反比例函數圖像上點的坐標特征與系數k的幾何意義（解析版）-中考數學二輪復習難點題型專項突破

專題07反比例函數圖像上點的坐標特征與系數k的幾何意義

類型1點的坐標特征

1.（2021?懷化中考）如圖，菱形/BCD的四個頂點均在坐標軸上，對角線/C、8。交于原點。，4ELBC于E點、,

交BD于M氤,反比例函數>=返（x>0）的圖象經過線段DC的中點N,若BD=4,則ME的長為（

A.ME=叁B.ME=^.C.ME=1D.ME=Z

333

解：過N作了軸和x軸的垂線NG,NH,

設N（b,a）,

:反比例函數了=坐（x>0）的圖象經過點N,

3

:四邊形N2CO是菱形，

：.BD±AC,DO=%D=2,

2

軸，NG_Ly軸，

四邊形NGOH是矩形，

；.NG〃x軸，A7/〃y軸，

為CD的中點，

:.DO。CO=2a?2b=4ab=M

_3

:.CO=2M,

3_

tanNCZ)O=毀=叵

DO3

：.ZCDO=30°,

AZDCO=60°,

??,四邊形45CZ）是菱形,

AAADC=ZABC=2ZCDO=60°,ZACB=ZDCO=60°,

???△ZBC是等邊三角形，

'：AE±BC,BOL4C,

：?AE=BO=2,ZBAE=30°=ZABO,

：?OM=EM,

■:/MBE=30°,

:,BM=2EM=2OM,

：.3EM=OB=2,

..ME——,

3

2.（2020?廣西中考）如圖，點N,8是直線y=x上的兩點，過43兩點分別作x軸的平行線交雙曲線>=工（x>

X

0）于點C,D.若則30/）2-OC2的值為（）

A.5B.3圾C.4D.2M

解：延長◎交y軸于￡,延長8。交y軸于足

設/、8的橫坐標分別是a,b,

?.?點/、3為直線y=x上的兩點，

的坐標是（a,a）,8的坐標是（6,b）.則NE=OE=a,BF=OF=b.

vc>。兩點在交雙曲線>=上（%>0）上,則CE=L,DF=L.

ab

:.BD=BF-DF=b-工,AC=^--a.

ba

又?:AC={^D,

-a=yf2（b-—）,

ab

兩邊平方得：層+_L_2=3（y+!-2）,即。2+工=3（y+_l_）-4,

2,22,2

abab

在直角△OD廠中，?！辏?=。尸2+。尸2=方2+工，同理0c2=層+_1_,

,22

ba

：.3OD2-OC2=3（y+工）-（*+工）=4.

,22

ba

答案：C.

3.（2021?黑龍江中考）如圖，在平面直角坐標系中，矩形4BCD的頂點/在雙曲線》=-旦（x<0）上，點C,。

在了軸的正半軸上，點E在2c上，CE=2BE,連接DE并延長，交x軸于點R連接CH則的面積為

D.1

22

解：根據題意，設/（〃，-3）,D（0,-3）,

nn

設OC=W7,則C（0,m）,CD=_m,

n

；?B（〃，m）,BC--n,

":CE=2BE,

：.CE=2LBC=-Zn,

33

E(Zn,m),

3

由題知BC//FO,

：.Z.DEC=ZDFO,ZDCE=/DOF,

：.△DECs^DFO,

?DC=EC

DOFO

3

--m2

即」下n

~W

n

9

：.FO=—^—,

--o-m

n

-加)

：.SAFCD=—^CD=1-—X(-3=1,

22---m.n

n

答案：C.

4.(2021?十堰中考)如圖，反比例函數y=K(x>0)的圖象經過點/(2,1),過/作軸于點2,連。/,

x

直線CD，。/,交x軸于點C,交了軸于點。，若點8關于直線CL?的對稱點2,恰好落在該反比例函數圖象上,

則D點縱坐標為()

D

C3.罕

解：設BB'交直線CD于點E,過點E作EGL8。于G,過女作P尸，8。于點凡如圖,

；B馬B'關于直線CQ對稱,

.,.CD垂直平分AB'.

即E為35'的中點，EB=EB，.

:EGLBD,B'F1.BD,

：.EG//B'F.

：.EG=1-B'F.

2

:直線。/經過點/(2,1),

直線OA的解析式為：y=lx.

2

\'CD±OA,BB'LCD,

：.BB'//OA.

設直線23'的解析式為y=

2

,:B(0,1),

直線32'的解析式為y=工什1.

-2

:反比例函數y=K(尤＞0)的圖象經過點/(2,1),

X

反比例函數v=2.

_1,

y=yx+l

&=-1+而

X2=-1-V5

解得：西+1，V5-l

71=2了2=-----

?,㈤(后1，丹外

：.B'F=m-l.

:.EG=^_\.

2

:AB工BD,

：.ZOAB=ZODC.

二tan/=tan/ODC=型=A.

AB2

在RtZYDGE中，

:tan/ODC=或=X

DG2

：.DG=4%-1.

同理：BG=G1.

4_

OD=OB+BG+DG^，遮"

_4

：.D點縱坐標為殳匠1

4

答案:A.

k

5.（2021?揚州中考）如圖，點P是函數*i>0,x>0）的圖象上一點，過點尸分別作x軸和y軸的垂線，

X

ko

垂足分別為點/、B,交函數y=_A（左2>0,x>0）的圖象于點C、D,連接。C、OD、CD、AB,其中心>

X

k2.下列結論：①CD〃AB；②&"°=勺_。；③&小尸=-1卜2）,其中正確的是（）

22kl

解：?.?尸軸，尸4J_x軸，點尸在y上L上，點、C,。在y=上?上,

XX

k1

設p（加，_L）,

m

則C（加，絲），A（m,0）,B（0,紅），令芻-二絲，

mmmx

km3kmki

貝lx」9一，即。（二9一，-A）,

匕k]m

.”_kik2ki-k2Dn_k2mm（k「k2）

??J—---------，iLJJQ----------------，

mmmk]k[

m(kj-k2)kl-k2

.PD_kl_kl-k2m二匕士,即理屈,

■-------------------，PC=

PBmPAkl匕PBPA

m

又/DPC=/BPA,

APDCs^PBA,

：.ZPDC=ZPBA,

:.CD〃AB,故①正確；

(k~k)2

△尸DC的面積=?^XPDXPC=————，故③正確;

22ki

S叢OCD=S四邊形O4P8-S^OCA-S^OBD~Sgpc

113士產

ki-7k2-yk2-

v2_,2

,故②錯誤;

答案：B.

6.（2021?徐州中考）如圖，點4。分別在函數＞=二8、y=旦的圖象上，點8、C在x軸上.若四邊形/BCD為

XX

正方形，點。在第一象限，則點。的坐標是(2,3)

解：設4的縱坐標為力則。的縱坐標為小

?.?點/、。分別在函數y=0、y=@的圖象上,

XX

.,.A（-—,〃），D（2，?）,

nn

???四邊形為正方形,

.?.2+3="

nn

解得〃=3(負數舍去),

：.D(2,3),

答案：（2,3）.

7.（2021?深圳中考）如圖，已知反比例函數的圖象過/,B兩點,/點坐標（2,3）,直線經過原點，將線段

48繞點2順時針旋轉90°得到線段2C,則C點坐標為（4,-7）.

解：點坐標(2,3),直線48經過原點，

：.B(-2,-3)

過點方作x軸的平行線/過點/，點C作/的垂線，分別交于。，E兩點，則。(2,-3),

?:NABD+/CBE=90°,ZABD+ZBAD^90°,

:.NCBE=NBAD,

在與△BCE中，

fZCBE=ZBAD

<ZBEC=ZADB=90°>

LBC=BA

:.AABD%4BCE(AAS),

：.BE=AD=6,CE=BD=4,

：.C(4,-7),

答案：(4,-7).

8.（2021?黔東南州中考）如圖，若反比例函數y=返的圖象經過等邊三角形尸。。的頂點尸，則△尸。。的邊長為

2

解：如圖，過點尸作x軸的垂線于

為等邊三角形，

：.OP=OQ,OM=QM=XJOQ,

2

?反比例函數的圖象經過點P,

...設P（a,返）（40）,

a

則OM=a,OQ=OP=2a,尸河=1,

a

在RtZXO尸W中，

PM=Vop2-OM2=V（2a）2-a2=小，

a

?,*?=1（負值舍去），

**?。0=2a—2,

9.（2021?衢州中考）將一副三角板如圖放置在平面直角坐標系中，頂點/與原點O重合，45在x軸正半軸上，

且點￡在4。上，DE=LD,將這副三角板整體向右平移個單位，C,￡兩點同時落

4

在反比例函數＞=K的圖象上.

解：；AB=W&

：.BD=4^B=\2,

：.C（4后6,6）,

;DE=LD,

4

的坐標為（3V3-9）,

設平移f個單位后，則平移后C點的坐標為（4服6+36）,平移后E點的坐標為（3杼39）,

..?平移后C,￡兩點同時落在反比例函數y=K的圖象上，

X

；?（4后6+力X6=（3心/）X9,

解得Z=12-

答案：12-

10.（2021?荊門中考）如圖，在平面直角坐標系中，Rt4048斜邊上的高為1,//。2=30°,將RtZSO/2繞原點

順時針旋轉90°得到Rt^OCD,點/的對應點C恰好在函數y=KGW0）的圖象上，若在y=K的圖象上另有

xx

一點M使得N〃OC=30°,則點M的坐標為_（逐，1）.

解：^AELOB^-E,A/F_Lx軸于則/￡=1,

VZAOB=30°,

:.OE=4^E=M，

將RtAOAB繞原點順時針旋轉90°得到Rt/XOCD,點A的對應點C為（1,遮）,

:點C在函數y=K（20）的圖象上，

X

x?=?,

?v=E

??y-----,

X

'：ZCOD^ZAOB=30°,ZMOC=30°,

AZDOM=60°,

:?/MOF=30°,

設MF=n,貝!］。/=小，

:?Mn）,

???點M在函數歹=返的圖象上，

x

.V3

??n——一—,

V3n

；."=1（負數舍去）,

：.M（?，1），

答案：（?，1）.

類型2系數k的幾何意義

11.（2021?營口中考）如圖，在平面直角坐標系中，菱形/BCD的邊3c與x軸平行，A,2兩點縱坐標分別為4,

2,反比例函數y=區(qū)經過/,B兩點,若菱形/BCD面積為8,貝株值為（）

A.-8"\/3B.-25/3C.-8D.-673

解：過點4作于點E,

；/、5兩點的縱坐標分別是4、2,

：.AE=4-2=2,

:菱形/8C。的面積為8,

.'.BC'AE=8,

：.BC^4,

.".AB=BC=4,

B￡=22=

VAB-AE742-22=2仃

設/點坐標為（a,4）,則8點的坐標為2）,

..?反比例函數y=嶼過/、3兩點,

X

4/二k

a

O—k_

2-a-2V3

%=-8日

解得.

a=-2“

答案：A.

12.（2021?重慶中考）如圖，在平面直角坐標系中，矩形/BCD的頂點/,3在x軸的正半軸上，反比例函數了=區(qū)

X

（左>0,x>0）的圖象經過頂點。，分別與對角線ZC,邊BC交于點E,F,連接斯，AF.若點E為/C的中

點，△/￡尸的面積為1,則人的值為（）

A.坐B.3C.2D.3

52

解：設/(a,0),

:矩形/8C￡>,

:.D(a,—),

a

;矩形/BCD,E為/C的中點，

則￡也為8。的中點，

7點2在x軸上，

：.E的縱坐標為」L,

2a

???E(2a,[-),

YE為4。的中點，

???點C(3。，—),

a

???點/(34,*-),

3a

???AAEF的面積為1,AE=EC,

；?SA^CF=2,

解得：k=3.

答案：D.

13.（2021?淄博中考）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形405。的邊。5與x軸的正半軸重合，AD//OB,DBL

X軸，對角線OD交于點、M.已知4D：05=2：3,的面積為4.若反比例函數y=K的圖象恰好經

555

解：過點M作Mf_L03于"

AADMsABOM,

.SAADM（AD）2=魚

,△BOM°B9

?^△如）河=4,

:?SABOM=9,

,:DBLOB,MHLOB,

：.MH//DB,

?OH=OM=OB=3

??而而而T

：.OH=1JOB,

5

?c——3yc—27

??、4MOH——人-，

55

??

?-k--='279

25

.?.T,

5

答案：B.

14.（2021?重慶中考）如圖，在平面直角坐標系中，菱形/8CZ）的頂點。在第二象限，其余頂點都在第一象限，

N2〃x軸，AOLAD,AO=AD.過點/作NE_LCD,垂足為E,DEFACE.反比例函數y=K（x>0）的圖象經

X

過點E,與邊AB交于點尸，連接OE,OF,EF.若S^EOF=里，則人的值為（）

A.工B.21C.7D.-21

342

解：延長E4交x軸于點G,過點尸作軸于點X,如圖，

'：AB//x^,AELCD,AB//CD,

；./G口軸.

'：AO±AD,

：.ZDAE+ZOAG^90°.

'JAELCD,

：.ZDAE+ZD=90°.

：.ZD=ZOAG.

在△￡)/￡1和△NOG中，

，ZDEA=ZAGO=90°

<ZD=Z0AG

,AD=OA

.?.△ZMEgZX/OG(AAS).

：.DE=AG,AE=OG.

:四邊形/BCD是菱形，DE=4CE,

:.AD=CD=±DE.

4

設DE=4a,則AD=OA=5a.

???OG=AE=^AD2-DE2=3a-

：.EG=AE+AG=7a.

:?E(3a,7tz).

..?反比例函數y=K(x>0)的圖象經過點E,

X

：.k=21a1.

?；AGLGH,FHLGH,AFLAG,

???四邊形/G/行為矩形.

:.HF=AG=4a.

???點/在反比例函數(x>0)的圖象上,

x

.21a221

.?X一?―。?

4a4

?"與a,4a).

4

：.OH=2La,FH=4a.

4

：.GH=OH-OG=^-a.

4a

":S叢OEF=SAOEES梯形EGHF~S^OFH，&七。b=A^，

8

JXOGXEG4(EG+FH)?GH$HXHF=耳-

ZNZo

x-2=

4-21a2Ax(7a+4a)XyayrX21a^-

乙乙4No

解得：a2=—.

9

???左=21片=21XJL=工.

93

答案：A.

15.（2021?深圳中考）如圖，在平面直角坐標系中，矩形45CD的對角線NC的中點與坐標原點重合，點E是％軸

上一點，連接4及若4D平分/O4E,反比例函數y=K（左>0,x>0）的圖象經過上的兩點/,F,且4月=

x

EF,的面積為18,則左的值為（）

A.6B.12C.18D.24

解：如圖，連接5。，OF,過點/作/N_LOE于N,過點/作FM_LOE于

'AN//FM,AF=FE,

.MN=ME,

.FM=1AN,

2

'A,F在反比例函數的圖象上,

?S“ON=SAFOM=—?

2

.LON?AN=1.-OM-FM,

22

.ON=LOM,

2

.ON=MN=EM,

.ME^IJOE,

3

?sAFME=AFOE，

，AD平分/O4E,

.ZOAD=ZEAD,

?四邊形/BCD是矩形，

.OA=OD,

.ZOAD=ZODA=ZDAE,

.AE//BD,

?S/\ABE=SMOE，

?SA4OE=18,

9AF=EF,

?S^EOF=-^A^OE=9，

2

?S/^FME=-^^AEOF=3，

?S/\FOM=S^FOE-S4FME=9-3=6=—,

2

；?=12.

答案：B.

16.(2021?錦州中考)如圖，在平面直角坐標系中，口。/2C的頂點3在第一象限內，頂點C在〉軸上，經過

點/的反比例函數y=K(x>0)的圖象交8C于點D.若CD=2BD,口。48。的面積為15,則左的值為

解：過點。作DVLy軸于N,過點8作的軸于M,

a

:.ND=ZM=電,

3a

：.A,。點坐標分別為(!§,,36),([g,a+26),

aa

.,.11-36=12.(a+26),

aa

'.b=2-a,

5

.??=21?36=-H-3X27=18,

aa5

答案：18.

17.（2021?綏化中考）如圖，在平面直角坐標系中，。為坐標原點，垂直于x軸，以為對稱軸作△ODE的

軸對稱圖形，對稱軸兒W與線段DE相交于點R點。的對應點8恰好落在〉=上"WO,x<0）的雙曲線上，

x

點。、E的對應點分別是點C、A.若點/為OE的中點，且SME尸=1，則k的值為-24.

解：如圖，交x軸于點G,連接。3,

由于RtADOE與R3CA關于兒W成軸對稱，且OA=AE,

由對稱性可知，AG=GE,0A=4E=EC,

：.AG=X4C,

4

*'S”EF=1，

SuFG~/，

U：MN//BC//OD,

：.△AFGSLABC,

S

■AAFG(AG)2=1

,△ABCAC16

?■?S&4BC=1*X16-8,

2

又?；CM=LC,

2

**?SAOBC=8+4—12,

丁點B在反比例函數y=K的圖象上，

X

??S4OBC=\2=,用，

V^<0,

：.k=-24,

答案：-24.

18.（2021?濰坊中考）如圖，在直角坐標系中，O為坐標原點，函數>=已與夕=2（a>6>0）在第一象限的圖象

XX

分別為曲線G，。2,點尸為曲線C1上的任意一點，過點尸作y軸的垂線交Q于點4,作X軸的垂線交Q于點

B,則陰影部分的面積限408=_久二上一_.（結果用Q，6表示）

—2—2a—

解：設5（加，—A（―,n）f則尸（冽，n）,