湖南省永州市2025屆高三年級上冊高考第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

永州市2025年高考第二次模擬考試

數(shù)學(xué)

本試卷共6頁.全卷滿分150分，考試時間120分鐘.

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在本試卷和答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)的答案標(biāo)號涂黑，如有改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上

無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1,已知集合，=3一3X2},5=3=2〃+1”Z},則初吟)

A.{-3,-1,1,3}B.{-3,-1,1}C.{-1,1}D.{1}

【答案】B

【解析】

【分析】由題意結(jié)合交集定義即可求解.

【詳解】由題可知中的元素表示滿足—3WxW2的奇數(shù)》,

故Ac5={-3,-1,1}.

故選：B.

4+3i

2.已知復(fù)數(shù)2=-------,則|z|=()

3-41

A.72B.73C.y/5D.1

【答案】D

【解析】

【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)除法的幾何意義確定復(fù)數(shù)的模.

|4+3i|5,

4+3i—1______L_——1

【詳解】由z=—?,.i——一工

3-4i3-4i5

故選：D

3.已知非零向量”，B滿足（a—/?）?（a—3方）=0,且|〃|=3|石|,則〃與B的關(guān)系是（）

JT

A.垂直B.共線C.夾角為一D.夾角為2

36

【答案】B

【解析】

【分析】由題意結(jié)合數(shù)量積定義直接計算得cos6>=l即可得解.

【詳解】設(shè)已知兩個向量的夾角為仇

由題他一」）?卜一3萬）=邪一4az+3斤=同2—4同WcosO+3忖

=9忸1-12忖2cos6+3時=0,

.,.cos8=l,所以扇B共線.

故選：B.

x+4a,x>0_

4.已知函數(shù)y（x）=<22八是R上的增函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是（）

-x+ax+a,x<0

A.[0,4]B.（0,4）C.（0,4]D,[0,4）

【答案】A

【解析】

【分析】由一元二次函數(shù)性質(zhì)結(jié)合題意列出關(guān)于。的不等式組，解不等式組即可得解.

x+4a,x>0

【詳解】因為函數(shù)/（%）=2，八是R上的增函數(shù)，

-x+ax+a~,x<（J

_>0

所以<2=>ae[r0,4].

a2<4a

故選：A.

22

5.設(shè)片、尸2分別是橢圓。：\+與=1（?！?〉0）的左、右焦點，過點「2作X軸的垂線交C于A、8兩

ab

點，其中點A在第一象限，且卜用=2|4段.若尸是C上的動點，則滿足APKg是直角三角形的點尸的個

數(shù)為（）

A.0B.2C.4D.6

【答案】C

【解析】

a1=3t.

【分析】先由題設(shè)求得“2=2%。為參數(shù)），進而求出尸取橢圓上頂點時cosN片?鳥的值，從而得/用第

c2=t

不會為直角即可求解.

12

【詳解】由題|A甩=幺,又|M|+|M|=2m|A耳|=2|明卜

a

/=3t.

,即柝=2/（/為參數(shù)），

a3工.

c=t

P取上頂點時/FFB最大，此時=/+.2—（2耳=3t+3t—4/1

COSZFPF=>Q

2a-a6t3

HPF2不會為直角，二只有當(dāng)或NPF2R是直角才符合題意，

所以由對稱性可知滿足△「￡鳥是直角三角形點尸的個數(shù)為4.

故選：C.

6.正三棱臺ABC-4用￡的上、下底邊長分別為6,18,該正三棱臺內(nèi)部有一個內(nèi)切球（與上、下底面

和三個側(cè)面都相切），則正三棱臺的高為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【解析】

【分析】由截面圖結(jié)合等面積法和勾股定理列出關(guān)于r的等量關(guān)系求出r即可求解.

【詳解】由題可知上下底正三角形的高分別為,6?-3?=30X1宏—以=9百，

由幾何體結(jié)構(gòu)特征結(jié)合題意可知內(nèi)切球與上、下底面切點為上下底的重心,

故如左圖所示作截面，得到右圖，設(shè)內(nèi)切球半徑為「，

則有,（國+產(chǎn)?3國+戶=（6+3石）-n/—18/+81=。0/=9即廠=3,

所以正三棱臺的高為6.

故選：D.

7.已知數(shù)列｛4｝滿足。用=（+：,則下列說法正確的是（）

A.若4>0,則｛4｝所有項恒大于等于&B.若％=1,則｛%｝是單調(diào)遞增數(shù)列

C.若｛4｝是常數(shù)列，則q=±也口.若4=2,則］。用+?｝是單調(diào)遞增數(shù)列

【答案】C

【解析】

【分析】由q值不定即可判斷A；由題設(shè)求出劣和內(nèi)即可判斷B;由今+'=為求出4即可求出％判斷

C;由〃2+和。3+即可判斷D.

【詳解】對于A,當(dāng)4>0時，an+1=^+—>2j^--—=y/2,當(dāng)且僅當(dāng)?=」-即時等號成

2a.V2an2a?

立，

所以之J5（nN2）,但色值不定，

所以若?！?gt;0,貝叫區(qū),｝所有項不一定恒大于等于VL故A錯誤;

a,13%117

對于B,若％=1時，^=y+-=2%=萬+%=內(nèi)，而…2,故B錯;

112c/-

對于C,若｛q,｝是常數(shù)列，則4+1=?+—=a”=>不=一=>a“=2,即4=±72,

42an

所以q=±J5,故C正確;

a1

對于D,由題?！?1+7"=〃〃+一,

2an

1a.1.13

因為。i=2,所以由遞推關(guān)系4+i=7"十—可知?！?gt;0,且。2=彳+—=1+彳=彳,

2an2122

生13217

3

2a24312

a,15a,132135

所以％+：=%+—=彳，a-i+~^a2+—=7+1="<彳.故口錯誤.

2%22a223b2

故選：C.

8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，41,0),P(-1M),。(1,q),其中夕>0,q>0,ZAOQ=ZPOQ,則

當(dāng)△。尸。面積最小時，-=()

q

A6+1-1八6-1

A/5+1r布

2222

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)NAOQ=，，先由NAOQ=NPOQ結(jié)合兩角和正切公式得4>1且-P=#y,接著計算得

1--7

33

S^OP2=一芥氣,構(gòu)造函數(shù)/(“)=-需4Vq〉i,利用導(dǎo)數(shù)求出該函數(shù)最小值即可求解.

【詳解】如圖所示，

設(shè)ZAOQ=<9,則tan9=q,tan2^-tan(TI-20)=-p,—<20<7ifq>l,

,c八2tan8口2q

所以由tan26=-------廠可得一。=;---r,

1-tan2^1-q-

3

c1c/\111/xIf2q}q+q

SAOPQ=^x^\P+(l)--p--(l=-\P+(l)=^y-^^+Q

q+q，

記/(q)=-

2(1-/)

所以/'(q"0時，(74-4^2-l>0,解得/<2-&(舍去)或/之2+6,

/'(q)<0時，q4_4q2_i<o,解得1<“2<2+0，

所以/=2+非時可取最小值，而-P=3r，

l-q

所以〃二一］7二2二2二百一1.

qqq1-11+A/52

故選：C.

【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵是由NAOQ=NPOQ結(jié)合兩角和正切公式得4>1且-p=即

i-q

把，q關(guān)聯(lián)起來.

二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯得0分.

9.設(shè)樣本空間。={1,2,3,4}含有等可能的樣本點，且4={1,2},B={1,3},C={1,4},則下列結(jié)論正

確的是()

A.P(AB)=P(A)P(B)B.P(A|C)=P(C|A)

C.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)D,P(BC)=P(B)P(C)

【答案】ABD

【解析】

【分析】由題意結(jié)合條件概率定義、獨立事件定義和獨立事件概率乘法公式逐項求出相應(yīng)所需的

P(A),P(B),P(C),P(AB),P(AC),P(A|C),P(C|A)即可判斷得解.

【詳解】對于A,由題意可得尸(A)=2=L,P(B)=2=L,P(AB)=L,

42424

所以P(A5)=P(A)P(3),故A正確;

P(C)=m，P(AC)=lMC)=/(AC)i

對于B,

「(C=Qs）=靄2

所以P(A|C)=P(C|A),故B正確;

對于C,因為尸(ABC)=工，P(A)P(B)P(C)=-x-x-=-,

42228

所以P(ABC)wP(A)P(B)P(C),故C錯誤；

對于D,因為P(BC)=L,所以尸(5C)=尸(5)P(C).故D正確.

4

故選：ABD

10.斜率為2的直線/與雙曲線與=1（。〉0］〉0）的兩條漸近線交于兩點，

ab

與雙曲線交于C。兩點，尸是線段AB的中點，則下列說法正確的是（）

二-4=0是雙曲線兩條漸近線所構(gòu)成的“X”形圖象的方程

a2b2

B.P也是線段CD的中點

b2

c.若/過雙曲線的焦點，則直線OP的斜率是-二

2a②

D.若/過雙曲線的焦點，點P的坐標(biāo)為（2,1）,則

【答案】ABD

【解析】

【分析】由雙曲線漸近線求法即可判斷A；分別聯(lián)立直線/與雙曲線和漸近線方程結(jié)合韋達定理即可判斷B；

由點差法即可求解判斷CD.

【詳解】對于A.￡—g二一51〔汽+=1=0，二二一2=0或二+2=0,這恰為雙曲線兩條漸近線,

ab\abJ\abJabab

故A正確;

2222

%y=0

對于B.設(shè)直線方程為y=2x+m,分別聯(lián)立〈a2b1與<ab1

y=2x+my=2x+m

22

得3424mmT=0和9T24mm

一鏟「一溟無一記X=0,

\a官”一正

4m

這兩式的兩根之和都是，所以A5,CD中點為同一個，故B正確;

14

/一廬

2222

對于c.因為書—4=1,電—咎=i,

a2b2a-b2

Nc—%_%c+Xp_b2xp_b,

所以K

2=一~~~OP

xc-xDayc+yDa2ypa

b2

所以直線OP的斜率是公尸=J,故c錯誤;

OP2a2

b~1

對于D.由C選項可知一-=即a=5,故D正確.

2a22

故選：ABD.

11.已知/(x)的定義域為非零有理數(shù)集，且滿足下面三個性質(zhì):

①/(盯)=/(%)+/(y)；

②f(x+y)>min{/(x),/(y)}；

(、z.[b.a>b

③當(dāng)/(x)w/(y)時，f(x+y)=min{/(x),/(y)},其中min{a,A}={

,vttz

下列說法正確的是()

A.若/(x)>r,f(y)>r,則/(x—y)>r

B./。)=。恰有兩個整數(shù)解

C.若x+y+z=。，xyz^Q,則/(x),/(y),/(z)中至少有兩個相等

D.若/(2)=1,則/(240)=3

【答案】AC

【解析】

【分析】應(yīng)用特殊值法及奇偶性定義判斷了(%)奇偶性，進而有"％-即可判斷

A；應(yīng)用反證法，對于任意除1和-1以外的整數(shù)。有根據(jù)已知推出矛盾判斷B；根據(jù)已知得

,討論=/(x)W/(y)判斷上述結(jié)論是否成立判斷C；由函數(shù)性

質(zhì)得〃3)=/(5)=0、/(240)=/(24)+〃3)+/(5)求值判斷D.

【詳解】A：令x=y=l,有=+即/(1)=0；

令x=y=-l,有/⑴=/(T)+/(T)，即〃T=0；

令y=T，有/(—”=/(X)+/(—1)=/(力，即/(X)是偶函數(shù)；

因為"X—y)=/(x+(—y)"min{/(x),/(-y)}=min{/(x),〃y)}

/(x)>r,f[y}>r,所以/'(x-y)>r,A正確；

B：假設(shè)選項正確，對于任意除1和—1以外的整數(shù)。，有/(a)wO,

即/(2)/0,〃3)wO,而〃2)=/(l+l)2min{/⑴"⑴}20,且/(2片0,

所以/⑵>0,/(3)=/(l+2)=min{/(l),/(2)}=0,矛盾，故B錯誤.

C：x+y+z=0=x+y=—z=/(x+y)=/(—z)=/(z),所以/(z)2min{/(x),/(y)},

若/(x)=/(y)，結(jié)論顯然成立;

若/(x)w/(y)，則/(z)=min{〃x),〃y)},即/'(z)=/⑴或/'(z)=/(y),結(jié)論依然成立，C

正確；

D：/(3)=/(2+l)=min{/(2),/(l)}=/(l)=0,

/(5)=/(3+2)=min{/(3),/(2)}=/(3)=0,

/(240)=/(24X3X5)=/(24)+/(3)+/(5)=4/(2)=4,D錯誤.

故選：AC

【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)已知函數(shù)性質(zhì)，奇偶性定義、賦值法、反證思想的應(yīng)用為關(guān)鍵.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.己知cos[[+]]=6cos（a—兀），則cos2c+sin2c=.

【答案】1二1

2

【解析】

【分析】先由題意結(jié)合誘導(dǎo)公式得tantz=6,再由倍角公式和常數(shù)“1”的代換結(jié)合分式齊次式弦化切

即可求解.

【詳解】由題得—sina=—JGcosa=>tana=5

所以cos2a+sin2a=cos2a-sin2a+2sinacose=

cos2a-sin2a+2sinacosa_1-tan2a+2tana_石-1

cos2（7+sin26Z1+tan2a2

故答案為：1二1.

2

13.用紅、橙、黃、綠四種顏色給一些大小相同的正四面體模具上色，要求每個正四面體四個面顏色各不

相同.我們規(guī)定：如果兩個已上色的四面體，可以通過旋轉(zhuǎn)將其中一個變得與另一個完全相同，則認為它們

用了同一種上色模式.那么不同的上色模式共有種.

【答案】2

【解析】

【分析】以不同頂點作為底面頂點作旋轉(zhuǎn)確定不同朝向情況，再應(yīng)用排列數(shù)求不同上色情況數(shù)，即可確定上

色模式數(shù).

【詳解】假設(shè)一個正四面體四個頂點為A、8、C、D，則A作底面頂點時，通過旋轉(zhuǎn)，除底面外三個面

的朝向有三種，如圖所示：

DCB

/，Y-)C/A—B/一一\-)D

\/D^^\/c4<Z\/

^^(4A

同理B,C,。作底面頂點時也分別有3種，一共有12種,

即一個正四面體可以通過旋轉(zhuǎn)得到12種朝向.

因為四種顏色的排列數(shù)有A：=24種，

24

所以一共有——=2種不同的上色模式.

12

故答案為：2

14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，射線4：y=x(x20),乙：V=0(x?0),半圓C：y=/—(彳—釬.現(xiàn)

從點4(1,0)向上方區(qū)域的某方向發(fā)射一束光線，光線沿直線傳播，但遇到射線4、4時會發(fā)生鏡面反射.設(shè)

光線在發(fā)生反射前所在直線的斜率為左，若光線始終與半圓C沒有交點，則左的取值范圍是.

【答案】

【解析】

【分析】求出光線與(％-4)2+y2=]('2o)、(％+4)-+y2=l(y20)、f+(y-4丫=1相切時的斜

率，樹形結(jié)合即可得解.

【詳解】將半圓依次沿著丁=》，x=o,y=—%作對稱，如圖所示:

光線在鏡面發(fā)生反射可以等效處理為：光線進入了鏡子后的空間，

因此問題就轉(zhuǎn)化為光線如何與鏡子內(nèi)外的圓沒有交點，光線變化的范圍如圖所示.

當(dāng)光線與(%—4)2+V=l(y?0)相切時，光線所在直線斜率為左=141

"-1~T

由對稱性可知當(dāng)光線遇射線時反射光線若與(尤-4『+y2=i(y20)相切，則入射光線所在直線x=

1與圓爐+什一4)2=1相切,

當(dāng)光線與圓龍2+(y—4)2=1相切但遇射線4時反射光線不與(％—4)2+y2=l(y20)相切時,

,1_1

111-tan216_15

此時tan3=-,所以光線斜率為左2=—tan]—280_

4tan2。2tan6"8

當(dāng)光線與(％+4『+y2=l(y20)相切時，光線斜率k3=--

v5—112

"_15_V6

所以由圖可知上的取值范圍是,+00.

一17

"_15_V|

故答案為:,+8.

7

【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合簡化問題的難度.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

y^zsinA-sinC.,?T

15.在VABC中，角A,8,C所對的邊分別為a,b,c,c=l,-----------------=sin(A+C),a豐b.

a-b

(1)求VABC的外接圓半徑;

(2)若VA3C為銳角三角形，求VA3C周長的取值范圍.

【答案】(1)B

3

(2)(l+V^a)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)正弦定理邊角互化可得c2=az,,即可由余弦定理求解,

(2)根據(jù)正弦定理以及三角恒等變換可得6+a=2sin8，即可利用三角形的邊角關(guān)系求解.

【小問1詳解】

,asinA-sinC..「、一,曰asinA-sinC.,,.八a2-c

由-------------=sin(zA+C)可得--------------=sin(A+C)=sm5n-----=b7,

a-ba-ba-b

故"2+/—c=,由于。=1,故々2+/—

〃24序_21

由余弦定理得cosC=巴士——=-

2ab2

由于Ce(O,7l),所以C=1,

sinC=Y3,根據(jù)2R=，解得/?=且,

2sinC3

所以VA3C的外接圓半徑為且

3

【小問2詳解】

由(1)知，C=~,B+A=—,B^-,

333

c_a_b_l_2A/3

由正弦定理有sinCsinAsinB63，

~2

所以"八友sinB+空sinA=氈sinB+氈sin

1+B

3333

=^sinB+2G1、

cosB+—sinB=6sinB+cosB=2sin13+6J,

3亍2J

0<B<-

2

71717171

因為VABC為銳角三角形，所以《Q<--B<~,解得Be

326'JuJ,2

所以8+儲則2sin,+E]e(M2)

所以不<b+a<2，則1+退<a+b+c<3-

所以VAfiC周長的取值范圍為（1+若,3）.

16.如圖，正方體ABC。—A4G2的棱長為1，點、M,N分別在線段AB1,Bq上，且

\AM\=A\AB\,|QA^|=//IQBI.

(1)若2=〃=g,證明：DDXJ_MN-

(2)若〃/=；,點尸，。分別在直線MN上,且PQ，叫PQ±MN,求|PQ|的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析

【解析】

【分析】(1)當(dāng)義=〃=工時分別找到點M和點N的位置，利用線面垂直，可證線線垂直;

2

(2)根據(jù)題中垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，把|PQ|表示為2的函數(shù)，求函數(shù)值域即可.

【小問1詳解】

連接3。，AC,當(dāng)2=〃=g,則M是A用的中點，N是5。的中點,

所以肱V〃AC,

因為ACu面ABC。，面ABC。，所以2。，AC,

所以DQLMN.

【小問2詳解】

以。點為原點，DA>DC-DR方向為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則

zA

4(100),B,(1,1,1),q(0,1,1),3(1,1,0),D,(0,0,1),

語=(0,1,1),QB=(l,0,-l),所以:W=(o,4/l),取=(4,0,—〃)，

所以N(4,l,l—〃)，所以斯=(4—1,1—X,l—4—2),

又麗=(0,0,1),設(shè)直線PQ的方向向量為為=(%,y,z),

n-DD,=0z=0

則由＜_i得

，

n-MN=Q(//-l)x+(l-2)y+(l-//-2)z=0

取為=(1—4,1—〃,0),又加=,

__j.

所以=加元=|1T+X-切=2

同62+42—2(2+.)+2+—2(2+〃)+1

11

-2_2

H+〃-

12+X-l

22

f0<2<l

由＜得一WXV1,

0<—<12

22

易知y=/t+」--1在

單調(diào)遞減,單調(diào)遞增

22

所以"垃一1,；,所以|PQ|e1,洋工

17.箱子里有四張卡片，分別寫有數(shù)字1,2,3,4,每次從箱子中隨機抽取一張卡片，各卡片被抽到的概

率均為：，記錄卡片上的數(shù)字，然后將卡片放回箱子.重復(fù)這個操作，直到滿足下列條件之一結(jié)束：

(a)第一次抽取的卡片上寫的數(shù)字是4；

(b)設(shè)〃為大于等于2的整數(shù)，第"次抽取的卡片上寫的數(shù)字大于第次抽取的卡片上寫的數(shù)字.例

如，當(dāng)記錄的數(shù)字依次為3,2,2,4時，這個操作在第4次結(jié)束.

(1)若操作進行了4次仍未結(jié)束，求前四次抽取的情況總數(shù)；

(2)求操作在第〃次結(jié)束的概率.

【答案】(1)15；(2)操作在第〃次結(jié)束的概率為匕—之).

【解析】

【分析】(1)由操作的的條件直接寫出所有可能情況即可得解.

(2)設(shè)操作在第〃次結(jié)束的概率為以，操作在第〃次未結(jié)束的概率為Q,，由題設(shè)表示《=；和

P“=Q“.rQn(nN2),利用隔板法討論操作進行了〃次，但是并沒有結(jié)束的情形，從而求出R,進而得

解.

【小問1詳解】

由題意可得若操作進行了4次仍未結(jié)束，則前四次抽取的卡片數(shù)字可能為：

1111,2111,3111,2211,3211,3311,2221,3221,3321,3331,2222,3222,3322,3332,3333,共

有15種情況.

【小問2詳解】

設(shè)操作在第?次結(jié)束的概率為P”,操作在第n次未結(jié)束的概率為Qn.

13

則當(dāng)〃=1時，＜=［，Qi='；當(dāng)〃之2時，Pn=Qn_x-Qu.

接下來我們討論操作進行了〃次，但是并沒有結(jié)束的情形，抽取的數(shù)字結(jié)構(gòu)如下所示：

3,…,3,2,■?■,2,1,???,1

、一V__J

n

分別設(shè)序列中的3,2,1的個數(shù)為X,y,Z,可知x+y+z=〃(x20,y之O,zNO).

利用隔板法，可以知道對應(yīng)情形的數(shù)量，操作如下：

令x=x+i,y=y+i,z=z+i,即x+y+z=〃+3(XNi,y?i,ZNi),

一共有ci2=但土竽21種情形，

各情形概率均為J,所以有Q=("+1,+2)+2),

,,n("+1)(n+l)(n+2)(n+l](3?-2)

當(dāng)〃22時，P,a=一

("+1)(3〃-2)

經(jīng)檢驗，其對〃=1依然成立，所以匕=

18.已知函數(shù)/(x)=(e"+2e「")6+，(—,a>Q.

(1)設(shè)直線尤=4與曲線y=/(x)交于點P,求P點縱坐標(biāo)的最小值;

(2)a取遍全體正實數(shù)時，曲線y=/(x)在坐標(biāo)平面上掃過一片區(qū)域，該區(qū)域的下邊界為函數(shù)g(x),求

g(x)的解析式;

(3)證明：當(dāng)xNl時，對任意正實數(shù)a,/(x)>21nx+2.(Pft：￡土349)

【答案】(1)尸點縱坐標(biāo)的最小值為a；

—,0<xV3

(2)g(x)=,

2A/2.

(3)證明見解析.

【解析】

【分析】(1)由x=4時的/(%)結(jié)合基本不等式即可求解;

、c

1e"并求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)分匚<1和23>1

(2)構(gòu)造函數(shù)〃(a)=+五e"+24x-

7\x+1x+1

兩種情況研究函數(shù)單調(diào)性求出其最小值即可得解;

(3)由第(2)問〃x)?g(x)恒成立，將問題轉(zhuǎn)化成證明g(x)N21nY+2,再利用導(dǎo)數(shù)分段求證

g(%)-21nx-220成立即可得證.

【小問1詳解】

x=4時,/(x)=2efl+4e-"+-ea-ea=-ea+3e^.

V722

令h(a)=ge'+3e-"22{g5eJ3e]-

「“=聞，當(dāng)且僅當(dāng)52a=g=a=±時等號成立,

——e—jee

252

所以P點縱坐標(biāo)的最小值為a.

【小問2詳解】

、1、

〃x)=石+丁e"+2y[x—e-",定義域為(0,+8),

\'x7\7

、1

令〃(a)=G+-j=

7\y[x

/

1_%+l2a_%-1

則”(a)=e-"2?巴?！猘—a

7\y[xx+1

①當(dāng)謨,即0cx<3時，//(a)>0,/i(a)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

x+1

//(a)>/z(O)-3y/~x—；

y/x

②當(dāng)謨二即時，由

1>,％>3Ix+l。

x+1

2

/

TH、TH、

人⑷在0,上單調(diào)遞減，在,+a?上單調(diào)遞增,

22

77

/、

/z(a)>h=2y/2

2

7

3>/x-^^^,0<x<3

綜上所述，g(x)=,

2叵x—,%23

x

【小問3詳解】

由第⑵問可知/(x)2g(%)恒成立，所以只需證明g(x)221nx+2即可.

①若XE[1,3],構(gòu)造"(X)=3，^—7=-21nx—2

X-1

2y/x2x<xX2xy1X\

因為xiL所以“'(x)?0在［1,3］上恒成立，“(%)在［1,3］上單調(diào)遞增，所以M(X)*⑴=0,

即36—7=221ILY+2在[1,3]上恒成立;

②若xe[3,+oo),g

二，則“⑴二拒一,＞0、

令(p(x)=?x_2.FT,所以0⑺在r［3,內(nèi)）單調(diào)遞增,

3

而0（3）=3挺—,卡＞0,所以0（x）＞On/（x）＞O恒成立，

t（x）在［3,+?）單調(diào)遞增,Z（X）＞?（3）=|73-21n3-2.

因為3＜/，即《x）〉《3）=年有-21n3-2〉1君-21n〉-2〉0,

X-->2A/2^X-j>21ra+2,所以g(x)?21nx+2,

而/(x)2g(x),即證/(x)221nx+2在xe[1,+oo)上恒成立.

19.在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C:二+與=l（a〉6〉0）經(jīng)過點P（-2也,1）,短半軸長為石.過點

ab~

5（0,5）作直線/交C于A,8兩點，直線必交y軸于點M,直線尸8交y軸于點N,記直線B4,PB的斜

率分別為《和率

（1）求C的標(biāo)準方程；

11

（2）證明1+1是定值，并求出該定值;

尢左2

（3）設(shè)點R（0,D,證明C上存在異于其上下頂點的點0,使得/MQR=NNQR恒成立，并求出所有滿

足條件的。點坐標(biāo).

22

【答案】（1）土+匕=1;

155

（2）6,證明見