平面向量小題全面梳理與分類（練習(xí)）-2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（解析版）

專題08平面向量小題全面梳理與精細(xì)分類

目錄

01模擬基礎(chǔ)練.................................................................2

題型一：平面向量基本定理及其應(yīng)用.............................................2

題型二：平面向量共線的充要條件及其應(yīng)用.......................................4

題型三：平面向量的數(shù)量積.....................................................5

題型四：平面向量的模與夾角...................................................7

題型五：等和線問(wèn)題............................................................8

題型七：矩形大法.............................................................12

型，I■平面向里范圍與取值I

題型九：等差線、等商線問(wèn)題..................................................15

題型十：奔馳定理與向量四心..................................................17

題型十一：阿波羅尼斯圓問(wèn)題..................................................20

題型十二：平行四邊形大法....................................................22

重難占窕破.向量對(duì)■魚縛生理23

02重難創(chuàng)新練................................................................25

力模擬基礎(chǔ)練N

題型一：平面向量基本定理及其應(yīng)用

1.(2024.山東濱州二模)在VA3C中，G為VABC的重心，M為AC上一點(diǎn)，且滿足碇=3麗，則

—.1—.7—.

A.GM=-AB+—ACB.GM=-AB——AC

312312

C.GM=--AB+—ACGM=--AB-—AC

312312

【答案】D

【解析】由題意，畫出幾何圖形如下圖所示:

根據(jù)向量加法運(yùn)算可得的"=/+謝，

—.21.1-.1.

因?yàn)镚為VA5C的重心，所以AG=-x—(A3+AC)=—A3+—AC.

3233

___.1.

又M輛足MC=3AM，即

-AB+-+-AC=--AB

故選：D.

2.在VABC中，若/是VABC的內(nèi)心，川的延長(zhǎng)線交2C于。，則有普=絲稱之為三角形的內(nèi)角平

ACDC

分線定理，現(xiàn)已知AC=2,BC=3,AB=4且由=+y/，則實(shí)數(shù)x+V=()

A

12.

A.1B.—C.—D.2

33

【答案】c

【解析】因?yàn)?是VABC的內(nèi)心，4的延長(zhǎng)線交于。，AC=2,BC=3,4B=4,

由角平分線定理可得黑=*=2,可得=BD=2DC，

即通一麗=2（衣一詬），則蒞=g通/，

又因?yàn)锽C=3,BD=2,且即為NABD的角平分線，

所以，一黑二?,所以，正|而中州+g回J而+3近,

2

X~92

又布=%荏+以記，且向量荏、就不共線，所以，,4,所以％+y=1.

y=—、'

9

故選：C.

3.在平行四邊形A5CD中，點(diǎn)E為線段8的中點(diǎn)，點(diǎn)下在線段上，且滿足即=2FC,記

AB=m,AD=n,貝1」訪=()

「1-1-

A.B.—m——n

23

一1一1一D.；（沅+萬(wàn)）

C.—H—n

23

【答案】B

,1.1—,11

【解析】由題意：EF=EC+CF=-AB一一AD=-m——n.

2323

DEC

題型二：平面向量共線的充要條件及其應(yīng)用

_.1_1_.CE

4.在VABC中，點(diǎn)。滿足=+二AC,直線AO與BC交于點(diǎn)E,則=的值為（）

。2CB

A.~B.-C.—D.-

2345

【答案】c

A

【解析】

BEC

^AE=AAD=-AB+-AC,

62

則赤=布-正=4通+4左一亞=4通+仕旅，

因?yàn)榛?通-近，且北，e共線，

所以可設(shè)在=/而，即屈=/麗-左正

所以、通=k麗一上彩，

-2,f.3

——kA——「白

62—?1一Ch

所以;，解得；，所以CE=：C2,即==

&-』kk=L4CB

12I4

故選：C.

5.（2024?高三?江蘇南通?期中）在口ABCD中，AM=MB,BN=2NC,AP=xAB-h(l-x)AD,x^R.若

AP//MN,則x=（）

【答案】C

___.__,___.2__.1__.1__9_____.1___2___.

【解析】因?yàn)閬?近，BN=2NC,所以旃=麗一兩=§而一不麗=］通+§而=5屈+§而,

__,___.1__.2______?______?______?

XAP//MN,所以衣=2旃二萬(wàn)力與+耳力而=.x通+（1—尤）而，

___.3―-1—.—.1—.1—.

6.(2024?高三?安徽亳州?期中)在VABC中，AM=-AB+-AC,CN=—CB+—CA,AM與CN交于點(diǎn)

4422

P,且Q=x通+y高(x,yeR),貝l|x+y=()

【答案】B

----?1——?1——?uuuuuuumuuumULUU

【解析】因?yàn)?。雙=5。8+]。4,則N為A8的中點(diǎn)，^^AP=xAB+yAC=2xAN+yAC，

注意到C,RN三點(diǎn)共線,可得2x+y=l,

又因?yàn)锳,三點(diǎn)共線，則方||祝，

11km1111bluunuuin<3uun1uuinA3“uun“uum

則存在實(shí)數(shù)3使得A尸=人的，^xAB+yAC=k[-AB+-AC\=—AB+-ACf

3k

x=——

4

則可得x=3y,

k

綜上所述：［1』2x+；y=1,解得ly亍3可得x+y亍4

故選：B.

題型三：平面向量的數(shù)量積

7.如圖，在Rt^ABC中，兩直角邊C4=3,CB=6,點(diǎn)、E,歹分別為斜邊A3的三等分點(diǎn)，則

CECF=.

【解析】因?yàn)辄c(diǎn)E,尸分別為斜邊48的三等分點(diǎn)，

貝叵=E+通=m+3而=反+3（麗_西=1回+;函

CF=CA+AF=CA+-AB=CA+-（CB-CA\=-CA+-CB,

33、>33

所以行存二1|百+；回&聞+|回=：E2+|存=2+8=10

故答案為：10

8.在邊長(zhǎng)為1的正VABC中，BD=^DC,則而?①的值等于

【答案】|

【解析】解析■.-BD=^DC,：.CD=^CB,

：.7jJCD=[CD-CA\CD=CD-CAO）

--2/—>—?\

9.已知麥形ABCD的邊長(zhǎng)為2,且NABC=60。，若點(diǎn)P滿足8P=§（3C+A4）,則

PCBP=.

【答案】J4

4

故答案為：

題型四：平面向量的模與夾角

10.已知同=忖=2,且2Z=l,則,+同=.

【答案】M

【解析】由題意知，歸+@2=7+23石+52=4+2+4=10,

由卜+目＞o,得卜+q=y/10.

故答案為：回

II.已知向量方,5的夾角為看方=（"1雨=1,則卜-5卜.

【答案】用

【解析】因?yàn)閣=i,同=J（6）2+F=2?6=m，

所以無(wú)B=|a|-|fe|cos^a,^=2xlxcos-^=-l,

所以卜—B卜,（力—5）=yja2-2a-b+b~=^4—（—2）+1=手-

故答案為：a.

12.若年之是夾角為6?！愕膬蓚€(gè)單位向量，則［與［-2^■的夾角為.

【答案】90°

【解析】因?yàn)?是夾角為60。的兩個(gè)單位向量，所以￡￡=1x1x8560°=g,

所以1.（1-2可=冢2-2冢4=1-1=0,則不與（-2晟的夾角為90。.

故答案為：90°.

題型五：等和線問(wèn)題

13.四邊形ABCD是正方形，延長(zhǎng)C。至點(diǎn)E,使得DE=CD,若M為C。中點(diǎn)，N為OE中點(diǎn)，點(diǎn)尸在

線段MN上移動(dòng)(包含端點(diǎn))，設(shè)衣=彳旃+〃近，求幾+〃的取值范圍.

如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=1,則荏=(1,0),AE=(-1,1),

由題意設(shè)P?,l),小則而=&1),

由AP=AAB+/2AE得(/,1)=2(1,。)+〃(-1,1)=(X—，

[2一LI=t11

則1,故丸+4=2—〃+2//=，+2e——+2,—+2

l〃=lL22J

.「35一

n即n％+/，萬(wàn)，

"35"

故答案為：

14.(2024?湖南常德.一模)如圖，四邊形ABC。是邊長(zhǎng)為1的正方形，延長(zhǎng)C。至E,使得DEWCD.動(dòng)

點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周回到A點(diǎn)，AP=AAB+^AE,則幾+〃的取值范圍

【答案】[0,4]

【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系:

則3（1,O）,E（_2,1）,所以Q=X通+〃通=（力_2〃,〃），

［OWX—2//W1「7

當(dāng)尸eAB時(shí)，有J〃_0，即0<幾<1,〃=0,此時(shí)幾+〃的取值范圍為［0,1］,

當(dāng)Pe3C時(shí)，有Jo<<1,即lV/L+"=（/l—2〃）+3，=l+3〃W4,此時(shí)4+〃的取值范圍為［1,4］,

當(dāng)PeCD時(shí)，有j〃一］，即3?X+M=（4-2〃）+3〃=（4-2〃）+3V4,此時(shí)2+〃的取值范圍為

［刊，

當(dāng)PeD4時(shí)，有，即0<2+〃=（/1一2〃）+3〃=3〃（3,此時(shí)幾+〃的取值范圍為［0,3］,

綜上所述，彳+〃的取值范圍為［0,4］.

故答案為：［0,4］.

15.在如圖所示的直角梯形ABCD中，AB〃CD,AB=LBC=CD=2,AB，BC.P為梯形ABC。內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),

且AP=1,若而=4而+〃而，則彳+券的最大值為.

【解析】如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系,

則A(0,0),5(1,0),0(-1,-2),

1jr

且AP=1,可知點(diǎn)。在標(biāo)準(zhǔn)單位圓上，KT^P(cos0,sin^),cr<^<O,tan6Z=-,-7i<a<-—,

可得Q=(cose,sin6),礪=(1,0),而=(—1,—2),

若A.P=+JLIAD=(%—4,—2〃)，

?！?。

可得憶工胃2=cossin

解得1

u=——sin。

I2

則2+亨=[cos-sinj--sin=cos0-—^n0=—cos(8+。)，

廿±4.3(八兀)

其中cos°=M，sm°=m.￡[0,5，

八34

當(dāng)且僅當(dāng)8+0=2兀，即6=2兀_/,sin8=—sin0=—w,cos0=cos0=1"時(shí),

cos(e+0)=i,此時(shí)。為第四象限角，符合題意，幾+措取到最大值：

故答案為：號(hào)

題型六：極化恒等式

16.已知圓。的半徑為2,A,B是圓。上兩點(diǎn)，且NAO3=60。，CD是圓。的一條直徑，若動(dòng)點(diǎn)尸滿足

OP=WA+/JOB(A,〃eR),且2-〃=1,則正.而的最小值為.

【答案】-3

【解析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積的定義，結(jié)合題中條件，化簡(jiǎn)定?而=12(/?+〃)，根據(jù)〃wR及

二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得答案.定?赤=(而+瓦?(用+西)=(闞2+閑?(①+覺(jué)?)+覺(jué)?礪，

因?yàn)镃。是圓。的一條直徑，

所以歷+碇=6,歷?方=|歷H反］cos萬(wàn)=一4,

所以所求定.麗=(而產(chǎn)+Q(而+玩)+反.麗=|呵-4=|煙+〃西；4

=卜〃+1)04+〃畫2-4=(〃+1)2網(wǎng)2+〃2畫2+2(〃+1)〃西.og_4

因?yàn)锳,8是圓。上兩點(diǎn)，且ZAOB=60。，

所以|網(wǎng)=畫=2,函.而=|網(wǎng).網(wǎng)cos6（T=2x2xJ=2,

所以所求定.而=（〃+1）[函/+〃2|歷/+2（〃+i）〃函.無(wú)_4=4（〃+1）2+4〃2+4（〃+1）〃一4=

“+〃），

因?yàn)椤╳R，

所以當(dāng)〃=-1?時(shí)，京?麗=12（〃?+〃）有最小值，且為-3,

故答案為：-3

17.如圖，在VA2C中，。是BC的中點(diǎn)，E,尸是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)前.①=5，BFCF=-2,則

麗?屈的值是.

------?2——>2——Q——-2

【解析】因?yàn)辂愑?（工能一曲（一」上彷=”一BC=36FD-BC=5,

2244

——>2——>2

BF.CF=dBC--AD）C--BC--AD）=4FD~BC=-2,

23234

i—ico------>2------*2------>2-----*2

因此麗而―而.在=（上反_而）<一工前一的JED-BC='6FD-BC=工

8222448

故答案為：—.

O

22

18.（2024.高三.上海松江.期末）已知點(diǎn)尸為橢圓?+"=1上任意一點(diǎn)，口為圓n（*-1）2+丁=4的任

意一條直徑，則而.所的取值范圍是.

【答案】[-3,5]

【解析】圓N的圓心為N（l,0）,半徑為2.

因?yàn)闃?lè),而=（屜_而）?（而_而"屜.而—福.（而+褥）+而

=-|]VE|-|W|-cos7t-0+|7VP|2=-4+|A^\

22

又因?yàn)闄E圓?+々=1的。=2/=6,c=l,N（1,O）為橢圓的右焦點(diǎn),

fv2/C02

設(shè)Pg,/o），寸+寸=Ly：=31-才=3--

=位_2犬+4=卜，-8-+7=l(x0-4)4-x0=?_1

V40V44-2-2

—2V尤0V2,—IV——x0V1,1V2——x0W3,

所以|NP|e[l,3],|NP「e[l,9],

.-.PEPFe[-3,5].

故答案為：[-3,5]

題型七：矩形大法

19.設(shè)向量心b，工滿足I引=出|=1,（a-c）.（^-c）=0,貝的最小值是（

A.叵止B.3二1C.也D.1

22

【答案】B

【解析】建立坐標(biāo)系，以向量萬(wàn)，石的角平分線所在的直線為x軸，使得心5的坐標(biāo)分別為

,設(shè)差的坐標(biāo)為（龍,丫）,

因?yàn)閳F(tuán)一辦（13=0,

=0,

4

表示以為圓心，3為半徑的圓，

則國(guó)的最小值表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值，

因?yàn)閳A到原點(diǎn)的距離為占，所以圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為3-工,

222

故選：B

20.(2023?河北石家莊?高三階段練習(xí))已知向量心b,才滿足同=￡,忖=無(wú)5=3,若

(c-22)?(25-31)=0,則忸-,的最大值是-

【答案】1+V2.

【解析】分析題意可知，設(shè)4L1),8(3,0),則萬(wàn)=函，b=OB，設(shè)C(x,y),

.-.c=OC=(x,y),X'.'(c-2a).(25-3c)=0,(x-2)(6-3x)+(y-2)(0-3y)=0,

而—2)2+(y-1)J1,即點(diǎn)C在以(2,1)為圓心，1為半徑的圓上，

.?.|F-C|<7(3-2)2+(0-1)2+1=1+72,故填：1+72.

題型八：平面向量范圍與最值問(wèn)題

21.設(shè)圓瓦不都是單位向量，且無(wú)方=0,則傳一動(dòng)?卜一方）的最小值為

【答案】1-V2/-V2+1

【解析】因?yàn)?石=0，同=W=p|=i,

所以傳_孫,-5）二-a-c-c-b+c+d'b

=-c,（a+Z?）+1=-|c|,|<2+Z?|cosci+b）+1=->\/2cos卜,a+Z?）+121-^/2,

當(dāng)"與Z+B方向相同時(shí)，等號(hào)成立，

所以（』）.g）的最小值為1一萬(wàn)

故答案為：1-0

22.已知1,b,^為平面向量，如果同=1,《,鼻=",九伍-6#=-8,則,一回+|商-石的最小值

為.

【答案】V13-1/-1+VT3

【解析】在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)OC=c=（l,0）,不妨設(shè)QA=a=億也力，則點(diǎn)A在直線y=也無(wú)上，設(shè)

OB=B=（x,y）,

2

由次（5-6，=-8可知方2一6方1+8=0,所以x+V—6x+8=0,即（尤一3）?+y2=i

所以點(diǎn)B在圓（x-3y+V=1上，記該圓圓心為“（3,0）,

所以卜_可+|萬(wàn)_石=網(wǎng)_詞+國(guó)一唱=|陰+“|

設(shè)C（l,0）關(guān)于直線丫=瓜的對(duì)稱點(diǎn)為C'（x。,%）,則有

1

?布=-1

%-1解得龍廠。二正-5，即c（'U1與

苑=石.包里

122

所以忖_.+區(qū)_石=|西—訪|+|血_困=|4用+|AC|=|AB]+|AC[z|cM-r=9T,

故答案為：A^3-1

23.（2024?上海崇明.一模）已知不平行的兩個(gè)向量滿足同=1,a-b=^）.若對(duì)任意的teR,都有

忸一回22成立，則欠的最小值等于.

【答案】用

【解析】依題意，設(shè)巨與5的夾角為e（owe<7t）,W=鞏相>0）,

因?yàn)?4=1,a-b=^3,所以同卜cosO=G即m-cos6=5

則cos8=W^=,所以小之百，

m

因?yàn)閷?duì)任意的feR,都有忸一回22成立，

所以—力『24,即片一2小3+產(chǎn)/24，即產(chǎn)一2后+療一420對(duì)于feR恒成立，

故A=（2班）-4（?z2-4）<0,又加>0,解得mN5,

綜上，mW幣,則%的最小值為?.

故答案為：布.

題型九：等差線、等商線問(wèn)題

24.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量函和赤，它們的夾角為120。，點(diǎn)C在以

O為圓心的圓弧A8上運(yùn)動(dòng)，若沅=xE+y礪，其中無(wú)、yeR.則x+y的最大值為；x—y的取值

范圍是.

【答案】2[-1,1]

【解析】如圖所示，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，Q4所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,

則A(1,O),B

設(shè)C(cos6,sin6)(0V"號(hào)

由于反=(cose,sin6),次=(1,0),OB=

乙2’乙2)

cos9=x——y,x=cos^+—3=sin0,

根據(jù)OC=xOA+yOB，得到｛/從而｛

sin0=y,y=—j=sin0,

故x+y=cos6+Gsine=2sin[e+^^,當(dāng)寸，(％+y)max=2.

V3.2A/3(7r\y笈乃57r

x-y=cosn0----sin6n=----cosn9-\——,又<—<0+—<——,

33I6j666

.-.-^<cos^+^<^,即一1W尤一y41.

故答案為:2,[-1,1]

25.（2023?高一單元測(cè)試）如圖，在”WC中，AB=4,AC=8,Zfl4c=60。，若延長(zhǎng)CB到點(diǎn)。，使

BA=BD,當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上移動(dòng)時(shí)，設(shè)通=/lXU+〃而，當(dāng)彳取最大值時(shí)，幾-〃的值是.

【答案】V3-2/-2+V3

【解析】AB-AC=4x8xcos60°=16,

國(guó)=質(zhì)-西=^(AC-ABf=4AC+AB-2AC-AB782+42-2xl6=4后,

所以+BC2=AC2,所以ZABC=90°,ZACB=30°,

XBD=4=AB,所以AC=40,ZDAB=45°,

設(shè)彳豆=苫赤+y就，由于B在CD上，所以尤+y=l,

又與?歷=(x蒞+yA?)?(而_/)=彳礪2+(y_x)而=0,

即32x+(y-x)x40x8cos(45°+60°)-64y=0,化簡(jiǎn)得x=島,

3-73

X=--------

1x+y后=1得2所以苑=三無(wú)而+在匚正,

由<

73-1,22

J=-

216-1

Z=k------

2

AE=AAC+jLiAD=kAB(0<Z:<l),所以

,3-拒

u=k------

2

所以y時(shí)4「"，〃=—

nA-〃=>/3-2.

故答案為：6-2.

—.3—.

26.（2023?山東濰坊?高三開學(xué)考試）在金。中，點(diǎn)D滿足二BC,當(dāng)點(diǎn)E在射線A。（不含點(diǎn)A）

4

上移動(dòng)時(shí)，若理=2荏+〃恁，則九+'的最小值為.

【答案】坦當(dāng)6

33

__.3.__?__?3__?__?__?1.3__.

【解析】由麗=一前，^AD-AB=-（AC-AB）,即而=一通+—高，

4___4___________________4_____4

__?f3/?

因?yàn)辄c(diǎn)E在射線AO（不含點(diǎn)A）上移動(dòng)，所以衣=，而=:謖+:蔗，

44

又因?yàn)榫?4通+〃無(wú)可，所以丸=2,〃=>0）,

44

則2+'」+八2、口=空（當(dāng)且僅當(dāng)二=金，即y迪時(shí)取等號(hào)）,

//43?V3343t3

所以彳+，的最小值為2叵.

〃3

故答案為：巫.

3

題型十：奔馳定理與向量四心

27.奔馳定理：已知。是VABC內(nèi)的一點(diǎn)，ABOC,△AOC,VAOB的面積分別為〃，SB,Sc,則

SA?宓+SB?歷+Sc?云=6.“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與

“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.設(shè)。為三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：

s

OA+2OB+3OC=3AB+2BC+CA，貝1”些=()

)△ABC

【答案】D

【解析】為三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，^^.OA+2OB+3OC=3AB+2BC+CA，

：.OA+2OB+3OC=3(OB-OA)+2(OC-OB)+(OA-OC)^3OA+OB+2OC=d,

SAOA+SBOB+ScOC=0.

S/^ABC^/\AOB+Swoc+/\AOCAB3

故選：D.

jr

28.在VABC中，BC=2,ZBAC=~,。是VABC的外心,則而.就+麗.目的最大值為（）

A.2B.W

3

C.—D.4

3

【答案】B

【解析】設(shè)角A氏。所對(duì)的邊分別為a,b,c,

因?yàn)?。是VABC的外心，記5C中點(diǎn)為。，則有^ODBC=0,

A

BDC

uuruimuiruirzuuinuumuir、uimuiruur

^^OABC+BACA=[OD+DB+BA\BC+BACA

UUUUUUIUUULIUULIUU

=DBBC+BABC+BACA

=--BC2+BA=-2+c2,

2

c_a_2_4

在VABC中，由正弦定理可得：sin?！猻inNBA。一國(guó)—國(guó),

~2

44jr

則c=^sinCW耳，當(dāng)且僅當(dāng)sinC=l,即C=；時(shí)，等號(hào)成立,

所以》?反+麗?目的最大值為-2+1\]=y.

故選：B.

29.若VABC的三邊為a,b,c,aOA+bOB+cOC^O>則。是VABC的()

A.外心B.內(nèi)心

C.重心D.垂心

【答案】B

【解析】在AB,AC上分別取點(diǎn)O,E,使得茄=",/=中，則|通|=|通|=L

以AD,AE為鄰邊作平行四邊形ADFE,如圖，

則四邊形是菱形，S.AF=AD+AE=^-+^.

cb

;.AF為\A4c的平分線??.?(354+6辦+￡'女=3,

a-OA+b-(OA+AB)+c?(QA+AC)=0,

即(a+b+c)OA+bAB+cAC=0

AO=—^-AB—^AC=be(ABAC^I

+------------1----

a+b+ca+b+ca+b+c'cba+b+c

「.A,O,尸三點(diǎn)共線，即。在NB4c的平分線上，

同理可得。在其它兩角的平分線上，

二。是VA5c的內(nèi)心.

故選：B.

題型十一：阿波羅尼斯圓問(wèn)題

30.（2024?高三.上海閔行?開學(xué)考試）阿波羅尼斯證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的

點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A,8間的距離為3,動(dòng)點(diǎn)P滿足

【答案】[—2,18]

【解析】以中點(diǎn)為原點(diǎn)0,以A8所在直線為了軸，以45的垂直平分線為＞軸，建立平面直角坐標(biāo)系

xOy,

因?yàn)閨期=3,所以喉。]

設(shè)P（x,y）,因?yàn)?=2,所以卜+空==2.卜g；+y2,

整理得犬+丫2-5》+1=0,即1x_g]+y2=4.

'=4—卜一|）NOn唱|「

又T一尤，一j，P3=[一無(wú)‘一’，

則陽(yáng)?麗=元2+y2-2=f+4一（工一9]--=5%--,則西?麗w[-2,18].

4142

故答案為：[-2,18]

31.已知平面向量[，反工滿足￡，況且|即=出|=2,國(guó)-萬(wàn)-B|=l,則/-引+2|乙-5|的最小值為（）

A.反B.V15C.姮D.V17

【答案】D

【解析】建立如圖所示直角坐標(biāo)系，由題意可設(shè)礪=。=(2,0),麗=B=(O,2),OC=c=(x,y),

貝i?_d=(x_2,y)=AC,c-a-Z?=(x-2,j-2),c-b=(x,j-2)=BC,

由一萬(wàn)一B|=l得(x-2)2+(y-2)2=l,故C在以0(2,2)為圓心，半徑為1的圓上，

取E出DEDC|EC

,則E在上，則不心=又NCDE=ZADC,；.AEDC-ACDA,：即

15A'\AC2

|ACj=2|EC|,

???|c-a|+21c-&|=|AC|+21BC|=2(|EC|+1BC|)>21EB|=2J(2-o)2+J1-2j=V17.

32.(2024?高三?山東日照?期中)已知平面向量心b,E滿足商1B,且|《=W=4,卜+5/=2,則

忖_石+2歸-目的最小值為()

A.4逐B(yǎng).2V17C.2逐D.717

【答案】B

【解析】設(shè)礪=&=(4,0),麗=3=(0,4),

貝I］萬(wàn)+B=(4,4),\a+b-c^=2,

即C在以0(4,4)為圓心，2為半徑的圓上,

如圖，取E(4,3),則CD=2OE=2,AD=2CD=4,又NCDE=ZADC,

所以有4c?△DCE,所以AC=2CE,

又因?yàn)榉?WT明，區(qū)/=|明，

所以|萬(wàn)一石+2忸/=|回+2網(wǎng)=2同+2國(guó)222萬(wàn)=2折.

故選：B.

題型十二：平行四邊形大法

33.(2023?浙江?模擬預(yù)測(cè))已知"為單位向量，平面向量商，b^^\a+e\=\b-e\=l,小6的取值范圍是

【答案】-4,1

7

【解析】建系，不妨設(shè)工=(L0),a=(x,y)fb=(m,n),則9小二盛+町，再利用柯西不等式將所求痛+行

轉(zhuǎn)化為肝廳+%=m+元，利用換元法求出最大值，最小值顯然為圓石共線方向時(shí)取得.不妨設(shè)

e=(l,0),a=(x,y),b-(m,n),由已知，^(x+1)2+y2=1,(m-1)2+M2=1,

a-b=mx+ny—(m—l)x+ny-\-x<^(m—I)2+n2-yjx2+y2+x=J-2x+x，令

y/-2x=ZG[0,2],則J-2x+x==_；?_1)2+；w；,又顯然當(dāng)5,5向量反

向時(shí)，區(qū)最小，即。=(-2,0),3=(2,0),此時(shí)必方=-4，綜上，小6的取值范圍是—4q-

故答案為：-4,1.

重難點(diǎn)突破：向量對(duì)角線定理

34.在平面四邊形ABCD中，點(diǎn)E、尸分別是邊A。、BC的中點(diǎn)，且AB=1,EF=五,CD=下,若

ADBC=15>則AC/。的值為（）

A.13B.14C.15D.16

【答案】B

B

【解析】AB=AE+EF+FB=--^+EF,§PAB-EF=-

2222

DC=DE+EF+FC=EF--+—,即抗一而==_(四一些)，

2222

故而-訪=-（覺(jué)-礪），即：2訪=題+配,

故：4|EF|2=|AB|2+|/5C|2+2AB-DC,所以4x(應(yīng)『=F+(石『+2荏?反，即：ABDC=1，

分別延長(zhǎng)BA和8，交于。點(diǎn)，則：AD=OD-OA,BC=OC-OB,

故：AD^C=(OD-OA^[OC-OB^=OCOD+OAOB-OAOC-OBOD=15,

即：(^OD+OAOB=OAOC+OBOD+15>

而：AC=OC-OA,BD=OD-OB,

故：ACBD=(0C-0A^(0D-0B^=0C0D+0A0B-0A0D-0BdC

=Wi-7)C+OBOb+X5-OAOD-OBOC

=(^(OC-OD^-OB(OC-OD^+15

=OADC-OBDC+15

=(OA-OByDC+15

=15-AB-DC=15-1=14,

故選：B.

35.在四邊形A8CD中，點(diǎn)分別是邊A￡>,8C的中點(diǎn)，設(shè)通.配=m，AC-BD=n.^AB=^2，

EF=1,CO=G則（）

A.2m-n=lB.2m-2n=l

C.m-2n=lD.2n-2m=1

【答案】D

【解析】ACBD=（AB+BC）（BA+AD）=-AB2+ABAD-ABBC+ADBC

=-AB2+AB（AD-BC）+機(jī)=-AB2+AB（AB+BC+CD-BC^+m=AB-CD+m

又點(diǎn)瓦F分別是邊AZ）1。的中點(diǎn)，所以而=國(guó)+福+附，EF=ED+DC+CF

.1

兩式相力口得2爐=題+成，兩邊同時(shí)平方得4=2+3+215.成，所以A5.OC=—2

_._.11

則AB-CD=—,代入得〃=—+根即2n-2m=l,

22

故選。

36.在四邊形ABC。中，點(diǎn)E,尸分別是A。，BC的中點(diǎn)，設(shè)通.就=x,ACBD=y,若AB=6,

EF=l,CD=y[3,則孫的最小值為.

【答案】-上

16

【解析】如圖所示：設(shè)ABppC=。，~AB=AE+EF+FB=EF+AD^BC,

DC=DE+EF+FC=EF+~AD+BC,

2

兩式相加得：EF=AB^DC@.

QAB=C，EF=1,CD=也,把①平方可得

1_9+5C+2福成_2+3+2旗?5T.通?覺(jué)=_1

442

又而屁=?D-兩?（芯-硒=麗比-3加-沅+SX3

=*，

二.OD.OC+OA.OB=x+OD^B+OA^C@.

又XCM=（花-麗?（9-的）=㈤戈-即g-O5O5+則出

=（OD^OC+OA?OB）-OB?OC-OA^OD=y,

，0D^0C+0A^0B=0B.0C-0A^0D+y（3）.

根據(jù)②③可得，％+OD-OB+OA.OC=OB.OC+OA^OD+y,

BPx-y=-OD?OB-OA.OC^OB.OC-^OA^D,

x-y=OB.DC+OA?CD=DC^（OB-dA）=DC.AB=-^,

即y=g+%,

所以孫=/工+%]=芯2+1%=（%+!]―--?所以X=-；,y=!時(shí)，3）min=_j

I2J2I4J1644v7nun16

1.如圖，邊長(zhǎng)為4的等邊VABC,動(dòng)點(diǎn)尸在以2c為直徑的半圓上.若麗=2而+〃/，則2+；〃的取

值范圍是（）

A

i_6J_5

c.D.

3,52；4

【答案】D

【解析】由題意可以BC所在直線為x軸，3c的垂直平分線為，軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示:

結(jié)合已知得A（0,2右），B（-2,0）,C（2,0）,

半圓弧BC的方程為：x2+y2=4（y<0）,

設(shè)「（〃?,〃），則Q=（加,”-26），AB=（-2,-2A/3）,AC=（2,-2^）,

m=-22+2//

由衣=2而+〃記得:

〃-2道=-2后-20

人-。-心”+工

4122

解得:

1