河南省周口市項(xiàng)城市2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期高考模擬一（開學(xué)診斷考試）數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

普通高等學(xué)校招生模擬考試一數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時間120分鐘注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若命題，，則的否定是（）A.， B.，C.， D.，2.已知集合，，若，則（）A.1 B. C.1或0 D.1或3.設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，若，，，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知，，且，則的最小值為（）A.1 B. C. D.25.若，，是空間的一組基底，則（）A. B. C. D.6.已知，，，則（）A. B. C. D.7.已知，，，是半徑為15的球的球面上四點(diǎn)，，，則三棱錐體積的最大值為（）A.384 B.1152 C. D.8.已知傾斜角為的直線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且與雙曲線分別交于，兩點(diǎn)（其中點(diǎn)位于第一象限），過作軸于點(diǎn)，若，則面積的取值范圍是（）A. B.C D.二、選擇題：本題共3小題，每小題，共1.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知為復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.C.若，則為純虛數(shù)D.若，則的最小值為110.下列說法正確的是（）A.函數(shù)的圖象既不關(guān)于某點(diǎn)對稱也不關(guān)于某直線對稱B.函數(shù)的圖象關(guān)于某直線對稱C.函數(shù)的圖象關(guān)于某點(diǎn)對稱D.函數(shù)圖象關(guān)于某點(diǎn)對稱11.在直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點(diǎn)為，，為上任意一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，則（）A.到的準(zhǔn)線的距離為2B.最小值為C.的方程為D.的面積可以為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，函數(shù)，若，則________．13.如圖，在矩形中，，點(diǎn)為邊上的任意一點(diǎn)（包含端點(diǎn)），為線段的中點(diǎn)，則的取值范圍是________．14.記曲線關(guān)于直線的對稱曲線為，則上任意一點(diǎn)與上任意一點(diǎn)之間距離的最小值為________．四、解答題：本題共5小題，共7.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角的對邊分別為，，，且．（1）求角的大??；（2）若，且這樣的有兩解，求的取值范圍．16已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時，求的圖象在處的切線方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求的取值范圍．17.如圖，在平行六面體中，為的重心，是棱上的一點(diǎn)，且．（1）求證：平面；（2）已知平面，且平行六面體各棱長均為6，，設(shè)平面與平面的夾角為，求的值．18.在平面直角坐標(biāo)系中，，，為一個動點(diǎn)，且直線，的斜率之積為，設(shè)動點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）已知，，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，設(shè)為的重心，過點(diǎn)作垂直于軸的直線，求被分成的左、右兩個部分圖形面積之比的取值范圍．19.設(shè)，將所有不大于的正整數(shù)隨機(jī)排列后構(gòu)成一個數(shù)列為，則稱是的一個“隨機(jī)數(shù)列”；若中的各項(xiàng)均滿足，則稱是的“完全隨機(jī)數(shù)列”，記的“完全隨機(jī)數(shù)列”的個數(shù)為．（1）分別計算，，，；（2）證明：；（3）若從中隨機(jī)選取一個數(shù)列，記此數(shù)列是的“完全隨機(jī)數(shù)列”的概率為，證明：．

普通高等學(xué)校招生模擬考試一數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時間120分鐘注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若命題，，則的否定是（）A， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】全稱命題的否定是特稱命題，要將全稱量詞“”改為存在量詞“”，并否定結(jié)論將“”改為“”．【詳解】由命題否定的法則得；的否定是：，．故選：．2.已知集合，，若，則（）A.1 B. C.1或0 D.1或【答案】D【解析】【分析】由得或求出值，并根據(jù)集合元素互異性檢驗(yàn)得解.【詳解】因?yàn)?，?dāng)，即時，，，符合題意；當(dāng)，即時，，，符合題意．綜上，或．故選：D．3.設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，若，，，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由面面垂直的性質(zhì)定理可判斷充分性，通過當(dāng)時，易得，可判斷必要性；【詳解】若，又，，，所以，又，所以，所以“”是“”的充分條件；當(dāng)時，易得，此時與平行或相交，所以“”不是“”的必要條件．綜上，“”是“”的充分不必要條件．故選：A．4.已知，，且，則的最小值為（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式列式求出最小值.【詳解】由，，得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則，即，解得，時等號成立，故取得最小值.故選：C5.若，，是空間的一組基底，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量的基底概念，只需三個向量不共面即可，因此可以利用反證法證明.【詳解】若，，共面，則，所以，即，解得，，，所以，若，，是空間的一組基底，則．故選：B．6.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用同角公式及逆用差角的正弦求得，再與已知結(jié)合求出即可得解.【詳解】依題意，，，兩式平方相加得，即，由，得，則，即，于是，，即，兩邊平方整理得，又，解得，所以.故選：C7.已知，，，是半徑為15的球的球面上四點(diǎn)，，，則三棱錐體積的最大值為（）A.384 B.1152 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用直角三角形的斜邊就是其外接圓的直徑，再利用過球心垂直于截面的直線必過截面圓的圓心，就可以構(gòu)成勾股定理求距離，從而可求得最大體積.【詳解】因?yàn)?，，所以為的外接圓的直徑，即半徑，由過球心垂直于截面的直線必過截面圓的圓心可知，球心到平面的距離，又直角面積，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，而點(diǎn)到平面的距離的最大值為，所以三棱錐體積的最大值為．故選:B．8.已知傾斜角為的直線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且與雙曲線分別交于，兩點(diǎn)（其中點(diǎn)位于第一象限），過作軸于點(diǎn)，若，則面積的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，Ax1,y1,x1>0，聯(lián)立消元，求出及點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)而得到面積與的函數(shù)關(guān)系,利用函數(shù)的單調(diào)性即可得面積的取值范圍.【詳解】由題意設(shè)，聯(lián)立消去得，，所以，又，所以，設(shè)Ax1,y1由，得，所以設(shè)到的距離為，所以，所以的面積．故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題，共1.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知為復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.C.若，則為純虛數(shù)D.若，則的最小值為1【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)，計算出，根據(jù)模長公式得到；B選項(xiàng)，設(shè)，，計算出；C選項(xiàng)，舉出反例；D選項(xiàng)，設(shè)，，得到，，根據(jù)，得到的最小值為1，故D正確.【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)椋?，故A正確；B選項(xiàng)，設(shè)，，則，又，，所以成立，故B正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時，有成立，但此時為實(shí)數(shù)，故C錯誤；D選項(xiàng)，設(shè)，，由于，則，即，故，由，得，則，故當(dāng)時，的最小值為1，故D正確．故選：ABD10.下列說法正確的是（）A.函數(shù)的圖象既不關(guān)于某點(diǎn)對稱也不關(guān)于某直線對稱B.函數(shù)圖象關(guān)于某直線對稱C.函數(shù)的圖象關(guān)于某點(diǎn)對稱D.函數(shù)的圖象關(guān)于某點(diǎn)對稱【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)對稱性的概念判斷．【詳解】對A，令，則，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故A不正確；對B，令，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；對C，因?yàn)?，所以的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移1個單位，再向上平移1個單位得到，而函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，因此函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故C正確；對D，因?yàn)?，所以函?shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移2個單位再向上平移3個單位得到，設(shè)，則，即是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，因此函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故D正確．故選：BCD．11.在直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點(diǎn)為，，為上任意一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，則（）A.到的準(zhǔn)線的距離為2B.的最小值為C.的方程為D.的面積可以為【答案】BC【解析】【分析】利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可判斷A，利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化焦半徑，即可求最小值來判斷B，利用點(diǎn)差法來研究斜率與中點(diǎn)關(guān)系，可判斷C，利用直線與拋物線聯(lián)立方程組，求弦長和距離，最后把面積表示為參變量的函數(shù)求最小值，可判斷D．【詳解】由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可知：的坐標(biāo)為，的準(zhǔn)線方程為，所以到的準(zhǔn)線的距離為1，所以A錯誤；由拋物線的定義，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時等號成立，所以B正確；設(shè)，，由題可知，，當(dāng)時，兩式作差可得，，所以，所以直線的方程為，整理得，；當(dāng)時，，此時直線的方程為，把代入得，，所以，即．綜上，直線的方程為，所以C正確；設(shè)直線，，，由，得Δ=2t2+4=4t所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，的面積取得最小值為，所以的面積不可以為，所以D錯誤．故選:BC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，函數(shù)，若，則________．【答案】1【解析】【分析】令有求參數(shù)m，再由求得，再驗(yàn)證所得參數(shù)是否滿足，即可得結(jié)果.【詳解】令，可得，所以，所以，又，所以，則，即，因?yàn)?，所以，，?jīng)驗(yàn)證滿足題設(shè)，所以．故答案為：113.如圖，在矩形中，，點(diǎn)為邊上的任意一點(diǎn)（包含端點(diǎn)），為線段的中點(diǎn)，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用坐標(biāo)法求向量的數(shù)量積，結(jié)合相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)求數(shù)量積的范圍.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在的直線分別為，軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，設(shè)，所以，，所以，又，所以，即的取值范圍是．故答案為：14.記曲線關(guān)于直線的對稱曲線為，則上任意一點(diǎn)與上任意一點(diǎn)之間距離的最小值為________．【答案】##【解析】【分析】先分析曲線與直線是否存在交點(diǎn)，若存在交點(diǎn)則距離的最小值為，若不存在交點(diǎn)，則問題轉(zhuǎn)化為與直線平行的切線所對應(yīng)的切點(diǎn)到直線的距離.【詳解】因?yàn)?，所以與沒有公共點(diǎn)，則上任意一點(diǎn)與上任意一點(diǎn)之間距離的最小值為上任意一點(diǎn)與上任意一點(diǎn)之間距離最小值的2倍．設(shè)為上的一點(diǎn)，因，則過點(diǎn)的切線斜率為，令，則，故是遞增函數(shù)，且當(dāng)時，，則存在唯一解，此時過點(diǎn)的切線與平行，所以上任意一點(diǎn)與上任意一點(diǎn)之間距離最小值為點(diǎn)到直線的距離，即，所以上任意一點(diǎn)與上任意一點(diǎn)之間距離的最小值為．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共7.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角的對邊分別為，，，且．（1）求角的大小；（2）若，且這樣的有兩解，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)余弦定理化角為邊，再根據(jù)余弦定理求角；（2）先根據(jù)正弦定理得，再根據(jù)角范圍以及正弦函數(shù)圖象性質(zhì)得的取值范圍．【小問1詳解】因?yàn)?，所以，所以，，因?yàn)?，所以．【小?詳解】由正弦定理得，所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)檫@樣的有兩解，即關(guān)于的三角方程在時有兩解，所以，所以．16.已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時，求的圖象在處的切線方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，得到，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程；（2）求導(dǎo)，得到在上必存在變號零點(diǎn)，即在上必存在零點(diǎn)，由于，只需，得到不等式，求出答案.【小問1詳解】當(dāng)時，，定義域?yàn)?，所以，，，所以的圖象在處的切線方程為，即，化為一般式為．【小問2詳解】函數(shù)，定義域?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上存在極值，所以在上必存在變號零點(diǎn)，即上必存在零點(diǎn)，由于，由二次函數(shù)性質(zhì)可知只需，解得，即的取值范圍是．17.如圖，在平行六面體中，為的重心，是棱上的一點(diǎn)，且．（1）求證：平面；（2）已知平面，且平行六面體的各棱長均為6，，設(shè)平面與平面的夾角為，求的值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，利用重心性質(zhì)得，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)果，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，再根據(jù)向量夾角公式求結(jié)果.【小問1詳解】連接，因?yàn)?，得，所以共面，則平面即平面，再連接，延長交于，連接，如圖．因?yàn)闉榈闹匦?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，所以平面．【小?詳解】取的中點(diǎn)為，連接，則．因?yàn)槠矫?，所以平面，又平行六面體的各棱長均為6，，則為正三角形，又為的中點(diǎn)，可得，，所以，，兩兩垂直，分別以直線，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，所以，，，．設(shè)平面的法向量為，所以令，解得，，所以平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量為，所以令，解得，，所以平面的一個法向量，所以．18.在平面直角坐標(biāo)系中，，，為一個動點(diǎn)，且直線，的斜率之積為，設(shè)動點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）已知，，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，設(shè)為的重心，過點(diǎn)作垂直于軸的直線，求被分成的左、右兩個部分圖形面積之比的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，利用直線，的斜率之積是，即可求出動點(diǎn)的軌跡為曲線；（2）利用橢圓對稱性，首先考慮在第一象限或軸正半軸上，設(shè)與軸、分別交于點(diǎn)，，求出的面積與的面積之比，構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)函數(shù)求出面積之比的范圍，再利用對稱性去確定被分成的左、右兩個部分圖形面積之比的取值范圍.【小問1詳解】設(shè)，因?yàn)橹本€，的斜率之積是，所以，化簡整理得，，所以的方程為．【小問2詳解】記的坐標(biāo)為，，由橢圓對稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限或軸正半軸上，即，，又，，所以直線的方程為．設(shè)與軸、分別交于點(diǎn)，，因?yàn)闉榈闹匦?，所以，，的面積與的面積之比為．令，則，當(dāng)，，當(dāng)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，，所以的值域是，所以，所以，根?jù)對稱性，被直線分成的左、右兩個部分圖形面積之比的取值范圍是．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問的關(guān)鍵