二次函數 知識歸納與題型突破（十六類題型清單）原卷版-2024-2025學年北師大版九年級數學下冊

二次函數知識歸納與題型突破（十六類題型）

一、二次函數的定義

一般地，如果是常數，ar0）,那么）'叫做x的二次函數.

要點：

如果y=ax?+bx+c（a,b,c是常數，aWO）,那么y叫做x的二次函數.這里，當a=O時就不是二次函數了,

但b、c可分別為零，也可以同時都為零.a的絕對值越大，拋物線的開口越小.

二、二次函數的圖象與性質

1.二次函數由特殊到一般，可分為以下幾種形式：

2

①1y=ax'；②1y=+上；③>:^^一方Y；④1y=“(x-/)+上,

其中方=一±,k=――——；@y=ax3-￥bx+c-（以上式子aWO）

2a4a

幾種特殊的二次函數的圖象特征如下：

函數解析式開口方向對稱軸頂點坐標

y=/x=0(y軸)(0,0)

30,軸）(0.k)

y-ajr+k當a>0時

y=a{x-iif開口向上x=hS,o)

當4<0時

,y=a(x-+上x=h(h,k)

開口向下

Abb4ae-b2

y-ax+6x+cx=——

2a(2a4a)

2.拋物線的三要素：

開口方向、對稱軸、頂點.

（1）a的符號決定拋物線的開口方向：當°>0時，開口向上；當°<0時，開口向下；卜|相等，拋物

線的開口大小、形狀相同.

（2）平行于了軸（或重合）的直線記作特別地，y軸記作直線x-0.

3.拋物線y=ax?++??（））中，a,A,c的作用：

（1）a決定開口方向及開口大小，這與y二中的《完全一樣.

（2）b和。共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線尸=ax'+阮+c的對稱軸是直線x,

2a

故：①b=o時，對稱軸為）'軸；②勺>0（即a、b同號）時，對稱軸在）'軸左側；③勺<0（即

aa

a、2?異號）時，對稱軸在尸軸右側.

（3）c的大小決定拋物線丁=*/+bx+c與軸交點的位置.

當x=0時，了=，，??.拋物線y=與V軸有且只有一個交點（0，c）：

①C二0,拋物線經過原點；②c>0,與尸軸交于正半軸；③c<0,與y軸交于負半軸.

以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在尸軸右側，則--：ri.

4.用待定系數法求二次函數的解析式:

(1)一般式：y=a?(aWO).已知圖象上三點或三對X、尸的值，通常選擇一般式.

(2)頂點式：v=…)…(aWO).已知圖象的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.

(可以看成y=a—的圖象平移后所對應的函數.)

(3)“交點式”：已知圖象與X軸的交點坐標片、x2,通常選用交點式：

y=a(X-X]Xx?叼)(a/0).(由此得根與系數的關系：X；+x2=-—,=-).

aa

要點：

求拋物線>="2+區(qū)+。(aWO)的對稱軸和頂點坐標通常用三種方法：配方法、公式法、代入法，

這三種方法都有各自的優(yōu)缺點，應根據實際靈活選擇和運用.

三、二次函數與一元二次方程的關系

函數y=+bx+e(aw0),當尸=0時，得到一元二次方程ox"+bx+c=0(cw0),那么一元二

次方程的解就是二次函數的圖象與x軸交點的橫坐標，因此二次函數圖象與X軸的交點情況決定一元二次

方程根的情況.

(1)當二次函數的圖象與x軸有兩個交點，這時△=$2-4ar>0,則方程有兩個不相等實根；

(2)當二次函數的圖象與x軸有且只有一個交點，這時△=/-4線=0,則方程有兩個相等實根；

(3)當二次函數的圖象與x軸沒有交點，這時AMSa-dar<0,則方程沒有實根.

通過下面表格可以直觀地觀察到二次函數圖象和一元二次方程的關系：

要點:

二次函數圖象與X軸的交點的個數由￡)2-4"的值來確定.

(1)當二次函數的圖象與x軸有兩個交點，這時△=川-心＞0,則方程有兩個不相等實根；

(2)當二次函數的圖象與x軸有且只有一個交點，這時△=^-4以=0,則方程有兩個相等實根；

(3)當二次函數的圖象與x軸沒有交點，這時A=/-4交＜0,則方程沒有實根.

四、利用二次函數解決實際問題

利用二次函數解決實際問題，要建立數學模型，即把實際問題轉化為二次函數問題，利用題中存在的

公式、內含的規(guī)律等相等關系，建立函數關系式，再利用函數的圖象及性質去研究問題.在研究實際問題時

要注意自變量的取值范圍應具有實際意義.

利用二次函數解決實際問題的一般步驟是：

(1)建立適當的平面直角坐標系；

(2)把實際問題中的一些數據與點的坐標聯系起來；

(3)用待定系數法求出拋物線的關系式；

(4)利用二次函數的圖象及其性質去分析問題、解決問題.

要點：

常見的問題：求最大(小)值(如求最大利潤、最大面積、最小周長等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線

的模型問題等.解決這些實際問題關鍵是找等量關系，把實際問題轉化為函數問題，列出相關的函數關系式.

03題型歸納

題型一二次函數的有關概念及應用

例題

2

1.在函數y=-3x2+2x+l,y=-x+5,y=——3,y=x2+x+l,y=(x-59)—x?中，以x為自變量的二次函

x

數有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

鞏固訓練

2.在二次函數了=2--3%+1中，二次項系數與一次項系數的和是.

3.若函數夕=("-3)/7+5是關于》的二次函數，則加=()

A.-3B.3C.3或-3D.2

4.如果二次函數了=(。+2*+_￥+/_4的圖像經過原點，那么。=.

題型二求二次函數的解析式

例題

5.已知二次函數圖象經過點(-1,0),(1,-8)和(3,0),則它的解析式為.

鞏固訓練

6.頂點是(2,0),且與拋物線＞=-3/的形狀、開口方向都相同的拋物線的解析式為.

7.請你寫出一個二次函數，其圖象滿足條件：①開口向下；②與y軸的交點坐標為此二次函數的

解析式可以是.

題型三二次函數圖像的平移

例題

8.將拋物線y=向左平移3個單位，再向上平移1個單位后，所得拋物線解析式為()

A.y=1(x+3)2+lB.y=1(x-3)2+lC.y=1(x-3)2+lD.y=1(x-3)2-l

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9.把拋物線y=6(x+1)2平移后得到拋物線y=6x2,平移的方法可以是()

A.沿y軸向上平移1個單位B.沿y軸向下平移I個單位

C.沿x軸向左平移1個單位D.沿x軸向右平移1個單位

10.將拋物線y=(x+ly+l平移，使平移后得到拋物線y=x2+6x+6.則需將原拋物線()

A.先向右平移1個單位長度，再向上平移5個單位長度

B.先向右平移2個單位長度，再向上平移4個單位長度

C.先向左平移1個單位長度，再向上平移5個單位長度

D.先向左平移2個單位長度，再向下平移4個單位長度

題型四填二次函數的頂點、對稱軸等

例題

11.拋物線y=-(x+l『的開口,對稱軸是,頂點坐標是.

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12.拋物線了=2/+/+。經過/(0,2)和8(-3,2)兩點，則該拋物線的對稱軸為直線.

13.拋物線y=-(x-l『+3的頂點坐標是；與了軸的交點坐標是.

題型五特殊二次函數的圖像和性質

例題

14.拋物線V=2/,y=-2//=；必共有的性質是（）

A.開口向下B.對稱軸是了軸C.都有最高點D.歹隨x的增大而增大

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15.關于二次函數y=3f+6的圖象，下列結論不正確的是（）

A.開口向上B.當xv0時，V隨1的增大而減小

C.對稱軸是直線x=-lD.拋物線頂點（0,6）

16.由二次函數J=2（X-/F+3可知（

A.函數圖象的開口向下B.函數圖象的對稱軸為直線x=3

C.函數最小值為3D.y隨x的增大而減小

17.二次函數了=a(（x+2y+c（a＜0）圖象上有兩點/（一1,?。┡c,貝！)mn.（選填〉、〈或

)

18.已知二次函數v=-（x-ir+2,當x＞；加時，y隨著x的增大而減小，則僅的取值范圍為

題型六二次函數了="2+/+。的圖像和性質

例題

19.二次函數y=3x2+2x的圖象的對稱軸為（)

11

A.x=-2B.x=-3C.x=----D.x=——

23

鞏固訓練

1,

20.對二次函數15一+4工+3的性質描述正確的是（）

A.函數圖象開口朝下

B.當xvO時，＞隨1的增大而減小

c.該函數圖象與y軸的交點位于y軸負半軸

D.該函數圖象的對稱軸在了軸左側

已知二次函數尸亦依一（。＜）均過點（一%）、（）、

21.2-2301,2,%（4,乃），則必，y2,力三者之間的大小

關系是（）

A.%<%<%B.C.%<%<%D.y2<yi<y3

22.如圖，二次函數了=辦2+》-12的圖象與x軸交于N（-4,0）,B兩點,下列說法正確的是（）

A.拋物線的對稱軸為直線x=lB.拋物線的頂點坐標為，g,-12）

C.A,B兩點之間的距離為7D.當尤＜-1時，了的值隨x值的增大而增大

題型七根據二次函數的圖像判斷參數的符號

例題

23.二次函數y="2+bx+°（Q。0）的圖像如圖所示，下列結論中正確的是（）.

A.ci>0,6>0,c<0B.ci>0,Z?<0,c<0C.ci>0,b>0,c>0D.ci<0,b>0,c<0

鞏固訓練

24.已知拋物線>=改+云+￡；（存0）的圖象如圖所示，則下列結論①％<0,②a+b+c=2,③a>]④0<

b<\中正確的有（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

25.已知二次函數〉=及+瓜+°（"0）的圖象如圖所示，則下列結論

①abc<0；@b2-4ac>0:③a-6+c<0；④當-1<無<3時，y>0；⑤2。+6>0中正確的是()

A.①②③B.①②④⑤C.①③④D.①②④

題型八二次函數的對稱性及應用

例題

26.若拋物線y=口+6x+c經過/（-2,6）,5（8,6）兩點，則拋物線的對稱軸經過的點的坐標是（）

A.（7,0）B.(3,0)C.(l,o)D.(-1,0)

鞏固訓練

27.已知二次函數y=ax?+bx+c(a<0)的圖象與x軸的一個交點坐標為（-LO）,對稱軸為直線x=l,

方程辦2+6x+c+l=0的兩實數根為X],x2,若占<%2，則（）

A.-1v再<%2v3B.1<%1<x2<3

C.%1<-3,X2>1D.Xt<-l,x2>3

28.已知拋物線y=a/+bx+m是由拋物線>=-J+2x+2先關于V軸作軸對稱圖形，再將所得的圖象向下平移

3個單位長度得到的，點。1（-2.5,%）、3。，%）都在拋物線y="+foc+m上,則％,%的大小關系是（）

A.B.劣=6C.qx<q2D.不能確定

題型九二次函數的最值

例題

29.已知二次函數的圖象（-3VXV0）如圖.關于該函數在所給自變量的取值范圍內，下列說法正確的是

)

A.有最大值1,有最小值—2B.無最大值，有最小值-2

C.無最大值，有最小值-3D.有最大值1,有最小值-3

鞏固訓練

30.在平面直角坐標系中，二次函數y=/+機x+療+機（加為常數）的圖象經過點（0,6）,其對稱軸在V

軸的右側，該二次函數有（）

A.最小值二B.最小值5C.最大值?D.最大值5

44

31.已知拋物線＞=2蛆（-”加工2）經過點Z（p,。和點5（p+2/）,則一的最小值是（）

A.-3B.-1C.0D.1

題型十二次函數與一次函數、反比例函數

例題

32.在同一平面直角坐標系中，二次函數＞=辦-22x+/和一次函數歹=狽-4的圖象大致是（）

C.D.

鞏固訓練

33.拋物線j=x?+l與雙曲線>=￡的交點A的橫坐標為1,則不等式-1>0的解集為.

XX

題型十一二次函數與一元二次方程

例題

34.若關于x的一元二次方程N+for+c=O的兩個根分別為也=—1,X2=2,那么拋物線y=N+fcr+c的對稱軸為

直線（）

A.x=一1B.x=2

11

C.x=—D.x=—

22

鞏固訓練

35.已知函數了=1〃-2）/一3無+；的圖像與無軸只有一個交點，則加的值為.

36.拋物線y=/+4x-5與X軸相交于A、8兩點，其頂點為M,將此拋物線在無軸下方的部分沿x軸翻

折，其余部分保持不變，如圖得到一個新的圖象.現有直線了=》+冽與該新圖象有四個交點，則加的取值

范圍為（）

L29L45,29,45

A.5<加<—B.5V加<—C.4<m<—D.4<m<—

4444

題型十二圖表數據題

例題

37.已知二次函數yuaf+bx+c中，V與x的部分對應值如下表，則下列結論正確的是（）

X-10234

y50-4-30

A.圖象開口向下B.拋物線對稱軸是直線x=2

C.當0〈尤<4時，y>0D.當x>2時，了隨x的增大而減小

鞏固訓練

38.已知二次函數y=a/+bx+c的y與x的部分對應值如表：

X-i024

y-i22—6

下列結論錯誤的是（）

A.該函數有最大值B.該函數圖象的對稱軸為直線x=l

C.當x>2時，函數值/隨x增大而減小D.方程ax2+6x+c=0有一個根大于3

39.下表記錄了二次函數y=ax?+6x+c（a*0）中兩個變量x與歹的三組對應值：

X-228

yn1n

點P（X],yJ,%）在該函數圖象上.若當2<玉<X2時，必<%<1,下列四個結論：

①a<0；②玉+z>6；③25a+5b+c-l>0；④若記二次函數y=ax?+&+。（玉<x<8,a/0）的圖象為圖

形G,存在直線>=左與圖形G有兩個交點，則2<玉<3.

上述結論中，所有正確結論的序號是.

題型十三二次函數的實際應用

例題

40.某同學在體育訓練中擲出的實心球的運動路線呈如圖所示的拋物線形，若實心球運動的拋物線的解析

17

式為了=-5（、-4）一+6,其中y是實心球飛行的高度，x是實心球飛行的水平距離，則該同學此次擲球的成

績（即04的長度）是（）

鞏固訓練

41.從底面豎直向上拋出一小球，小球的高度〃（單位：m）與小球運動時間t（單位：s）之間的關系式是:

h=30t-5t2,這個函數圖象如圖所示，則小球從第3s到第5s的運動路徑長為（）

42.小明周末外出游玩時看到某公園有一圓形噴水池，如圖1,簡單測量得到如下數據：圓形噴水池直徑為

20m,水池中心O處立著一個圓柱形實心石柱O”,在圓形噴水池的四周安裝了一圈噴頭，噴射出的水柱

呈拋物線型，水柱在距水池中心4m處到達最大高度為6m,從各方向噴出的水柱在石柱頂部的中心點M處

匯合，小明根據圖示建立了平面直角坐標系，如圖2,則■的高度是（）

題型十四二次函數的幾何應用

例題

43.如圖所示，矩形48co中，AB=8,BC=6產是線段3c上一點（P不與8重合），M是D3上一點,

且8尸=。刊，設=的面積為》則y與x之間的函數關系式為（）

2、

B.y=--x29+4x(0<x<6)

33

C.y——YQ7+3x(0<x?6)D.y=--x27+3x(0<x<6)

鞏固訓練

44.已知拋物線y=x2+bx+c與y軸交于A,與x軸的正半軸交于B、C,且BC=2,S—BC=3，則c的值為

()

A.1B.2C.3D.4

45.如圖，拋物線＞=-f+2工+3與y軸交于點4,與x軸的負半軸交于點5,線段CQ在拋物線的對稱軸上

移動(點。在點。的下方)，且8=1,則4O+BC的最小值是.

90°,AB=10cm,BC=6cm,動點P從點C出發(fā)，沿C-A-B-C運動,

、._3

速度為2cm/s,動點Q從點C出發(fā)，沿C-B-A-C運動，速度為,cm/s,兩點相遇時停止.這一過程

中P,Q兩點之間的距離y與時間t之間的關系的大致圖象是()

題型十五新定義題

例題

47.在平面直角坐標系中給出以下定義：點/（私77）,點8（","）,加=3",〃'=-6n,則我們稱8是/的“跳

躍點”.若二次函數V=ax2-5ax-6a（x>Q）的圖象上恰有兩個點的“跳躍點”在直線y=-2x+36上，則。的

取值范圍為.

鞏固訓練

48.定義：我們將頂點的橫坐標和縱坐標互為相反數的二次函數稱為“互異二次函數”.如圖，在正方形。48c

中，點/（0,2）,點C（2,0）,則互異二次函數y=（x-加『-機與正方形O/8C有交點時機的最大值和最小值

的差為

?<---------\B

49.如圖，拋物線v=在第一象限內經過的整數點（橫坐標、縱坐標都為整數的點）依次為4，4,4...

4,將拋物線/沿直線/：v=x向上平移，得到一系列拋物線，且滿足下列條件：①拋物線的頂點

M...M,都在直線入：y=x上；②拋物線依次經過點4，4,4…4；則頂點M2。24的坐

MX,M2,3n

標為.

題型十六解答題

例題

50.已知二次函數y=x2+fcc+@經過(0,2)和(1,2).

(