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.25

B.物塊與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5

C.水平推力的大小等于耳

D.水平推力的大小等于今咫

解析：選BC對(duì)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程，根據(jù)動(dòng)能定理得"zgR—〃mg-2R=0,解得〃=0.5,A錯(cuò)誤，

B正確；設(shè)推力作用后，物塊還能向右滑行的距離為x,根據(jù)動(dòng)能定理得/"gR—w?g(R+x)

~Fx=O,{F—).img)(R+x)~mgR=0,解得尸="^+'mg,C正確，D錯(cuò)誤。

【題型3多過程問題中動(dòng)能定理的應(yīng)用】

【例3］［多選］如圖所示為一滑草場(chǎng)。某條滑道由上下兩段高均為h,與水平面傾角分別為

45。和37。的滑道組成，滑草車與草地之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為〃。質(zhì)量為機(jī)的載人滑草車從坡頂

由靜止開始自由下滑，經(jīng)過上、下兩段滑道后，最后恰好靜止于滑道的底端(不計(jì)滑草車在

兩段滑道交接處的能量損失，sin37o=0.6,cos37o=0.8)。則()

A.動(dòng)摩擦因數(shù)〃=專

B.載人滑草車最大速度為、將

C.載人滑草車克服摩擦力做功為加g/z

D.載人滑草車在下段滑道上的加速度大小為再

［解析］由題意知，上、下兩段斜坡的長(zhǎng)分別為

_h_h

si=sin45。、52=sin37°

由動(dòng)能定理知:2mgh—/imgsicos45°—2cos37°—0

解得動(dòng)摩擦因數(shù)〃=*選項(xiàng)A正確；

載人滑草車在上下兩段的加速度分別為

啦

?i=g(sin45。一“cos45°)=右'g,

a2=g(sin37°—//cos37°)=一荻，

則在下落〃時(shí)的速度最大，由動(dòng)能定理知：

1,

mgh—/imgs\cos45°—

解得選項(xiàng)B正確，D錯(cuò)誤；

載人滑草車克服摩擦力做的功與重力做功相等，即W=2mg/i,選項(xiàng)C錯(cuò)誤。

［答案］AB

【變式3-1】如圖所示，豎直固定放置的斜面。E與一光滑的圓弧軌道ABC相切，C為切點(diǎn),

圓弧軌道的半徑為R,斜面的傾角為凡現(xiàn)有一質(zhì)量為機(jī)的滑塊從。點(diǎn)無初速下滑，滑塊可

在斜面和圓弧軌道之間做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，已知圓弧軌道的圓心。與4。在同一水平面上，滑

塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為〃，求：

(1)滑塊第一次滑至左側(cè)圓弧上時(shí)距A點(diǎn)的最小高度差力；

(2)滑塊在斜面上能通過的最大路程s。

解析：(1)滑塊從。到達(dá)左側(cè)最高點(diǎn)廠經(jīng)歷OC、CB、5廠三個(gè)過程，現(xiàn)以。尸整個(gè)過程為研

究過程，運(yùn)用動(dòng)能定理得：mgh—jumgcos解得卜="心；：￡。

10tan(7tanu

(2)通過分析可知，滑塊最終至C點(diǎn)的速度為0時(shí)對(duì)應(yīng)在斜面上的總路程最大，由動(dòng)能定理

得：

R

mgRcos0—］umgcos3-s=0f解得：s=—。

答案：⑴等￥(2心

【變式3-2］如圖甲所示，在水平面上固定一傾角0=37。、底端帶有擋板的足夠長(zhǎng)的斜面，

斜面體底端靜止一質(zhì)量根=1kg的物塊(可視為質(zhì)點(diǎn))，從某時(shí)刻起，物塊受到一個(gè)沿斜面向

上的拉力F作用，拉力F隨物塊從初始位置第一次沿斜面向上的位移尤變化的關(guān)系如圖乙

所示，隨后不再施加外力作用，物塊與固定擋板碰撞前后速率不變，不計(jì)空氣阻力，已知物

塊與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)〃=0.5,5皿37。=0.6,cos37o=0.8,重力加速度g?。?0m/s2,

求：

(1)物塊在上滑過程中的最大速度的大??；(計(jì)算結(jié)果可保留根式)

(2)物塊沿斜面上滑的最大位移的大小和物塊在斜面上運(yùn)動(dòng)的總路程。

［解析］(1)物塊上滑過程中受拉力、摩擦力、重力、支持力的作用，先做加速運(yùn)動(dòng)后做減速運(yùn)

動(dòng)，則有FN=%gcos37。

f=/zFN

F—f—mgsin37°=ma

當(dāng)加速度為零時(shí)，速度最大，此時(shí)尸=/+mgsin37°=10N

由圖乙可得出尸=20-10x

則尸=10N時(shí)，可得出x=lm

2

由動(dòng)能定理可得WF+Wf+WG=|mym-0

?20+101,rer—

即一5-XIJ—0.5XIX10X1X0.8J—1X10X1X0.6J=5,7Wm2-0,可得/=回m/So

(2)由動(dòng)能定理可得匹'+W{'+WG'=0-0

n_________w___________

X'"geos37°+wgsin37°2m

撤去尸后，因?yàn)閙gsin37°>//mgcos37°,所以物塊最后停在斜面的底端，則有Wpr+〃加gscos

37°=0-0

解得5=5m。

［答案］(1m/s(2)2m5m

【變式3-3】如圖所示，兩傾角均為。的光滑斜面對(duì)接后固定水平地面上，O點(diǎn)為斜面的最

低點(diǎn)。一個(gè)小物塊從右側(cè)斜面上高為A處由靜止滑下，在兩個(gè)斜面上做往復(fù)運(yùn)動(dòng)。小物塊

每次通過。點(diǎn)時(shí)都會(huì)有動(dòng)能損失，損失的動(dòng)能為小物塊當(dāng)次到達(dá)。點(diǎn)時(shí)動(dòng)能的5%。小物塊

從開始下滑到停止的過程中運(yùn)動(dòng)的總路程為()

49H39H

A赤B赤

「29H門20H

答案B

解析由題意知，小物塊第一次到達(dá)。點(diǎn)由動(dòng)能定理可得wg"=Ek,此時(shí)小物塊所走路程

H

S1=而彳，第一次通過。點(diǎn)后動(dòng)能￡ki=95%Ek=95%mg?,此時(shí)利用動(dòng)能定理知小物塊上升

高度M=95%H,第二次到達(dá)0點(diǎn)滑下的路程S2=普=95%區(qū)，同理第二次離開。點(diǎn)到

olllCzbillC/

第三次到達(dá)。點(diǎn)所走路程S3=(95%)]磊，…，故小物塊下滑的總路程SE.=S1+S2+…即=

《力~95%；^+(95%)之瑞+…(95%)"-i[^,"無窮大時(shí)，可得s總=焉5(等比數(shù)列求和)，

dill\JOlliDillCzdillolllIz

故B正確。

【題型4涉及彈簧問題中動(dòng)能定理的應(yīng)用】

【例4】如圖所示，在輕彈簧的下端懸掛一個(gè)質(zhì)量為機(jī)的小球A,若將小球A從彈簧的原長(zhǎng)

位置由靜止釋放，小球A能夠下降的最大高度為限若將小球A換為質(zhì)量為3%的小球8,

仍從彈簧原長(zhǎng)位置由靜止釋放，則小球B下降場(chǎng)時(shí)的速度為(重力加速度為g,不計(jì)空氣阻

力X)

A.\[2ghB.y^-

C麗

解析：選B設(shè)小球A下降//的過程中克服彈簧彈力做功為知,根據(jù)動(dòng)能定理，有mgfi一

Wi=0;小球8下降過程，由動(dòng)能定理，有3〃琢//一用加一0。聯(lián)立以上兩式解得。=

故B正確。

【變式4-1】如圖所示，輕彈簧一端系在墻上的。點(diǎn)，自由伸長(zhǎng)到B點(diǎn)。現(xiàn)將小物體靠著彈

簧(不拴接)并將彈簧壓縮到A點(diǎn)，然后由靜止釋放，小物體在粗糙水平面上運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)靜止,

則()

A.小物體從A到B過程速度一直增加

B.小物體從A到B過程加速度一直減小

C.小物體從B到C過程中動(dòng)能變化量大小小于克服摩擦力做功

D.小物體從A到C過程中彈簧的彈性勢(shì)能變化量大小等于小物體克服摩擦力做功

解析：選D在A、2間某處物體受到的彈力等于摩擦力，合力為0,速度最大，而在2點(diǎn)

只受摩擦力，合力不為零，因此小物體從A到8過程加速度先減小再增大，速度先增大后

減小，故A、B錯(cuò)誤；小物體從8到C過程中，由動(dòng)能定理得一Wf=AEk,故C錯(cuò)誤；小物

體從A到C過程中，由動(dòng)能定理得W理一Wfi=0,故D正確。

【變式4-2］（多選）如圖甲所示，輕彈簧豎直放置，下端固定在水平地面上，一質(zhì)量為m的

小球從離彈簧上端高h(yuǎn)處由靜止釋放。某同學(xué)研究小球落到彈簧上后繼續(xù)向下運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)

的過程，他以小球開始下落的位置為原點(diǎn)，沿豎直向下方向建立坐標(biāo)軸Ox,作出小球所受

彈力F的大小隨小球下落的位置坐標(biāo)尤的變化關(guān)系如圖乙所示。不計(jì)空氣阻力，重力加速

度為g。以下判斷正確的是（）

A.當(dāng)時(shí)，小球的速度開始減小，而加速度先減小后增大，直至最低點(diǎn)

B.最低點(diǎn)的坐標(biāo)尤=〃+尤1+）尤12+2/?1

C.當(dāng)x=/i+2xi時(shí)，小球的加速度為一g,彈力為且為小球下落的最低點(diǎn)

D.小球動(dòng)能的最大值為7咫/7+等

［解析］小球下落到x=a時(shí)，小球剛接觸彈簧，直到x=/z+xi前，彈力小于重力，小球一直

做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，之后彈力大于重力，加速度反向逐漸增大，直至到達(dá)最低點(diǎn)，A

錯(cuò)誤；由題圖乙知根g=fcn,解得為=等，由Rx圖線與橫軸所圍圖形的面積表示克服彈力

所做的功，從開始下落到最低點(diǎn)過程，W克產(chǎn)；依一〃）2,由動(dòng)能定理得峻一加X—/z）2=0,

解得最低點(diǎn)的坐標(biāo)x=/7+xi+、尤12+2/.］,B正確；由對(duì)稱性可知，當(dāng)尤=/?+2尤1時(shí)，小球

的加速度為一g,且彈力為2:咫，但還未到最低點(diǎn)，C錯(cuò)誤；小球在x=/z+xi處時(shí)，動(dòng)能有

最大值，根據(jù)動(dòng)能定理得mg（〃+xi）+W彈'=Ekm—0,由題知，W=一；點(diǎn)/=一

解得最大動(dòng)能Ekm=/ng〃+爸”，D正確。

［答案］BD

【變式4-3】如圖所示，質(zhì)量均為優(yōu)=4kg的兩個(gè)小物塊A、8（均可視為質(zhì)點(diǎn)）放置在水平地

面上，豎直平面內(nèi)半徑R=0.4m的光滑半圓形軌道與水平地面相切于C,彈簧左端固定。

移動(dòng)物塊A壓縮彈簧到某一位置（彈簧在彈性限度內(nèi)），由靜止釋放物塊A,物塊A離開彈簧

后與物塊8碰撞并粘在一起以共同速度o=5m/s向右運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中經(jīng)過一段長(zhǎng)為s,動(dòng)

摩擦因數(shù)〃=0.2的水平面后，沖上半圓軌道，除s段外的其他水平面摩擦力不計(jì)。求：（g

取10m/s2）

（1）若s=lm,兩物塊剛過C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大??；

（2）若兩物塊能沖上半圓形軌道，且不脫離軌道，s應(yīng)滿足什么條件。

［解析］⑴設(shè)物塊經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)速度為VC,物塊受到軌道支持力為FNC,由動(dòng)能定理得：-2/zwgs

XImvd1—\y.2mv2,又PNC—27Mg=2而￡~,代入解得FNC=500N,由牛頓第三定律知，

物塊對(duì)軌道壓力大小也為500N?

(2)物塊不脫離軌道有兩種情況：

①能過軌道最高點(diǎn)，設(shè)物塊經(jīng)過半圓形軌道最高點(diǎn)最小速度為vi,則2?7g=2〃今,得v尸^^

=2m/s,物塊從碰撞后到經(jīng)過最高點(diǎn)的過程中，由動(dòng)能定理有一2卬叫5—4?吆7?=3乂2小療

一；X2根"，代入解得s滿足條件sW1.25m。

②物塊上滑最大高度不超過;圓弧，設(shè)物塊剛好到達(dá)(圓弧處速度為。2=0,物塊從碰撞后到

最高點(diǎn)，由動(dòng)能定理有一2?7gR—2〃7Mgs=0-］X2/“o2,同時(shí)依題意，物塊能滑出粗糙水平面，

由動(dòng)能定理可知Tx2?w2>2〃〃?gs,代入解得s滿足條件4.25mWs<6.25m。

［答案］(1)500N(2)sW1.25m或4.25mWs<6.25m

【題型5對(duì)比問題】

［例5］質(zhì)量為m的物體從高為h的斜面頂端靜止下滑，最后停在平面上，若該物體以內(nèi)

的初速度從頂端下滑，最后仍停在平面上，如圖甲所示。圖乙為物體兩次在平面上運(yùn)動(dòng)的

v-t圖像，則物體在斜面上運(yùn)動(dòng)過程中克服摩擦力的功為()

A.^mvoi—3mghB.3mgh—^mv<f

C.^mv^—mghD.mgh—^mv(?

［解析］若物體靜止開始下滑，由動(dòng)能定理得Wf=3而J,若該物體以oo的初速度從頂

端下滑，由動(dòng)能定理得mg/?—Wf=57022—；形的2,由題圖乙可知，物體兩次滑到平面的速度

關(guān)系為。2=2。1,由以上三式解Wf=7"g/?一，0o2。

［答案］D

【變式5-1］(多選)質(zhì)量相等的A、8兩物體放在同一水平面上，分別受到水平拉力Q、尸2

的作用從靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。經(jīng)過時(shí)間fo和4擊速度分別達(dá)到2%和。0時(shí)，分別撤

去長(zhǎng)和6，以后物體繼續(xù)做勻減速直線運(yùn)動(dòng)直至停止，兩物體速度隨時(shí)間變化的圖線如圖

所示。則下列結(jié)論正確的是()

A.4、2物體所受摩擦力Ffi:曲=2：1

B.4、2物體所受摩擦力股：Fn=l：1

C.Fl和F2對(duì)A、B做的功：W2=6：5

D.B和巳對(duì)A、B做的功M：肌=12：5

解析：選BC從圖像可知，兩物體勻減速運(yùn)動(dòng)的加速度大小都為a=詈，根據(jù)牛頓第二定

律，勻減速運(yùn)動(dòng)中有居=初。，則兩物體所受摩擦力相同，故A錯(cuò)誤，B正確；圖線與時(shí)間

軸所圍成的面積表示運(yùn)動(dòng)的位移，則A、B的位移之比為6：5,對(duì)全過程運(yùn)用動(dòng)能定理得，

Wi-F{Xl=0,W2-FfX2=Q,解得叼=尸的，W2=FfX2,所以整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中介和西做功

之比為6：5,故C正確，D錯(cuò)誤。

【變式5-2］從地面豎直向上拋出一物體，物體在運(yùn)動(dòng)過程中除受到重力外，還受到一大小

不變、方向始終與運(yùn)動(dòng)方向相反的外力作用。距地面高度丸在3m以內(nèi)時(shí)，物體上升、下

落過程中動(dòng)能反隨〃的變化如圖所示。重力加速度取10m/s2?該物體的質(zhì)量為（）

A.2kgB.1.5kg

C.1kgD.0.5kg

解析：選C畫出物體運(yùn)動(dòng)示意圖，設(shè)阻力為f,據(jù)動(dòng)能定理知，A-B（上升過程）：~{mg

+f）h=Ew-Eu,C-。（下落過程）：（mg-7）/z=Ek?—Ekc,整理以上兩式得：mgh=30J,解

得物體的質(zhì)量m=1kg。C正確。

【變式5-3］（多選）如圖所示，一彈性輕繩（彈力與其伸長(zhǎng)量成正比）左端固定在墻上A點(diǎn)，右

端穿過一固定的光滑圓環(huán)B連接一個(gè)質(zhì)量為機(jī)的小球p,小球p在8點(diǎn)時(shí)，彈性輕繩處在

自然伸長(zhǎng)狀態(tài)。小球p穿過豎直固定桿在C處時(shí)，彈性輕繩的彈力為mg,將小球p從C點(diǎn)

由靜止釋放，到達(dá)。點(diǎn)時(shí)速度恰好為0。已知小球與桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.2,A、8、C在

一條水平直線上，。=/7；重力加速度為g,彈性繩始終處在彈性限度內(nèi)。下列說法正確的

是（）

A.小球從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)的過程中克服摩擦力做功為Q.3mgh

B.小球從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)的過程中克服摩擦力做功為0.2mgh

C.若僅把小球質(zhì)量變?yōu)?m，則小球到達(dá)。點(diǎn)時(shí)的速度大小為由

D.若僅把小球質(zhì)量變?yōu)?"z,則小球到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的速度大小為寸麗

解析：選BC設(shè)BC的長(zhǎng)度為"根據(jù)胡克定律有mg=H,設(shè)8。與豎直方向的夾角為a,

則伸長(zhǎng)量為苴=故彈力為歹=依，7，對(duì)小球受力分析，受重力、彈性繩的彈力、摩擦力、

3111CXbill

支持力，水平方向平衡，故N=Fsina=kL=tng,由此可知，下降過程中，水平方向的支持

力保持不變，且摩擦力/=〃N=0.2mg,故小球從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到。點(diǎn)的過程中克服摩擦力做功

為Wf=#i=02wg/i,故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)小球從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)的過程，根據(jù)動(dòng)能定理

有機(jī)g/z—力—W彈=0,解得W彈=0.8，咫兒若僅把小球的質(zhì)量變成2根，小球從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到

。點(diǎn)的過程，根據(jù)動(dòng)能定理，有2"2g/z-/7z—W岸=；X2能of,解得勿=兩，故c正確，D

錯(cuò)誤。

【題型6聯(lián)系實(shí)際】

［例6］如圖所示，為某運(yùn)動(dòng)員(可視為質(zhì)點(diǎn))參加跳板跳水比賽時(shí)，其豎直方向的速度隨時(shí)

間變化的。一/圖像以他離開跳板時(shí)為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力，則下列說法中正確的是()

A./3時(shí)刻達(dá)到最高點(diǎn)

B./2時(shí)刻的位移最大

C.A時(shí)刻的加速度為負(fù)

D.在人?玄時(shí)間內(nèi)，重力做功WG大于克服阻力做功Wf

答案D

解析運(yùn)動(dòng)員起跳時(shí)的速度方向向上，可知，力時(shí)刻達(dá)到最高點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；。一f圖像為直

線，加速度不變，所以在0?攵時(shí)間內(nèi)人在空中，玄時(shí)刻開始進(jìn)入水面，之后進(jìn)入水中，此

時(shí)人的位移不是最大，。時(shí)刻的加速度為正值，故B、C錯(cuò)誤；在大?攵時(shí)間內(nèi)，由動(dòng)能定

理可知WG—叼=；加。2,即重力做功WG大于克服阻力做功叼，故D正確。

【變式6-1】螺旋千斤頂由帶手柄的螺桿和底座組成，螺紋與水平面夾角為a,如圖所示。

水平轉(zhuǎn)動(dòng)手柄，使螺桿沿底座的螺紋槽(相當(dāng)于螺母)緩慢旋進(jìn)而頂起質(zhì)量為他的重物，如果

重物和螺桿可在任意位置保持平衡，稱為摩擦自鎖。能實(shí)現(xiàn)自鎖的千斤頂，a的最大值為制。

現(xiàn)用一個(gè)傾角為ao的千斤頂將重物緩慢頂起高度h后，向螺紋槽滴入潤(rùn)滑油使其動(dòng)摩擦因

數(shù)〃減小，重物回落到起點(diǎn)。假定最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，不計(jì)螺桿和手柄的質(zhì)量及

螺桿與重物間的摩擦力，轉(zhuǎn)動(dòng)手柄不改變螺紋槽和螺桿之間的壓力。下列說法正確的是()

A.實(shí)現(xiàn)摩擦自鎖的條件為tana三〃

B.下落過程中重物對(duì)螺桿的壓力等于“g

C.從重物開始升起到最高點(diǎn)摩擦力做功為mgh

D.從重物開始升起到最高點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)手柄做功為2mgh

解析:選D實(shí)現(xiàn)自鎖的條件是重物重力沿斜面下滑的分力小于等于最大靜摩擦力，即mgsin

aW〃加gcosa,解得〃2tana,A錯(cuò)誤；重物對(duì)螺桿壓力FN=〃?gcosa,B錯(cuò)誤；重物緩慢上

升的過程中，對(duì)螺桿和重物整體受力分析如圖所示，

h

則摩擦力做功為Wf=—〃mgcosa2=—tanaiwgcosa?而元=—wig/?,C錯(cuò)誤；從重物開始升

起到最高點(diǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)手柄做的功用于克服摩擦力做功和轉(zhuǎn)化為重物上升增加的重力勢(shì)能mgh,

所以根據(jù)動(dòng)能定理得W+Wf—〃zg/z=O,解得W=2mg/z,D正確。

【變式6-2］我國(guó)將于2022年舉辦冬奧會(huì)，跳臺(tái)滑雪是其中最具觀賞性的項(xiàng)目之一。如圖

所示，質(zhì)量m=60kg的運(yùn)動(dòng)員從長(zhǎng)直助滑道A8的A處由靜止開始以加速度a=3.6m/s?勻

加速滑下，到達(dá)助滑道末端8時(shí)速度VB=24m/s,A與8的豎直高度差H=48m。為了改變

運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)方向，在助滑道與起跳臺(tái)之間用一段彎曲滑道銜接，其中最低點(diǎn)C處附近是

一段以。為圓心的圓弧。助滑道末端8與滑道最低點(diǎn)C的高度差/i=5m,運(yùn)動(dòng)員在8、C

間運(yùn)動(dòng)時(shí)阻力做功W=-l530J,取g=10m/s2。

⑴求運(yùn)動(dòng)員在AB段下滑時(shí)受到阻力4的大??；

(2)若運(yùn)動(dòng)員能夠承受的最大壓力為其所受重力的6倍，則C點(diǎn)所在圓弧的半徑R至少應(yīng)為

多大。

解析：(1)運(yùn)動(dòng)員在A8段做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)的長(zhǎng)度為x,則有正2=2依

①

由牛頓第二定律有

H

'"4—ma?

聯(lián)立①②式，代入數(shù)據(jù)解得

Ff=144N?③

(2)設(shè)運(yùn)動(dòng)員到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度為oc,在由2到達(dá)C的過程中，由動(dòng)能定理有

mgh+W=^mvc

設(shè)運(yùn)動(dòng)員在C點(diǎn)所受的支持力為入，由牛頓第二定律有

由運(yùn)動(dòng)員能夠承受的最大壓力為其所受重力的6倍，聯(lián)立④⑤式，代入數(shù)據(jù)解得R=12.5mo

⑥

答案：(1)144N(2)12.5m

【變式6-3](多選)冰滑梯是東北地區(qū)體驗(yàn)冰雪運(yùn)動(dòng)樂趣的設(shè)施之一，某冰滑梯的示意圖如

圖所示，螺旋滑道的摩擦可忽略，傾斜滑道和水平滑道與同一滑板間的動(dòng)摩擦因數(shù)〃相同,

因滑板不同〃滿足〃oW〃WL2〃o。在設(shè)計(jì)滑梯時(shí)，要確保所有游客在傾斜滑道上均減速下滑,

且滑行結(jié)束時(shí)停在水平滑道上，以下心、心的組合符合設(shè)計(jì)要求的是()

h

，__h_rn.4/z?

AA-￡i=w心一弧

4h2hrT3hTh

C.LJ\O,QD.Li=^—,L2=—

3/20卬o〃o

解析：選CD設(shè)傾斜滑道傾角為e,游客在傾斜滑道上勻減速下滑，則需滿足Mgsin0<

hh、

〃加geos9,可得〃>tane=j-,即有乙1>一，因〃oW〃W1.2〃o,所有游客在傾斜滑道上勻減速

林

hT,

下滑，可得L[>—,滑行結(jié)束時(shí)停在水平滑道上，對(duì)全程由動(dòng)能定理有mg-2h—jLimgcos

4。costz

2h2h5h

—jLimgx=0—0f其中OVxWLz,可得LIV1,L\+LT^—,代入〃OW〃W1.2〃O,可得LV%,

2/zh5/z2/z

￡1十七22一,綜合需滿足一VLiV^—和￡1+￡22一,故C、D正確。

【題型7與圖像綜合】

【例7】如圖甲所示，視為質(zhì)點(diǎn)的小球用不可伸長(zhǎng)的輕繩連接，繞定點(diǎn)。在豎直面內(nèi)做圓周

運(yùn)動(dòng)，小球經(jīng)過最高點(diǎn)的速度大小為。，此時(shí)繩子的拉力大小為瓦。拉力FT與速度的平方

的關(guān)系如圖乙所示，重力加速度大小為g,不計(jì)空氣阻力。則小球從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的

過程中動(dòng)能的變化量為()

、T)THtnh

解析：選A小球在最高點(diǎn)時(shí)有尸r+Mg=m：,即國(guó)=72一根g,由題圖乙可知：=左=￡,

b/7

mg=b,解得m=-,r=-，小球從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過程中重力所做的功等于其動(dòng)能

8g

的變化量，即AEk=2mgr=2"。

g

【變式7-1］(多選)“彈跳小人”(如圖甲所示)是一種深受兒童喜愛的玩具，其原理如圖乙所

示。豎直光滑長(zhǎng)桿固定在地面不動(dòng)，套在桿上的輕質(zhì)彈簧下端不固定，上端與滑塊拴接，滑

塊的質(zhì)量為0.80kg?，F(xiàn)在向下壓滑塊，直到彈簧上端離地面高度/z=0.40m時(shí)停止，然后由

靜止釋放滑塊?；瑝K的動(dòng)能所隨離地高度/z變化的圖像如圖丙所示。其中高度從0.80m到

1.40m范圍內(nèi)的圖線為直線，其余部分為曲線。若以地面為重力勢(shì)能的參考平面，空氣阻

力為恒力，g取lOm/s?。則結(jié)合圖像可知()

A.彈簧原長(zhǎng)為0.72m

B.空氣阻力大小為L(zhǎng)OON

C.彈簧的最大彈性勢(shì)能為9.00J

D.在彈簧落回地面的瞬間滑塊的動(dòng)能為5.40J

［解析］由題圖丙可知，從/?=0.80m開始，彈簧下端與地面分離，則知彈簧的原長(zhǎng)為0.80m,

故A錯(cuò)誤；從0.80m上升到1.40m過程，在反-人圖像中，根據(jù)動(dòng)能定理知：圖線的斜率

大小表示滑塊所受的合外力，由于高度從0.80m上升到1.40m范圍內(nèi)圖像為直線，其余部

分為曲線，說明滑塊從0.80m上升到1.40m范圍內(nèi)所受作用力為恒力，根據(jù)動(dòng)能定理得一

(mg+f)Ah=0-Ek,由題圖知△/z=0.60m,Ek=5.40J,解得空氣阻力/=LOON,故B正確；

根據(jù)能的轉(zhuǎn)化與守恒可知，當(dāng)滑塊上升至最大高度時(shí)，整個(gè)過程中，增加的重力勢(shì)能和克服

空氣阻力做功之和等于彈簧的最大彈性勢(shì)能，所以Epm=(sg+/)A/i'=9.00J,故C正確；

滑塊由最大高度到彈簧落回地面的瞬間，根據(jù)動(dòng)能定理得(;wg-7)A/i=Ek'-0,得EJ=4.2

J,故D錯(cuò)誤。

［答案］BC

【變式7-2］如圖(a)所示，一物塊以一定初速度沿傾角為30。的固定斜面上滑，運(yùn)動(dòng)過程中

摩擦力大小/恒定，物塊動(dòng)能Ek與運(yùn)動(dòng)路程s的關(guān)系如圖(b)所示。重力加速度大小取10m/s2,

物塊質(zhì)量m和所受摩擦力大小/分別為()

A.m=0.7kg,/=0.5N

B.根=0.7kg,/=1.0N

C.機(jī)=0.8kg,/=0.5N

D.加=0.8kg,/=1.0N

解析：選AO?10m內(nèi)物塊上滑，由動(dòng)能定理得一機(jī)外由30。?5一力=&一及0,整理得及=瓦。

—(mgsin30°+y)5,結(jié)合0?10m內(nèi)的圖像得mgsin300+/=4N;10?20m內(nèi)物塊下滑，由

動(dòng)能定理得Ongsin300—/)(s—si)=Ek,整理得Ek=(mgsin30°—y)5,-(mgsin30。一/)si,結(jié)合

10?20m內(nèi)的圖像得Mgsin300-/、=3N,聯(lián)立解得了=0.5N,m=0.7kgo故A正確。

【變式7-3］如圖甲所示，質(zhì)量為0.1kg的小球從最低點(diǎn)A沖入豎直放置在水平地面上、半

徑為0.4m的半圓形軌道，小球速度的平方與其高度的關(guān)系圖像如圖乙所示。已知小球恰能

到達(dá)最高點(diǎn)C軌道粗糙程度處處相同，空氣阻力不計(jì)。gmlOm/s2,B為軌道AC中點(diǎn)。

下列說法中不正確的是O

A.圖乙中x=4m2.s-2

B.小球從3到C損失了0.125J的機(jī)械能

C.小球從A到C合外力對(duì)其做的功為-1.05J

D.小球從。拋出后，落地點(diǎn)到A的距離為0.8m

解析：選B當(dāng)％=0.8m時(shí)，小球恰在C點(diǎn)，由于小球恰好通過最高點(diǎn)C,由加且=療7~,

可得。(？=且r=4rr^s—2,A正確；小球從A到。的過程中，動(dòng)能減少量AEk=Vi2—義弘/

=1.05J,故合外力對(duì)其做的功為-1.05J,重力勢(shì)能增加量AEp=mg?2r=0.8J,故機(jī)械能減

少0.25J,由于小球在A-5段所受摩擦力大于在3-C段的摩擦力，故小球從5到C損失

的機(jī)械能小于0.125J,B錯(cuò)誤，C正確；小球離開C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，由2r=&P,x=vct,

可解得x=0.8m,故D正確。

【題型8臨界問題】

【例8】如圖，半圓形光滑軌道固定在水平地面上，半圓的直徑與地面垂直，一小球以速度

。從軌道下端滑入軌道，并保證從軌道上端水平飛出，則關(guān)于小球落地點(diǎn)到軌道下端的水平

距離尤與軌道半徑R的關(guān)系，下列說法正確的是()

A.R越大，則無越大

B.R越小，則x越大

C.當(dāng)R為某一定值時(shí)，尤才有最大值

D.當(dāng)R為某一定值時(shí)，尤才有最小值

答案c

解析設(shè)半圓的半徑為R,根據(jù)動(dòng)能定理得

—mg-2R=^mv'2—^mv2,離開最高點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，有2R=：g產(chǎn)，x=v't,聯(lián)立解得

I

x.《4R4gR)。JT6g(R-募)—私

濟(jì)

可知當(dāng)R=菰時(shí)，水平位移最大。

&g

【變式8-1】彈珠游戲在孩子們中間很受歡迎，有很多種玩法，其中一種玩法就是比距離，

模型如圖所示，用內(nèi)壁光滑的薄壁細(xì)圓管彎成的由半圓形APB(圓半徑比細(xì)管的內(nèi)徑大得多)

和光滑直管BC組成的軌道固定在水平桌面上，已知AP8部分的半徑R=1.0m,段長(zhǎng)人

=1.5mo彈射裝置將一個(gè)質(zhì)量機(jī)=100g小球(可視為質(zhì)點(diǎn))以oo=8m/s的水平初速度從A

點(diǎn)彈入軌道，小球從C點(diǎn)離開軌道隨即進(jìn)入長(zhǎng)b=2m,〃=0」的粗糙水平地面(圖上對(duì)應(yīng)為

CD),最后通過光滑軌道。E,從E點(diǎn)水平射出，已知E距離地面的高度為/i=1m,不計(jì)空

氣阻力。求：

(1)小球在半圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)的角速度。和到達(dá)C點(diǎn)時(shí)對(duì)圓管的壓力大??；

(2)若小球能從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)，則小球進(jìn)入A點(diǎn)的速度至少為多大；

(3)若E點(diǎn)的高度場(chǎng)可以調(diào)節(jié)，小球仍以oo=8m/s從A點(diǎn)進(jìn)入，當(dāng)力多高時(shí)，水平射程尤最

大，并求出這個(gè)最大值。

答案(1)8rad/slN(2)2班nVs(3)1.5m3m

解析(1)角速度0=%=8rad/s,小球在段做勻速直線運(yùn)動(dòng)，合力為0,根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)

定律，小球處于平衡狀態(tài)，E