二次函數(shù)的綜合應(yīng)用 學(xué)案（含答案）-2025年陜西中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教材梳理

第7節(jié)二次函數(shù)的綜合應(yīng)用

（6年6考,8~19分）

?命題分析

從近6年陜西中考的考試內(nèi)容來看，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用題主要考查二次函數(shù)與特殊三

角形的綜合應(yīng)用、二次函數(shù)與特殊四邊形的綜合應(yīng)用、二次函數(shù)最值與圖象、信息問題的綜

合應(yīng)用等.

【回歸教材?過基礎(chǔ)】

【知識體系】

二次函數(shù)-----?聯(lián)系）_1應(yīng)用

與一元二次

方程、不等

式的關(guān)系

【真題精粹?重變式】

考向1二次函數(shù)與特殊三角形的綜合應(yīng)用

1.（2021.陜西25題8分）已知拋物線y=-x2+2x+8與x軸交于點(diǎn)A,B（點(diǎn)A在點(diǎn)B

的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C.

（1）求點(diǎn)B,C的坐標(biāo).

（2）設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)C關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱.在y軸上是否存在點(diǎn)巳使^PCC

與△POB相似，且PC與PO是對應(yīng)邊?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明

理由.

考向2二次函數(shù)與特殊四邊形的綜合應(yīng)用

2.(2023?陜西25題8分)某校想將新建圖書樓的正門設(shè)計(jì)為一個(gè)拋物線型拱門，并

要求所設(shè)計(jì)的拱門的跨度與拱高之積為48m2,還要兼顧美觀、大方、和諧、通暢

等因素，設(shè)計(jì)部門按要求給出了兩個(gè)設(shè)計(jì)方案.現(xiàn)把這兩個(gè)方案中的拱門圖形放入

平面直角坐標(biāo)系中，如圖所示：

方案一，拋物線型拱門的跨度ON=12m,拱高PE=4m淇中，點(diǎn)N在x軸

±,PE±ON,OE=EN.

方案二，拋物線型拱門的跨度ON'=8m,拱高P'E'=6m.其中，點(diǎn)N在x軸

上,PE」ON,OE=EN.

要在拱門中設(shè)置高為3m的矩形框架，其面積越大越好(框架的粗細(xì)忽略不計(jì)).方

案一中，矩形框架ABCD的面積記為Si,點(diǎn)A,D在拋物線上，邊BC在ON上;方案

二中，矩形框架AECD的面積記為S2,點(diǎn)在拋物線上，邊BC在ON上.現(xiàn)知，

小華已正確求出方案二中，當(dāng)A'B'=3m時(shí),S2=12/n?,請你根據(jù)以上提供的相關(guān)

信息，解答下列問題：

(1)求方案一中拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

(2)在方案一中，當(dāng)AB=3m時(shí)，求矩形框架ABCD的面積Si并比較SiS的大小.

方案一方案二

考向3二次函數(shù)最值與圖象、信息問題的綜合應(yīng)用

3.（2024.陜西25題8分）一條河上橫跨著一座宏偉壯觀的懸索橋.橋梁的纜索Li與

纜索L2均呈拋物線型，橋塔AO與橋塔BC均垂直于橋面，如圖所示，以O(shè)為原點(diǎn)，

以直線FF為x軸,以橋塔AO所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

已知:纜索Li所在拋物線與纜索L2所在拋物線關(guān)于y軸對稱，橋塔AO與橋塔BC

之間的距離OC=100m,AO=BC=17m,纜索Li的最低點(diǎn)P到FF的距離PD=2m.（橋

塔的粗細(xì)忽略不計(jì)）

（1）求纜索Li所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

⑵點(diǎn)E在纜索L2上,EFLFF,且EF=2.6m,FO<OD,求FO的長.

料/m

FODCF'x/m

【核心突破?拓思維】

題型1二次函數(shù)與三角形的綜合應(yīng)用

如圖，直線y=-x+n與x軸交于點(diǎn)A(3,0),與y軸交于點(diǎn)B,拋物線y=-x2+bx+c

經(jīng)過點(diǎn)A,B.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

(2)E(m,0)為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作ED±x軸,交直線AB于點(diǎn)D,交拋物線于點(diǎn)

P,連接BP.

①點(diǎn)E在線段0A上運(yùn)動(dòng)，若△BPD與小ADE相似，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

②若點(diǎn)E在x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，且NPBD+NCBO45。,請直接寫出m的值.

備用圖

題型2二次函數(shù)與四邊形的綜合應(yīng)用

如圖，已知拋物線y=ax2+bx+2(a<0)與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于A(-l,0),B(2,0)

兩點(diǎn).

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

(2)若D是第二象限拋物線上的動(dòng)點(diǎn),DE〃x軸,交直線BC于點(diǎn)E,點(diǎn)G在x軸上,

點(diǎn)F在坐標(biāo)平面內(nèi).是否存在點(diǎn)D,使以D,E,F,G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形?若存在,

求點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

備用圖

方法歸納

二次函數(shù)與特殊四邊形判定問題巧妙化解:

1.判定平行四邊形時(shí)，一定要學(xué)會(huì)分類討論.

2.判定菱形時(shí)，在平行四邊形的基礎(chǔ)上，滿足鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直即可.

3.判定矩形時(shí)，在平行四邊形的基礎(chǔ)上，滿足有一個(gè)角為直角或?qū)蔷€相等即時(shí)

4.判定正方形時(shí)，在平行四邊形的基礎(chǔ)上，滿足有一個(gè)角為直角且鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直

且相等即可.

題型3二次函數(shù)最值與圖象、信息問題的綜合應(yīng)用

3（2024.西安新城區(qū)模擬）某市護(hù)城河管理部門為了提高市民的休閑與運(yùn)動(dòng)

質(zhì)量，增強(qiáng)鍛煉的幸福感，計(jì)劃在護(hù)城河里修建小噴泉,具體方案如下:在水面下適

當(dāng)?shù)牡胤皆O(shè)置一個(gè)圓柱形柱子，在柱子頂端處安裝一個(gè)噴水頭向外噴水，從而形成

小噴泉.經(jīng)過實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，小噴泉水流形成拋物線，噴水口高出水面:m,當(dāng)落水點(diǎn)距

噴水口的水平距離為1m時(shí)，噴泉水流達(dá)到最高點(diǎn)處，距水面:m.以水面所在位置

為X軸，噴水頭所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則水流距離水面的高度y（單

位:m）與水流距噴水頭的水平距離x（單位:m）之間的關(guān)系圖象如圖所示.

_________耳

（1）請求出在第一象限內(nèi)噴泉水流形成的拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

（2）噴泉噴出的水流落在水面上形成一個(gè)圓，忽略其他因素,若噴水頭向上平移;m,

則噴水頭的水流落在水面上形成的圓的面積會(huì)增大多少?（結(jié)果精確到01m2;參

考數(shù)據(jù)：V^2.45,7^2.24,g3.14）

參考答案

真題精粹?重變式

1.解析：(1):>=-%2+2%+8,取x=0,得y=8,

,：。(0,8),取產(chǎn)0,得-%2+2%+8=0,解得陽=-2陷=4.7點(diǎn)4在點(diǎn)8的左側(cè),.：3(4,0).

(2)存在點(diǎn)P,設(shè)P(O,y).

VCC'//05,且PC與P。是對應(yīng)邊,?：——=—，

即寧耳，解得以=16,”=與

.:「(0,16)或/3(0,?.

2.解析:(1)由題意知，方案一中拋物線的頂點(diǎn)P(6,4),

設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為產(chǎn)a(x-6)2+4,

把。(0,0)代入得0=a(0-6)2+4,

解得。=一，

?:產(chǎn)-/6)2+4=-#+3，

.：方案一中拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-$2+￥.

⑵令y=3,貝ij3=-*+}.

解得尤=3或x=9,

.：BC=9-3=6(m),

.：Si=AB-BC=3x6=18(m2).

718>12V2,.：SI>S2.

3.解析:(1)由題意，：ZO=17m,

.:點(diǎn)A(0,17).

又r(9C=100m,BC=17m,纜索Li的最低點(diǎn)2到萬尸的距離PD=2m,

.：拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(50,2).

故可設(shè)拋物線為y=a(x-50)2+2.

將點(diǎn)A代入拋物線可得,2500a+2=17,解得。=看

.：纜索Li所在拋物線為廣亮(H50)2+2.

(2)：?纜索L所在拋物線與纜索以所在拋物線關(guān)于y軸對稱，纜索L所在拋物線的表

達(dá)式為丁=烹(450)2+2,

?:纜索工所在拋物線的表達(dá)式為產(chǎn)裊X+50)2+2,

令y=2.6,即施+50>+2=2.6,

.：x=-40或x=-60.

"."FO<OD=50m,

.：x=-40,

.：R9的長為40m.

核心突破?拓思維

例1解析:⑴丁直線產(chǎn)-x+〃與x軸交于點(diǎn)A(3,0),

.".Q=-3+n,

.：〃=3,

.：直線的表達(dá)式為y=-x+3.

當(dāng)x=0時(shí),y=3,

：'拋物線>=-%2+區(qū)+(:經(jīng)過點(diǎn)4,3,

.[□=3,

#70=-9+3D+□,

MD：3：

.:拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-/+2x+3.

(2)①：軸，

.：/PEA=90。,

.：ZBDP=ZADE<90°.

設(shè)E(/n,0),P(/n,-蘇+2m+3),

ZZ)(m,-m+3),

ZPZ)2=(-m2+3m)2,BP2=m2+(-m2+2m)2,BD2=m2+(-m+3-3)2=2m2.

當(dāng)NPBD=90。時(shí)石尸2+&52二尸￡)2

Zm2+(-m2+2m)2+2m2=(-m2+3m)2,

.:m=1,m=0(舍去)，

?：E(1,O)；

當(dāng)NBPD=90。時(shí),BP2+PD?=BD2,

m2+(-m2+2m)2+(-m2+3m)2=2m2,

.:m=3(舍去)，機(jī)=0(舍去)，m=2,

,：E(2,0).

綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,0)或(2,0).

新的值為5或(

提示:當(dāng)點(diǎn)P在龍軸上方時(shí)，如圖1,連接3C,延長交x軸于點(diǎn)N.

：/(3,0)乃(0,3),

.：04=03=3,

/.ZBAO=ZABO=45°.

丁拋物線產(chǎn)-%2+2%+3經(jīng)過點(diǎn)4,3,

.".0=-X2+2X+3,

.：X1=3,X2=-1,

.：C(-1,0),.：OC=1.

VZPBD+ZCBO=45°,ZBAO=ZPBD+ZBNO=45°,

.".ZCBO=ZBNO.

VZBOC=ZBON=9Q°,

.：△BCO^ANBO,.：—,BP3=—,

□□□□3

?：ON=9,

?：N(9,0),,：直線5N的表達(dá)式為y=%+3,

?：1%+3=-X2+2X+3,

3

.：》1=0（舍去）,x2=（,

.:點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為g,

?.?〃！=一7.

3

當(dāng)點(diǎn)P在斕1下方時(shí)，如圖2,連接BC,使BP與x軸交于點(diǎn)H.

"/ZPBD+ZCBO=45°,ZOBH+ZPBD=45°,

r.ZCBO=ZOBH.

".'OB=OB,ZCOB=ZBOH,

.：△BOH^ABOC(ASA),

/.OC=OH=1,/.H(1,0),

.：直線3H的表達(dá)式為y=-3x+3,

.：-3x+3=-f+2x+3,

.：xi=0(舍去),X2=5,

.:點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為5,

.".m=5.

綜上所述川=5或機(jī)=(

例2解析:⑴由題意可知，拋物線的表達(dá)式為產(chǎn)a(x+。?！┦?%2"2),

則-2a=2,解得a=-l,

.：拋物線的表達(dá)式為yn-f+x+Z.

(2)存在.：Z(2,0),C(0,2).

設(shè)直線的表達(dá)式為y=kv+2,

將3(2,0)代入得2左+2=0,

解得上=-1,

.：直線3c的表達(dá)式為y=-x+2.

設(shè)￡)?,-戶+什2),

分兩種情況:①為邊時(shí)，設(shè)E(",-"+2),

如圖1,四邊形6。也是正方形，

.：DE=GD=EF,