二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)（練習(xí)）-2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

第三章函數(shù)

第13講二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

口題型12根據(jù)二次函數(shù)自變量/函數(shù)值的取值范圍

求函數(shù)值/自變量的取值范圍

模擬基礎(chǔ)練

□題型13二次函數(shù)的圖像與各項系數(shù)符號

口題型01根據(jù)二次函數(shù)解析式判斷其性質(zhì)口題型14根據(jù)二次函數(shù)的圖像判斷式子符號

口題型02根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)求解口題型15函數(shù)圖像綜合

□題型03求二次函數(shù)解析式口題型16已知一元二次方程根的分布情況求參數(shù)

口題型04畫二次函數(shù)的圖像□題型17二次函數(shù)與坐標(biāo)系交點問題

口題型05以開放性試題的形式考查二次函數(shù)的解口題型18二次函數(shù)與方程、不等式

析式

口題型19二次函數(shù)與三角形相結(jié)合的應(yīng)用方法

□題型06二次函數(shù)的平移變換問題

口題型07二次函數(shù)的對稱變換問題重難創(chuàng)新練?

口題型08根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求參數(shù)取值范圍

口題型09二次函數(shù)的最值問題

口題型10根據(jù)二次函數(shù)的最值求參數(shù)/取值范圍真題實戰(zhàn)練

口題型11根據(jù)二次函數(shù)的增減性求參數(shù)的取值范

圍

模擬基礎(chǔ)練?

□題型01根據(jù)二次函數(shù)解析式判斷其性質(zhì)

1.（2024.云南昆明.一模）關(guān)于二次函數(shù)y=-2（久+2）2-3的圖象與性質(zhì)，下列說法正確的是（）

A.對稱軸是直線x=2,最小值是-3

B.對稱軸是直線x=2,最大值是-3

C.對稱軸是直線乂=-2,最小值是-3

D.對稱軸是直線刀=一2,最大值是一3

【答案】D

【分析】此題考查了二次函數(shù)y=a(x-九/+上的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)二次

函數(shù)的性質(zhì)解答.

【詳解】解：二次函數(shù)y=-(x+2)2—3,

對稱軸為直線x=-2,開口向下，最大值為-3,

故選：D.

2.(2024?四川樂山?二模)如圖，二次函數(shù)y=a久2+久一6的圖象與％軸交于4(-3,0),B,下列說法錯誤的

A.拋物線的對稱軸為直線x=-：B.拋物線的頂點坐標(biāo)為(一(-6)

C.A,B兩點之間的距離為5D.當(dāng)x>后時，y的值隨x值的增大而增大

【答案】B

2

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，把4(—3,0)代入函數(shù)解析式可得y=/+x—6=(%+3—

據(jù)此可得拋物線開口向上，對稱軸為直線％=頂點坐標(biāo)為(-3-,)，即可判斷A、B、D；把y=0代

入函數(shù)解析式求出B點坐標(biāo)即可判斷C；掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???二次函數(shù)y=ax2+x-6的圖象與％軸交于一3,0),

?,?9ci—3—6=0,

???a=1,

2.「(,1\225

...y=%—6=(X+-J――,

拋物線開口向上，對稱軸為直線x=-點頂點坐標(biāo)為(-a-弓)

??.當(dāng)x>-1時，y的值隨X值的增大而增大，

故A、D正確，B錯誤；

令y=0,貝I/+x—6=0,

解得X1=-3,x2=2,

..A,B兩點之間的距離為2-(—3)=5,

故C正確，不合題意；

故選:B.

3.(2024.貴州.模擬預(yù)測)已知二次函數(shù)y=a/+bx+c(a*0)的圖象如圖所示，下列說法埼誤的是()

A.二次函數(shù)圖象關(guān)于直線x=1對稱

B.一1和3是方程a/+bx+c=0(aK0)的兩個根

C.當(dāng)x<1時，y隨x的增大而增大

D.二次函數(shù)圖象與y軸交點的縱坐標(biāo)是-3

【答案】C

【分析】本題主要查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象逐一進行判斷即可.

【詳解】解：觀察圖象得：二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線x=1,開口向上，故A選項正確，不符合題意;

觀察圖象得：二次函數(shù)圖象與x軸交于點(-1,0),

???二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線x=1,

.?.二次函數(shù)圖象與x軸的另一個交點為(3,0),

二一1和3是方程a/+加；+c=0(a70)的兩個根，故B選項正確，不符合題意；

觀察圖象得：二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線x=1,開口向上，

???當(dāng)x<l時，y隨彳的增大而減小，故C選項錯誤，符合題意；

???拋物線經(jīng)過點(-1,0),(3,0),(1,-4),

a—b+c=0

9a+35+c=0,

.a+b+c=-4

，a=]

解得，b=—2,

、c=-3

.y=%2—2%—3,

當(dāng)工=0時，y=-3,

???二次函數(shù)圖象與y軸交點的縱坐標(biāo)是-3,故D選項正確，不符合題意；

故選：C.

4.(2020?上海奉賢?一模)已知二次函數(shù)y=a%2+b%+c(a。0)的圖象上部分點的橫坐標(biāo)]與縱坐標(biāo)》的對

應(yīng)值如下表：

X01345

7715

-5-5

y~2~2-T

關(guān)于它的圖象，下列判斷正確的是()

A.開口向上B.對稱軸是直線％=1

C.一定經(jīng)過點(-1,-^)D.在對稱軸左側(cè)部分自左至右是下降的

【答案】C

【分析】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，求解二次函數(shù)的解析式，由表格中點(0,-5),(4,-5),可知拋物

線的對稱軸為直線x=2.設(shè)拋物線的解析式為y=aQ—2尸+防將(0,—5),(1,—分別代入，可解得

卜=一1再進一步解答即可.

Ik=-3

【詳解】解：?.?點(0,-5),(4,-5)在拋物線上,

???拋物線的對稱軸為直線x=2.

設(shè)拋物線的解析式為y=a(%—2)2+k,將(0,-5),(1,—9分別代入，

(4a+k=-5

|a+k=—-'

可解得卜=-I

拋物線的解析式為y=-|(x-2)2-3,

??.拋物線開口向下，拋物線在對稱軸左側(cè)部分自左至右是上升的.

將x=-1代入，得丫=一日.

故選c.

口題型02根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)求解

5.（2024.安徽宣城?模擬預(yù)測）下列函數(shù)中，y隨x增大而減小的是（

A.y=5xB.y=—x2+1

C.y=：(%<0)D.y=2%+1

【答案】c

【分析】本題考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟知相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.根據(jù)

一次函數(shù)、反比例函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即可.

【詳解】解：A、?.?5>0,7隨尤的增大而增大，故該選項不符合題意；

B、1<0,對稱軸為y軸，

當(dāng)”>0時，y隨x的增大而減小，當(dāng)久<0時，y隨尤的增大而增大，故該選項不符合題意；

C、>0,.,.當(dāng)x<0時，y隨x的增大而減小，故該選項符合題意；

D、口〉。，隨x的增大而增大，故該選項不符合題意；

故選：C.

6.（2024?云南昆明?一模）二次函數(shù)y=+n的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=znx-n的圖象不經(jīng)

過（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【分析】此題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)及一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

是解本題的關(guān)鍵.由二次函數(shù)解析式表示出頂點坐標(biāo)，根據(jù)圖形得到頂點在第四象限，求出，"與”的正負(fù),

即可作出判斷.

【詳解】解：根據(jù)題意得：拋物線的頂點坐標(biāo)為（弘5），且在第四象限，

■'-m>0,n<0,

???—n>0,

則一次函數(shù)y=加久-n經(jīng)過一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限.

故選：D.

7.（2024?浙江?模擬預(yù)測）已知點4（尤1，%_）和點3（久2，%）均在函數(shù)y=（/-3m+4）x2+幾的圖像上，若%】<

0且滿足為<為，則下列關(guān)系可能不亞項的是（）

xx2—x2

A.%2>~iB.%2<iC.x2>%iD.x2i<0

【答案】D

【分析】本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征及二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確二次函數(shù)圖象

上點的坐標(biāo)特征及二次函數(shù)的性質(zhì)，首先得出函數(shù)丫=（巾2一3巾+4）/+?1的圖像開口向上，再分為點B

在點A的左側(cè)或點B在點A的右側(cè)且|“2l>Ixil，兩種情況討論并進行判斷，本題得以解決.

【詳解】解：：病-3m+4=（m-1）+：>0,

函數(shù)y=（m2—3m+4）x2+n的圖像開口向上，

??,若無i<0且滿足為<y2，

.??點B在點A的左側(cè)或點2在點A的右側(cè)且|冷1>l%il>

22

當(dāng)點2在點A的左側(cè)時，X2<-%1，%2<Xr,X2-xt=（x2+X!）（X2-%1）>0,

2

當(dāng)點B在點A的右側(cè)且|%2l>1%11時，X2>-%1,X2>%1,X2-X-J-=（%2+^）（%2-Xy）>0,

綜上所述，選項D不正確，

故選：D

8.（2024?河北邢臺?模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行于X軸的直線y=4,與二次函數(shù)y=/和

y=a/分別交于A、8和C、。四個點，此時，CO=2AB,把直線y=4向上平移b（6>0）個單位，貝北。與

AB之間的關(guān)系是（）

A.CD=2ABB.隨著直線y=4向上平移，CD>2AB

C.隨著直線y=4向上平移，CD<2ABD.無法判斷

【答案】A

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，表示出A、8、C、。的橫坐標(biāo)是解

題的關(guān)鍵.

將y=4分別代入y二/和丫=。/,即可得出求出力B,CD長度，根據(jù)CD=24B得出誓=2x4,從而得出

。的值，然后得到丫=。/表達式為y=然后求出與48的值進而求解即可.

【詳解】解：把y=4代入y=/中得，/=%

???％=±2

??.A的橫坐標(biāo)為-2,8橫坐標(biāo)為2

-.AB=2—(-2)=4

把y=4代入y=a，得，ax2=4,

??.c的橫坐標(biāo)為-也，。橫坐標(biāo)為也

aa

.-.CD=—

a

-CD=2AB,

4y/a「.

???一=2x4

a

?(負(fù)值舍去)

?.a=47

2

???y=a/表達式為y=lx,

,??把直線y=4向上平移力(b>0)個單位，得到直線y=4+b

???把y=4+b代入y=一中得，%2=44-h,

???％=±V4+b

'.AB=V4TT-(-V4TF)=2V4Tfo

把y=4+b代入y=:久之得，i%2=4+6,

?，?%=+2V4+b

-t-CD=2V4+b—(—2,4+b)=4V4+b

-'-CD=2AB.

故選：A.

9.（2024?廣東?模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)y=口爐一6a久+c（a>0）的圖象過9（一1名）,B（3,y2）>。（5,乃）,

。（7,”）四個點，貝火，乃，大小關(guān)系為-

【答案】71=y4>73>y2

【分析】

本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.先求函數(shù)丫=ax?一6ax+c對稱軸％=3,貝!|4、B、C、。的橫

坐標(biāo)離對稱軸越近，則縱坐標(biāo)越小，由此判斷力,乃，丫3，判的大小.

【詳解】解,二次函數(shù)y=ax2-6ax+c（a>0）,

???二次函數(shù)開口向上，對稱軸為直線x=3,

??.各個點到對稱軸的距離越近越小，

?."（一1,%）,8（3仍），。（5,乃），。（7,%）且1-1一3|=|7-3|>|5一3|>|3-3|,

??-71=y4>y3>y2>

故答案為：乃=>4>%>乃?

10.（2024?廣東廣州?一模）已知力=（爪+誓）+鬻.化簡4；若點（科0）是拋物線、=7+2%—3上的

一點，求人的值.

【答案】m2+2m,3

【分析】此題考查了分式的化簡求值、拋物線上的點的特征，準(zhǔn)確掌握分式的混合運算順序和二次函數(shù)的

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.先計算括號內(nèi)的加法，再計算除法即可化簡人再把點（孫0）代入得到—+2血-3=0,

則62+27?1=3,整體代入化簡的A中計算即可.

【詳解】解：/誓

（m24m+4、m+2

1

二（\-m----m-）--m-2z~

m2+4m+4m+2

mm2

（m+2）2m2

mm+2

=m（m+2）

=m2+2m；

,??點（m,0）是拋物線y=x2+2x-3上的一點，

???m2+2m—3=0

?,?m2+2m=3

'-A=m2+2m=3.

口題型03求二次函數(shù)解析式

11.(2024.山東泰安.三模)將拋物線y=2久2先向下平移3個單位再向右平移機個單位，所得新拋物線經(jīng)過

點(1,5),則新拋物線與y軸交點的坐標(biāo).

【答案】(0,-1)或(0,15)

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的平移，求二次函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的平移的規(guī)律是解題的

關(guān)鍵.

設(shè)平移后新拋物線的表達式為y=2(x-巾)2-3,把點(1,5)代入，即可確定函數(shù)關(guān)系式，再將x=0代入函

數(shù)關(guān)系式求解，即可.

【詳解】設(shè)平移后新拋物線的表達式為y=2(x-m)2-3,

???新拋物線經(jīng)過點(1,5),

.?.2(1—m)2—3=5,

解得：m-L=-1,m2=3,

.??新拋物線的表達式為：y=2(x+l)2-3,或y=2(x-3)2-3,

將x=0代入y=2(x+1)2—3,

得：y=-1；

將x=0代入y=2(%一3)2-3,

得：y=15,

二與y軸的交點坐標(biāo)為(0,-1),或(0,15).

故答案為:(0,-1)或(0,15).

12.(2024?廣東?二模)如圖，已知拋物線y=a/+bx+c過4(一3,0),B(5,0)兩點，與y軸的正半軸交于點

C,頂點為D,當(dāng)NDC。+4DBO=180。時，a=.

【分析】根據(jù)4(一3,0),B(5,0)兩點可求出拋物線解析式y(tǒng)=ax2-2ax-15a,進而求得點C、點。的坐標(biāo),

過點。作CMly軸交有y軸于點過點。作DN1x軸交有x軸于點N,證得ADMC*DNB,進而計算

即可.

【詳解】解：過點。作OM軸交y軸于點過點。作DN軸交x軸于點M如圖

：拋物線y=ax2+bx+c過4(一3,0),B(5,0)兩點

J9a—3b+c=0

125。+5b+c=0

解得［b=-2a

lc=-15a

???y=ax2—2ax—15a

???C(-15a,0),￡)(1,-16a)

又“DCO+乙DBO=180°,Z.DCO+4DCM=180°

.-.ZDCM=乙DBO

,-'DM1y軸，DN1%軸

?ZDMC=乙DNB=90°

???△DMCDNB

.DM_MC

"DN-NB

.1_-16a—(—15a)

"-16a-5-1

解得a=±|

???拋物線圖象開口向下

故答案為：—

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)和判定，作輔助

線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.

13.(23-24九年級上.吉林?期中)已知一條拋物線的形狀、開口方向均與拋物線曠=-2/+9》相同，且它

的頂點坐標(biāo)為(-1,6),則這條拋物線的解析式為.

【答案】y=-2(%+I)2+6

【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，先設(shè)頂點式y(tǒng)=a(x++6,然后根據(jù)二次函數(shù)的

性質(zhì)確定。的值即可，根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式是解決此題的關(guān)鍵.

【詳解】???拋物線的頂點坐標(biāo)為(-1,6),

???拋物線解析式可設(shè)為y=a(x+1尸+6,

：拋物線y=a(x+I)2+6的形狀、開口方向均與拋物線y=-2x2+9x相同，

???a=-2,

???所求拋物線的解析式為y=-2(x+I)2+6.

故答案為：y=—2(x+l)2+6.

口題型04畫二次函數(shù)的圖像

14.(2022?江西贛州?模擬預(yù)測)已知拋物線及：y=/+2kx+k-2的頂點為

(1)當(dāng)k=2時，拋物線的對稱軸是」頂點M坐標(biāo)是」當(dāng)函數(shù)值y隨x的增大而減小時，自變量尤的取值范

圍為

(2)若拋物線L：y=/+2kx+k-2關(guān)于直線丫=-k軸對稱后得到新的拋物線L2，其頂點

①當(dāng)k=—l時，請在圖中畫出相應(yīng)的乙2圖象；

②求頂點"'的縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)尤之間的關(guān)系式；

③直接寫出當(dāng)上為何值時，頂點M'恰好落在無軸上.

【答案】(1)直線x=-2；(-2,-4)；x<-2

(2)①見解析；②y=/+3久+2；③k=l或k=2

【分析】(1)把k=2代入y=/+2kx+k-2,得出y=/+奴=(x+2尸一4,然后寫出對稱軸和頂點

坐標(biāo)；根據(jù)函數(shù)的增減性，寫出函數(shù)值y隨尤的增大而減小時，自變量尤的取值范圍即可;

(2)①當(dāng)k=—l時，得出拋物線的解析式為Li：y=/+2x—1=(X+1)2—2,頂點坐標(biāo)為M(—1,-2),

此時對稱軸為直線y=l,點M關(guān)于直線y=1的對稱點為M，(-1,4),求出拋物線乙2的解析式，然后列表，

描點，連線畫出拋物線的解析式即可；

②先求出拋物線及的頂點坐標(biāo)M(-k,-卜2+k—2),然后求出點獷的坐標(biāo)，即可得出答案；

③根據(jù)x軸上的點，縱坐標(biāo)為0,列出關(guān)于人的方程，解方程即可.

【詳解】(1)解：解=2,

■?-y=/+4%+2—2

=x2+4x

=(x+2)2—4,

???拋物線的對稱軸為直線久=—2,頂點為(—2,-4),

,此時a=1>0,

???在拋物線的左側(cè)函數(shù)值y隨x的增大而減小，

二當(dāng)x<-2時，函數(shù)值y隨尤的增大而減小，

故答案為：直線x=—2；(-2,-4)；%<-2.

(2)解：①當(dāng)k=—1時，拋物線L：y=x2+2%—1=(%+I)2-2,

拋物線的頂點”(一1,一2),

點關(guān)于直線y=1的對稱點為M'(-1,4),

二拋物線乙2：y=T%+I)?+4=-x2—2%+3,

列表為：

-3-2-101

y=x2+2x—12-1-2-12

y=—x2—2%+303430

拋物線打，打圖象，如圖所示:

②拋物線Li：y=x2+2kx+k—2=(x+fc)2-k2+k—2,

???的頂點為M(-k,-卜2+k-2),

點關(guān)于直線y=—k對稱的點k,fc2—3k+2),

:頂點M'的縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x之間的關(guān)系式為y=x2+3%+2；

③當(dāng)頂點M恰好落在x軸上時，fc2-3/c4-2=0,

解得k=1或k=2.

【點睛】本題主要考查了求拋物線的頂點坐標(biāo)，對稱軸，畫拋物線的圖像，解題的關(guān)鍵是根據(jù)對稱性求出

拋物線L的頂點坐標(biāo)

15.(2024?河南安陽?模擬預(yù)測)操作與探究：已知點P是拋物線丫=-/一2%+3上的一個動點.

(1)在如圖的平面直角坐標(biāo)系式。y中畫出函數(shù)y=-x2-2x+3的圖象;

(2)仔細(xì)觀察圖象，結(jié)合所學(xué)知識解答下列問題：

①當(dāng)函數(shù)值y20時，自變量尤的取值范圍是」

②方程%=—2的根是一(結(jié)果保留一位小數(shù));

③當(dāng)x<m時，y隨X的增大而增大，則機的取值范圍是一

④當(dāng)一2<久0n時，函數(shù)值33yW4,直接寫出"的取值范圍一.

【答案】(1)見解析

(2)①—3<x<1；②X]x2.4或刀2~-0.4；@m<-1；④—1<n<0

【分析】(1)利用畫函數(shù)圖象的步驟即可求解；

(2)根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)逐一解答即可；

此題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)和畫二次函數(shù)圖象，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】⑴列表：

X-3-2-101

y03430

描點，連線，如圖,

(2)①根據(jù)圖象可知，當(dāng)函數(shù)值y20時，自變量x的取值范圍是一3WxW1,

故答案為：—3<x<1；

②由x-1=-2得，—X2-2%+1=0,

方程久-^=-2的根可以看作是函數(shù)y=-x2-2%+1與x軸交點，

通過圖象可知函數(shù)y=-/一2久+1與x軸交點近似為(2.4,0),(-0,4,0),

x1x2.4或~—0.4,

故答案為：%i?2.4或刀2x-0.4；

③根據(jù)圖象可知，當(dāng)》<-1時，y隨x的增大而增大,

當(dāng)％<小時，y隨x的增大而增大，

則m的取值范圍是m<-1,

故答案為：m<-l；

④根據(jù)圖象可知，

則？1的取值范圍是一1<n<0.

16.(2020?北京?中考真題)小云在學(xué)習(xí)過程中遇到一個函數(shù)y=；|x|(一一乂+1)(久2一2).下面是小云對

6

其探究的過程，請補充完整：

(1)當(dāng)一2<%<0時，對于函數(shù)月=|%|,即yi=一％,當(dāng)一24%<0時，yi隨％的增大而且yi>0；對

于函數(shù)-％+1,當(dāng)一24%V0時，丫2隨工的增大而一，且>0；結(jié)合上述分析，進一步探究發(fā)現(xiàn),

對于函數(shù)y,當(dāng)一24％V0時，y隨％的增大而_.

(2)當(dāng)久20時，對于函數(shù)y,當(dāng)％20時，y與汽的幾組對應(yīng)值如下表：

135

X0123

222

117957

y01

16616482

綜合上表，進一步探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)無之0時，y隨工的增大而增大.在平面直角坐標(biāo)系第Oy中，畫出當(dāng)久之0時的

函數(shù)y的圖象.

(3)過點(0,m)(m>0)作平行于％軸的直線結(jié)合(1)(2)的分析，解決問題：若直線，與函數(shù)y=1|x|(x2-

6

%+1)(%>-2)的圖象有兩個交點，則小的最大值是一.

【答案】（1）減小，減小，減??；（2）見解析；（3）|

【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)分別進行判斷，即可得到答案;

（2）根據(jù)表格的數(shù)據(jù)，進行描點，連線，即可畫出函數(shù)的圖像；

（3）根據(jù)函數(shù)圖像和性質(zhì)，當(dāng)x=-2時，函數(shù)有最大值，代入計算即可得到答案.

【詳解】解：（1）根據(jù)題意，在函數(shù)以=—x中，

?：k=—1<0,

???函數(shù)yi=-%在-2<%<0中，y】隨工的增大而減??；

?.y2=X2-X+1=（%-1）2+|,

???對稱軸為：X=1,

2在中，隨％的增大而減??；

??-y2=x-x+1-2<%<0

綜合上述，y=一%+1）在一2三％<0中，y隨汽的增大而減??；

故答案為：減小，減小，減??；

（2）根據(jù)表格描點，連成平滑的曲線，如圖：

（3）由（2）可知，當(dāng)x20時，y隨％的增大而增大，無最大值;

由（1）可知y=，-*+1）在-2W久<0中，y隨x的增大而減小;

;在一2Wx<0中，有

當(dāng)x=-2時，y=（，

■-?m的最大值為彳

故答案為：

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)的最值問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握題

意，正確的作出函數(shù)圖像，并求函數(shù)的最大值.

□題型05以開放性試題的形式考查二次函數(shù)的解析式

17.（2024?上海?模擬預(yù)測）請寫出一個二次函數(shù)，符合頂點在第二象限，對稱軸左側(cè)上升，交y軸于正半軸

【答案】y=-/—2%+3（答案不唯一）

【分析】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是會利用函數(shù)的性質(zhì)確定解析式的各項系數(shù).

【詳解】解：二次函數(shù)為y=-（x+I/+2=-x2-2x+3,

故答案為：y=-%2-2x+3.

18.（2024?江蘇無錫?模擬預(yù)測）某個函數(shù)同時滿足兩個條件：①圖象過點（1,1）、（2,4）；②當(dāng)x<0時，

y隨x的增大而減小.這個函數(shù)表達式可以是.（只要寫出一個符合愿意的答案即可）

【答案】y=/

【分析】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式.設(shè)此函數(shù)的解析式為y=a/+b（a>0）,再把點（1,1）,

（2,4）代入求出Kb的值即可.

【詳解】解：設(shè)此函數(shù)的解析式為y=a/+b（a>。），

???圖象過點（1,1）、（2,4）,

.fa+b=1

14a+b=4'

解得,

二這個函數(shù)表達式可以是y=%2,

故答案為：y=/（答案不唯一）.

19.（2024?江蘇泰州?三模）若y是尤的函數(shù)，其圖象過點（1,4）、（-2,-2）,寫出一個符合此條件的函數(shù)表達

式：.

【答案】y=±（答案不唯一）

【分析】本題考查用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求解即可.

【詳解】解：當(dāng)y是％的一次函數(shù)時，設(shè)函數(shù)解析式為y=/a:+b（/cW0）,

4B（k+b=4

將'+=-2'

解解:%,

.?.該函數(shù)解析式為y=2%+2,

當(dāng)y是龍的反比例函數(shù)時，設(shè)函數(shù)解析式為y=芋0）,

得，k=1x4=—2x（—2）=4,

.?.該函數(shù)解析式為y=：，

當(dāng)y是x的二次函數(shù)，且頂點為(1,4)時，設(shè)二次函數(shù)解析式為y=磯％-+4,

把(—2,—2)代入得，a(—2—I)2+4=—2,

解得a=一|,

二該函數(shù)解析式為y=—|(x-I/+4,

故答案為：y=(或y=2x+2或y=—|(x—I/+4(答案不唯一).

20.(2024?廣東江門?二模)若一個二次函數(shù)的二次項系數(shù)為2,且經(jīng)過點(1,0),請寫出一個符合上述條件

的二次函數(shù)表達式：.

【答案】y=2x2-2x(答案不唯一)

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的二次項系數(shù)為2,設(shè)拋物線解析式為y=2/+bx+c,結(jié)合拋物線經(jīng)過點(1,0),

得到2+b+c—0,選擇6=-2,c=0,得到解析式為y=2x2-lx.

本題考查了待定系數(shù)法求解析式，熟練掌握待定系數(shù)法，靈活選擇數(shù)值計算即可.

【詳解】??,二次函數(shù)的二次項系數(shù)為2,設(shè)拋物線解析式為y=2/+"+以

,?,拋物線經(jīng)過點(1,0),

，2+b+c=0,

???b=—2,c=0,

???解析式為y=2x2-2x.

故答案為：y=2x2-2x.

□題型06二次函數(shù)的平移變換問題

21.(2024?四川遂寧.模擬預(yù)測)將解析式為y=(x+2)2+5的拋物線先向右平移4個單位，再向下平移5

個單位，則平移后的新拋物線的解析式為.

【答案】y-(x-2)2

【分析】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換.根據(jù)“左加右減、上加下減”的原則進行解答即可.

【詳解】解：將解析式為y=0+2)2+5的拋物線先向右平移4個單位，再向下平移5個單位，則平移后

的新拋物線的解析式為y=(x+2—4產(chǎn)+5—5=O—2)2.

故答案為：y=(x-2)2.

22.(2024?貴州貴陽?一模)二次函數(shù)y=/—6x+5的圖象經(jīng)過平移，其頂點恰好為坐標(biāo)原點，則平移的

最短距離為

【答案】5

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)以及勾股定理，先把y=/-6x+5的頂點坐標(biāo)找出來，即(3,

-4),再結(jié)合經(jīng)過平移，其頂點恰好為坐標(biāo)原點，得出平移的最短距離為J(3—0尸+(—4-0)2=5,即可

作答.

【詳解】'-y=%2—6%+5=x2-6%+5+4-4=(%-3)2-4,

.?.二次函數(shù)y=/一6久+5圖象的頂點坐標(biāo)為(3,-4)

???平移后圖象的頂點恰好為坐標(biāo)原點，

???平移的最短距離為J(3—0)2+(—4—0)2=5

故答案為：5

23.(2024?山西大同.模擬預(yù)測)己知拋物線y=ax2+bx+c上的部分點的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如

下表：

X-10123

y30-1m3

若將此拋物線向右平移1個單位長度，向上平移1個單位長度后的拋物線表達式為()

A.y=—(比+2)2B.y=—(x—2)2

C.y=(x+2/D.y=(x—2尸

【答案】D

【分析】本題考查了求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的平移規(guī)律，根據(jù)二次函數(shù)經(jīng)過原點得c=0,以及二

次函數(shù)的對稱性得出一螢=*,再把(1,一1)代入y=a/+日，然后解出a=l,6=-2,最后根據(jù)平

移規(guī)律，即可作答.

【詳解】解：???表格的％=0,對應(yīng)的y=0,

???y=ax2+6%+c的c=0

???表格的y=3,對應(yīng)的久=-1,x=3

???對稱軸-白=三藝=1

2a2

；?b=—2a

把(1,—1)代入y=ax2+bx

???—1=a+b

?*?-1=CL+(—2.CL)=—CL

???a=1,b=—2

.y=%2—2x=(x—l)2—1

???將此拋物線向右平移1個單位長度，向上平移1個單位長度

??.y=(X—1—I)2—1+1=(%—2)2

故選：D

24.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測)如圖，已知拋物線名：y=人父+權(quán)+3與%軸分別交于4(一3,0)、3(1,0)兩

點，與y軸交于點C,分別連接AC、BC.

(1)求拋物線%的函數(shù)表達式；

(2)將拋物線必向右平移zn(m>0)個單位得到拋物線02,兩條拋物線相交于點P,分別連接P4、PB,若受理=

S^ABC

*求zn的值.

【答案】(Dy=-x2-2%+3

(2)3或聞

【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象，掌握待定系數(shù)法和平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

(2)先計算出S—BC=6,然后根據(jù)面積SAMP=JAB'\y\=I，得到|yp|=然后計算出yp=和yp=7

ZPZ444

時的自變量X的值，然后計算平移距離即可.

【詳解】(1)解：???拋物線y=?2+勿%+3經(jīng)過力(_3,0)和

二拋物線的表達式為y=-x2-2%+3；

(2)解：當(dāng)x=。時，y=3,

.?.點C的坐標(biāo)為(0,3),

■'-ShABC=~AB-OC=|x4x3=6,

又,;S^PAB_2_,

S^ABC12'

17

'^LABP~-\yP\=

-\yp\=:，

q

當(dāng)yp=：時，一產(chǎn)一2無+3=：,解得：久或尤=-|,

???平移距離為之一（一|）=3；

當(dāng)yp=-2時，一%2-2%+3=―2,%=每一1或%=一迤一1,

“4422

平移距離為"-1-（一第-1）=后;，

故平移距離為3或后.

口題型07二次函數(shù)的對稱變換問題

25.（2024?安徽?二模）若關(guān)于%的一元二次方程/+b%+c=0的兩個實數(shù)根分別為汽1=一1,x2=3,則

拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為直線（）

A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2

【答案】A

【分析】本題考查二次函數(shù)與一元二次方程，利用對稱性求對稱軸，根據(jù)題意，得到拋物線與x軸的兩個交

點坐標(biāo)為（-1,0）,（3,0）,對稱性得到對稱軸為％=芳=1,即可.

【詳解】解：「產(chǎn)+bx+c=0的兩個實數(shù)根分別為*1=-1,x2-3,

???拋物線y=x2+bx+c與x軸的兩個交點坐標(biāo)為（一1,0）,（3,0）,

.?.對稱軸為*=三上=1；

故選A.

26.（23-24九年級上?安徽亳州?階段練習(xí)）拋物線y=a（K+1尸+2與x軸的一個交點坐標(biāo)是（-3,0）,它

與x軸的另一個交點的坐標(biāo)是（）

A.Q,0）B.（1,0）C.（2,0）D.（3,0）

【答案】B

【分析】本題主要考查了拋物線的性質(zhì)，先求出拋物線對稱軸為.直線x=-l,再根據(jù)拋物線的對稱軸進

行求解即可.

【詳解】解：???拋物線解析式為y=aCx+1）2+2,

???拋物線對稱軸為直線X=-1,

,拋物線y=a(x+I)2+2與x軸的一個交點坐標(biāo)是(-3,0),

???拋物線與x軸的另一個交點的坐標(biāo)是(1,0),

故選B.

27.(2024?江蘇無錫?二模)已知二次函數(shù)y=Q-a)(x+2a-1)的對稱軸是直線x=-2,則a的值為

【答案】5

【分析】本題考查了二次函數(shù)的對稱性，求出二次函數(shù)圖象與x軸的兩個交點坐標(biāo)，利用拋物線的對稱性即

這兩個交點關(guān)于對稱軸對稱，即可求得.

【詳解】解：令y=(久-a)(x+2a-1)=0,解得：x1=a,x2=1-2a,

即拋物線與無軸的兩個交點坐標(biāo)為(a,0),(1-2a,0),

由于拋物線的對稱軸是直線x=-2,即若也=-2,

解得：a=5

故答案為：5.

28.(2024?浙江寧波?模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù)y=a(x+m)2+n(a0,m,n是實數(shù))，當(dāng)久=1時，y=1>x=6

時，？=6.貝|()

A.若ni=-3,貝!ja<0B.若ni=-4,則a>0

C.若m=—5,貝"a<0D.若m--6,貝!]a>0

【答案】C

【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能根據(jù)機的取值及拋物線上兩點的坐標(biāo)分析出拋物線的開口方

向是解題的關(guān)鍵.根據(jù)所給解析式得出拋物線的對稱軸為直線”=-m,再根據(jù)選項中所給出的m的值都a

的正負(fù)依次進行判斷即可.

【詳解】解：由所給函數(shù)解析式可知，

拋物線的對稱軸為直線久=-m.

當(dāng)加=-3時，拋物線的對稱軸為直線％=3,

因為(1,1)和(6,6)在拋物線上，

則點(1,1)關(guān)于直線x=3的對稱點為(5,1),

因為6>5,6>1,

所以在對稱軸的右側(cè)y隨尤的增大而增大，

則拋物線的開口向上，即a>0.故A不符合題意.

當(dāng)zn=-4時，拋物線的對稱軸為直線％=4,

所以點(L1)關(guān)于直線％=4的對稱點為(7,1),

因為6<7,6>1,

所以在對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而減小，

則拋物線的開口向下，即a<0.故B選項不符合題意.

當(dāng)m=-5時，拋物線的對稱軸為直線％=5,

所以點(1,1)關(guān)于直線x=5的對稱點為(9,1),

因為6<9,6>1,

所以在對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而減小，

則拋物線的開口向下，即a<0.

故C選項符合題意.

當(dāng)m=-6時，拋物線的對稱軸為直線％=6,

因為6>1,

所以頂點的縱坐標(biāo)為拋物線上所有點縱坐標(biāo)中最大的，

則拋物線的開口向下，即a<0.故D選項不符合題意.

故選：C.

29.(2024?江西景德鎮(zhèn)?二模)二次函數(shù)y=a/+版+3與>軸交于點c,在點C右側(cè)作CD||x軸，交拋物線

于點。，且CD=8,則拋物線的對稱軸為.

【答案】%=4

【分析】本題主要考查二次函數(shù)圖象的對稱性，二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)拋物線的對稱性找出線段之間的等

量關(guān)系是解題的關(guān)鍵所在.由題意得出點。與點C是拋物線上的對稱點，根據(jù)CD=8,即可得出結(jié)果.

【詳解】解：由題意得出點。與點C是拋物線上的對稱點，

,二次函數(shù)y=ax2+bx+3與y軸交于點C,

則當(dāng)x=。時，y=3,

C(0,3),在點C右側(cè)作CD||x軸，CD=8,

??.D(8,3),

???拋物線的對稱軸為：*=等=4；

故答案為：x=4.

□題型08根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求參數(shù)取值范圍

30.(2024?江蘇無錫?二模)已知二次函數(shù)丫=￡1x2+「久+2((1<0),點4(死九),B(6,%)，。(k+4,為)均在

該二次函數(shù)的圖象上，且2<無<為，則左的取值范圍為.

【答案】1<卜<2或左>6

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).根據(jù)點力(k,yi),C(k+4,yJ,可得二次函數(shù)圖象的對稱

軸，從而得到點3(6/2)關(guān)于對稱軸的對稱點為(2k-2/2)，再分兩種情況:當(dāng)點8(6,%)在對稱軸的左側(cè)時；

當(dāng)點8(6,先)在對稱軸的右側(cè)時，即可求解.

【詳解】解：???點4伏,%)，C(k+4/1)均在該二次函數(shù)的圖象上，且關(guān)于對稱軸對稱，

.??二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線審=k+2,

二點8(6,丫2)關(guān)于對稱軸的對稱點為(2k-2/2)，

當(dāng)x=0時，y=2,

???二次函數(shù)的圖象與y軸的交點為(0,2),

1-12<y2<yi>

當(dāng)點8(6/2)在對稱軸的左側(cè)時，fc>6；

當(dāng)點8(6,%)在對稱軸的右側(cè)時，k+4<6,且2k-2>0,

解得：1<k<2；

綜上所述，k的取值范圍為1<k<2或k>6.

故答案為：1<卜<2或卜>6.

31.(2024?福建三明?一模)已知拋物線y=a久2+速+c過點4(m,yi),B(3,y2)>C(4,y3),D(n+2,y4),

E(2-n,y4),若%>y2>為，則瓶的取值范圍為.

【答案】1<小<3

【分析】根據(jù)C,。兩點坐標(biāo)可得出拋物線的對稱軸，再根據(jù)%>丫2>丫3,結(jié)合拋物線的對稱性即可解決問

題.本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟知二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：TC,。兩點坐標(biāo)為5+2/4)和(2-n/4)，

???拋物線的對稱軸為直線久=”等二=2.

又??,B(3/2)，C(4,y3),且3<4,y2>y3,

???拋物線對稱軸右側(cè)的部分，y隨x的增大而減小，

???拋物線的開口向下.

又：乃>丫2，且石=2,

???點a在拋物線上的(1,丫2)和(3/2)之間，

?<<1<m<3.

故答案為：1<m<3.

32.(2024?北京延慶?模擬預(yù)測)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點4(3,6)，點B(5,ri)在拋物線、=a/+版+

c(a>0)上.設(shè)拋物線的對稱軸為直線x=t.

⑴若n?=n,求t的值；

(2)點C(久o，p)在該拋物線上，若對于0<久°<1都有機<n<p,求f的取值范圍.

【答案】(l)t=4

(2)3<t<4

【分析】本題考查了二次函數(shù)y=a%2+bx+c(a豐0)性質(zhì)，熟悉相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵.

(1)由題意得5-t=t-3,據(jù)此即可求解；

(2)分類討論①當(dāng)山<九時，②當(dāng)n<p時，兩種情況即可求解；

【詳解】(1)解：,?,點A(3,m),點B(5,n)在拋物線丫=ax?+bx+c(a>0)上,

且m=n,拋物線的對稱軸為x=t,

?**5—t=t-3,

???t=4.

(2)解：???點4(3,m),點B⑤①，點C(%(),p)在拋物線y=a%2+[%+c(q>0)上,

2

m=9a+3b+c,n=25a+5b+c,p=ax0+bx0+c.

m<n<p

???m<ri且?guī)?lt;p.

①當(dāng)zn<九時，有9a+3b+cV25a+5b+c,

??.9a+3bV25a+5b

???8a+b>0

b>—8a

a>0

???—a<0.

t<4

2

②當(dāng)幾<p時，有25a+5b+cVax0+bx0+c,

2

???5b—bx0<ax0—25a.

???6(5-%Q)<a(x0+5)(%o—5).

0<x0<1

??.b<—a(x0+5).

bx+5

:.---->--0----

2a2

t>3.

綜上：3WtV4.

33.(2024?廣西欽州?一模)已知拋物線y=ax2+bx+c(a>0)的對稱軸為直線%=t.

(1)當(dāng)1=2時，

①寫出b與a滿足的等量關(guān)系；

②當(dāng)函數(shù)圖象經(jīng)過點(1,3),(尤1，月)，(久1+2,肉2)時，求當(dāng)+月的最小值；

(2)已知點力(一1,6)，B(3,n),C(>o，P)在該拋物線上，若對于3<而<4,都有爪>p>n,直接寫出t的取

值范圍.

【答案】(1)①6=-4a；(2)6

(2)|<t<3

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上