海南省黎族苗族自治縣瓊中中學(xué)2025屆高三下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

第頁，共頁第18頁，共18頁華中師范大學(xué)瓊中附屬中學(xué)高三年級第二學(xué)期2月份數(shù)學(xué)月考試題一、單選題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知復(fù)數(shù)，則（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，由共軛復(fù)數(shù)的定義即可得答案.【詳解】，所以.故選：C2.已知集合，集合，則的真子集的個數(shù)為（

）A.3 B.4 C.7 D.8【答案】A【解析】【分析】先將兩方程聯(lián)立求出中的元素，再可求出出的真子集的個數(shù).【詳解】由，得或，所以，則中有2個元素，所以的真子集的個數(shù)為.故選：A3.已知兩個非零向量，滿足，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)，得，再根據(jù)投影向量的公式計算即可.【詳解】由題意，，解得，所以在上的投影向量為.故選：.4.已知直線與相交于兩點(diǎn)，且為等邊三角形，則實(shí)數(shù)（）A.或2 B.或4 C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知得圓心到直線的距離為，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可求得答案.【詳解】解：的圓心，半徑，因?yàn)橹本€與相交于兩點(diǎn)，且為等邊三角形，則圓心到直線的距離為，即，整理得，解得或，故選：A.5.已知等比數(shù)列的公比不為1，且，，成等差數(shù)列，則數(shù)列的公比為（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)及等比數(shù)列通項(xiàng)公式列方程求公比.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，且，由，，成等差數(shù)列，得，整理得，則.故選：A6.如圖，在直三棱柱中，所有棱長都相等，分別是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平移法作出異面直線與所成角，解三角形即可求得答案.【詳解】連接，因?yàn)樵谥比庵?，分別是棱的中點(diǎn)，故，即四邊形為平行四邊形，所以，則即為異面直線與所成角或其補(bǔ)角；直三棱柱中，所有棱長都相等，設(shè)其棱長為，連接，則平面，故平面平面，故，是棱的中點(diǎn)，故，則,而，又，故在中，,由于異面直線所成角的范圍，故異面直線與所成角的余弦值是，故選：D.7.拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，則的最小值為（）A.5 B.9 C.8 D.10【答案】B【解析】【分析】利用拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)可得，利用基本不等式即可求得的最小值.【詳解】由拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)可得，則，所以，令，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.所以的最小值為9.故選：B.8.已知，則的大小關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由于，所以構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性比較大小即可【詳解】，，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞增，在上遞減，因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以，所以故選：D二、多選題：（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.函數(shù)（）的圖象的一個對稱中心為，則下列說法正確的是（）A.直線是函數(shù)的圖象的一條對稱軸B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.函數(shù)的圖象向右平移個單位可得到的圖象D.函數(shù)在上的最大值為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)兩角和余弦公式化簡函數(shù)解析式，再根據(jù)對稱中心可得，再根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)分別判斷各選項(xiàng).【詳解】由，由是函數(shù)圖象的一個對稱中心，即，，解得，，又，所以，所以，對于A選項(xiàng)：令，，解得，，當(dāng)時，，即直線是函數(shù)的一條對稱軸，故A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)：令，，解得，，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，B選項(xiàng)錯誤；對于C選項(xiàng)：函數(shù)的圖象向右平移個單位可得，C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)：當(dāng)時，，所以函數(shù)，即最大值為，D選項(xiàng)錯誤；故選：AC.10.已知直線和圓，則（）A.直線l恒過定點(diǎn)（2，0）B.存在k使得直線l與直線垂直C.直線l與圓O相交D.若，直線l被圓O截得的弦長為【答案】BCD【解析】【分析】A選項(xiàng)，化為點(diǎn)斜式可以看出直線恒過的點(diǎn)，B選項(xiàng)兩直線斜率存在且垂直，斜率乘積為-1，從而存在滿足題意，C選項(xiàng)直線過的定點(diǎn)在圓的內(nèi)部，故可以判斷C選項(xiàng)；當(dāng)時，先求圓心到直線的距離，再根據(jù)垂徑定理求弦長【詳解】直線，即，則直線恒過定點(diǎn)，故A錯誤；當(dāng)時，直線與直線垂直，故B正確：∵定點(diǎn)（-2，0）在圓O：x2+y2=9內(nèi)部，∴直線l與圓O相交，故C正確：當(dāng)時，直線l化為，即x+y+2=0，圓心O到直線的距離，直線l被圓O截得的弦長為，故D正確，故選：BCD.11.已知首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.B.C.當(dāng)時，取最大值D.當(dāng)時，的最小值為27【答案】ABD【解析】【分析】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)判斷AB；由A和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和判斷C；由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和和等差中項(xiàng)判斷D.【詳解】A：首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，所以，若，則一定大于零，不符合題意，所以，，故A正確；B：由A可知，，故B正確；C：由A可知，因?yàn)?，，可知，故，取最大值，故C錯誤；D：，，故D正確.故選：ABD.三、填空題：（每小題5分，共15分）12.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，且的面積，若的平分線交于點(diǎn)D，則________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)三角形的面積公式和余弦定理求得以及，利用正弦定理求得，進(jìn)而求得.【詳解】依題意，所以，所以，所以為銳角，且.由余弦定理得，是的平分線，由正弦定理得，由于，所以，所以，而，，在三角形中，由正弦定理得，解得.故答案為：13.若函數(shù)定義域?yàn)?，且為偶函?shù)，的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，則______．【答案】【解析】【分析】由條件可得，，由此證明函數(shù)為周期函數(shù)，周期為，再求，結(jié)合周期性求結(jié)論.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，為偶函?shù)，所以，用替換可得，因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，所以，所以，又，，所以，故，所以，所以函數(shù)為周期函數(shù)，周期為，由，可得，，，又，故，所以，所以，，，，所以.故答案為：.14.三棱錐中，，平面平面，且.記的體積為，內(nèi)切球半徑為，則的最小值為______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)等體積法可得，即可構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性，即可求解最值.【詳解】設(shè)三棱錐的高為，依題意，可取中點(diǎn)，連接，，則,由于，則,則，由于平面平面，且交線為,平面，故平面，故,則的面積為,的面積，由可得和的面積為，于是三棱錐的表面積為，由等體積可知，所以，故=.設(shè)函數(shù)，且，則，當(dāng)單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增，所以，所以時，取得最小值，故答案為：．點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用等體積法得到，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo).四、解答題：15.在等差數(shù)列中，已知公差，其前項(xiàng)和滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的表達(dá)式.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）通過等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入計算即可；（2）利用錯位相減法求和即可.【詳解】（1）由題意可知則，又，所以，所以，解得所以；（2）由（1）可知，所以，則，兩式相減，得，整理得.16.在中，內(nèi)角所對的邊分別是，已知．（1）求證：為等腰三角形；（2）若是鈍角三角形，且面積為，求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）利用切化弦將角化成，利用三角變換公式以及正弦定理可證；（2）利用面積公式和余弦定理可得．【詳解】（1）由得：，則，，，，由正弦定理可知：，則為等腰三角形.（2）由題意得：，解得：，∵為鈍角三角形，且，為鈍角，，由余弦定理得：，.【點(diǎn)睛】本題考查了正余弦定理、三角形的面積公式，屬中檔題．17.已知函數(shù).（1）若函數(shù)在處的切線與直線平行，求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)的極大值不小于，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出，由已知可得，即可求出實(shí)數(shù)的值；（2）分、兩種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，通過構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：因?yàn)?，則，在直線方程中，令，可得，由題意可得，解得.【小問2詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時，對任意的，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時函數(shù)無極值；當(dāng)時，由，可得，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，故函數(shù)的極大值為，整理可得，令，其中，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，由可得，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.如圖，在三棱柱中，平面，，，為線段上一點(diǎn).（1）求證：；（2）若直線與平面所成角為，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明過程見解析；（2）.【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式進(jìn)行證明即可；（2）利用空間向量夾角公式，結(jié)合空間點(diǎn)到面距離公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因?yàn)槠矫妫矫?，所以，而，因此建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：，，因，所以，即，【小問2詳解】設(shè)平面的法向量為，，所以有，因?yàn)橹本€與平面所成角為，所以，解得，即，因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離為：.【點(diǎn)睛】19.如圖，直線分別與拋物線交于和，與x軸分別交于和，直線與的交點(diǎn)為．（1）當(dāng)為C的焦點(diǎn)F，且直線與x軸垂直時，．求拋物線C的方程；（2）是否成等比數(shù)列？請給予說明；（3）在問題（1）的條件下，若，求面積S的最小值.【答案】（1）．（2）成等比數(shù)列．證明見解答．（3）8．【解析】【分析】（1）由題，求出弦長，即可求出的值；（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，分別表示出，再證明即可；（3）由可知，再由（1）的條件求出，從而的面積為，利用基本不等式求最值即可．【小問1詳解】由