二次函數(shù)中的最值問題（4大題型）-2024-2025學(xué)年蘇科版九年級數(shù)學(xué)下冊同步訓(xùn)練（含答案）

專題提優(yōu)1二次函數(shù)中的最值問題

題型01二次函數(shù)中的線段最值問題

1.如圖，。/半徑為1,圓心4（0,3），點3是。/上動點，點。在二次函數(shù)y=尤2T圖象

上運動，則線段的最小值為（）

2.如圖，拋物線y=Y-2x-3交x軸于4、2兩點（/在8的右側(cè)），交y軸于點C,點于。

是線段NC的中點，點尸是線段上一個動點，△“尸。沿。尸折疊得則線段48

3.如圖，拋物線y=-/+6x+c與x軸交于Z,8兩點（點4在點2的左邊），與y軸交于

點C,點。為燃車一頂點，B,C兩點的坐標分別為（3,0）和（0,3）.

試卷第1頁，共10頁

(1)求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式.

(2)若點M是第一象限的拋物線上的點，過點”作x軸的垂線交3C于點N,求線段的

最大值.

4.如圖，已知拋物線y=*+2x+3與x軸交于4、3兩點(點/在點3的左邊)，與y軸交

于點C,連接BC.

⑴直接寫出/、B、C三點的坐標和△NBC的面積SJBC；

(2)若點尸為線段上的一點(不與2、C重合)，〃丁軸，且尸M交拋物線于點交

x軸于點N,當線段的長度最大時，求點M的坐標.

題型02二次函數(shù)中的線段和差最值問題

5.如圖1,在平面直角坐標系中，直線＞=-x+4交兩坐標軸于8、C兩點，二次函數(shù)

y=a久2+。久+c圖象經(jīng)過A,B,C三點且“(一1,0).

(1)求二次函數(shù)的解析式.

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P?使得尸/+PC的長度最短.若存在，求出點尸的坐標;

若不存在，請說明理由.

6.如圖，二次函數(shù)圖象與x軸交于點/、B,與y軸交與點C,拋物線的頂點坐標是(2,

9),且經(jīng)過。(3,8).

試卷第2頁，共10頁

(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

(2)求△NBC的面積；

(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點M,使得最短?若存在，求出朋■的坐

標.若不存在，請說明理由.

7.如圖，二次函數(shù)了=0^+云+4的圖象過點4(3,0)和3(-1,0),與了軸交于點C.

(2)若在該二次函數(shù)的對稱軸上有一點使BM+CM的長度最短，求出”的坐標.

題型03二次函數(shù)中的周長最值問題

8.如圖，已知拋物線了=-/+加+。與一直線相交于41,0)、C(-2,3)兩點，與了軸交于點

N,其頂點為D.

試卷第3頁，共10頁

(1)求拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；

(2)在對稱軸上是否存在一點M,使。2W的周長最小.若存在，請求出M點的坐標和

“7W周長的最小值；若不存在，請說明理由.

9.如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，(-3,0)和8(1,0)兩點，交y軸于點C(0,3),點C,D

(1)求二次函數(shù)解析式；

⑵求出頂點坐標和點D的坐標；

(3)二次函數(shù)的對稱軸上是否存在的一點",使ABCM的周長最??？若存在，求出M點坐標;

若不存在，請說明理由.

10.如圖，在平面直角坐標系xp中，拋物線>=&+桁+2與x軸交于點點

3(4,0),與歹軸交于點C,連接NC,2C.

試卷第4頁，共10頁

(1)求拋物線的解析式.

(2)點。為拋物線的對稱軸上一動點，當A/CD周長最小時，求點。的坐標.

題型04二次函數(shù)中的面積最值問題

11.如圖，學(xué)校課外興趣活動小組準備利用長為8m的墻和一段長為26m的籬笆圍建一

個矩形苗圃園.如果矩形苗圃園的一邊由墻48和一節(jié)籬笆構(gòu)成，另三邊由籬笆/CDR

圍成，設(shè)平行于墻一邊⑺長為xm.

,墻

CD

(1)當苗圃園的面積為60B?時，求x的值.

(2)當x為何值時，所圍苗圃園的面積最大？最大面積是多少？

12.如圖，拋物線yu-V+bx+c與x軸交于A、5兩點(A在B的左側(cè))，與y軸交于點

N,過A點的直線/：＞=b+"與歹軸交于點C,與拋物線了=-/+加+。的另一個交點為。,

已知￡＞(5,-6),尸點為拋物線y=-/+Zzx+c上一動點(不與A、。重合).

(2)當點尸在直線/上方的拋物線上時，連接P4、PD,當△尸4D的面積最大時，求尸點的

坐標.

13.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ad-8"+10°-1(。＜0)與x軸的交點分別為

其中(0＜/＜再)，且4B=4,與y軸的交點為C,直線?！▁軸，在

試卷第5頁，共10頁

X軸上有一動點E?,o)過點E作直線軸，與拋物線、直線CD的交點分別為尸、Q.

備用圖

(1)求拋物線的解析式；

(2)當0<148時，求當A4PC面積最大值時直線AP的解析式.

提優(yōu)練習(xí)

14.正方形ABCD中，AB=4,P為對角線BD上一動點，F(xiàn)為射線AD上一點，若AP=PF,

則4APF的面積最大值為()

A.8B.6C.4D.2加

15.如圖，拋物線y=-/+3x+4與了軸交于點力,交x軸正半軸于5,直線/過M是

拋物線第一象限內(nèi)一點，過點M作兒W〃x軸交直線/于點N,則九W的最大值為.

試卷第6頁，共10頁

16.如圖，拋物線＞=/一2x-3與x軸交于/、8兩點，拋物線的頂點為。，點C為的

中點，以C為圓心，/C長為半徑在x軸的上方作一個半圓，點E為半圓上一動點，連接

DE,取。E的中點尸，當點E沿著半圓從點A運動至點3的過程中，線段/月的最小值

為.

17.已知二次函數(shù)y=x2-機x-2（加為常數(shù)）的圖像與x軸的公共點為/（占,0）,fi（x2,O）.

（1）當王=1時，求工2的值;

⑵當-1＜西＜1,且再30時，求加的取值范圍;

（3）線段N8長的最小值為一.

4

18.如圖，在平面直角坐標系中，。為坐標原點，二次函數(shù)y=-A（x-l）2+4的圖像與X軸

9

交于/、8兩點（點/在點8的左側(cè)），頂點為C.

（1）求/、B、C三點的坐標；

⑵一個二次函數(shù)的圖像經(jīng)過8、C、〃億4）三點，其中twl,該函數(shù)圖像與x軸交于另一點

。，點。在線段。上（與點。、2不重合）.

①若。點的坐標為（3,0）,則/=；

②求/的取值范圍：

③求。。的最大值.

試卷第7頁，共10頁

19.如圖，拋物線y="2+為+3與無軸交于N(T,O),3(3,0)兩點,與了軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)在拋物線的對稱軸上找一點P,使AP4c的周長最小，求AP4c的周長的最小值及此時點

P的坐標；

(3)若為拋物線在第一象限的一動點，則％+"最大值=_.

20.如圖1,拋物線『=3+為與x軸交于點/,與直線〉=一》交于點臺(4,_4),點。(0,-4)

沿線段8。方向勻速運動，運動到點O時停止.

圖1

(1)求拋物線了=-￡"的表達式;

(2)當8尸=2及時，請在圖1中過點P作尸。CM交拋物線于點。，連接尸C,OD,判斷

四邊形0cPD的形狀，并說明理由;

(3)如圖2,點P從點8開始運動時，點0從點O同時出發(fā)，以與點P相同的速度沿x軸正

方向勻速運動，點P停止運動時點。也停止運動.連接80,PC,求CP+8。的最小值.

21.【問題背景】

在平面直角坐標系中，4、B、C的坐標分別是(-1,0)、(拉⑼、(0,3),拋物線

y=ax2+bx+c經(jīng)過4、B、C,點。坐標是(0,-2),點尸是拋物線上位于》軸上方一?點.

【特殊化探究】

試卷第8頁，共10頁

(1)若加=3,

①求a、b、c的值；

②求A4D尸面積的最大值.

【一般化思考】

(2)①對于每一個正數(shù)〃?，面積都存在最大值，試用含〃7的代數(shù)式表示A/DP最大

面積S；

②在①的條件下，試探究：A4D尸的最大面積S是否存在最小值？若存在，求出S的最小

值：若不存在，請說明理由.

22.在平面直角坐標系xp中，己知拋物線了=0^+加一1(36為常數(shù)，a>0).

(1)若拋物線與x軸交于/(T，。)、8(4,0)兩點，求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式；

(2)如圖，當6=1時，過點C(-l,a)、D(l,a+2亞)分別作了軸的平行線，交拋物線于點M、

N,連接MN、MD.求證：MD平分NCMN；

(3)當。=1,64-2時，過直線V=x-l(lVxW3)上一點G作了軸的平行線，交拋物線于點

H.若G8的最大值為4,求b的值.

23.如圖1,拋物線y=/+6x+c(。>0)與了軸交于點C,與x軸交于/,2兩點，點/

試卷第9頁，共10頁

在點2左側(cè).點3的坐標為（l，0）,0c=308.

⑵若點M是拋物線上的動點，當/、C兩點到直線的距離相等時，求直線的解析式;

（3）已知點。、尸在拋物線上，點。的橫坐標為m（-3＜加＜-1）,點尸的橫坐標為根+1.過

點。作x軸的垂線交直線AC于點M,過點F作x軸的垂線交直線AC于點N.

①如圖2,連接。尸，求四邊形面積的最大值及此時點。的坐標；

②如圖3連接40和FC,試探究與AC/W的面積之和是否為定值嗎？若是，請求出

來；若不是，請說明理由.

試卷第10頁，共10頁

1.A

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，圓，熟練掌握二次函數(shù)圖象及性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

設(shè)出點C坐標，求出/C長度的最小值，進而可求出5c長的最小值.

【詳解】解：設(shè)點C(加，/-1),

:4(0,3),

AC2=(m-0)2+(m2-l-3)2

=m4—7m2+16

(27、215

=(m---)-+y,

tz=1>0,

.?.NC2有最小值為:，

4

,-,4c最小值為史，

2

???。/半徑為1,

3C的最小值為姮-1.

2

故選：A.

2南-30

【分析】本題考查了拋物線與x軸的交點，翻折變換、勾股定理以及求線段最小值等知識,

先根據(jù)拋物線解析式求出點N,B,C坐標，從而得出0/=2,08=3,。。=6,再根據(jù)勾股

定理求出/C的長度，然后根據(jù)翻折的性質(zhì)得出H在以。為圓心，PN為半徑的圓弧上運動，

當2H,8在同一直線上時，84最小,即可求解.

【詳解】解：令歹=0,貝iJy=x2-2x-3=0,

解得再=T，x2=3,

.?.4(3,0),5(-1,0),

.?Q=3,OB=1,

令x=0,則>=-3,

答案第1頁，共34頁

:?AC=3亞,

???D為NC中點,

vAA'PD由AAPD沿。尸折疊所得,

???DA=DA',

在以。為圓心，D4為半徑的圓弧上運動,

則BD=

則BA'最小值=BD-AD=

故答案為：汽逑

3.(1)y=~x2+2x+3

（2）!

【分析】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì):

（1）把（3,0）和（0,3）分別代入y=-x2+bx+c^i可求解；

（2）設(shè)直線8c的解析式為y=ax+",利用待定系數(shù)法求得直線8c的解析式為

y=—x+3,設(shè)Af—廠+2t+3)(0<t<3),N[t,—t+3),貝！|ACV=—3|根據(jù)二次

函數(shù)的圖象及性質(zhì)即可求解；

熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

答案第2頁，共34頁

【詳解】（1）解：把（3,0）和（0,3）分別代入片一一+fox+c得:

0=-9+3b+c

3=。

b=2

解得:

c=3

■■■拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=-—+2x+3.

（2）設(shè)直線8c的解析式為y=^x+”,

把（3,0）和（0,3）分別代入〉="X+”得:

0=3加+〃

3=n

m=—\

解得:

n=3

直線BC的解析式為＞=-X+3,

設(shè)d+2/+3）（0<f<3）,N（/,T+3）,

,??拋物線了=一上-+g的開口向下，

???當f=J3時，線段龍W有最大值，最大值為9：.

24

4.（l）C（0,3）,A-1,0）,5（3,0）,S皿=6

⑵M坐標[I",?]

【分析】此題是二次函數(shù)綜合應(yīng)用題，主要考查了待定系數(shù)法函數(shù)與坐標軸的交點、三角形

的面積、二次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理、方程思想以及分類討論思想等知識.本題考查知識點

較多，綜合性較強，難度適中.

（1）在拋物線解析式中，令x=0可求得點C坐標，令V=0則可求得A、8的坐標，再求面

積即可；

（2）由8、C的坐標可求得直線8C的解析式為＞=-x+3,則可表示出點"坐標，則可求

得尸M的長，從而可用/表示出ABCW的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得當ABCM面積

答案第3頁，共34頁

最大值時/的值，可求得點M坐標.

【詳解】(1)解：對于y=—Y+2x+3,令x=0,貝!Jv=3,

?-C(0,3),

令歹=0,貝Uy——+2x+3=0,解得：x1=3,x2=—1,

「?4-1,0),

??5(3,0),

/.AB=4,

「.S△謝=；x4x3=6；

［0=3k+b

(2)解：設(shè)8C的表達式為/而+b,貝葉人’,解得

［b=3

，直線BC的表達式為》=-x+3,

設(shè)點夕的坐標為。,-￡+3）,則點M的坐標為?,-*+21+3）,

3A29

+

PM=—t?+2t+3+，—3=—r+3/=—2-4-

7

3

￡二］時，最大，

此時點M坐標［二,-r］；

5.（1）二次函數(shù)的解析式為＞=f2+3x+4

（2）在拋物線的對稱軸上存在點尸使得P/+PC的長度最短，點P的坐標為14-

【分析】（1）根據(jù)直線的解析式求出點3、C的坐標，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解

析式即可;

（2）A、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，所以拋物線的對稱軸與直線＞=-x+4的交點就是點

P,利用對稱軸的解析式和一次函數(shù)的解析式即可求出點尸的坐標.

【詳解】（1）解：當尤=0時，y=4,

???點C的坐標為（0,4）,

當尸0時，可得：-x+4=0,

解得：x=4,

.??點8的坐標為（4,0）,

答案第4頁，共34頁

把點N（T,O）、3（4,0）、C（0,4）的坐標代入y=a%2+bx+c,

a-b+c=0

可得：。=4

16a+4b+c=0

a=-1

解得：6=3,

c=4

二次函數(shù)的解析式為y=-x2+3x+4；

（2）解：在拋物線的對稱軸上存在點P使得尸N+PC的長度最短.點尸的坐標為141

理由：如下圖所示,

把二次函數(shù)的解析式V=-―+3無+4化為頂點坐標式,

-r砥（3丫25

可得：y=—卜一萬）+—>

二拋物線y=V=-/+3x+4的對稱軸為直線x=：,

設(shè)拋物線的對稱軸與直線2C交于點P,

???直線x=；為線段4B的垂直平分線，

PA=PB,

:.PA+PC=PB+PC=BC,

此時點P使得PA+PC的長度最短.

335

令x=],貝！ly=_5+4=1,

在拋物線的對稱軸上存在點P使得尸/+PC的長度最短，點P的坐標為SI

答案第5頁，共34頁

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，拋物線上點的坐標的特征，待定系數(shù)法求

函數(shù)的解析式，利用點的坐標表示出相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵.

6.(1)y=-(x-2)2+9；(2)=15；(3)M(2,6)

【分析】(1)根據(jù)頂點坐標可設(shè)拋物線的頂點式，再將點。的坐標代入即可得；

(2)求出4,B,C點坐標，利用三角形的面積公式即可求解；

(3)先求出點。關(guān)于對稱軸對稱的點。的坐標，從而可得再根據(jù)

兩點之間線段最短可得當點3,D',〃在一條直線上時，最短，然后利用待定系

數(shù)法求出直線8。的函數(shù)解析式，最后將點M的橫坐標代入即可得.

【詳解】⑴???拋物線的頂點坐標為(2,9),

設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-2)2+9,

??,拋物線經(jīng)過點。(3,8),

???(3-2)22+9=8,解得a=T,

???拋物線的函數(shù)解析式為了=-(x-2)2+%

(2)令y=-(x-2)2+9=0,解得x/=5,x2=-l>

■■.A(-1,0),B(5,0),

令x=0,貝仃=一(0-2)2+9=5

：.c(0,5)

.,.S/3C=；/8,〃=；x6x5=15；

(3)存在，求解過程如下：

???二次函數(shù)y=-(x-2)2+9的對稱軸為直線x=2,

：.A(-1,0),B(5,0),

???點。(3,8)關(guān)于對稱軸x=2對稱的點的坐標為。(1,8),

由對稱性得：DM=D'M,

則BM+DM=BM+DM,

如圖，由兩點之間線段最短可知，當點2,D',M在一條直線上時，最短，

答案第6頁，共34頁

設(shè)直線的函數(shù)解析式為〉="+4

把(5,0),(1,8)代入歹=h+6,

0=5左+6k=—2

得:,解得

8=k+b6=10

?■y=-2x+l0,

取無=2,則-2x2+10=6,

：.M(2,6).

【點睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的對稱性、兩點之間線

段最短等知識點，熟練掌握待定系數(shù)法和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

48

7.(1)二次函數(shù)的關(guān)系式為_y=-§/+]X+4

⑵明]

【分析】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、“將軍飲馬”模型.

4X

(1)用待定系數(shù)法即得二次函數(shù)的關(guān)系式為丁=-§/+：工+4；

4R4o16

(2)由y=-gx2+：x+4=-g(x-l)2+手，得拋物線的對稱軸是直線x=l,與y軸交點

。(0,4),根據(jù)點2關(guān)于直線x=l的對稱點是可知NC與對稱軸的交點即為點使

BM+CM的長度最短，用待定系數(shù)法得直線NC的解析式為＞=-$+4,即得

【詳解】(1)解：???二次函數(shù)尸江+為+4的圖象過點/(3,0)潭(-1,0),

+36+4=0

[a-b+4=0

答案第7頁，共34頁

4

a=—

3

解得

78

b=一

3

48

二次函數(shù)的關(guān)系式為>=-釬2+丁+4；

八216

工一)+T,

333、

???拋物線的對稱軸是直線x=l,與y軸交點。(0,4),

,?,點B關(guān)于直線x=l的對稱點是/,

???/C與對稱軸的交點即為點M,使+的長度最短，如圖:

設(shè)直線4C的解析式為〉=丘+6,將4(3,0),。(0,4)代入得：

(3k+b=0k=--

I，解味J

l[b=4

4

???直線AC的解析式為y=+4,

48

當x=l時，y=—x1+4=—,

33

?"申.

8.(1)y=—x2—2x+3,y=—x+1

(2)在對稱軸上存在一點初(-1,2),周長的最小值為3夜+而

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)和一次函數(shù)關(guān)系式即可；

(2)首先確定點N的坐標為(0,3),再結(jié)合題意可知點C,N關(guān)于拋物線的對稱軸對稱；

令直線NC與拋物線的對稱軸的交點為點由“最短路徑”的性質(zhì)即可求出M的坐標，并

確定。2W周長取最小值.

2

【詳解】(1)解：將次L0)、C(-2,3)^Xy=-x+bx+c,

答案第8頁，共34頁

-l+b+c=0b=-2

可得,解得

一4-26+。=3c=3

?,?拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=-x2-2x+3；

設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=mx+n(m豐0),

將41,0)、。(一2,3)代入了=加工+〃，

m+n=0m=-l

可得,解得

-2m+n=n=1

??.直線/c的函數(shù)關(guān)系式為＞=-x+l；

(2)解：當x=0時，y=-x2-2x+3=3,

.??點N的坐標為(0,3),

y=-x2-2尤+3=-(x+1)2+4,

?,?拋物線的對稱軸為直線x=-l,

???點C的坐標為(-2,3),

.??點C,N關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，

令直線/C與拋物線的對稱軸的交點為點/，如圖所示,

???點C,N關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,

：.MN=CM,

：.AM+MN=AM+MC=AC,

此時AMW周長取最小值，

當x=-l時，y=—x+1=2,

???此時點M的坐標為(-1,2),

:/(1,0),C(-2,3),N(0,3),

答案第9頁，共34頁

???/C=打+32=3也，AN=Vl2+32=Vw>

■-C^ANM=AM+MN+AN=AC+AN=342+41Q,

???在對稱軸上存在一點M(-l,2),使“MM的周長最小，A^W周長的最小值為38+所.

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函

數(shù)圖象上點的坐標特征、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的周長,

有一定的綜合性，難度適中.

9.(1)jv=-%?—2x+3

⑵頂點坐標為(T4)，點D的坐標為(-2,3)

(3)存在,”1,2)

【分析】此題主要考查了二次函數(shù)幾何綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)由拋物線與x軸的交點坐標/(TO)和8(1,0),設(shè)拋物線的解析式為

y=a(x+3)(x-l),將點C(0,3)代入求得°的值，即可得到答案；

(2)由y=---2x+3=-(x+iy+4,得到頂點坐標，由拋物線的對稱軸為直線x=-l,

得到點D的坐標；

(3)要使ABCM的周長最小，只需+最小即可，點/和8關(guān)于直線尤=-1對稱，連

接/C交直線x=-l于點求出直線NC的解析式，求得交點M的坐標即可.

【詳解】(1)解：由拋物線與x軸的交點坐標/(-3,0)和3(1,0),設(shè)拋物線的解析式為

y=a(x+3)(x-l),

將點C(0,3)代入，得：-3a=3,

解得：。=-1,

則拋物線的解析式為>=-(x+3)(x-1)=r2-2x+3；

(2)解：???y=-x2-2x+3=-(x+l)2+4,

二頂點坐標為(T,4),拋物線的對稱軸為直線x=-l,

.?.點C(0,3)關(guān)于對稱軸的對稱點D的坐標為(-2,3)；

(3)解：存在，要使的周長最小，只需"B+MC最小即可，

答案第10頁，共34頁

???點N和8關(guān)于直線x=-l對稱，連接AC交直線x=-1于點M,

貝+A/C=/C,

.??點〃滿足題意，

圖1

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+m,把點/（-3,0）和C（0,3）代入得,

-3k+加=0

則

m=3

.,?直線ZC的解析式為>=尤+3,

設(shè)點M的坐標是川（一1,幾），則〃=—1+3=2,

即點M（—l,2）為所求.

1Q

10.⑴拋物線的解析式為了=-萬/+]X+2

（2）點。

【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，線段周長問題,

解題的關(guān)鍵是求出二次函數(shù)解析式.

（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；

（2）點/關(guān)于對稱軸的對稱點為點3,連接8c交對稱軸于點。，連接4D,此時NO+CO

135/35、

最小，得出直線2c的解析式為了=-gx+2,當x時，y=得出用5,4即可求

解.

答案第11頁，共34頁

【詳解】(1)解：把點/(TO)B(4,0)分另U代入尸4+法+2,得：

JQ-6+2=0

[16〃+4b+2=0'

a=

~2

解得V

3

b=

2

i?

???拋物線的解析式為y=--x2+-x+2；

(2);/(TO)8(4,0),

-1+43

???對稱軸為直線x=

22

點/關(guān)于對稱軸的對稱點為點B,連接2C交對稱軸于點D,連接40,如圖1,此時/O+CD

圖1

當x=0時，＞=2,

???點”0,2).

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+2,代入B(4,0)得4左+2=0,

k=——,

2

???直線BC的解析式為y=-;x+2,

35

當工=彳時，＞=

24

???點。

11.(1)12

(2)當X的值為85l時，所圍苗圃園的面積最大，最大面積是72.25n?

【分析】本題考查列代數(shù)式，一元二次方程的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值問題，

(1)用含、的式子表示C4,根據(jù)“苗圃園的面積為60m2”列出關(guān)于N的方程，求解即可;

答案第12頁，共34頁

（2）設(shè)苗圃園的面積為Sm2,根據(jù)面積公式可得到二次函數(shù)，通過二次函數(shù)的性質(zhì)即可求

出最值；

本題的關(guān)鍵是利用含x的式子表示線段長度，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解題.

【詳解】（1）解：???籬笆的總長為26m,平行于墻一邊長為xm,

???垂直于墻一邊C4長為26+,2x=（]7_x）m,

根據(jù)題意得：（17-X）X=60,

解得：西=5（不符合題意，舍去），X2=12,

.?.x的值為12；

（2）設(shè)苗圃園的面積為Sn?,

依題意，得：S=（17-x）x,

.?.S=-（X-8.5）2+72.25,

.,.當x=8.5時，Sj1bt=72.25,

答：當x的值為85l時，所圍苗圃園的面積最大，最大面積是72.25m2.

12.（l）y=-x-l,y=-x2+3x+4

⑵尸（2,6）；

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，三角形的面積，解答本

題的關(guān)鍵是分類討論思想的運用.

（1）分別將"（TO），。（5,-6）代入拋物線解析式與直線/的解析式,即可得解;

（2）過點尸作軸，交直線/于點。，設(shè)點尸”,-/+3/+4）,則點得到

22

PQ=-t+4t+5,S&fAD=-3（t-2）+27,結(jié)合一1</<5,當f=2時，取最大值，求

得尸（2,6）；

【詳解】（1）解：將。（5,-6）代入直線/:了=履+〃得：

[-k+〃=0

15左+幾=一6'

答案第13頁，共34頁

k=-\

解得:

n=-1?

故直線/的解析式為：y=-x-i；

將4（-1,0）,。（5,-6）代入拋物線解析式得:

-l-b+c=0

—25+56+c=—6'

b=3

解得:

c=4

二拋物線的表達式為：y=-x2+3x+4；

（2）解：如圖，過點尸作尸。,》軸，交直線/于點。,

由題意設(shè)點/（力-產(chǎn)+3/+4）,則點0&V-1）,

PQ=-t2+3t+4-(-t-l)=-t2+4t+5,

22

?v=1x[5-(-l)].(-Z+4f+5)=-3?-2)+27,

一^LPAD

,**—1<￡V5,

.?.當"2時，S"〃取最大值27,

此時尸（2,6）.

13.（1）拋物線的解析式為y=-g/+4x-6

⑵直線在的解析式為k-3x+18

【分析】（1）根據(jù)拋物線對稱性得到土產(chǎn)=4,再由/8=4得到占-馬=4,聯(lián)立方程組

求解得到/（6,0）,3（2,0）,利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式即可得到答案;

答案第14頁，共34頁

（2）由（1）中所求解析式，得到4（6,0）,C（0,-6）,求出直線/C：y=x-6,根據(jù)在x軸

上有一動點E?，0）,過點E作直線軸，與拋物線的交點為尸，分二種情況：①當E在。4

之間時；②當￡在/點右側(cè)時；利用平面直角坐標系中三角形面積的表示方法，最后結(jié)合

拋物線圖象與性質(zhì)求解即可得到答案；此時，利用待定系數(shù)法即可求出直線/P的解析式.

【詳解】⑴解：?.?拋物線了=辦2-8辦+10。-1（。＜0）,

對稱軸為才=—縱=4,

2a

???拋物線昨辦2_8"+10”1（"0）與x軸的交點分別為4（西,0）,8（尤2,0）,其中

（0＜尤2＜玉），且48=4,

xl-x2-4

X{-X2=4,再72=4,貝

玉+%=8'

再=6

解得

x,=2

*4（6,0）,鞏2,0）,

將3（2,0）代入得4”16a+10a-l=0,

解得。=」，

???拋物線的解析式為y=-^x2+4x-6；

（2）由了=-；/+4%-6得：C（0,-6）,

???設(shè)直線"C：y=kx+b,將/（6,0）,C（0,-6）代入得：

[0=6k+b

[-6=b'

\k=\

解得人小

[6=-6

二直線NC：y=x-6,

???在x軸上有一動點￡（。0）,過點￡作直線軸，與拋物線、直線/C的交點分別為尸、

F,根據(jù)0＜T8,4（6,0）,分二種情況討論：

答案第15頁，共34頁

當E在。/之間時，如圖1：

圖1

.，.p［，,一+4,一6),/—6),

S4APC=5PF,(貓—％)

=-|--^2+4r-6-/+61x6

2(2)

=3卜產(chǎn)+可

=-|(r-6f)

—<0,0<，V6,

2

拋物線開口向下，當，=3時，邑4也有最大值，最大值為會27;

當E在4點右側(cè)時，過尸作夕尸〃x軸，如圖2：

答案第16頁，共34頁

‘尸上'一；‘2+4’一6），尸（一；/+小一6

:SAPC=1'尸產(chǎn).（"7C）

=3/-附

=|(^-3)2-1

3

V->0,對稱軸為，=3,6<￡W8,

???拋物線開口向上，貝!］當6</8時，S“pc隨著，的增大而增大，即當"8時，S“尸°有最大

值，最大值為24；

?27

???24<—,

2

???當％=8時，△/PC面積有最大值，為24；

止匕時，yP=一;x64+4x8-6=-6,

此時，P（8,-6）,

設(shè)直線4尸的解析式為：y=mx+n,把點/,點尸的坐標代入得:

|0=6m+n

-6=8m+H'

?,?直線AP的解析式為y=-3x+18.

【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合，涉及待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式、二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、

拋物線與三角形面積問題，解一元二次方程等知識，熟記二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，掌握二次函

數(shù)綜合題型的解法，分類討論是解決問題的關(guān)鍵.

14.C

【分析】根據(jù)AP=PF得到點P在AF的垂直平分線上，過P作PGLAF,G為垂足，貝U

AG=GF,DG=PG,設(shè)DF=x,得至l」AG=手，GD=PG=/，利用三角形面積公式計算得

答案第17頁，共34頁

到SAAPF=-1^+4,根據(jù)函數(shù)性質(zhì)即可得到答案.

【詳解】?.-AP=PF,

.,.點P在AF的垂直平分線上，

過P作PG1AF,G為垂足，貝ijAG=GF,DG=PG,

4+Y

設(shè)DF=x,貝UAG=-

2

4-x

??,GD=PG=------，

2

SAAPF=-x(4+x)x---=-+4S4,

所以4APF面積最大值為4；

故選：C.

【點睛】此題考查正方形的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定及性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，正

確引出輔助線并設(shè)定未知數(shù)解決問題是解題的關(guān)鍵.

15.4

【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，先由二次函數(shù)的解析式求出點/，點8的坐標，然

后求出直線N8的解析式，設(shè)出M的坐標，根據(jù)平行的性質(zhì)表示出點N的坐標，然后M、N

的橫坐標相減，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系式，求出最大值即可.

【詳解】?.■y=-x2+3x+4

.,.當y=0時，-/+3工+4=0,解得：x=4或-1,

???點3的坐標為（4,0）,點/的坐標為（0,4）,

設(shè)直線的解析式為：^=丘+4,把（4,0）代入，得：k=-\,

二直線48的解析式為：y=-x+4,

設(shè)點M的坐標為（a,-/+3。+4）,

答案第18頁，共34頁

-MN//x^,

:，歹N=加，

***—x+4=—/+3。+4,

2

???xN=a-3a,

二點N的坐標為(/-3a,-/+3。+4),

?.?點M在第一象限,

=a-[a2~^=-a2+4a,

4、

當。=一公司=2時，"N有最大值為4.

故答案為：4.

16.2亞-1##-1+2拒

【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，點與圓的位置關(guān)系，三角形中位線定理以及拋物

線與x軸的交點，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，點與圓的位置關(guān)系，確定尸點的運動軌

跡是解題的關(guān)鍵.由題意可知E點在以C為圓心，2為半徑的半圓上，則尸點在以G(l,-2)為

圓心，1為半徑的半圓上，4尸的最小值為/G-1,求出/G即可求解.

【詳解】解：如圖，作直線CD,則CD為拋物線的對稱軸，取CD的中點G,連接CE,

令…，貝2x-3=。，

解得x=3或x=-l,

.?./(TO),8(3,0),

???c為N2的中點，48=4,

.-.C(1,O),CA=CB=2,

答案第19頁，共34頁

,?*y-x2_2x_3=(x-1)--4,

.,?頂點。(1,-4),

.?,G(l,-2),CG=2,

由中位線的性質(zhì)可得：GF=\CE^\,

2

???尸點在以G(l,-2)為圓心，1為半徑的半圓上運動，

連接/G交OG于F,

■■AG=2y/2,

如圖，當/、G、尸三點共線時，即尸與尸重合，/尸最小，

■■AF的最小值為2血-1,

故答案為：20-1.

17.(1)%2=-2

⑵加〉1或加〈一1

(3)272

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的最

值，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.

(1)把＞=0代入y=f-mX-2得—加工一2=0,可得再工2二一2,即可求解；

(2)把x=l代入y=f_加工_2得y=_加一］,寸巴工=_］代入)=%2_加X_2得,=機一1,分

類討論，利用數(shù)形結(jié)合思想即可解決；

(3)先表示出45=|再_引=_工2)2=J('l+工2)2=J-2+8,再由一元二次方程

根于系數(shù)的關(guān)系即可求解.

【詳解】(1)解：才巴＞=。代入＞=一一加工一2得一加工一2=0,

???圖像與X軸的公共點為4(再,0),5仇,0),

?'(工］%2=2.

x1=1,

/?X］=2?

答案第20頁，共34頁

(2)解：把x=l代入>=%2一加工一2得歹=一加一1,

才巴x=_]代入y=x2-mx-2^y=m-X,

當加〉0時，則加一1〉0,

m>1.

當加<0時，則一機-1>0,

???m<-\.

綜上所述，機的范圍是：加>1或加<-1；

(3)解：才巴V=。代入y=%2一加、一2得J一加x-2=0,

???xxx2=-2,x{+x2=m

AB=\xx-X2\=J(X]-%2)2=J(M+々)2—4國入2=J加2+8

m2+8>8,

?*-AB>2V2,

故答案為：2后.

18.⑴4(-2,0),5(4,0),C(l,4)

(2)①6；②3<%<7且"4；③4

【分析】本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的對稱性，二次函數(shù)的最值問題

等相關(guān)知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題基礎(chǔ).

(1)根據(jù)頂點式可直接得出點。的坐標；令歹=0,解方程，可得出點A,3的坐標；

7

(2)①根據(jù)函數(shù)的對稱性，可得出對稱軸為直線x=],再根據(jù)點C,M的坐標可得出

C,M關(guān)于對稱軸對稱，由此可得出I的值；

②由對稱軸的性質(zhì)可知，二次函數(shù)圖象的對稱軸與x軸的交點坐標為(―，0),再由對稱

〃-3>0

性可知，。(-3,0),由點。在線段02上，且與端點不重合，可得1.即3<7,

[/一3<4

而當f=4時，過點8,C,M三點的二次函數(shù)不存在，由此可得3</<7且fw4；

③OD-OB=?-3>(7-)=-r+10f-21=-(—5)。+4,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論.

4

【詳解】(1)解：???二次函數(shù)y=-g(x-l)2+4的圖象的頂點為C,

.?.C(l,4).

答案第21頁，共34頁

4

令y=-§(x-l>+4=0,解得x=-2或x=4,

A-2,0),8(4,0)；

(2)解:①由題知，該函數(shù)過點3(4,0),C(l,4),0(3,0),

二函數(shù)的解析式為：y=?(x-4)(x-3),

7

二函數(shù)的對稱軸為直線龍=5，

???點C,M關(guān)于對稱軸對稱，

,l+t_7

.,.t—6,

故答案為：6；

②設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=ax2+bx+c,

將4)C(1,4)兩點代入，得一)，

[a+b+c=4

—1)+b(t—1)=0f

W1,

?b-Z+1

一一五一〒，

???二次函數(shù)圖象的對稱軸與X軸的交點坐標為(號，0),

■■B,。兩點關(guān)于對稱軸對稱，點以4,0),

：.D(t-3,0),

???點。在線段03上，且與端點不重合，

/-3>0

即3<f<7,