涉及二次函數(shù)的圖形變化類問(wèn)題、與二次函數(shù)有關(guān)的創(chuàng)新類問(wèn)題-2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第三章函數(shù)

重難點(diǎn)05涉及二次函數(shù)的圖形變化類問(wèn)題，

與二次函數(shù)有關(guān)的創(chuàng)新類問(wèn)題

(2種命題預(yù)測(cè)+7種題型匯總+專題訓(xùn)練+3種解題方法)

【題型匯總】

平移螞奐

類型一涉及二次函數(shù)的圖形變化類問(wèn)題

題型01平移變換

平移方式(n>0)一般式j(luò)=6'-bt-c頂點(diǎn)式r-.I；1,F鹿平移口訣

?*.*

.1=a(x-%+〃/+*，頂點(diǎn)坐標(biāo)(h-n,k)左加

向左平移n個(gè)單位\+b(:v-n)+c

向右平移n個(gè)單位j=,(x-n)+b(x-n)+c\=O(X-71-\--：、頂點(diǎn)坐標(biāo)(h+n，k)右減

向上平移n個(gè)單位：二m、、-'?「+Z-,頂點(diǎn)坐標(biāo)(h,k+n)上加

向下平移n個(gè)單位“一=謹(jǐn)卡+;物緯尊一用yM試-減.醇忌-跳，頂點(diǎn)坐標(biāo)(h,k-n)下減

1.(2023?浙江紹興?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=a/+法+3圖象的對(duì)稱軸是直

線％=-1,圖象與無(wú)軸交于4B兩點(diǎn)，點(diǎn)B坐標(biāo)為(1,0),直線y=久+幾經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,且與y軸交于點(diǎn)C.

⑴填空：a=；b=；n=.

(2)將該二次函數(shù)圖象向右平移6個(gè)單位，使拋物線頂點(diǎn)M落在直線BC上，試求小的值.

(3)在(2)的條件下，設(shè)P(t,O)是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，若AMBP外接圓的圓心落在平移后的拋物線內(nèi)部，試求t的

取值范圍.

【答案】(1)—1;一2；-1

(2)m=6

(3)10-V17<t<10+V17

【分析】(1)將點(diǎn)8坐標(biāo)代入直線y=x+n中求出期根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸和經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)得到方程組，解

方程即可求出a、b；

(2)將拋物線化為頂點(diǎn)式，平移后得到平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再將頂點(diǎn)坐標(biāo)代入直線求解y=x+n；

(3)先求出平移后的解析式，設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)N,根據(jù)題意易得到AMBP外接圓的圓心必在邊

BM的中垂線上，設(shè)該中垂線交拋物線于點(diǎn)E,F,進(jìn)而求出點(diǎn)E,F的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)E,F分別作％軸的垂線，

垂足分別為K,Q,得到這兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求出A和P2的橫坐標(biāo)，即可求出t的取值范圍.

【詳解】(1)解：?.?點(diǎn)B坐標(biāo)為(1,0)，直線y=x+n經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,

0=1+

ZI=1.

???二次函數(shù)y=ax2+b%+3圖象的對(duì)稱軸是直線％=-1,8(1,0)是二次函數(shù)y=ax2+bx+3圖象是的點(diǎn),

----=-1,0=a+b+3,

聯(lián)立組成方程組為｛b=2a

a+b+3=0

解得｛a=-1

b=-2'

故答案為：—1；—2；—1.

(2)解：由題意知：拋物線解析式為y=---2x+3,即y=—(x+I/+4.

將y=—(%+I)2+4的圖象向右平移m個(gè)單位后得到y(tǒng)=-(x+1-m)2+4,

其頂點(diǎn)坐標(biāo)為MO-1,4).

.頂點(diǎn)M恰好落在直線y=x-1上,

4—m—1—1,

m=6.

(3)解：由題意知：平移后的拋物線解析式為y=5)2+4,頂點(diǎn)M(5,4).

設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)N.

BN=NM=4,

.?.△8NM為等腰直角三角形.

???P點(diǎn)在%軸上，

則^外接圓的圓心必在邊的中垂線上.

設(shè)該中垂線交拋物線于點(diǎn)凡F.

由”(5,4),<8(1,0)可知線段“8的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2),

N(5,0),故可求得該中垂線解析式為VEN=-%+5.

???解方程組/=一(”—？：+4

Iy=—%+5

解得：”=下.

即E,F兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為用竺，叫嚴(yán).

過(guò)點(diǎn)E,尸分別作x軸的垂線，垂足分別為K,Q,

則K,Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為生巨，筆竺.

11-V179-V17

???KB-1=

22

???P/=2KB=2X=9-V17.

從而B(niǎo)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為10-V17.

同理QB=/上-1=-.

P2B=2QB=2x=9+V17.

從而P2點(diǎn)的橫坐標(biāo)為10+V17.

??.t的取值范圍是10-V17<10+V17.

【點(diǎn)晴】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)解析式的求法，二次函數(shù)平移規(guī)

律，二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，理解相關(guān)知識(shí)是解答關(guān)鍵.

2.(2023?山東青島?中考真題)許多數(shù)學(xué)問(wèn)題源于生活.雨傘是生活中的常用物品，我們用數(shù)學(xué)的眼光觀察

撐開(kāi)后的雨傘(如圖①)、可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)研究的對(duì)象一拋物線.在如圖②所示的直角坐標(biāo)系中，傘柄在y

軸上，坐標(biāo)原點(diǎn)。為傘骨04OB的交點(diǎn).點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)A,B在拋物線上，。4OB關(guān)于y軸

對(duì)稱.。。=1分米，點(diǎn)A到x軸的距離是0.6分米，A,2兩點(diǎn)之間的距離是4分米.

圖①圖②

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)分別延長(zhǎng)40,B。交拋物線于點(diǎn)RE,求E,尸兩點(diǎn)之間的距離；

(3)以拋物線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為將拋物線向右平移爪(6>0)個(gè)單位，得到一條

新拋物線，以新拋物線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為S2.若S2=|S],求機(jī)的值.

【答案】(l)y=-0.1/+i；

(2)10

(3)2或4；

【分析】(1)根據(jù)題意得到C(0,l),4(206),B(-2,0.6),設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-八/+k代入求解

即可得到答案；

(2)分別求出40,8。所在直線的解析式，求出與拋物線的交點(diǎn)RE即可得到答案；

(3)求出拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)得到S「表示出新拋物線找到交點(diǎn)得到S2,根據(jù)面積公式列方程求解即可

得到答案；

【詳解】(1)解：設(shè)拋物線的解析式為y=a(x—h)2+k,由題意可得，

C(O,1),4(2,0.6),B(-2,0.6),

:?h=0,fc=1,

把點(diǎn)A坐標(biāo)代入所設(shè)解析式中得：4a+1=0.6,

解得：a=-0.1,

?*.y=-0.1%2+1；

(2)解：設(shè)4。的解析式為：y=七％,8。的解析式為：y=k?x,

分另I」將』(2,0.6),8(—2,0.6)代入丫=攵6，y=卜2N得,

2kl=0.6,—2fc2=0.6,

解得：k]=0.3,k2=-0.3,

???4。的解析式為：y=0.3x,8。的解析式為：y=-0.3x,

聯(lián)立直線解析式與拋物線得：0.3x=-0.1x2+l,

解得汽1=-5/&=2(舍去)，

同理，解—0.3%=—0.1%2+1,得第3=5,第4=-2(舍去)，

???/(-5,-1.5),E(5,-1.5),

:.E,尸兩點(diǎn)之間的距離為：5-(-5)=10；

(3)解：當(dāng)y=0時(shí)，-0.1久2+1=。，

解得：%=±710,

.?.Si=1x[VTo-(-V10)]x1=V10,

???拋物線向右平移血(血＞0)個(gè)單位，

??y——0.1(%—m)2+1,

當(dāng)％=0時(shí)，y=-0.1m2+1,

當(dāng)y=0時(shí)，—0.1(%—m)2+1=0,解得：x=+V10+m,

:$=jx[V10+m-(-V10+m)]x|-0,1m2+l|=V10|-0.1m2+1|,

?3=沁

AIxVlO=V10|-0.1m2+1|,

解得：=2,m2=-2(不符合題意舍去)，m3=4,m4=-4(不符合題意舍去)，

綜上所述：相等于2或4；

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)求法及平移的規(guī)律：左

加右減，上加下減.

3.(2024?山東泰安?中考真題)如圖，拋物線C1:y=a/+1刀一4的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)與x軸交于點(diǎn)A,

(1)求拋物線G的表達(dá)式；

(2)將拋物線Q向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到拋物線C2,求拋物線C2的表達(dá)式，并判斷點(diǎn)。是

否在拋物線上；

(3)在x軸上方的拋物線C2上，是否存在點(diǎn)P,使APB。是等腰直角三角形.若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(l)y=I、+梟一4

2

(2)C2:y=-g,點(diǎn)。在拋物線C2上

⑶存在,點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(2,2)或(—1,3)

【分析】本題主要考查了求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)與幾何的綜合、二次函數(shù)圖像的平移等知識(shí)點(diǎn)，

靈活利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)成為解題的關(guān)鍵.

(1)將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式y(tǒng)=a/+1x—4,求得a的值即可；

2

(2)由題意得：C2:y=|(%-I)+1(x-1)-4+3=|(x-一,，當(dāng)x=l時(shí)，/=|［一§-=

即可判斷點(diǎn)D是否在拋物線上；

(3)分NB4P為直角、NDBP為直角、NHPD為直角三種情況，分別運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)，進(jìn)而確

定點(diǎn)E的坐標(biāo)，進(jìn)而確定點(diǎn)P的坐標(biāo).

【詳解】⑴解：將點(diǎn)。的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式y(tǒng)=a/+打—4得：—l=a+：4,解得：a=|,

則拋物線的表達(dá)式為：y=|x2+^x-4.

2

⑵解：由題意得：C2:y=|(x-I)+1(x-1)-4+3=|-0-1|,

當(dāng)萬(wàn)=1時(shí),===

故點(diǎn)。在拋物線的上.

(3)解：存在，理由如下：

①當(dāng)NB4P為直角時(shí)，如圖1,過(guò)點(diǎn)。作DE1BDS.DE=BE,則4BDE為等腰直角三角形,

.-./.BDG=乙DEH,

???4DGB=乙EHD=90°,

DGB三△EHD(AAS),

：.DH=BG=1,EH=GD=1+2=3,

二點(diǎn)E(2,2),

當(dāng)#=2時(shí),7=|(^-|)2-||=|(2-|)2-g=2,即點(diǎn)E在拋物線C2上,

二點(diǎn)P即為點(diǎn)E(2,2)；

②當(dāng)N。8P為直角時(shí)，如圖2,

同理可得：△BGE=△DHBQAAS),

：.DH=3=BG,BH=1=GE,

...點(diǎn)E(—l,3),

125f__3\219

當(dāng)％=_1時(shí)，y=|(%一|)=13,

153\5715

...點(diǎn)E在拋物線。2上，

.,.點(diǎn)P即為點(diǎn)E(—1,3)；

③當(dāng)N”P(pán)D為直角時(shí)，如圖3,

同理可得：AEHBmADGEOIAS),

：.EH=x+2=GD=y+1且BH=y=GE=1-x,解得：x=0且y=1,

...點(diǎn)E(0,l),

19

當(dāng)X=0時(shí)，y=gx219_52±1

-l15-3

即點(diǎn)E不在拋物線C2上;

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(2,2)或(—1,3).

4.(2023?湖南岳陽(yáng)?中考真題)已知拋物線Q/y=-x2+bx+c與x軸交于4(-3,0),B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C(0,3).

(2)如圖1,在y軸上有一點(diǎn)。(0,-1),點(diǎn)E在拋物線Qi上，點(diǎn)F為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)E,F使得四邊

形D4EF為正方形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)民F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)如圖2,將拋物線Qi向右平移2個(gè)單位，得到拋物線(22,拋物線(22的頂點(diǎn)為K,與％軸正半軸交于點(diǎn)H,

拋物線Qi上是否存在點(diǎn)P,使得乙CPK=4CHK?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(Dy=-x2-2x4-3

(2*(-2,3)；尸(1,2)

(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0)或(一2,3)

【分析】(1)把4(—3,0),C(0,3)代入Qi：y=-工2+bx+c,求出b=—2,c=3即可；

(2)假設(shè)存在這樣的正方形，過(guò)點(diǎn)E作ER于點(diǎn)R,過(guò)點(diǎn)/作尸/軸于點(diǎn)/,證明△EAR=^AOD,LFID=

KDOA,可得ER=3,4R=1,F/=L/。=2,故可得E(-2,3),F(l,2)；

(3)先求得拋物線(22的解析式為丫=-0+1-2)2+4=-。-1)2+4,得出K(l,4),H(3,0),運(yùn)用待定

系數(shù)法可得直線BC的解析式為y=-x+3,過(guò)點(diǎn)K作KT1y軸于點(diǎn)T,連接BC,設(shè)KP交直線BC于M或N,

如圖2,過(guò)點(diǎn)C作PS，y軸交8K于點(diǎn)S,交拋物線g于點(diǎn)P,連接PK,利用等腰直角三角形性質(zhì)和三角函數(shù)

定義可得tan/CHK=鳥(niǎo)=23進(jìn)而可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).

CH3v23

【詳解】(1):拋物線Qi：y=—/+〃+c與x軸交于4(—3,0),兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C(0,3),

把力(一3,0),C(0,3)代入Qi：y=-/+bx+c,得，

C—9—3b+c=0

Ic=3'

解得，F(xiàn)=V，

Ic=3

，解析式為：y=—x2—2%+3；

(2)假設(shè)存在這樣的正方形如圖，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)凡過(guò)點(diǎn)尸作F/，y軸于點(diǎn)/,

：.Z.AER+Z.EAR=90。，

???四邊形D4EF是正方形,

：.AE=AD,LEAD=90。,

：.AEAR^^DAR=90°f

：./-AER=^LDAO,

又乙ERA=2LAOD=90。，

△AERDAO,

：.AR=DO,ER=AO,

???/(—3,0),D(0,—l),

???OA=3,OD=1,

AR=1,ER=3,

：.OR=OA-AR=3-1=2,

??倒-2,3)；

同理可證明："ID三MDOA,

：.FI=DO=1,DI=AO=3,

：.IO=DI-DO=3-1=2,

???F(1,2)；

(3)解：拋物線Qi上存在點(diǎn)P,使得匕CPK=￡CHK.

y=—x2—2%+3=—(%+l)2+4,

???拋物線Qi的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,4),

???將拋物線Qi向右平移2個(gè)單位，得到拋物線Q2，

???拋物線Q2的解析式為y=-(%+1-2)2+4=-(%-I)2+4,

???拋物線Q2的頂點(diǎn)為K,與無(wú)軸正半軸交于點(diǎn)”，

???K(L4),”(3,0),

設(shè)直線BC的解析式為y=依+n,把C(0,3),H(3,0)代入得卜k；：：0,

解得：9=工1，

I71=3

直線BC的解析式為y=-x+3,

過(guò)點(diǎn)K作KTly軸于點(diǎn)7,連接BC,設(shè)KP交直線BC于M或N,如圖2,過(guò)點(diǎn)C作PS1y軸交BK于點(diǎn)S,交拋

物線Qi于點(diǎn)P，連接PK,

則7(0,4),M(m,-m+3),N(t,—1+3),

圖2

???KT=TC=1,乙KTC=90°,

.?.△CK7是等腰直角三角形,

???4KCT=45°,CK=y/2KT=夜,

OH=OC=3,Z-COH=90°,

.?.△C?！笔堑妊苯侨切?

???乙HCO=45°,CH=V20C=3夜,

.-.Z.KCH=180°-4KCT-Z.HCO=90°,

??.tan"HK=霽=磊1

3

???4CPK=乙CHK,

1

???tanZ-CPK=tan乙CHK

3

vtanzFCO=^=i

???乙BCO=乙CHK,

?「BKIIOC,

???乙CBK=乙BCO,

???乙CBK=乙CHK,

即點(diǎn)尸與點(diǎn)B重合時(shí)，乙CPK=CCHK,

*-*Pi(l.O)；

VSK=1,PS=3,

「「〃SK

■■■^CPK=-=1-,

???4CPK=ACHK,

???點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于直線％=-1對(duì)稱，

P(-2,3)；

綜上所述，拋物線名上存在點(diǎn)P,使得NCPK=NCHK,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0)或(-2,3).

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性

質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識(shí)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

題型02旋轉(zhuǎn)變換

5.(2022?四川資陽(yáng)?中考真題)已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為4(1,4),且與x軸交于點(diǎn)B(—1,0).

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)如圖，將二次函數(shù)圖象繞無(wú)軸的正半軸上一點(diǎn)P(m,0)旋轉(zhuǎn)180。，此時(shí)點(diǎn)4、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C、D.

①連結(jié)力B、BC、CD.DA,當(dāng)四邊形4BCD為矩形時(shí)，求機(jī)的值；

②在①的條件下，若點(diǎn)M是直線尤=山上一點(diǎn)，原二次函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)。，使得以點(diǎn)8、C、M、

。為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)0的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(l)y=-(%-I)2+4(或y=-x2+2x+3)

(2)①m=4,②存在符合條件的點(diǎn)。，其坐標(biāo)為(-4,-21)或(2,3)或(12,-117)

【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為丫=磯式—1)2+4,再把8(—1,0)代

入即可得出答案；

(2)①過(guò)點(diǎn)4(1,4)作4E1x軸于點(diǎn)E,根據(jù)NB4D=/.BEA=90°,又因?yàn)?^DBA,證明出△BAE-

XBDA,從而得出AB?=BE?8。，將BD=2(m+l),BE=2,4E=4代入即可求出機(jī)的值；

②根據(jù)上問(wèn)可以得到C(7,—4),點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4,5(-1,0),要讓以點(diǎn)8、CM、。為頂點(diǎn)的平行四邊形，

所以分為三種情況討論：1)當(dāng)以BC為邊時(shí)，存在平行四邊形為BCMQ；2)當(dāng)以BC為邊時(shí)，存在平行四邊

形為BCQM；3)當(dāng)以BC為對(duì)角線時(shí)，存在平行四邊形為BQCM；即可得出答案.

【詳解】(1):二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為4(1,4),

.?.設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a(x-l)2+4,

又,:8(—1,0),0=a(-1—l)2+4,

解得：a=-1,

Ay=—(%—l)2+4(或y=—x2+2%+3)；

(2)①??,點(diǎn)尸在％軸正半軸上，

m>0,

.\BP=m+1,

由旋轉(zhuǎn)可得：BD=2BP,

：.BD=2(m+1),

過(guò)點(diǎn)4(1,4)作AE1%軸于點(diǎn)E,

：.BE=2,AE=4,

在ABE中，AB2=BE2+AE2=22+42=20,

當(dāng)四邊形ZBCD為矩形時(shí)，AD1AB,

：.^BAD=乙BEA=90°,

又上ABE=々DBA,

△BAEBDA,

：.AB2=BE?BD,

A4(m+1)=20,

解得租=4;

②由題可得點(diǎn)2(1,4)與點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)P(4,0)成中心對(duì)稱，

.\C(7,-4),

:點(diǎn)M在直線x=4上，

.??點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4,

存在以點(diǎn)2、C、。為頂點(diǎn)的平行四邊形，

1)、當(dāng)以為邊時(shí)，平行四邊形為BCMQ,

點(diǎn)C向左平移8個(gè)單位，與點(diǎn)3的橫坐標(biāo)相同，

將點(diǎn)M向左平移8個(gè)單位后，與點(diǎn)。的橫坐標(biāo)相同,

Q(-4,yJ代入y=-x2+2x+3,

解得：y1=—21,

Q(—4,—21),

2)、當(dāng)以BC為邊時(shí)，平行四邊形為BCQM,

點(diǎn)8向右平移8個(gè)單位，與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)相同，

...將M向右平移8個(gè)單位后，與點(diǎn)。的橫坐標(biāo)相同，

(2(12,%)代入y=-x2+2%+3,

解得：y2=-117,

.".(2(12,-117),

3)、當(dāng)以BC為對(duì)角線時(shí)，

點(diǎn)M向左平移5個(gè)單位，與點(diǎn)8的橫坐標(biāo)相同，

/.點(diǎn)C向左平移5個(gè)單位后，與點(diǎn)。的橫坐標(biāo)相同，

Q(2,y3)代入y=-x2+2x+3,

得：y3=3,

???(2(2,3),

綜上所述，存在符合條件的點(diǎn)。其坐標(biāo)為(-4,一21)或(2,3)或(12,-117).

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，中心對(duì)稱，平行四邊形的存在性

問(wèn)題，矩形的性質(zhì)，熟練掌握以上性質(zhì)并作出輔助線是本題的關(guān)鍵.

6.(2024?山東煙臺(tái)?中考真題)如圖，拋物線％=a/+b%+c與x軸交于4B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,OC=OA,

AB=4,對(duì)稱軸為直線匕a=-1,將拋物線乃繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。后得到新拋物線火，拋物線內(nèi)與>軸交于點(diǎn)。，

頂點(diǎn)為E,對(duì)稱軸為直線

(1)分別求拋物線外和力的表達(dá)式；

(2)如圖1,點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(一6,0),動(dòng)點(diǎn)M在直線4上，過(guò)點(diǎn)M作MNIIx軸與直線％交于點(diǎn)N,連接FM,DN.求

FM+MN+DN的最小值；

(3)如圖2,點(diǎn)H的坐標(biāo)為(0,-2),動(dòng)點(diǎn)尸在拋物線力上，試探究是否存在點(diǎn)P，使乙PEH=24DHE?若存在，

請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22

【答案】⑴乃=-x-2x+3,y2=x-2x-3

(2)2+3V5

(3)存在,P(3，。)或P島-黑

【分析】(1)先求出點(diǎn)A、8、C坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出拋物線y1的表達(dá)式，求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，由旋轉(zhuǎn)

可知拋物線％的二次項(xiàng)系數(shù)a為原來(lái)的相反數(shù)，頂點(diǎn)坐標(biāo)與拋物線y1的頂點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即可求解；

(2)將點(diǎn)F向右平移2個(gè)單位至0,貝ijFF，=2,F，(—4,0),過(guò)點(diǎn)。作直線%的對(duì)稱點(diǎn)為。,連接PN,PD，ND-

則四邊形FF'NM為平行四邊形,則MF=NF',ND'=ND,因此FM+MN+DN=NF'+2+ND'>2+F'D',

即可求解；

(3)當(dāng)點(diǎn)P在直線％右側(cè)拋物線上時(shí)，可得N1=N2,作”關(guān)于直線G的對(duì)稱點(diǎn)“'，則點(diǎn)在直線PE上，

可求直線PE的表達(dá)式為y=2尤一6,聯(lián)立｛二解得：%=3或%=1(舍)，故P(3,0);當(dāng)點(diǎn)

P在直線％左側(cè)拋物線上時(shí)，延長(zhǎng)EP交y軸于點(diǎn)N,作HN的垂直平分線交HE于點(diǎn)°,交y軸于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)

E作EK_Ly軸于點(diǎn)K,貝i]QM||EK,可得QH=QN,可證明出NQ=NE,由QM||EK,得AHMQfHKE,

設(shè)=2m,MQ=m,則MN=HM=2m,NK=2-4m,在Rt△QMN和Rt△ENK中，由勾股定理得+

(2m)2=(2—4m)2+l2,解得:m—(或m=1(舍)，所以N^0,—,可求直線PE表達(dá)式為:y--

r_242

聯(lián)立y=一五”一五，解得：刀=2或％=1（舍），故p

=x2-2%-311

【詳解】（1）解：設(shè)對(duì)稱軸與無(wú)軸交于點(diǎn)G,

由題意得4G=BG=2,

:對(duì)稱軸為直線x=-1,

：.OC=。4=3,

.”(0,3),

將A、B、C分別代入y】=ax2+5%+c,

a+b+c=0

得：9a—3b+c=0,

c=3

CL=-1

解得：b=-2,

.c=3

/.=—x2—2%+3,

Ayi=-x2-2%+3=-（x+l）2+4,頂點(diǎn)為（-1,4）

??,拋物線力繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。后得到新拋物線為，

J拋物線的a=1，頂點(diǎn)為（L-4）,

.??丫2的表達(dá)式為：=（%-1）2-4,即丫2=x2-2x-3

（2）解：將點(diǎn)尸向右平移2個(gè)單位至尸，則尸尸=2,尸（一4,0）,過(guò)點(diǎn)。作直線%的對(duì)稱點(diǎn)為。'，連接

F'N,F'D',ND',

,?>2=(久-I)2-4,

...直線％為直線X=1，

；MN||x軸，

：.MN=1-(-1)=2,

對(duì)于拋物線丫2=/-2久-3,令％=0,則為=-3,

.,.￡)(0,-3),

:點(diǎn)。與點(diǎn)。'關(guān)于直線x=1對(duì)稱，

二點(diǎn)。(2,-3),

'：MN||x軸,FF'=MN=2,

四邊形FF'NM為平行四邊形，

：.MF=NF',

：.FM+MN+DN=NF'+2+ND'>2+F'D',

當(dāng)點(diǎn)尸',N,D'三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，

而FD=J(—4—2(+(—3—0)2=3V5,

：.FM+MN+DN的最小值為2+3V5；

(3)解：當(dāng)點(diǎn)P在直線6右側(cè)拋物線上時(shí)，如圖：

???拋物線丫2=(%-I)2-4,

???E(1,—4)

VZ2||y軸，

C.Z.DHE=zl,

■:乙PEH=2乙DHE,

.,.zPEH=2zl=zl+z2,

zl=z.2,

作H關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)H'，則點(diǎn)H'在直線PE上,

?.,點(diǎn)H的坐標(biāo)為(0,-2),直線5x=l,

設(shè)直線PE的表達(dá)式為：y=fcx+Z?(/c^O),

代入彳(2,-2),E(l,-4),

夕曰（2k+b=-2

符：除+匕=_4，

解得:｛心=2,

二?直線PE的表達(dá)式為y=2%—6,

聯(lián)立］，:xQ），得：/一2%-3=2%-6,

（y2=%—2%—3

解得：％=3或久=1（舍），

???P（3,0）；

②當(dāng)點(diǎn)尸在直線％左側(cè)拋物線上時(shí)，延長(zhǎng)EP交y軸于點(diǎn)N,作”N的垂直平分線交HE于點(diǎn)Q,交y軸于點(diǎn)M,

過(guò)點(diǎn)E作EKly軸于點(diǎn)K,則QMIIEK,如圖：

???QM垂直平分HN,

：.QH=QN,

LQHN=乙QNH,

工人NQE=2乙NHE,

■:乙PEH=2乙DHE

:?(NQE=乙PEH,

：.NQ=NE,

由點(diǎn)H(0,-2),E(l,-4)

得：EK=lfKH=2,

\9QM||EK,

：.△HMQFHKE,

,HMMQ

HKKE

.HM_MQ

2-1f

設(shè)HM=2m,MQ=m,

：.MN=HM=2m,NK=2—4m,

在Rt△QMN和Rt△ENK中，由勾股定理得QM?+MN2=NK2+KE2,

.\m2+(2m)2=(2—4m)2+l2,

解得：血=(或??1=1(舍)

，N（0,-給,

設(shè)直線PE表達(dá)式為：y=arx+瓦（的W0）,

代入點(diǎn)N,E,

尸】+瓦=-4

,：（瓦=3，

，_2

解得：:=一總

（瓦=-五

，直線PE表達(dá)式為：y=—77X—

JiiYiiY，

C242

聯(lián)立產(chǎn)F-五,

2

ly2=%—2%—3

得：——x——=x2—2x—3,

iiii

整理得：llx2-20x+9=0

解得：*=2或x=l（舍）,

綜上所述,P（3,0）或P（看,一詈）.

【點(diǎn)睛】本題是一道二次函數(shù)與角度有關(guān)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形三邊關(guān)系求

最值，平行四邊形的判定與性質(zhì)，中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握

知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解決本題的關(guān)鍵.

7.（2024.湖南岳陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知拋物線G經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且與直線/交于4（—2,0）和8（1,3）兩點(diǎn).

備用圖

（1）求拋物線G的解析式和tan/BA。的值.

⑵若。是拋物線G上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(在點(diǎn)A和點(diǎn)B之間)，作DE1/于點(diǎn)E,DF||y軸交/于點(diǎn)F,在點(diǎn)。運(yùn)

動(dòng)的過(guò)程中，是否存在某一位置，使得ADEF的面積最大？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo)及ADEF面積的

最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)將拋物線Q繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后，再平移使其頂點(diǎn)在直線，上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,得到拋物線。2,試問(wèn)在拋物

線上是否存在點(diǎn)P,使AABP是以4B為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

【答案】(l)y=x2+2%；1

(2)存在,詈

⑶P(l,-3)或

【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，相似三角形的判定和性質(zhì)，

直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)分類討論，注意不要漏解，與方程相結(jié)合，利用相似三角

形解決最值問(wèn)題；

(1)由待定系數(shù)法分別求出拋物線G的拋物線和直線Z的解析式，可求點(diǎn)N坐標(biāo)，即可求NBA。的正切值；

(2)由題意可以證明△AONDEF,可得抖空=(笠)，當(dāng)DF最大時(shí)，△DEF的面積最大，由二次函數(shù)

SRAONIANJ

性質(zhì)可求DF的最大值，即可求解；

(3)由題意先求出解析式y(tǒng)=-(％+1)2+1或丫=一(工+2)2,分兩種情況討論即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

【詳解】(1)解：設(shè)拋物線Q的解析式為：y=a/+b%+c,

???拋物線Ci經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且與直線/交于4(-2,0),8(1,3)兩點(diǎn)，

c=0

???0=4。-2b+c,

、3=a+b+c

a=1

解得：b=2,

c=0

???拋物線Ci的解析式為：y=/+2%,

設(shè)直線/解析式為：y=?n%+7i,

r3=m+n

l0=-2m+n'

解得：｛:二;,

???直線/解析式為：y=x+2,

如圖，設(shè)直線與y軸的交點(diǎn)為N,

.?.點(diǎn)N的坐標(biāo)(0,2),且點(diǎn)4(一2,0),

ON—OA—2,

NBA。的正切值="=1,

OA

(2)?；ON=OA=2,

AN=2位,

_2X2_9

???、kANO——N，

DF||y軸,

DF||ON,

乙ANO=乙EFD,且乙4ON=4FED=90°,

AONDEF,

.S^DEF_(竺)2

S"ON\AN)'

???當(dāng)DF最大時(shí)，△DEF的面積最大，

設(shè)點(diǎn)。(0口2+2。)，則點(diǎn)F(q,a+2),

**?DF=a+2—(小+2a)=—(a+3)H-2—,

.??當(dāng)。=一1時(shí)，DF的最大值為2%

△團(tuán)的面積的最大值為：?若

(3)??,拋物線Ci的解析式為：y=%2+2%=(x+I)2-1,

???設(shè)拋物線。2解析式為：y=-(%-1)2+h,

???頂點(diǎn)坐標(biāo)(t,h),

???拋物線C2頂點(diǎn)在直線，上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)4

/h=t+2

lO=-(2+t)2+h'

解得：或｛]:￡，

.??拋物線。2的解析式為：y=-(x+1尸+1或y=-(x+2尸,

■■.APIAB^BPIAB,

,?,直線48解析式為：y=x+2,

直線4P解析式為：y=—x-2,直線BP解析式為：y=-x+4,

若點(diǎn)P在拋物線C2上，點(diǎn)P在直線4P上，

(y=-X—2

?iy=—(%+I/+1，

?廨得：死=(不合題意，舍去)[J=\,

(y=oky=-3

???點(diǎn)P(L—3)；

若點(diǎn)P在拋物線C2上，點(diǎn)P在直線BP上，

(y=—%+4

"ly=—(%+I/+1'

%2+x—4=0,

VA<0,

方程無(wú)解,

當(dāng)拋物線。2解析式為：y=-0+2)2時(shí)，如圖,

ABP是以4B為直角邊的直角三角形,

AP148或BP1AB,

???直線2B解析式為：y=x+2,

???直線4P解析式為：y=-x-2,直線BP解析式為：y=-久+4,

若點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)P在直線4P上，

(y=-X—2

-[y=—(%+2)2，

解得：上二”(不合題意,舍去)匕=一;

(y=U(y=—1

點(diǎn)P坐標(biāo)(一],一]),

若點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)p在直線BP上,

(y=—X+4

"ly=-(x+27,

???%2+3x+8=0,

???A<0,

方程無(wú)解，

綜上所述：點(diǎn)P(l,-3)或(―1,—1)

8.(2024.山東濟(jì)寧.一模)如圖，拋物線y=a/+6x+c的頂點(diǎn)為M(2,—2),與x軸的交點(diǎn)為A和2(其中

點(diǎn)A與原點(diǎn)重合)，將拋物線丫=a/+6%+(;繞點(diǎn)8逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。，點(diǎn)M],4為點(diǎn)M,A旋轉(zhuǎn)后的對(duì)

應(yīng)點(diǎn).

(1)求拋物線y=ax2+bx+c的解析式；

(2)求證：點(diǎn)A,M,&在同一條直線上；

(3)若點(diǎn)尸是原拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)0是旋轉(zhuǎn)后的圖形的對(duì)稱軸上一點(diǎn)，E為線段4M的中點(diǎn)，是否存在點(diǎn)

P,使得以P,Q,E,2為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；若存在請(qǐng)求出點(diǎn)尸坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(l)y=|x2-2x

(2)見(jiàn)解析

(3)存在，Pi(2+V6,1)或P2(2-V6,1)或23(2+企,一1)或P42-V2,-l)

【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，平行四邊形等知識(shí)：

(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x—2)2—2,把4(0,0)代入得拋物線的解析式為y=|(x-2/—2；

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出4式4,-4),求出直線AM的解析式，代入義的橫坐標(biāo)，求出y=-4,即可判斷力、

4三點(diǎn)共線索；

(3)根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出E(l,-1),把原拋物線的對(duì)稱軸直線x=2繞B(4,0)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。得直

線y=-2,設(shè)P2巾)，Q(n,-2),分三種情況列方程組可解得答案.

2

【詳解】(1)解：由拋物線丫=。/+必+<:的頂點(diǎn)為時(shí)(2,—2),設(shè)拋物線的解析式為3/=￡10-2)-2,

把4(0,0)代入得：4a-2=0,

解得a=

?*.y=|(x—2)-2=|x2—2x；

拋物線的解析式為y=1%2-2%；

(2)解：VM(2,-2),

...拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2,

V4(0,0),

???8(4,0),

：.AB=4,

由旋轉(zhuǎn)得，BA】=AB=4fBAr1%軸于點(diǎn)B,

二?Ai(4,—4)；

設(shè)直線/M的解析式為y=kx,

把M(2,—2)代入得，2k=-2,

k-1,

，直線AM的解析式為y=-x,

當(dāng)％=4時(shí)，y=-4,

...點(diǎn)4在直線y=—x上，

.??4M,占三點(diǎn)在同一條直線上；

(3)解：存在，理由如下：

VX(0,0),M(2,-2),

???E(等,等)，即1);

原拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2,繞8(4,0)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。得直線y=-2,

設(shè)P(m[zn2一2m),(2(九,一2),而8(4,0),

①若PQ,BE為對(duì)角線時(shí)，貝IJPQ,BE的中點(diǎn)重合，

m+n=5

1

-m29—2m—2=—1

(2

解得,=2+嗨/=2一嗨,

=3-v6tn=3+v6

點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2+V6,1),(2-76,1);

②若PB,QE為對(duì)角線時(shí)，

fm+4=n+l

**m2—2m=3，

此方程組無(wú)解；

③若PE,QB為對(duì)角線時(shí)，

m+1=4+n

{|m2—2m—1=—2'

解得，產(chǎn)=廿停產(chǎn)=21企,

tn=V2-1In=-V2-1

六點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2+VX—1)，(2—V2,-1);

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為Pi(2+V6,1)或Pz(2-V6,1)或23(2+四，一1)或P42-V2.-1)

題型03翻折變換

二次函數(shù)的翻轉(zhuǎn)問(wèn)題的解題思路：

①根據(jù)二次函數(shù)上特殊點(diǎn)的坐標(biāo)值求得二次函數(shù)的表達(dá)式；

②根據(jù)翻轉(zhuǎn)后拋物線與原拋物線的圖像關(guān)系，確定新拋物線的表達(dá)式；

③在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出原拋物線及翻轉(zhuǎn)后拋物線的簡(jiǎn)易圖，根據(jù)圖像來(lái)判斷題目中需要求解的量的各種可

能性；

④根據(jù)圖像及相關(guān)函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算，求得題目中需要求解的值.

9.(2023?四川德陽(yáng)?中考真題)已知：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)4(-4,0),8(2,0),與y軸

交于點(diǎn)C(0,-4).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,如果把拋物線》軸下方的部分沿?zé)o軸翻折180。，拋物線的其余部分保持不變，得到一個(gè)新圖象.當(dāng)

平面內(nèi)的直線y=kx+6與新圖象有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求上的值；

(3)如圖2,如果把直線4B沿y軸向上平移至經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,與拋物線的交點(diǎn)分別是E,F,直線BC交EF于點(diǎn)H,

過(guò)點(diǎn)F作FG1于點(diǎn)G,若翌=2小.求點(diǎn)F的坐標(biāo).

HG

【答案】(l)y=|%2+x-4

⑵嘲

(3)(4,8)

【詳解】(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a/+bx+c,

???C(0,-4),

.?.c=—4,

y=ax2+b%—4,

把4(-4,0),8(2,0)代入y=ax2+bx+c,得：｛那;寸二j二;，

解得：fa=l,

(z?=1

???拋物線的解析式為y=|x2+x-4

(2),?,直線表達(dá)式y(tǒng)=kx+6,

二直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(0,6),

二將過(guò)點(diǎn)(0,6)的直線旋轉(zhuǎn)觀察和新圖象的公共點(diǎn)情況

???把拋物線x軸下方的部分沿?zé)o軸翻折180。，拋物線的解析式為y=[/+x—4，

???新圖象表達(dá)式為：—4<x<2時(shí)，y=—|^2—x+4；xW—4或x22時(shí)，丫4小+萬(wàn)一心

如下圖當(dāng)直線y=kx+6與翻折上去的部分拋物線相切時(shí)，和新圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，

聯(lián)立［y=-#_x+4,得：一「2_%+4=_+6,

Iy=kx+62

整理得：%2+2(1+/c)%+4=0

△=0,

4(1+k)2-16=0,

4(1+fc)2=16,

l+k=±2,

fc=±2-l,

七=2-1=1時(shí)，即如上圖所示，符合題意，

左2=-2-1=一3時(shí)，如下圖所示，經(jīng)過(guò)點(diǎn)8,

不符合題意，故舍去，

如下圖，當(dāng)直線y=kx+6經(jīng)過(guò)點(diǎn)4時(shí)，和新圖象有三個(gè)公共點(diǎn),

把4（一4,0）代入y=kx+6,得：-4k+6=0,

解得：k=l，

綜上所述，當(dāng)平面內(nèi)的直線丫=k％+6與新圖象有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，上的值為1或|

（3）?.?尸在拋物線上,

???設(shè)尸坐標(biāo)為（口彳小+Q一4）,

???OB=2,OC=4,FG1CH,

tanz.OCB=

2

tanzFHG=2,

HG-.FG=1:2,Vl2+22=V5

???HG-.FG-.FH=1:2:75,

1

?*.DF=a,DO=—cio+a—4,

2

c___1

DC=DO+OC=-aO2+a,

2

1In1

DH=-DC=-a2+-a,

242

11

FH=DH-DF=-a2o--a,

42

—(-a——

HG=——55FH\4=2)a,

2Qa?——a)=a,,

a2-4a=0,

a(a—4)=0,

=0(舍去)，

g=4,代入5a2+a—4=8,

???點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(4,8)

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合、翻折、交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，結(jié)合一元二次方程、三角函數(shù)解直角三角形知

識(shí)點(diǎn)，熟練掌握、綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

10.(2023?江蘇連云港?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系第Oy中，拋物線L：y=/一2%-3的頂點(diǎn)為P.直

線/過(guò)點(diǎn)M(0,7n)(/nN-3),且平行于無(wú)軸，與拋物線力交于4B兩點(diǎn)(8在/的右側(cè)).將拋物線5沿直線［翻

折得到拋物線G，拋物線乙2交y軸于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為二

備用圖

(1)當(dāng)血=1時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo);

(2)連接BC、CD、DB,若△BCD為直角三角形，求此時(shí)Z>2所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

⑶在(2)的條件下，若△BCD的面積為3,尸兩點(diǎn)分別在邊BC、CD上運(yùn)動(dòng)，且=以EF為一邊作

正方形EFGH,連接CG,寫(xiě)出CG長(zhǎng)度的最小值，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.

【答案】⑴D(L6)

(2)y=-x2+2x+3或y=-x2+2x-3

(3)當(dāng)槌，見(jiàn)解析

【分析】(1)將拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，進(jìn)而得出頂點(diǎn)坐標(biāo)P(l,-4),根據(jù)對(duì)稱性，即可求解.

(2)由題意得，力的頂點(diǎn)P(l,—4)與打的頂點(diǎn)。關(guān)于直線y=巾對(duì)稱，D(l,2m+4),則拋物線G：y=

-(%-I)2+(2m+4)=-%2+2x+2m+3.進(jìn)而得出可得C(0,2m+3),①當(dāng)/BCD=90。時(shí)，如圖1,過(guò)

。作DNly軸，垂足為N.求得+3,巾)，代入解析式得出m=0,求得打：y=-/+2%+3.②當(dāng)

NBDC=90。時(shí)，如圖2,過(guò)B作BT1ND,交ND的延長(zhǎng)線于點(diǎn)7.同理可得BT=DT,得出8(巾+5,巾)，代

入解析式得出爪=一3代入L2：y=—/+2x+2m+3,得1<2：丫=一%2+2%-3；③當(dāng)乙D8C=90。時(shí)，此情

況不存在.

(3)由(2)知，當(dāng)NBDC=90。時(shí)，m=-3,此時(shí)△BCD的面積為1,不合題意舍去.當(dāng)NBCD=90。時(shí)，

m=0,此時(shí)△BCD的面積為3,符合題意.由題意可求得EF=FG=CD=0取EF的中點(diǎn)Q,在Rt△CEF

中可求得CQ=?.在RtAFGQ中可求得GQ=平.易知當(dāng)Q,C,G三點(diǎn)共線時(shí)，CG取最小值，最小值

為srV10-V2

【詳解】(1)Vy=x2-2x-3=(x-l)2-4,

拋物線Li的頂點(diǎn)坐標(biāo)P(l,-4).

:巾=1,點(diǎn)P和點(diǎn)。關(guān)于直線y=1對(duì)稱.

0(1,6).

(2)由題意得，L的頂點(diǎn)P(i,—4)與G的頂點(diǎn)。關(guān)于直線y=巾對(duì)稱，

+4),拋物線L2：丫=一(％—I)2+(2m+4)=—x2+2x+2m+3.

.,.當(dāng)x=0時(shí)，可得C(0,2m+3).

①當(dāng)乙BCD=90。時(shí)，如圖1,過(guò)D作DN1y軸，垂足為N.

V￡)(